Số tự nhiên và số nguyên

nhiên là mô.t thành tu.. nhiên, rˆì d¯i.nh ngh˜ıa quan hê.. nhiên là sô´ liê`n sau cu’a khôngquá mô.t sô´ tu.. d¯i.nh ngh˜ıa ta có ngay quan hê... d¯i.nh ngh˜ıa cu’a qua

Trang 1

CHU . O . NG IV:

S ˆ O ´ TU NHIÊN VÀ SÔ´ NGUYÊN

4.1 S ˆ O ´ TU NHI EN. ˆ

Sô´ tu. nhiên là mô.t thành tu u to´. an ho.c lâu d¯ò.i nhâ´t cu’a loài ngu.ò.i Ngàynay, sô´ tu. nhiên d¯u.o. c su’ du.ng o.’ mo.i no.i, mo.i lúc cu’a d¯ò.i sôńg xã hô.i: trong.giao di.ch, mua bán, thu t´ın, d¯iê.n thoa.i, Khó có thê’ h`ınh dung mô.t xã hô.ikhông có sô´ tu. nhiên! Ta dùng các sô´ 0, 1, 2, 3, 4, t´ınh toán (cô.ng, trù., nhân,chia) trên các sô´ d¯ó mô.t cách ”tu nhiˆ. en” trong mo.i hoa.t d¯ô.ng cu’a m`ınh, song ´ıtkhi ta tu. ho’i con ngu.ò.i d¯ã biê´t d¯êń sô´ tu nhiên tù bao giò và b˘a`ng cách nào?Không ai có thê’ nói d¯u.o. c d¯´ıch xác loài ngu.ò.i biê´t d¯êń các con sô´ tù khi nào.Ngu.ò.i ta t`ım d¯u.o. c mô.t v˘an ba’n cô’ kh˘ać trên d¯á cách d¯ây khoa’ng 6000 n˘am,trên d¯ó có các con sô´ biê’u thi b˘a`ng các dâú châ´m và ga.ch Mãi d¯êń thê´ ky’ XI,con sô´ không (0) mó.i ra d¯ò.i và tù d¯ó con ngu.ò.i b˘a´t d¯â` u ngh˜ı ra hê thâ.p phân

d¯ê’ biê’u diêñ các con sô´

Sô´ tu. nhiên ra d¯ò.i là do nhu cˆ` u nhâ a.n biê´t vê` sô´ lu.o. ng cu’a su vˆ. a.t Nhu câ` u

d¯ó xuâ´t hiê.n ngay ca’ trong mô.t xã hô.i d¯o.n so nhâ´t Ch˘a’ng ha.n, ngu.ò.i ta câ`nbiê´t sô´ lu.o. ng cu’a d¯àn thú d¯ê’ tô’ chú.c mô.t cuô.c d¯i s˘an, câ` n biê´t sô´ lu.o. ng cu’a

bên d¯i.ch d¯ê’ tô’ chú.c cuô.c chiêń d¯âú, và khi xã hô.i càng phát triê’n th`ı nhu

cˆ` u d¯á o ngày càng t˘ang

Sau d¯ây, ta t`ım cách xây du. ng tâ.p ho p c´. ac sô´ tu. nhiên D- â` u tiên ta châ´pnhâ.n có mô.t tâ.p ho p N m`. a các phˆ` n tu.a ’ cu’a nó thoa’ mãn mô.t sô´ t´ınh châ´t mà

ta go.i là hê tiên d¯ê` Peano Sau d¯ó, ta d¯i.nh ngh˜ıa các phép cô.ng, phép nhân các

sô´ tu. nhiên, rˆì d¯i.nh ngh˜ıa quan hê thú tu trên N và d¯u.a ra các t´ınh châ´t cùngo

môí quan hê gi˜u.a chúng Trên co so.’ có d¯u.o c tâ.p ho p N các sô´ tu nhiên, vê` sau

ta s˜e xây du. ng tâ.p ho p Z c´. ac sô´ nguyên, tâ.p ho p Q c´. ac sô´ h˜u.u tı’.

4.1.1 Tˆ a p ho p c´ . ac sˆ o ´ tu nhiˆ en v` a hˆ e tiˆen d¯ˆe ` Peano:

4.1.1.1 Mo ’ d ¯ˆ ` u: Ta biê´t r˘ a a`ng mô.t khái niê.m mó.i bao giò c˜ung d¯u.o c d¯i.nhngh˜ıa thông qua nh˜u.ng khái niê.m tru.ó.c d¯ó C˜ung vâ.y, mô.t mê.nh d¯ê` d¯u.o c chú.ngminh nhò nh˜u.ng mê.nh d¯ê` d¯ã biê´t tru.ó.c d¯ó V`ı vâ.y, d¯ê’ xây du ng mˆ. o.t lý thuyê´ttoán ho.c mà không bi ro.i vào vòng luâ’n quâ’n, ngu.ò.i ta thu.ò.ng xuâ´t phát tù

mô.t sô´ khái niê.m d¯â` u tiên không d¯i.nh ngh˜ıa, go.i là các khái niê.m nguyên thuy’và mô.t sô´ mê.nh d¯ê` d¯ˆ` u tiên d¯u.o c thù.a nhâ.n, không chú.ng minh go.i là các tiêna

d¯ˆ` Phu.o.ng phé ap xây du. ng nhu vâ.y go.i là phu.o.ng pháp tiên d¯ê` L˜e tu nhiên,

sô´ các khái niê.m nguyên thuy’ và sô´ các tiên d¯ê` ngh˜ıa là sô´ nh˜u.ng d¯iˆ` u cê ` n thà u.anhâ.n, nên ´ıt nhâ´t mà vâñ d¯u’ suy ra tâ´t ca’ các kê´t qua’ khác D- ô`ng thò.i nh˜u.ng

mê.nh d¯ê` thù.a nhâ.n thu.ò.ng là nh˜u.ng mê.nh d¯ê` d¯o.n gia’n, “hiê’n nhiên” Mô.ttrong nh˜u.ng ngu.ò.i d¯ˆ` u tiên xâ ay du. ng mô.t lý thuyê´t toán ho.c theo phu.o.ng pháptiên d¯ˆ` lè a nhà toán ho.c Euclide (khoa’ng 300 n˘am tru.ó.c công nguyên) Cuôń

Trang 2

sách “Nh˜u.ng nguyên lý” cu’a ông, trong ho.n 20 thê´ ky’ qua vâñ là mô.t mâ˜u mu c

vˆ` viê.c xây du ng mô.t lý thuyê´t toán ho.c (h`ınh ho.c) b˘a`ng phu.o.ng pháp tiên d¯êe `

Ta d¯ã quen thuô.c vó.i tâ.p ho p N các sô´ tu nhiên, N = {0, 1, 2, 3, 4, } Tâ.p

ho. p N có phˆ` n tu.a ’ “d¯ˆ` u tiên” là a 0 và ánh xa “liê` n sau”:

σ : N −→ N : 0 7→ 1 7→ 2 7→ 3 7→ 4 7→ · · ·

nhu vâ.y, ta thâý tâ.p ho p N d. ¯u.o. c sinh bo’ i 0 v`. a ´anh xa σ Sau d¯ây là cách

mô ta’ tâ.p ho p N mˆ. o.t cách toán ho.c tù mô.t hê tiên d¯ê` d¯u.o c nêu ra bo.’i Peano(1858-1932) vào n˘am 1899

4.1.1.2 Hˆ e tiên d¯ê ` Peano: Tˆa.p ho p N m`. a các phˆ` n tu.a ’ cu’a nó d¯u.o. c go.i làcác sô´ tu. nhiên, là mô.t tâ.p ho p thoa’ m˜. an:

P1 0 ∈ N.

P2 C´o mˆo.t ánh xa σ : N −→ N go.i là ánh xa liê` n sau v`a σ(n) go.i là sô´ liê` n

sau cu’a n ∈ N.

P3 0 khˆong là sô´ liˆ` n sau cu’a mê o.t sô´ tu nhiˆ. en nào, ngh˜ıa l`a 0 / ∈ σ(N).

P4 σ l`a mô.t d¯o.n ánh, ngh˜ıa là mô˜i sô´ tu nhiên là sô´ liê`n sau cu’a khôngquá mô.t sô´ tu nhiˆ. en.

P5 Mo.i tâ.p con U cu’a N có các t´ınh châ´t:

a) 0 ∈ U,

b) v´o.i mo.i n ∈ N, n ∈ U ⇒ σ(n) ∈ U ,

d¯ˆ` u trè ung vó.i tâ.p ho p N..

