108 BT+ 7 ĐỀ ÔN HK I - T 9.@

hàm số: Khái niệm hàm số * Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc

ĐỀ CƯƠNG ễN TẬP MễN TOÁN HỌC Kè 1 NĂM HỌC 2010 -2011

Đại số CHủ đề 1: Căn thức rút gọn biểu thức–

I căn thức:

 Kiến thức cơ bản:

1 Điều kiện tồn tại : A Có nghĩa ⇔ A≥ 0

2 Hằng đẳng thức: A2 =A

3 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng: A.B = A. B (A≥ 0 ;B≥ 0 )

4 Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng:

B

A B

A = (A≥ 0 ;B > 0 )

5 Đa thừa số ra ngoài căn: A2 B =A B (B≥ 0 )

6 Đa thừa số vào trong căn: A B = A2 B (A≥ 0 ;B≥ 0 )

3

5 3

1 2

2 2

3 4

2 2

+ +

13) ( 28 − 2 14 + 7 ) 7 + 7 8 14) ( 14 − 3 2 ) 2 + 6 28

15) ( 6 − 5 ) 2 − 120 16) ( 2 3 − 3 2 ) 2 + 2 6 + 3 24 17) ( 1 − 2 ) 2 + ( 2 + 3 ) 2 18) ( 3 − 2 ) 2 + ( 3 − 1 ) 2

19) ( 5 − 3 ) 2 + ( 5 − 2 ) 2 20) ( 19 − 3 )( 19 + 3 )

21) 4x+ (x− 12 ) 2 (x≥ 2 ) 22)

5 7

5 7 5 7

5 7

+

− +

− +

23) x+ 2y− (x2 − 4xy+ 4y2 ) 2 (x≥ 2y)

Bài2:

1) ( )2 ( )2

2 3 2

3 + + − 2) ( )2 ( )2

3 2 3

2 − − + 3) ( )2 ( )2

3 5 3

5 2

2 3

5 3

2 4 3

 Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)

Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại

Quy đồng, gồm các bớc:

+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất

+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng

+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung

Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức

2) Tớnh giỏ trị của biểu thức A tại x= + 3 2 2

Bài 2 Cho biểu thức : P = 4 4 4

2) Tỡm giỏ trị của a sao cho P = a + 1

Bài 3: Cho biểu thức A = 1 2

3/.Với giỏ trị nào của x thỡ A< -1

Bài 4: Cho biểu thức A = (1 )(1 )

2 1

−

+ + +

2 2 1

1 ( : )

1 1

a a a

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q

b; Tìm a để Q dơng

c; Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4 5

Bài 8: Cho biểu thức: M =  − 

+

− +

2

1

a a a

a a a a

3 x 2 x 1

x 3 3 x 2 x

11 x 15

−

a Tìm x để K có nghĩa

b Rút gọn K

c Tìm x khi K= 21 d Tìm giá trị lớn nhất của K

Bài 10 : Cho biểu thức: G= .x 2x 1

1 x 2 x

2 x 1

1 1 x x

x 1

x x

+

−

a Rút gọn biểu thức trên

b Chứng minh rằng P > 0 với mọi x≥ 0 và x ≠ 1

Bài 12 : cho biểu thức Q= 

1 a a 2 2

1 a

2 2

1

2 2

a Tìm a dể Q tồn tại

b Chứng minh rằng : Q không phụ thuộc vào giá trị của a

Bài 13: Cho biểu thức :

A= xy x y + xy+ x y −x− x −−x x

1 2

2

2 2

−

+

5 a 2 1 : a 16

2 a 4 4 a

a 4 a

a 3

(Với a ≥0 ; a ≠ 16)1)Rút gọn P 2)Tìm a để P =-3 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố

-CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất

I hàm số:

Khái niệm hàm số

* Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ

một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.

* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng

Cho x=0 => y=b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b

Cho y=0 => x=-b/a => điểm (-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b

Đờng thẳng qua hai điểm (o;b) và (-b/a;0) là đồ thị hàm số y= ax+b

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1

Giải: Cho x=0 => y=1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1

Cho y=0 => x=-1/2 => điểm (-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1

Đờng thẳng qua hai điểm (0;1) và (-1/2;0) là đồ thị hàm số y = 2x + 1

 Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, :

+ Cắt nhau: (d1) cắt (d2)⇔a≠a,

*/ Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung thì cân thêm điều kiện b =b'

*/ Để hai đờng thẳng vuông góc với nhau thì : a.a' = − 1

+ Song song với nhau: (d1) // (d2)⇔a =a, ;b≠b'

+ Trùng nhau: (d1) ≡ (d2)⇔a=a, ;b=b'

Ví dụ: Cho hai hàm số bậc nhất: y = (3 – m) x + 2 (d1)

Và y = 2 x – m (d2)

a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau

b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau

c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung.Giải:

a/ (d1)//(d2)⇔ { 1

2

1 2

m m

m

b/ (d1) cắt (d2) ⇔ 3 −m≠ 2 ⇔ m≠ 1

c/ (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung ⇔ −m= 2 ⇔m= − 2

 Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b là a

+ Cách tính góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác tgα =a

• Trờng hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn

• Trờng hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc tù (180 0 − α)

Ví dụ 1: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox

Giải:

Ta có:Tgα = 2 =Tg63 0 ⇒ α = 63 0

Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox là:α = 63 0

Ví dụ 2: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox

Ta có: Tg( 180 0 − α ) = 2 =Tg63 0 ⇒ ( 180 0 − α ) = 63 0 ⇒ α = 117 0

Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox là:α = 117 0

 Các dạng bài tập th ờng gặp:

-Dạng 3: Tớnh gúcα tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox

Xem lại các ví dụ ở trên

-Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị:

+ Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b

+ Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta đợc phơng tri9nhf đờng thẳng cần tìm

-Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy:

Ví dụ: Cho các đờng thẳng :

b) +Ta tìm giao điểm B của (d2) và (d3):

- Dạng1: Xỏc dịnh cỏc giỏ trị của cