Nguyễn Mạnh Dũng, 11A2 Toán, ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội Email: nguyendunghus@gmail.com Số điện thoại: 0968.289158 Các phương pháp đổi biến trong chứng minh bất đẳng thức Sau bài viết của bạn
Trang 1Hà Nội, ngày 23 tháng 3 năm 2008 Nguyễn Mạnh Dũng, 11A2 Toán, ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội
Email: nguyendunghus@gmail.com
Số điện thoại: 0968.289158
Các phương pháp đổi biến trong chứng minh bất đẳng thức
Sau bài viết của bạn Thanh ở TTT2(61), tôi xin được tiếp tục giới thiệu với các bạn một số cách đổi biến quan trọng khác
Dạng 1 Phép thế Ravi
Trong các bất đẳng thức 3 biến a,b,c có điều kiện là các cạnh tam giác Khi đó sẽ tồn tại các số thực dương x,y,z sao cho a= +y z b z x c x y, = = , = + Các bạn có thể thấy rõ điều đó qua hình
vẽ sau với tính chất của đường tròn nội tiếp tam giác:
y
z
z y
I B
C A
Ví dụ 1: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
abc³ b c a c a b a b c+ - + - +
-Giải:
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có thể đặt
a= +y z b z x c x y x y z= = = + >
Bất đẳng thức trên trở thành: (x y y z z x+ )( + )( + )³8xyz
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta được:
(x y y z z x+ )( + )( + )³2 xy.2 yz.2 zx=8xyz
Dấu đẳng thức đạt được khi và chỉ khi x= = Û = =y z a b c
Ví dụ 2:(IMO 1968) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
a b a b- +b c b c- +c a c a- ³
Giải:
Ta có thể đặt a= +y z b z x c x y x y z, = = , = + ; , , >0
Khi đó bất đẳng thức trên trở thành
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương, ta được:
Trang 2Cộng tương ứng 3 bất đẳng thức trên ta được đpcm
Dạng 2 Đối với một số bất đẳng thức 3 biến a,b,c có bậc lệch nhau hoặc có điều kiện đặc biệt
giữa các biến số Ta có thể đặt a x= +1,b= +y 1,c z= +1
Ví dụ 3:(TTT2) Cho a,b,c là các số thực không âm, chứng minh rằng:
a +b + +c abc+ ³ ab bc ca+ +
Giải:
Đặt a x= +1,b= +y 1,c z= +1; , ,x y z³ -1
Bất đẳng thức trên trở thành
( ) (2 ) (2 )2 ( )( )( ) ( ( )( ) ( )( ) ( )( ) )
Nhận xét rằng ( )( )( )xy yz zx =x y z2 2 2 ³0 nên trong 3 số xy yz zx có ít nhất 1 số không âm , ,
Không mất tính tổng quát, giả sử xy³0 Khi đó:
( 1) 0; 2 2 2 ; 2 0
xy z+ ³ x +y ³ xy z ³
Cộng tương ứng các bất đẳng thức trên ta được
x +y +z + xyz xy³ ³
Suy ra đpcm Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x= = = Û = = =y z a b c
Ví dụ 4: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x2+y2+z2=xyz Chứng minh rằng
xy yz zx+ + ³ x y z+ + +
Giải:
Từ giả thiết suy ra x2<xyzÞ <x yz, tương tự suy ra
2
xy<yz zxÞz > Þ >z
Hoàn toàn tương tự ta có x>1,y>1
Do vậy ta có thể đặt x a= +1,y b= +1,z c= +1; , ,a b c>0
Điều kiện trở thành
( ) (2 ) (2 ) (2 )( )( )
2
; 3
q ab bc ca a= + + £ +b +c q a b c£ + +
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được
( )32
27
q
q+ q+ £a +b + + + + + =c a b c abc ab bc ca q+ + + £ +
27
p
p= qÞ + £p Û p- p+ ³ suy ra
( )( ) ( )( ) ( )( )
p³ Ûab bc ca+ + ³ Û x- y- + y- z- + -z x- ³
Hay xy yz zx+ + ³2(x y z+ + +) 9 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= = =3
Dạng 3 Một số dạng đổi biến khác:
1 xy yz zx+ + +2xyz=1 hoặc xy yz zx xyz+ + + =4
Trang 3Ví dụ 5: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx+ + +2xyz=1 Chứng minh rằng
3 4
xy yz zx+ + ³
Giải:
Từ giả thiết, tồn tại các số dương a,b,c sao cho
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( )( ) ( )( ) ( )( ) 34
a c b c + b a c a + c b a b ³
Quy đồng bất đẳng thức trên
( )2 ( )2 ( )2
6 0
Luôn đúng
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1
2
a b c= = Û = = =x y z
Ví dụ 6( Ấn Độ 1996): Cho , ,x y z³0,xy yz zx xyz+ + + =4 Chứng minh rằng
x y z xy yz zx+ + ³ + +
Giải:
Tương tự như ví dụ trên nhưng ở đây ta đặt x 2a ,y 2b ,z 2c
Bất đẳng thức trên trở thành
( 2)( ) ( 2)( ) ( 2)( )
b c c a a b+ + ³ c a c b + a b a c + b a b c
Quy đồng
0
Đây chính là bất đẳng thức Schur đã được nhắc đến ở THTT số tháng 6 năm 2006
2 x y z+ + + =2 xyz
Ví dụ 7 Cho x,y,z>0 và x y z+ + + =2 xyz Chứng minh rằng
2 xy+ yz+ zx £ + + +x y z 6
Giải:
Từ giả thiết ta có thể đặt x b c,y c a,z a b
Khi đó bất đẳng thức trên tương đương với
Trang 4Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta được
a b b c c a
Ta có đpcm Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= = Û = = =x y z 2
Nhận xét: Còn rất nhiều phép đổi biến khác trong chứng minh bất đẳng thức và các cách chứng
minh bằng phép đổi biến trên không phải là duy nhất mà còn nhiều cách chứng minh khác hay hơn, độc đáo hơn nhưng tôi xin được nhấn manh đến sự tự nhiên của các cách đổi biến trên Kết thúc bài viết, xin mời các bạn làm 1 số bài tập vận dụng sau:
Bài tập 1: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác Chứng minh rằng
a) a3+ + +b3 c3 3abc³2ab2+2bc2+2ca2
b) 3a b2 +3b c2 +3c a2 ³3abc+2ab2+2bc2+2ca2
Bài tập 2 (Chào IMO, THTT số 355): Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng
xyz+ x +y +z + ³ x y z+ +
Bài tập 3 Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx+ + +2xyz=1 Chứng minh rằng
1 8
xyz£
Bài tập 4 Cho x,y,z>0 và x y z+ + + =2 xyz Chứng minh rằng
a) xy yz zx+ + ³2(x y z+ + )
2
x+ y+ z £ xyz
Bài tập 5 (Nesbitt) Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng
9 2
Bài tập 6 Cho x,y,z>0 thỏa mãn xy yz zx+ + =2(x y z+ + ) Chứng minh rằng
2
xyz x y z£ + + +