4.1.1.3 Ch´ u ´ y: 1) Tiˆen d¯ˆ` P1 cho thˆe a´y N 6= ∅ v`ı c´ o 0 ∈ N.

2) Theo tiˆen d¯ˆ` P2, tê `n ta.i sô´ liêo ` n sau cu’a 0 và sô´ d¯ó là duy nhâ´t, kýhiˆe.u 1 = σ(0) La.i theo tiên d¯ê` P2, tˆ`n ta.i duy nhâ´t sô´ liêo ` n sau cu’a 1, ký hiê.u

2 = σ(1) Tiˆe´p tu.c nhu vâ.y, ta d¯u.o c mô.t h`ınh a’nh cu’a tâ.p ho p các sô´ tu nhiênl`a N = {0, 1, 2, 3, 4, }.

3) Tiˆen d¯ˆ` P5 cè on go.i là nguyên lý cu’a phép chú.ng minh quy na.p Thâ.y

vâ.y, ta xét mô.t hàm mê.nh d¯ê` P (n) v` a go.i U = {n ∈ N | P (n)} Nêú P (0) d¯úng

ta c´o 0 ∈ U Cho P (n) d¯úng ngh˜ıa l`a n ∈ U , nˆeú ta chú.ng minh d¯u.o. c P (σ(n))

d¯úng, ngh˜ıa l`a σ(n) ∈ U th`ı U nghiˆe.m d¯úng ca’ hai t´ınh châ´t cu’a tiên d¯ê` P5

Vˆa.y U = N, ngh˜ıa là P (n) d¯úng vó i mo.i n ∈ N.

Trang 3

4.1.2.2 T´ ınh chˆ a ´t:

1) Ph´ep cô.ng và phép nhân d¯u.o c xác d¯i.nh trên N

2) σ(n) = n + 1, v´ o.i mo.i n ∈ N v`a 1 = σ(0).

3) N v´o.i phép cô.ng có phâ` n tu.’ không và vó.i phép nhân có phˆ` n tu.a ’ d¯o.n vi.,ngh˜ıa là v´o.i mo.i n ∈ N, ta có

1) V´o.i m ∈ N, go.i U = {n ∈ N | m + n ∈ N d¯u o c x´ac d¯i.nh} v`a U0 = {n ∈

N | mn ∈ N d¯u.o. c xác d¯i.nh} Rõ ràng 0 ∈ U và 0 ∈ U0 Gia’ su.’ n ∈ U , ngh˜ıa

l`a m + n d¯u.o. c xác d¯i.nh Khi d¯ó m + σ(n) = σ(m + n) ∈ N d¯u.o c xác d¯i.nh hay

σ(n) ∈ U Vˆ a.y U = N Gia’ su ’ n ∈ U. 0, ngh˜ıa l`a mn d¯u.o. c x´ac d¯i.nh Khi d¯´o

mn + m d¯u.o. c xác d¯i.nh hay mσ(n) d¯u o c xác d¯i.nh tú.c là σ(n) ∈ U0

Vˆa.y U0 = N

2) n + 1 = n + σ(0) = σ(n + 0) = σ(n), v´ o.i mo.i n ∈ N.

3) Go.i U = {n ∈ N | n + 0 = 0 + n = n} Ta c´o 0 + 0 = 0 hay 0 ∈ U Gia’

su.’ n ∈ U hay n + 0 = 0 + n = n Khi d¯´ o 0 + σ(n) = σ(0 + n) = σ(n) = σ(n) + 0 hay σ(n) ∈ U Vˆ a.y U = N.

Go.i U0 = {n ∈ N | nσ(0) = σ(0)n = n} Ta c´ o 0σ(0) = 0.0 + 0 = 0 = σ(0)0 hay 0 ∈ U0 Gia’ su.’ n ∈ U0 hay nσ(0) = σ(0)n = n. Khi d¯´o σ(n)σ(0) =

σ(n)0 + σ(n) = 0 + σ(n) = σ(n) = σ(n + 0) = n + σ(0) = σ(0)n + σ(0) = σ(0)σ(n)

hay σ(n) ∈ U0 Vˆa.y U0 = N

Trang 4

4) V´o.i m, n ∈ N, go.i U = {p ∈ N | (m + n) + p = m + (n + p)} Ta c´o (m + n) + 0 = m + n = m + (n + 0) hay 0 ∈ U Gia’ su ’ p ∈ U hay (m + n) + p =

m + (n + p) Khi d¯´o (m + n) + σ(p) = σ((m + n) + p) = σ(m + (n + p)) =

m + σ(n + p) = m + (n + σ(p)) hay σ(p) ∈ U Vˆ a.y U = N.

T´ınh kê´t ho. p cu’a phép nhân d¯u.o. c chú.ng minh trong 6)

5) Go.i U = {n ∈ N | n + 1 = 1 + n} Ta c´o 0 + 1 = 1 + 0 = 1 hay 0 ∈ U Gia’

su.’ n ∈ U hay n + 1 = 1 + n Khi d¯´ o σ(n) + 1 = σ(σ(n)) = σ(n + 1) = σ(1 + n) =

1 + σ(n) hay σ(n) ∈ U Vˆ a.y U = N.

Go.i U0 = {n ∈ N | 0n = 0} Ta c´ o 0.0 = 0 hay 0 ∈ U0 Gia’ su.’ n ∈ U0 hay

0n = 0 Khi d¯´o 0σ(n) = 0n + 0 = 0 + 0 = 0 hay σ(n) ∈ U0 Vˆa.y U0 = N

V´o.i m ∈ N, go.i U00 = {n | m + n = n + m} Ta c´ o m + 0 = 0 + m = m hay

0 ∈ U00 Gia’ su.’ n ∈ U00 hay m + n = n + m Khi d¯´o m + σ(n) = m + (n + 1) = (m + n) + 1 = (n + m) + 1 = n + (m + 1) = n + (1 + m) = (n + 1) + m = σ(n) + m hay σ(n) ∈ U00 Vˆa.y U00 = N

V´o.i m ∈ N, go.i U000 = {n ∈ N | (m + 1)n = mn + n} Ta c´ o (m + 1)0 =

0 = m0 + 0 hay 0 ∈ U000 Gia’ su.’ n ∈ U000 hay (m + 1)n = mn + n Khi d¯´o

(m + 1)σ(n) = (m + 1)n + (m + 1) = (mn + n) + (m + 1) = (mn + m) + (n + 1) =

mσ(n) + σ(n) hay σ(n) ∈ U000 Vˆa.y U000 = N

V´o.i m ∈ N, go.i U0000 = {n ∈ N | mn = nm} Ta c´ o m0 = 0 = 0m hay

0 ∈ U0000 Gia’ su.’ n ∈ U0000 hay mn = nm Khi d¯´o mσ(n) = mn + m = nm + m = (n + 1)m = σ(n)m hay σ(n) ∈ U0000 Vˆa.y U0000 = N

6) V´o.i n, p ∈ N, go.i U = {m ∈ N | m(n + p) = mn + mp} Ta c´o 0(n + p) =

0 = 0n + 0p hay 0 ∈ U Gia’ su ’ m ∈ U hay m(n + p) = mn + mp Khi d¯´o

7) Gia’ su.’ n 6= 0 Khi d¯´o tˆ`n ta.i k ∈ N sao cho σ(k) = n Khi d¯´o 0 =o

m + n = m + σ(k) = σ(m + k) D- iê` u này trái vó.i tiên d¯ˆ` 3 Vê a.y n = 0 Tù d¯ó

suy ra m = 0.

8) Gia’ su.’ n 6= 0 Khi d¯´o tˆ`n ta.i k ∈ N sao cho σ(k) = n v`a 0 = mn =o

mσ(k) = mk + m, nˆ en m = 0.

9) V´o.i m, n ∈ N, go.i U = {p ∈ N | m + p = n + p ⇒ m = n} Ta c´o

m + 0 = n + 0 ⇒ m = n hay 0 ∈ U Gia’ su ’ p ∈ U hay m + p = n + p ⇒ m = n.

Khi d¯´o m + σ(p) = n + σ(p) ⇒ σ(m + p) = σ(n + p) ⇒ m + p = n + p (do σ l`a

d¯o.n ´anh) ⇒ m = n hay σ(p) ∈ U Vˆ a.y U = N.

10) V´o.i m, n ∈ N, tˆ `n ta.i x ∈ N sao cho m = n + x ho˘a.c n = m + x Khio

d¯´o mp = np + xp ho˘ a.c np = mp + xp T`u mp = np suy ra xp = 0 v`a do p 6= 0,

ta c´o x = 0 Vˆ a.y m = n.

Trang 5

4.1.3 Quan hˆ e th´ u tu trˆ en N:

4.1.3.1 D- i.nh ngh˜ıa: Cho m và n là hai sô´ tu nhiên Ta nói

+ m nho’ ho.n n ho˘ a.c n ló n ho.n m, ký hiê.u m < n ho˘a.c n > m nêú tô`n ta.i

x ∈ N, x 6= 0 sao cho n = m + x.

+ m nho’ ho.n hay b˘a`ng n ho˘a.c n ló.n ho.n hay b˘a`ng m, ký hiê.u m ≤ n ho˘a.c

n ≥ m nˆe´u ho˘a.c m = n ho˘a.c m < n Nhu vˆa.y,

m ≤ n ⇔ ∃x ∈ N, n = m + x.

4.1.3.2 Mˆ e.nh d¯ê` : Quan hê ≤ là mô.t quan hê thú tu trên N.

Ch´ u.ng minh: T`u d¯i.nh ngh˜ıa ta có ngay quan hê ≤ có t´ınh châ´t pha’n xa Bây

giò nˆeú m ≤ n v` a n ≤ m th`ı tˆ `n ta.i x, y ∈ N sao cho n = m + x và m = n + y.oKhi d¯´o m = m + x + y D`ung luâ.t gia’n u.ó.c, ta có x + y = 0 Tù d¯ó suy ra

x = y = 0, t´u.c l`a m = n Do d¯ó quan hˆe ≤ có t´ınh châ´t pha’n d¯ôí xú.ng Quan

hˆe ≤ còn có t´ınh b˘ać câ` u Thˆa.t vâ.y, nêú m ≤ n và n ≤ p th`ı tô `n ta.i x, y ∈ N sao cho n = m + x v` a p = n + y Khi d¯´o p = m + (x + y) v´ o.i x + y ∈ N, t´u.c là

m ≤ p V`ı vˆ a.y quan hê ≤ là mô.t quan hê thú tu

4.1.3.3 Mˆ e.nh d¯ê ` (Luˆ a t tam phˆ an): V´o.i mo.i m, n ∈ N, có mô.t và chı’ mô.t

trong ba tru.`o.ng ho. p sau xa’y ra:

m < n, m = n, m > n.

Ch´ u.ng minh: Tru.´o.c hê´t, dˆ˜ dàng có d¯u.o c nhiêe ` u nhâ´t mô.t trong ba tru.ò.ng

ho. p trên xa’y ra Bây giò ta chú.ng minh b˘a`ng quy na.p theo n là vó.i mô˜i m ∈ N

có ´ıt nhâ´t mô.t trong ba tru.ò.ng ho p trên xa’y ra Vó.i n = 0, ta có m > 0 ho˘a.c

m = 0 v´ o.i mo.i m ∈ N Gia’ su’ v´. o.i n ∈ N ta c´o ´ıt nhâ´t mô.t trong ba tru.ò.ng

ho. p m < n, m = n, m > n xa’y ra v´ o.i mo.i m ∈ N Nˆe´u m < n hay m = n th`ı

m < σ(n) Nˆ e´u m > n th`ı m = σ(n) ho˘ a.c m > σ(n).

4.1.3.4 Mˆ e.nh d¯ˆe ` : V´o.i mo.i m, n, k ∈ N, ta c´o:

1) m < n ⇒ m + k < n + k.

2) m < n v` a k 6= 0 ⇒ mk < nk.

Ch´ u.ng minh: Nˆe´u m < n th`ı tˆ `n ta.i x ∈ N, x 6= 0, n = m + x Khi d¯´oo

n + k = (m + k) + x hay m + k < n + k v´ o.i mo.i k ∈ N Nˆe´u k 6= 0 th`ı

Trang 6

Do m ∈ A1 nˆen m ≤ x, ∀x ∈ A M˘ a.t khác, m ∈ A v`ı nêú ngu.o c la.i ta có

m < x, ∀x ∈ A, khi d¯´o m + 1 ≤ x, ∀x ∈ A hay m + 1 ∈ A1 Mâu thuâ’n vó.i gia’thiê´t vˆ` m Vˆe a.y m là sô´ nho’ nhâ´t cu’a A.

