Bài giảng môn Xác Suất. Ôn thi cao học

Bài giảng môn Xác Suất. Ôn thi cao học. Định nghĩa. Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không có thứ tự gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho.Ví dụ: Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử x, y, z là: {x,y}; {x,z}; {y,z}. 1. Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện xác định nào đó. Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết quả được gọi là một biến cố.

BÀI GIẢNG TÓM TẮT MÔN TOÁN XÁC SUẤT – ÔN THI CAO HỌC

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

§1 ÔN VỀ TỔ HỢP

1.1 Định nghĩa Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không có thứ tự

gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho

1.3 Bài tóan lựa chọn:

Một lô hàng chứa N sản phẩm, trong đó có NA sản phẩm loại A và N– NA sản phẩm lọai B Chọn ngẫu nhiên ra n sản phẩm (0 < n < N) Với mỗi số nguyên k thỏa 0

k ≤ NA, 0 ≤ n–k ≤ N–NA Tìm số cách chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sảnphẩm loại A

Lời giải

Để chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩmloại A ta tiến hành 2 bước: Bước 1: Chọn k sản phẩm loại A từ NA sản phẩm loại A Số cách chọn là CN k A Bước 2: Chọn n–k sản phẩm loại B từ N–NA sản phẩm loại B Số cách chọn là

C n−k .

N−N A

Theo nguyên lý nhân ta có số cách ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩm loại A là:

C k Cn −k .

N A N−N A

§2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

2.1 Phép thử và biến cố

1) Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện xác

định nào đó Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết quả được gọi

là một biến cố.

Ví dụ Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt Các biến

cố có thể xảy ra là: Xuất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có chấm chẵn,…

2) Biến cố tất yếu, kí hiệu Ω (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực

hiện phép thử

Ví dụ Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm

không quá 6” là biến cố tất yếu

3) Biến cố bất khả, kí hiệu ∅, là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện

phép thử

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lớn

hơn 6” là biến cố bất khả

4) Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi

thực hiện phép thử Ta thường dùng các kí tự A, A1, A2, B, C,… để chỉ các biến cốngẫu nhiên

Ví dụ Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một

biến cố ngẫu nhiên

Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi Aj (j = 1,2,…,6)

là biến cố “Xuất hiện mặt j chấm”

4) Hai biến cố A và B được gọi là bằng nhau, ký hiệu A = B, nếu A xảy ra khi

và chỉ khi B xảy ra

Ví dụ Tung hai con xúc xắc 6 mặt.

Gọi A là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện là 12” và B là biến cố “Xuất hiện haimặt 6 chấm và 6 chấm” Ta có A = B

Gọi C là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện là 10” và D là biến cố “Xuất hiện haimặt 5 chấm và 5 chấm” Ta có C ≠ D (khi C xảy ra thì không nhất thiết D xảy ra vìkhi đó có thể xuất hiện các mặt 6 chấm và 4 chấm)

5) Biến cố tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B (hay A B) là biến cố

định bởi:

A + B xảy ra ⇔ A xảy ra hoặc B xảy ra.

 Có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra

Minh họa:

Ta có thể mở rộng khái niệm tổng của n biến cố A1, A2,…, An như sau:

A1 + A2 +…+ An xảy ra ⇔ Có ít nhất 1 trong n biến cố A1, A2,…, An xảy ra

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt có số

chấm không quá 2” và B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”, ta có:

A =A1+A2 B=A2+A4+A6

6) Biến cố tích của hai biến cố A và B, kí hiệu AB (hay A∩B) là biến cố định bởi:

AB xảy ra ⇔ A xảy ra và B xảy ra

Như vậy, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thờixảy ra

Minh họa:

Ta có thể mở rộng khái niệm tích của n biến cố A1, A2,…, An như sau:

A1A2…An xảy ra ⇔ Tất cả n biến cố A1, A2,…, An đồng thời xảy ra

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố sau:

A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn

B : Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 5

C: Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 5

Ta có: AB = A6 và ABC = ∅

7) Biến cố sơ cấp là biến cố khác biến cố bất khả và không thể phân tích dưới dạng

tổng của hai biến cố khác

Ta có thể xem các biến cố sơ cấp như là các nguyên tử nhỏ nhất không thể phân chiađươc nữa Một biến cố A bất kỳ sẽ là tổng của một số biến cố sơ cấp nào đó, ta gọi

những biến cố sơ cấp đó thuận lợi cho biến cố A Như vậy, mọi biến cố sơ cấp đều

thuận lợi cho biến cố tất yếu, trong khi không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho biến

cố bất khả

Ví dụ Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta có tất cả 6 biến cố sơ cấp là Aj (j = 1,2,

