Mathematich soluti0n DE c and m ChapterDE c and m chapter 8 sc

Βυτ ινστεαδ οφ προχεεδινγ ιmmεδιατελψ το χαλχυλατε εξπλιχιτ ϖαλυεσ οφ φυρτηερ χοεφφιχιεντσ, λετ υσ φιρστ mυλτιπλψ τηε ρεχυρρενχε ρελατιον βψ ν!... Βυτ ωιτη ν50 ινστεαδ οφ ν40 τερmσ ωε

χ ν+1 = (ν)χ ν, τηεν ωε χαν δετερmινε τηε ραδιυσ οφ χονϖεργενχε  οφ τηε σεριεσ σολυτιον διρεχτλψ φροm τηε ρεχυρρενχε ρελατιον

χ χ

χ χ

χ χ

χ χ

χ χ

κ



Ηενχε

χ χ

2 3 4

0

21

χ χ

12. 1 4 ;

( 1)( 2)

ν ν

χ χ

 

  ιτ φολλοωσ τηατ

2 0 2

2(2 )!

κ κ

χ χ

κ

 ανδ

2 1

2 1

2

.(2 1)!

κ κ

χ χ

χ χ

  

  ιτ φολλοωσ τηατ

2 0 2

( 1) 3(2 )!

κ κ κ

χ χ

κ



2 1

2 1

( 1) 3

.(2 1)!

κ κ κ

χ χ

νον−τριϖιαλ ποωερ σεριεσ σολυτιον

16. Ασσυmινγ α ποωερ σεριεσ σολυτιον οφ τηε φορm ψ = χ ν ξ ν, ωε συβστιτυτε ιτ ιντο τηε

διφφερεντιαλ εθυατιον 2ξψ  ανδ φινδ τηατ 2ψ νχ ν  φορ αλλ ν  0 Τηισ ιmπλιεσ τηατ χ ν

0 0 1 1 2 2

0χ χ , 2χ χ, 4χ χ ,, ανδ ηενχε τηατ χ ν = 0 φορ αλλ ν  0, ωηιχη mεανσ τηατ τηε ονλψ ποωερ σεριεσ σολυτιον οφ ουρ διφφερεντιαλ εθυατιον ισ τηε τριϖιαλ σολυτιον ( )ψ ξ  0

21. 1

2

φορ 1; ωιτη (0) 0 ανδ (0) 1,( 1)

ν ν ν

ν ν ν

χ ν

ν ν

ν χ χ

ανδ τηε γιϖεν ινιτιαλ χονδιτιονσ ψιελδ χ0  0 Φ0 ανδ χ1  1 Φ1 Βυτ ινστεαδ οφ

προχεεδινγ ιmmεδιατελψ το χαλχυλατε εξπλιχιτ ϖαλυεσ οφ φυρτηερ χοεφφιχιεντσ, λετ υσ φιρστ mυλτιπλψ τηε ρεχυρρενχε ρελατιον βψ ν! Τηισ τριχκ προϖιδεσ τηε ρελατιον

(ν2)!χ ν  (ν1)!χ ν ν χ! ,ν

τηατ ισ, τηε Φιβοναχχι−δεφινινγ ρελατιον Φ ν2 Φ ν1 ωηερε Φ ν Φ ν ν χ! ,ν σο ωε σεε τηατ / !χ ν Φ ν ν ασ δεσιρεδ

(Αξ2 + Β)ψ∋∋ + Χξψ∋ + Dψ = 0

ωιτη σελεχτεδ ϖαλυεσ οφ τηε χονσταντσ Α, Β, Χ, D Wηεν ωε συβστιτυτε ψ = χ ν ξ ν, σηιφτ ινδιχεσ ωηερε αππροπριατε, ανδ χολλεχτ χοεφφιχιεντσ, ωε γετ

2

ν ν ν ν

Ιν Προβλεmσ 1–15 ωε γιϖε φιρστ τηε ρεχυρρενχε ρελατιον ανδ τηε ραδιυσ οφ χονϖεργενχε, τηεν τηε ρεσυλτινγ ποωερ σεριεσ σολυτιον

χ χ



0 0 2

2 1

;(2 )(2 2) 4 2 !2

( )

(2 1)3

ν ν ν

0(1 6 ) 1( )( )

7.

2 2

2 1

(2 5)(2 3) (2 7)(2 1) 1 92(2 )(2 1) 2(2 2)(2 1) 2(6)(7)(2 5)!!(2 3)(2 1) 9 7 5! 7 (2 5)!!(2 3)!!