4.1.3.6 Ch´ u ´ y: Nguyˆen lý quy na.p có thê’ phát biê’u la.i nhu sau Cho n0 là

mô.t sô´ tu nhiˆ. en v`a P (n) l`a mô.t hàm mê.nh d¯ê` v´o.i n ∈ N Khi d¯ó nˆeú P (n) c´ot´ınh chˆa´t P (n0) d¯úng và nˆeú P (k) d¯úng v´o.i k ≥ n0 k´eo theo P (k + 1) d¯úng th`ı

P (n) d¯úng v´o.i mo.i n ≥ n0 Thâ.t vâ.y, chı’ câ` n áp du.ng tiên d¯ê` vê` quy na.p vào

tˆa.p ho p.

U = {n ∈ N | 0 ≤ n < n0} ∪ {n ∈ N | n ≥ n0, P (n)}.

4.1.4 Ph´ ep tr` u.:

4.1.4.1 Mˆ e.nh d¯ê ` : V´o.i mo.i sô´ tu nhiˆ. en m, n, nˆ eú m ≤ n th`ı tˆ`n ta.i duy nhâ´to

sˆo´ tu. nhiˆen x sao cho m + x = n.

Ch´ u.ng minh: Kˆe´t qua’ có ngay tù d¯i.nh ngh˜ıa cu’a quan hê ≤ và luâ.t gia’n u.ó.ccu’a phép cô.ng

4.1.4.2 D- i.nh ngh˜ıa: Sô´ tu nhiên x thoa’ mãn d¯˘a’ng thú.c m + x = n d¯u.o c go.i

là hiˆe.u cu’a n và m và ký hiê.u là x = n − m (d¯o.c là n trù m).

Quy t˘ać t`ım hiê.u n − m go.i là phép trù

Mê.nh d¯ê` trên cho thâý phép tr`u n − m thu. c hiê.n d¯u.o c khi và chı’ khi m ≤ n.

4.1.4.3 T´ ınh chˆ a ´t: V´o.i mo.i sˆo´ tu nhiˆ. en m, n, p m` a p ≤ n, ta c´o:

m(n − p) = mn − mp, (n − p)m = nm − pm.

Ch´ u.ng minh: Theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a phép trù ta có p + (n − p) = n Do d¯ó

m[p + (n − p)] = mn Theo t´ınh chˆa´t phân phôí cu’a phép nhân d¯ôí vó.i phép

cô.ng, ta d¯u.o c mp + m(n − p) = mn Do d¯ó m(n − p) là hiê.u cu’a mn và mp, tú.c

Trang 7

d¯o d¯a.c và phân chia Trong mô.t di ca’o Ai Câ.p, có tù 1550 n˘am tru.ó.c Côngnguyên, d¯ã thâý có nh˜u.ng kha’o cú.u tı’ mı’ vˆ` phê an sô´.

Sô´ âm d¯u.o. c d¯ˆ` cê a.p trong các công tr`ınh cu’a các nhà Toán ho.c Âń D- ô vào

d¯ˆ` u thà o.i k`y Trung cô’ và chı’ d¯êń thê´ ky’ thú 16 sau Công nguyên ngu.ò.i ta mó.i

hê´t nghi ngò vˆ` gié a tri thu c su. cu’a n´. o D- iê` u d¯ó chú.ng to’ sô´ âm ra d¯ò.i khôngpha’i do yêu cˆ` u bá u.c bách cu’a cuô.c sôńg, m˘a.c dù r˘a`ng nh˜u.ng ý ngh˜ıa thu c tiêñcu’a sô´ âm là d¯iˆ` u khê ong phu’ nhâ.n d¯u.o c Khi minh hoa cho sô´ âm ta thu.ò.ng

nêu các v´ı du vê` nh˜u.ng d¯a.i lu.o ng có hai chiêù, nhu.: nhiê.t d¯ô trên 00 và du.ó.i

00, d¯ô cao và d¯ô sâu, chuyê’n d¯ô.ng vê` hai chiê` u ngu.o. c nhau, Tuy nhiên, trong

tâ´t ca’ các tru.ò.ng ho. p d¯ó, ta d¯ˆ` u cé o thê’ diêñ d¯a.t d¯u.o c ch´ınh xác mà không câ`ndùng d¯êń sô´ âm Ch˘a’ng ha.n, ngu.ò.i ta vâñ dùng song song hai thuâ.t ng˜u.: nhiê.t

d¯ˆo −100 và 100 du.ó.i 00, hay d¯ˆo sâu −1490m và 1490m du.ó.i mu c nu.ó.c biê’n, Li.ch su’ d¯˜. a ghi nhâ.n r˘a`ng sô´ âm d¯u.o c d¯ê` câ.p d¯êń tru.ó.c hê´t trong các côngtr`ınh toán ho.c thuâ` n tuý, nhu trong vâń d¯ˆ` gia’i phu.o.ng tr`ınh hay trong cé ac biê’uthú.c d¯a.i sô´ V`ı vâ.y, ta hãy t`ım hiê’u nguyên nhân toán ho.c cu’a su ra d. ¯ò.i các sô´ˆ

am

Ta biê´t r˘a`ng trong tâ.p ho p các sô´ tu nhiên, phép trù không pha’i luôn luônthu. c hiê.n d¯u.o c, hiê.u n−m chı’ tô`n ta.i khi n ≥ m M˘a.t khác, hiê.u n−m ch´ınh là

nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh m + x = n Vâ.y viê.c thu c hiê.n d¯u.o c phép trù có thê’

phát biê’u du.ó.i mô.t h`ınh thú.c tu.o.ng d¯u.o.ng khác là su có nghiê.m cu’a phu.o.ngtr`ınh nói trên, và ta có kê´t luâ.n sau: trong tâ.p ho p N c´. ac sô´ tu. nhiên, phu.o.ng

tr`ınh m + x = n c´o nghiˆe.m khi và chı’ khi n ≥ m và khi d¯ó nghiê.m cu’a nó là

x = n − m.

Tù d¯ó, xuâ´t hiê.n mô.t yêu câ` u là mo.’ rô.ng tâ.p ho p N c´. ac sô´ tu. nhiên d¯ê’

d¯u.o. c mô.t tâ.p ho p sˆ. o´ mà trong d¯ó phép trù luôn luôn thu. c hiê.n d¯u.o c, tú.c là

phu.o.ng tr`ınh m + x = n luˆon luôn có nghiê.m

Nhu vâ.y, viê.c xây du ng tˆ. a.p ho p sˆ. o´ nguyên d¯u.o. c d¯˘a.t ra nhu mô.t yêu câù

nˆo.i ta.i cu’a to´an ho.c

4.2.1 Xˆ ay du ng tˆ a p ho p c´ . ac sˆ o ´ nguyˆ en t` u tˆ a p ho p c´ . ac sˆ o ´ tu nhiˆ en: 4.2.1.1 Mo ’ d ¯ˆ ` u: Sau d¯ˆ a ay ta s˜e xây du. ng tâ.p ho p Z c´. ac sô´ nguyên cùng vó.iphép cô.ng và phép nhân trên nó tù tâ.p ho p N các sô´ tu nhiên vó.i hai phép toán

d¯ã có trên N Vó.i cách câú ta.o này, các t´ınh châ´t quen thuô.c cu’a phép cô.ng vàphép nhân trên Z d¯u.o. c suy tù các t´ınh châ´t d¯ã có trên N

Yêu cˆ` u mo.a ’ rô.ng N d¯ê’ d¯u.o c tâ.p ho p sô´, trong d¯ó phép trù luôn thu c hiê.n

d¯u.o. c, c˜ung có ngh˜ıa là phép cô.ng có phép toán ngu.o c, hay mo.i sô´ d¯êù có sô´ d¯ôí

D- ó ch´ınh là bài toán d¯ôí xú.ng hoá trong d¯a.i sô´

Nhu ta d¯˜a biˆe´t

Z = { , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, }

Trang 8

và vó.i hai sô´ tu. nhiˆen m, n, tˆ `n ta.i duy nhâ´t x ∈ Z sao cho m + x = n, ta kýohiˆe.u x = n − m Bây giò xét ánh xa D : N × N −→ Z cho bo.’i D(n, m) = n − m.

Khi d¯´o

D(n1, m1) = D(n2, m2) ⇔ n1+ m2 = n2+ m1.

Vó.i chú ý này, ta t`ım cách xây du. ng tâ.p ho p Z..