…,6) Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ Khi đó:

A=A1+A3+A5

Do dó có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là A1, A3, A5

8) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = ∅, nghĩa là A và B không bao giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử

Minh họa:

Ví dụ Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố :

A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn

B : Xuất hiện mặt 1 chấm

C : Xuất hiện mặt có số không quá 2

Ta có A và B xung khắc nhưng A và C thì không (AC = A2)

9) Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu A , là biến cố định bởi

A xảy ra ⇔ A không xảy raMinh họa:

Như vậy, A và A xung khắc, hơn nữa A + A = Ω, nghĩa là nhất thiết phải có một và chỉ một trong hai biến cố A hoặc A xảy ra khi thực hiện phép thử

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố

A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn

B : Xuất hiện mặt có số chấm lẻ

Ta thấy ngay B là biến cố đối lập của A

10) Các biến cố đồng khả năng là các biến cố cĩ khả năng xảy ra như nhau khi thực

Như vậy,

P(A) =

Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho ATổng số biến cố sơ cấp cóthể xảy ra

2.3 Cơng thức tính xác suất lựa chọn.

Xét một lơ hàng chứa N sản phẩm, trong dĩ cĩ NA sản phẩm loại A, cịn lại

là loại B Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra n sản phẩm (0< n < N) Khi đĩ, với mỗi 0 ≤ k

NA thỏa 0 ≤ n – k ≤ N – NA, xác suất để trong n sản phẩm chọn ra cĩ đúng k sản phẩm loại A là:

p C k C n − k(k) = N A n N − N A

Mở rộng: Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đơi, ta cĩ:

P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An)

2) Hệ quả Với A là một biến cố bất kỳ, ta cĩ

P(A) = 1 − P(A)

3) Cơng thức cộng xác suất thứ hai:

Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta cĩ:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

Ví dụ 1: Một lô hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu.

Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn racó:

a) Số sản phẩm tốt không ít hơn số sản phẩm xấu

b) Ít nhất 1 sản phẩm xấu

Lời giải

Gọi Aj (j = 0,1,…,4) là biến cố có j sản phẩm tốt và (4–j) sản phẩm xấu có trong 4sản phẩm chọn ra Khi đó A0, A1,…,A4 xung khắc từng đôi và theo Công thức tính xácsuất lựa chọn với N = 15, NA = 10, n = 4 (ở đây loại A là loại tốt), ta có:

P( Aj ) = C10j C5 4 −j

C15 4

Từ đó ta tính được:

P(A2) = 30 91 ; P(A3) = 40 91 ; P(A4) = 13 2

a) Gọi A là biến cố số sản phẩm tốt không ít hơn số sản phẩm xấu Ta có:

A=A4+A3+A2

Từ đây do tính xung khắc từng đôi của A2, A3, A4, Công thức cộng thứ nhất cho ta:

P(A) = P(A4) + P(A3) + P(A2) = 3091+ 4091+ 132= 0,9231

b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 sản phẩm xấu trong 4 sản phẩm chọn ra Khi đó, biến

cố đối lập B là biến cố không có sản phẩm xấu nào trong 4 sản phẩm chọn ra nên B =

A4 Suy ra xác suất của B là

Ví dụ 2: Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 60 sinh viên giỏi Toán, 70 sinh

viên giỏi Anh văn và 40 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và Anh văn Chọn ngẫu nhiênmột sinh viên của lớp Tìm xác suất để chọn được sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Anh văn

Lời giải

Gọi

– A là biến cố sinh viên được chọn giỏi môn Toán

– B là biến cố sinh viên được chọn giỏi môn Anh văn.

Khi đó

– AB là biến cố sinh viên được chọn giỏi cả hai môn Toán và Anh văn

– A + B là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Anh văn

Do đó

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 100 60 + 100 70 − 100 40 = 0,9.

§4 CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT

4.1 Xác suất có điều kiện.

1) Định nghĩa Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B đã xảy ra,

kí kiệu P(A/B), là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến cố B

đã xảy ra rồi

Ví dụ: Thảy một con xúc xắc đồng chất 6 mặt Xét các biến cố sau:

- A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn.

- B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ.

- C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 4.

- D là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 4.

ra Ta nói biến cố A độc lập với biến cố C theo định nghĩa sau:

2) Tính độc lập Nếu P(A/B) = P(A), nghĩa là sự xuất hiện của biến cố B

không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A, thì ta nói A độc lập với B.

