de thi hsg 9

Gọi I là trung điểm của AB.. Đờng vuông góc với AB tại I cắt AH tại O.. Dựng M là điểm sao cho O là trung điểm của AM.. a Chứng minh tứ giác IOMB là hình thang vuông.. Chứng minh tam gi

Phòng giáo dục Thọ xuân Thi kỹ năng vận dụng

Cụm thao giảng số 1 kiến thức bộ môn

Xây dựng hớng dẫn chấm và biểu điểm chi tiết cho đề thi dới đây:

Đề thi môn Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1 (1,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 5x2 - 26x + 24

2

3 4

3 8

1x3− x2+ x−

Câu 2 (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức:

M =

b

a b

b ab

−

− 2

Câu 3 (4,0 điểm) Giải các phơng trình sau:

a)

1

) 2 ( 2 1

1 1

1

6

2 2

+

= +

−

−

− + +

+

x

x x

x

x x

x x

b) x2 + 2x+ 1 = x2 (x2 + 2x+ 1 )

Câu 4 (2,0 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau:

ab

ab b

a

+

≥ +

9

12

với a > 0; b > 0

Câu 5 (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = x2 +x+ 1 + x2 −x+ 1

Câu 6 (1,0 điểm) Cho B = 11  1 11  1 66 6 8

6 1004 1 1005 1 2008

+ +

so so

so

Chứng minh rằng B là số chính phơng

Câu 7 (2,0 điểm) Cho phơng trình: 2x2 - 5x + 1 = 0

Không giải phơng trình, hãy:

a) Chứng tỏ rằng phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt x1, x2

b) Tính x1 x2 +x2 x1

Câu 8 (5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đờng phân giác AH Gọi I là trung

điểm của AB Đờng vuông góc với AB tại I cắt AH tại O Dựng M là điểm sao cho O là trung điểm của AM

a) Chứng minh tứ giác IOMB là hình thang vuông

b) Gọi K là trung điểm của OM Chứng minh tam giác IKB cân

c) Chứng minh tứ giác AIKC nội tiếp

Câu 9 (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh rằng:

tg ABC = AB AC+BC

Hết

Phòng giáo dục Thọ xuân đáp án đề thi kỹ năng vận dụng Cụm thao giảng số 1 kiến thức bộ môn

Câu 1 (1,0 điểm)

a) (0,5 điểm)

5x2 - 26x + 24 = 5x2 - 6x - 20x + 24

= x(5x - 6) - 4(5x - 6) (0,25 điểm)

= (5x - 6)(x - 4) (0,25 điểm) b) (0,5 điểm)

1

2

3 4

3 8

− +

− x x

2 3

1 1 2

1 3 1 2

1 3 2

1

−











 +













−











 x x x (0,25

điểm)

= 1 3

2

1











 x− (0,25 điểm)

Câu 2 (2,0 điểm) M =

b

a b

b ab

−

− 2

Ta phải có: ab≥ 0 ,b≠ 0 (0,25 điểm)

Xét bộ số (a ; b) ta thấy a≥ 0 ,b> 0 hoặc a≤ 0 ,b< 0 (0,25 điểm)

- Nếu a≥ 0 ,b> 0 thì:

M =

b

a b

b

b b b

a − − (0,25 điểm)

=

b

a b

b

a− − (0,25 điểm)

= 1 (0,25 điểm)

- Nếu a≤ 0 ,b< 0 thì:

M =

b

a b

b

b b b

−

−

−

−

−

−

−

− (0,25 điểm)

=

b

a b

b

−

−

−

−

−

=

b

a b

b a

−

−

−

−

−

−

−

− (0,25 điểm)

=

b

a

−

−

− 2

b

a

2

1 − (0,25 điểm)

Câu 3 (4,0 điểm)

a) (2,0 điểm)

1

) 2 ( 2 1

1 1

1

6

2 2

+

= +

−

−

− + +

+

x

x x

x

x x

x x

4

3 2

1 1

2









 ±

= +

x (0,25 điểm)

x6 - 1 = (x3 - 1)(x3 + 1) = (x - 1)(x +1)(x2 + x + 1)(x2 - x + 1) (0,25 điểm)

Điều kiện: x≠ ± 1 (0,25 điểm)

Với điều kiện đó, phơng trình đã cho tơng đơng với:

(x3 + 1)(x2 - 1) - (x3 - 1)(x2 - 1) = 2(x + 2)2 (0,25 điểm)

⇔(x2 - 1)(x3 + 1 - x3 + 1) = 2x2 + 8x + 8 (0,25 điểm)

⇔2x2 - 2 = 2x2 + 8x + 8 (0,25 điểm)

⇔8x = - 10

⇔x = −45 (0,25 điểm)

Vậy tập nghiệm của phơng trình là: S =











−

4

5

(0,25 điểm) b) (2,0 điểm)

x2 + 2x+ 1 = x2 (x2 + 2x+ 1 )

( + 1 ) 2 = 2 ( + 1 ) 2

⇔ x x x (0,25 điểm)

⇔ x x+ 1 −x+ 1 = 0 (0,25 điểm)

⇔ x+ 1(x − 1)= 0 (0,25 điểm)

⇔ 





=

−

= +

0 1 0 1

x

x (0,5 điểm)

⇔ x = ± 1 (0,5 điểm)

Vậy tập nghiệm của phơng trình là: S = { }± 1 (0,25 điểm)

Câu 4 (2,0 điểm) Chứng minh

ab

ab b

a

+

≥ +

9

12

với a > 0; b > 0 Với a, b > 0, ta có:

ab

ab b

a

+

≥ +

9

12

(1)

⇔(a + b)(9 + ab) ≥ 12ab (do 9 + ab ≥ 0) (0,25 điểm)

⇔ 9a + 9b + a2b + ab2 - 12ab ≥ 0 (0,25 điểm)

⇔ (a2b - 6ab + 9b) + (ab2 - 6ab + 9a) ≥ 0 (0,25 điểm)

⇔b(a -3)2 + a(b - 3)2 ≥ 0 (2) (0,5 điểm)

Vì b(a - 3)2 ≥ 0 và a(b - 3)2 ≥ 0, với a, b > 0 nên (2) đúng (0,25 điểm)

Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 3 (0,25 điểm)

Vậy (1) đúng (0,25 điểm)

Câu 5 (2,0 điểm)

A = x2 +x+ 1 + x2 −x+ 1

A2 = x2 + x + 1 + x2 - x + 1 + 2 (x2 +x+ 1)(x2 −x+ 1) (0,25 điểm)

= 2x2 + 2 + 2 (x2 + 1)2−x2 (0,25 điểm)

= 2x2 + 2 + 2 x4 +x2 + 1 (0,25 điểm)

≥ 2 + 2 = 4 (0, 5 điểm)

2

≥

⇒ A (0,25 điểm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: x = 0 (0,25 điểm)

Vậy minA = 2 ⇔x = 0 (0,25 điểm)

Câu 6 (1,0 điểm) B = 11  1 11  1 66 6 8

6 1004 1 1005 1 2008

+ +

so so

so

B = 11   1 11 1 11  1 66 6 8

6 1004 1 1005 1 1004 1 1004

+ +

so so

so so

Đặt a = 

1 1004

1

11

so thì B = a.101004 + a + 10a + 1 + 6a + 8 (0,25 điểm)

= a(9a + 1) + 17a + 9 (0,25 điểm)

= 9a2 + 18a + 9 = (3a +3)2 =    

3 1004

2

36

33

so (0, 5 điểm)

Câu 7 (2,0 điểm) 2x2 - 5x + 1 = 0

a) (1,0 điểm)

Ta có ∆ = 25 - 8 = 17 > 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

(0,25 điểm)

áp dụng định lý Vi ét:

S = 0

2

5 2

1 +x = >

x (0,25 điểm)

P = 0

2

1 2

1 x = >

x (0,25 điểm)

Do đó hai nghiệm của phơng trình đều là nghiệm dơng (0,25 điểm)

b) (1,0 điểm)

2

1 2 2

5

2 1 2 2

1 2 2 1

+

= +

= + +

=

x (0,25 điểm)

Do đó:

2

2 2 5

2 1

+

= + x

x (0,25 điểm)

2

1

2 1 2 1 1 2 2 1

+

= +

=

x

2

1 + (0,25 điểm)

Vẽ hình đúng, cân đối (0,25 điểm)

I

J O

K

B C

H

M

a) (1,5 điểm)

Ta có







=

=

IB IA

OA MO

(gt) ⇒ IO là đờng trung bình của tam giác ABM (0,25 điểm) MB

OI //

⇒ (0,25 điểm)

Mà: AB ⊥OI (gt) (0,25 điểm)

Suy ra: AB ⊥MB (0,25 điểm)

Tứ giác OIBM có OI//MB và IB ⊥OI nên tứ giác OIBM là hình thang vuông

(0,5 điểm)

b) (1,5 điểm)

Gọi J là trung điểm của BI, suy ra JK là đờng trung bình của hình thang OIBM

(0,25 điểm)

⇒ JK//OI (0,25 điểm)

Mà BI ⊥ OI nên JK ⊥ BI (0,25 điểm)

Vậy KJ là đờng trung trực của đoạn thẳng BI, K∈KJ (0,25 điểm)

⇒ KI = KB (0,25 điểm)

⇒ ∆KBI cân tại K (0,25 điểm)

c) (1,75 điểm)

Do ∆KBI cân tại K nên KBI = BKI (0,25 điểm)

Trong tam giác ABC cân tại A, AH là đờng phân giác, suy ra AH là trục đối xứng

(0,25 điểm)

⇒ ABK = ACK (0,25 điểm)

Vậy BIK = ACK (0,25 điểm)

Mà AIK + BIK = 1800 (hai góc kề bù) (0,25 điểm)

Suy ra: AIK + ACK = 1800 (0,25 điểm)

⇒Tứ giác AIKC nội tiếp (0,25 điểm)

Câu 9 (1,0 điểm)

A

D

1 2

Vẽ phân giác BD (D nằm trên AC)

áp dụng tính chất đờng phân giác trong tam giác ta có:

BC AB

AC BC

AB

DC AD BC

CD AB

AD BC

BA DC

AD

+

= +

+

=

=

⇒

= (1) (0,5 điểm)

2

ABC

tg ABD = AD AB (2) (0,25 điểm)

(1), (2) ⇒ tg

BC AB

AC ABC

+

=

2 (0,25 điểm) Ghi chú: Mọi cách giải khác đáp án, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

ĐỀ THI GIÁO VIấN GIỎI CỤM XUÂN LAI Bài 1: (4 điểm) Giải pt và hệ pt sau:

a/ x+ 2 − 4 x− 2 + x+ 7 − 6 x− 2 = 1

b/











=

−

+ +

+

−

=

+

2 1

1 1

1

4

3

y

x x

y

y

x

Bài 2: (6 điểm)

a/ Cho (x + x2 + 1)(y + y2 + 1) = 1 Tớnh giỏ trị biểu thức: B = x2005 + y2005

b/ Tính GTLN, GTNN của A = x6 + y6 biết x2 + y2 = 1

c/ Chứng minh rằng: 12 + 13 + 14 + + 1961 < 26

Bài 3: (4 điểm)

a/ Cho a; b; c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)

b/ Cho a > 2; b > c > 0 Chứng minh rằng: c(a−c) + c(b−c) ≤ ab

Bài 4: (4 điểm)

Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác cân ABC, tiếp xúc với các cạnh AB; BC; AC lần lượt tại D; E; F

a/ Chứng minh: DF song song với BC

b/ BF cắt đường tròn tại P, gọi I là giao điểm của DP với BC Chứng minh: ∆IEP đồng dạng với ∆IDE; ∆IBP đồng dạng với ∆IPB

c/ Chứng minh:S∆DBI = S∆DIE

Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c; AC = b Đường phân giác của góc A là AD = d Chứng minh:

c b d

1 1 2

+

=

Đề 2

Bài 1: (6 điểm)Giải các pt sau

a/ x+ 15 + 8 x− 1+ x+ 15 − 8 x− 1= 17

b/ (x - 1)(x - 3)(x + 5)(x + 7) = 297

c/

1

) 1 ( 1

2 1

−

+

=

−

+

−

−

x

x a x

x

ax

Bài 2: (4 điểm)

a/ Cho = = ≠ 0

c

z b

y

a

x

và abc khác 0 Rút gọn: X = 2

2 2 2

) (ax by cz

z y x

+ +

+ +

b/ Tính A = 21+ 3+ 3+1 4 + 41+ 5+ + 20041+ 2005

Bài 3: (4 điểm)

a/ Cho x > 0; y > 0 và x + y = 1.Tìm GTNN của M= 2

2

1 1











 + +







 +

x

y y x

1 1 1

: 1

;

+ +

+ +

≤

≤

xy

z xz

y yz

x CMR z

y x

Bài 4: (4 điểm)Cho tứ giác ABCD có B = D =900 Gọi M là điểm trên đường chéo CA sao cho ABM = DMC và I là trung điểm của AC

a/ Chứng minh: CIB = 2BDC

b/ Chứng minh: tam giác ABM đồng dạng với tam giác DBC

c/ Chứng minh: AC.BD = AB.DC + AD.BC

Bài 5: (2 điểm) Cho hình chóp SABC có các mặt bên và mặt đáy là các tam giác đều cạnh 8cm

a/ Tính diện tích toàn phần của hình chóp

b/ Tính thể tích của hình chóp