4.2.1.2 D- i.nh ngh˜ıa: Trên tâ.p ho p N × N, xét quan hê hai ngôi R:

∀(n1, m1), (n2, m2) ∈ N × N, (n1, m1) R (n2, m2) ⇔ n1+ m2 = n2+ m1.

Khi d¯ó quan hˆe R là mô.t quan hê tu o.ng d¯u.o.ng trên N × N.

Tâ.p ho p thu. .o.ng cu’a N×N theo quan hê tu.o.ng d¯u.o.ng R nhu trên, (N×N)/R,

d¯u.o. c ký hiê.u là Z và mô˜i phâ` n tu.’ cu’a Z (ch´ınh là mô˜i ló.p tu.o.ng d¯u.o.ng theoquan hˆe R) go.i là mô.t sô´ nguyên.

Xét ´anh xa D : N × N −→ Z xác d¯i.nh bo ’ i D(n, m) = (n, m) D. - ây là mô.ttoàn ánh và thu.ò.ng go.i là phép chiêú tu nhiˆ. en.

1) Ph´ep cô.ng và phép nhân d¯u.o c xác d¯i.nh trên Z

2) Ph´ep cô.ng và phép nhân có t´ınh giao hoán, ngh˜ıa là vó.i mo.i x, y ∈ Z, ta

Trang 9

7) Ph´ep cô.ng có t´ınh gia’n u.ó.c, ngh˜ıa là vó.i mo.i x, y, z ∈ Z, ta có

D- ièu này mâu thuâ’n vó.i z = D(r, s) 6= 00 Tu.o.ng tu. n + q < m + p c˜ung dâñ

d¯êń mâu thuâ’n Vˆa.y n + q = m + p hay x = y.

Trang 10

4.2.2.3 Hˆ e qua’: Tâ.p ho p Z c´. ac sô´ nguyên cùng vó.i phép cô.ng và nhân trong(4.2.2.1) ta.o thành mô.t vành giao hoán có d¯o.n vi và không có u.ó.c cu’a 0.

4.2.2.4 Quan hˆ e gi˜ u.a N v` a Z: X´et ´anh xa

f : N −→ Z : n 7→ f (n) = D(n, 0).

Khi d¯ó ´anh xa f có các t´ınh châ´t sau:

1) f l`a mˆo.t d¯o.n ´anh

Thâ.t vâ.y, vó.i n1, n2 ∈ N, f (n1) = f (n2), ta c´o D(n1, 0) = D(n2, 0) hay

Tù các t´ınh châ´t trên cu’a ´anh xa f , ta có thê’ d¯ô`ng nhâ´t mô˜i sô´ tu. nhiˆen n

v´o.i sˆo´ nguyˆen D(n, 0):

n = D(n, 0)

và do d¯ó N là mô.t tâ.p con thu c su. cu’a Z T`. u d¯ó ta có:

00 = D(0, 0) = 0, 10 = D(1, 0) = 1.

4.2.3 Ph´ ep tr` u trˆ en Z:

4.2.3.1 Mˆ e.nh d¯ê` : Phu.o.ng tr`ınh a + x = b v´ o.i a, b ∈ Z luôn có nghiê.m trong

Z và nghiê.m d¯ó là duy nhâ´t

Ch´ u.ng minh: D- ˘a.t x = −a + b vó.i −a là sô´ d¯ôí cu’a a, ta có

a + x = a + (−a + b) = (a + (−a)) + b = 0 + b = b.

Vˆa.y −a + b là mô.t nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh

Ngoài ra, nˆeú x0 ∈ Z là nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh trên, ta có a + x0 = b.

Khi d¯´o −a + (a + x0) = −a + b hay x0 = −a + b.

Vâ.y nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh là duy nhâ´t

4.2.3.2 D- i.nh ngh˜ıa: Nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh a + x = b go.i là hiê.u cu’a b và

a, k´y hiˆe.u b − a (d¯o.c l`a b tr`u a).

Theo mê.nh d¯ê` trên, ta có hiˆe.u b − a luôn tô `n ta.i và ch´ınh là tô’ng cu’a b vó.i

sˆo´ d¯ˆo´i cu’a a : b − a = b + (−a).

Vˆa.y b trù a là tô’ng cu’a b vó.i sô´ d¯ôí cu’a a và phép trù trên Z luôn luôn thu c

hiˆe.n d¯u.o c

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	186,25 KB