4.2 Công thức nhân xác suất thứ nhất

Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có

P(AB) = P(A) P(B)

7

Mở rộng: Với A1, A2, …, An là n biến cố độc lập từng đôi, nghĩa là với mọi 1

≤ i ≠ j ≤ n , Ai và Aj độc lập, ta có:

P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An)

4.3 Công thức nhân xác suất thứ hai

Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có

P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B)

Mở rộng: Với A1, A2, …, An là n biến cố bất kỳ , ta có:

P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/ A1)… P(An/ A1 A2 …An–1)

Chẳng hạn:

P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB)

Ví dụ: Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản phẩm tốt, 5

sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ mỗi

Do tính xung khắc từng đôi, Công thức cộng xác suất cho ta:

P(A) = P(A0 B2) + P(A1B1) + P(A2 B0)

Từ đây, do tính độc lập, Công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta:

P(A) = P(A0)P(B2) + P(A1)P(B1) + P(A2)P(B0)

10510 10528+ 10550 10556+ 10545 10521= 0,3651.

b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu Khi đó biến cố A đã xảy ra

Do đó xác suất để chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I trong trườnghợp này chính là xác suất có điều kiện P(A1/A)

Theo Công thức nhân xác suất thứ hai, ta có

P(A1A) = P(A)P(A1/A) .Suy ra

P(A1/A) = P(A1A)

.P(A)

Mặt khác A1A = A1B1

Vì hai biến cố A1 và B1 độc lập nên theo Công thức nhân thứ nhất ta có:

P(A1 A) = P(A1B1 ) = P(A1 )P(B1 ) = 105 50 105 56 = 0,2540.

Do đó xác suất cần tìm là:

P(A1/A) = P(A1A) = 0,2540 = 0,6957.

P(A) 0,3651

§5 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES

5.1 Hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi

Các biến cố A1, A2,…, An được gọi là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi nếu hai tính chất sau được thỏa:

Nhận xét Với A1, A2,…, An là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi ta có

P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1

Ví dụ Có hai hộp, mỗi hộp chứa 10 viên bi, trong đó hộp I gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng;

hộp II gồm 8 đỏ, 2 trắng.Từ mỗi hộp, chọn ra 2 bi Xét các biến cố sau:

– Ai (i = 0, 1,2 ) là biến cố có i bi đỏ và 2 – i bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp I.– Bj (j = 0, 1,2 ) là biến cố có j bi đỏ và 2 – j bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp II.Khi đó ta có các hệ sau là các hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi:

– A0, A1, A2

– B0, B1, B2

– A0B0, A0B1, A0B2, A1B0, A1 B1, A1B2, A2B0, A2B1, A2B2

– A0B0, A0B1 + A1B0, A0B2 + A1B1 + A2B0, A1B2+ A2B1, A2B2

5.2 Công thức xác suất đầy đủ

Cho A1, A2,…, An là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi Khi

Ví dụ Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản phẩm tốt, 5

sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô I 2sản phẩm bỏ sang lô II, sau đó từ lô II lấy ra 2 sản phẩm

a) Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra từ lô II có 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu

b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II Tính xác suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I

a) Yêu cầu của bài toán là tính xác suất P(A)

Theo Công thức xác suất đầy đủ ta có:

P(A) = P(A0) P(A/A0) + P(A1) P(A/A1) + P(A2) P(A/A2)

P(A) = P(A0)P(A / A0) + P(A1)P(A / A1) + P(A2)P(A / A2)

 10510 13672+10550 13672+ 10545 13670= 0,5231

b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II Khi đó biến cố A

đã xảy ra Do đó xác suất cần tìm chính là xác suất có điều kiện P(A1/A) Ap dụngCông thức Bayes và sử dụng kết quả vừa tìm được ở câu a) ta có

trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần là:

Pn (k) = Cnkp k qn−k

6.2 Hệ quả Với các giả thiết như trên ta có:

1) Xác suất để trong n phép thử biến cố A không xảy ra lần nào là qn

2) Xác suất để trong n phép thử biến cố A luôn luôn xảy ra là pn

Ví dụ Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60% Cho máy sản

xuất 5 sản phẩm Tính xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có:

P(A3+ A4+ A5) = P(A3) + P(A4) + P(A5)

0,3456 + C54 (0,6)4 (0,4) + (0.6)5

 0,68256.

B – ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN

§1 KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN

1.1 Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên hay Biến ngẫu nhiên là một đại lượng

nhận giá trị thực tùy theo kết quả của phép thử

Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,… chỉ các đại lượng ngẫu nhiên

Các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trị của các đại lượng ngẫu nhiên

1.2 Phân loại

a) Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn

đếm được các giá trị

Ví dụ: Tiến hành n thí nghiệm Gọi X là số thí nghiệm thành công Khi đó

X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận n + 1 giá trị 0; 1; ; n

b) Loại liên tục Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận vô hạn không đếm

được các giá trị mà thông thường các giá trị này lấp kín một đoạn nào đó trong tập các

số thực

Ví dụ Gọi T là nhiệt độ đo được tại một địa phương Ta có T là một đại

lượng ngẫu nhiên liên tục

1.3 Luật phân phối

– pk = P(X = xk) ≥ 0 với k = 1, 2, …, n

n– ∑ p k = 1, nghĩa là p1 + p2 +…+ pn = 1

k = 1

Ví dụ Một lô hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu.

Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sảnphẩm chọn ra Tìm luật phân phối của X

Lời giải

Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2 Áp dụngCông thức tính xác suất lựa chọn ta được:

P(α ≤ X ≤ β ) = ∫ f (x)dx.

α

§2 CÁC ĐẶC SỐ CỦA ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN

2.1 Mode Mode của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), là giá trị x0 của

X được xác định như sau:

-Nếu X rời rạc thì x0 là giá trị mà xác suất P(X = x0) lớn nhất trong số các xác suất P(X = x)

-Nếu X liên tục thì x 0 là giá trị mà hàm mật độ f(x) đạt giá trị lớn nhất.

Như vậy, Mod(X) là giá trị tin chắc nhất của X, tức là giá trị mà X thường lấy nhất Chú ý rằng Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau

Ví dụ: Xét lại ví dụ trên, ta có

Do đó Mod(X) = 1

2.2 Kỳ vọng (hay Giá trị trung bình)

1) Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu M(X), là số thực được

xác định như sau:

– Nếu X rời rạc có luật phân phối

P p1 p2 ……… pn

nthì M(X) = ∑ x k pk , nghĩa là M(X) = x1p1 + x2p2 +…+ xnpn

2.3 Phương sai và độ lệch chuẩn

1) Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu D(X), là số thực không âm định bởi:

D(X) = M((X – µ)2)trong đó µ = M(X) là kỳ vọng của X

Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu σ ( X ) Vậy

σ(X) = D(X)

2) Công thức tính phương sai:

Từ định nghĩa của phương sai ta có công thức khác để tính phương sainhư sau:

trong đó M(X2), M(X) lần lượt là kỳ vọng của X2 và X.

Như vậy,

– Nếu X rời rạc có luật phân phối

P p1 p2 ……… pnthì công thức trên trở thành

3) Tính chất: Phương sai có các tính chất sau:

Tính chất 1: Phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên hằng C bằng 0,

thống kê trong các máy tính bỏ túi CASIO 500MS, 570MS, 500ES, 570ES, ) để tính

kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối như sau:

X 0 1 2

2.4.1 Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570MS

a Vào MODE SD: Bấm MODE (vài lần ) và bấm số ứng với SD, trên màn hình sẽ

hiện lên chữ SD

b Xóa bộ nhớ thống kê: Bấm SHIFT MODE 1 (màn hình hiện lên Stat clear)

= AC Kiểm tra lại: Bấm nút tròn ∇ hoặc ∆ thấy n = và ở góc số 0 là đã xóa

Chú ý: Cũng có thể xóa bộ nhớ thống kê bằng cách thoát khỏi Mode SD bằng

cách bấm MODE 1 , sau đó vào trở lại Mode SD như trong mục a

c Nhập số liệu: Cách bấm số liệu như sau (khi bấm SHIFT , trên màn hình hiện lên dấu

;):

0 SHIFT , 2 ab/c 1 5 M+

1 SHIFT , 8 ab/c 1 5 M+

2 SHIFT , 1 ab/c 3 M+

Chú ý: Sau khi nhập dữ liệu và bấm M+ lần đầu tiên, nên copy lại thao tác cũ

(bấm ), di chuyển con trỏ để sửa số lại số mới rồi bấm bấm M+ , cứ tiếp tục như thếcho đế hết

d Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút tròn ∇ để kiểm tra việc nhập số liệu Thấy

số liệu nào sai thì để màn hình ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm =

thì số liệumới sẽ thay cho số liệu cũ

Ví dụ Nhập sai 0 SHIFT , 2 ab/c 2 5 M+ Khi kiểm tra ta thấy trên màn hình hiện ra:

hình ở số liệu đó và bấm SHIFT M+ thì tòan bộ số liệu dư (gồm giá trị của X = 3

và xác suất tương ứng 3/4) sẽ bị xóa

để xóa màn hình

Chú ý Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC

và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa

e Đọc kết quả: