Nhà trường dự kiến chia thành các tổ học phụ đạo sao cho: - Mỗi tổ gồm có các học sinh nam, các học sinh nữ.. - Số các học sinh nam, số học sinh nữ được chia đều vào các tổ.. - Số người
Trang 1Phßng GD - §T H ¬ng S¬n
§Ò thi Chän gi¸o viªn giái huyÖn THCS n¨m häc 2008 - 2009
M«n To¸n
Thời gian làm bài: 120 phút
-Câu 1 a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x+ y = 2004
b) Tìm m ∈N để 13m + 3 là số chính phương
Câu 2 Giải phương trình sau: x2 − −1 x2 + =1 0
Câu 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A x22 1
−
= +
Câu 4 Khối 9 của một trường có 56 em học sinh cần phụ đạo thêm, trong
đó có 32 nam Nhà trường dự kiến chia thành các tổ học phụ đạo sao cho:
- Mỗi tổ gồm có các học sinh nam, các học sinh nữ
- Số các học sinh nam, số học sinh nữ được chia đều vào các tổ
- Số người trong mỗi tổ không quá 15 em nhưng cũng không ít hơn
9 em
Hãy tính xem nhà trường có thể sắp xếp như thế nào và có tất cả mấy
tổ ?
Câu 5 Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với
nhau Trong đoạn AB lấy điểm M khác 0 Đường thẳng CM cắt đường tròn
(O) tại điểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến
với đường tròn (O) tại N ở điểm P Chứng minh rằng:
a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành
c) CM.CN = 2R2
d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ?
-HƯỚNG DẪN CHẤM THI GVG NĂM HỌC 2008 -2009
MÔN TOÁN
1
(6,0đ) a)(3đ) là các số vô tỷ và các căn này phải đồng dạng với x+ y = 2004 x+ y =2 501 do vế phải là số vô tỷ => 501 Đặt x a= 501x và+ y
y b= => x+ y =a +b ( a,b ≥0 ; a,b ∈Z) Ta cã a+b = 2
=>
b)(3đ) Đặt 13 m + 3 = x2 ( x∈Z ) => 13( m-1) = x2 - 16= (x-4)(x+4) (1)
Trang 2=> (x-4)(x+4) M13 mà 13 là nguyên tố => (x+4) M13 hoặc (x-4) M13 hay x+4
= 13 k hoặc x-4 = 13k' ( k,k'∈N ) Với n+4 = 13k => x = 13 k - 4 Từ (1) ta
có 13( m-1) = 13k ( 13k - 8) m = 13k2 - 8k +1
với x - 4 = 13k' => x = 13k' +4
từ (1) ta có 13( m-1) = 13k'( 13k' +8) m= 13k'2 +8k' +1 => m= 13l2 ±8l+1 (l∈N) thì 13m +3 là số chính phương
2
(2,5đ)
3
(2,5đ)
Ta có
2
−
≥ −
= − ⇔ =
Vậy GTNN của A bằng -1 khi x = 0
4
(3đ) * Gọi số HS nam được chia vào tổ là x,
số HS nữ được chia vào tổ là y,
x, y nguyên dương
Theo đề ra ta có hệ: 32 24
x = y (1)
9 ≤ x + y ≤ 15 (2)
Từ (1) ta có: 3x – 4y = 0 => 4
3
Đặt y = 3t, t > 0 và t ∈ z, ta có: x = 4t
Từ (2), ta có: 9 ≤ 3t + 4t ≤ 15 hay 9 ≤ 7t ≤ 15
=> 9
7 < t ≤
15
7 =>
Vì t ∈ z nên giá trị t cần tìm là t = 2, ta tính ra x = 8; y = 6
Như vậy, mỗi tổ có 8 HS nam, 6 HS nữ
Số tổ được chia là: 56
4
+ tổ
Trang 3(6đ)
C
a)(1đ)
A B
N
E P D F
* Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường tròn đường kính OP
* Tam giác ONP vuông tại N nên O, N, P thuộc đường tròn đường kính OP
* Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP
b)(1,5đ) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB)
NMP NCD= (hai góc đồng vị)
ONC OCN= (hai góc đáy của tam giác cân ONC)
·NMP NOP= · (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP)
Suy ra MNO NOP· =· ; do đó, OP//MC
Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành
c)(1,5đ) ∆CND: ∆COM g g( )
CN = CD hay CM.CN = OC.CD = 2R2
d)(2đ) Vì MP = OC = R không đổi
Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB Do M chỉ chạy trên đoạn AB nên
P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song nói trên