ν ν

2 1 5

2

1 2

2

3(2 1)(2 ) 3(2 1)(2 2) 3(7)(6)(2 5)!!( 1)

ν ξ

χ χ

χ χ

14. 3 ;

( 2)( 3)

ν ν

χ χ

χ χ

0

,(4 )(4 1) (4 4)(4 5) 4 3 4 ! (4 1)(4 5) 5 3

17. Τηε ρεχυρρενχε ρελατιον

2

( 2)( 1)( 2)

ν ν

χ χ

ν

  

 φορ ν  0, σο τηε σολυτιον σεριεσ ηασ ραδιυσ οφ χονϖεργενχε    Τηε ινιτιαλ

ρελατιον

2

4.2

χονϖεργεσ ιφ –1 < τ < 1 Τηε ινιτιαλ χονδιτιονσ γιϖε χ0 = 0 ανδ χ1 = 1, σο χεϖεν = 0 ανδ

2

( 2)( 3)( 1)( 2)

4( 2)( 2)

Φιναλλψ, ξ = 0.5 γιϖεσ

(0.5) 1 0.5 0.125 0.041667 0.002604 0.001042

0.000629 0.000161 0.000014 0.000003(0.5) 0.415562 0.4156

2( )

.( 1)( 2)

ν ν

ν χ χ

χ χ

 

Βεχαυσε οφ τηε “3−στεπ” ιν ινδιχεσ, ιτ φολλοωσ τηατ χ2   χ5 χ8 χ11  0 Σταρτινγ ωιτη χ0  ωε χαλχυλατε 1,

A[1] = 1/6; A[k_] := A[k - 1]/(3 k*(3 k - 1));

10 5

0.5

0.5 1.0 1.5

Aix

Bix

προδυχε τηε φιγυρε αβοϖε Βυτ ωιτη ν50 (ινστεαδ οφ ν40) τερmσ ωε γετ α φιγυρε τηατ ισ ϖισυαλλψ ινδιστινγυισηαβλε φροm Φιγυρε 8.2.3 ιν τηε τεξτβοοκ

(2 1)!!/ 2 ! 2 ( 1)

(2 1)!!/ 2 ( 1)! 2 1

ν ν

ν



 , τηεν τηε ραδιυσ οφ χονϖεργενχε οφ τηε σεριεσ ιν ζ ισ

1 1

!/ 2 (2 1)!! 2(2 3)

( 1)!/ 2 (2 3)!! 1

ν ν

Βοτη τηεσε φυνχτιονσ αρε αναλψτιχ ατ τ = 0, σο ιτ φολλοωσ τηατ ξ = –1 ισ α ρεγυλαρ σινγυλαρ

ποιντ οφ τηε οριγιναλ εθυατιον

12. Τηε ονλψ σινγυλαρ ποιντ οφ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον

3 3

  

 ωηερε πριmεσ νοω δενοτε διφφερεντιατιον ωιτη ρεσπεχτ το τ Ιν τηε στανδαρδ φορm οφ Εθυατιον (3) ωε ηαϖε ( )

  

 ωηερε πριmεσ νοω δενοτε διφφερεντιατιον ωιτη ρεσπεχτ το τ Ιν τηε στανδαρδ φορm οφ Εθυατιον (3) ωε ηαϖε π τ( )  ανδ 1 ( ) 2

ρεσπεχτ το τ Βεχαυσε

2

2 2

6 13( )

ξ = 1: Υπον συβστιτυτινγ τ = ξ – 1, ξ = τ + 1 ωε γετ τηε τρανσφορmεδ εθυατιον

3 5

0,( 1) ( 1)

ωιτη ινδιχιαλ εθυατιον Αρ2 + (Β  Α)ρ = 0 Συβστιτυτιον οφ ψ = χ νξ ν+ρ ιντο τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ψιελδσ τηε ρεχυρρενχε ρελατιον

1 2

ν ν

Χ χ χ

χ χ

χ χ

χ χ

χ χ

χ χ

χ χ

20. Wιτη εξπονεντ ρ1  0 : 1

2

23

ν ν

χ χ

3

2

23

ν ν

χ χ

(2 3)

ν ν

2

1

20,

(2 3)

ν ν

(2 5)

ν ν

1

20,

(2 5)

ν ν

1 0,

(3 1)

ν ν

1

( 1)1

2 ! 5 11 (6 1)

10 440 44880

ν ν ν

χ χ

χ χ

2

1

( 1)1

2 1

ν ν

28. Εξπονεντσ ρ10 ανδ ρ2   ωιτη 1; 4 2

1:

( 1)

ν ν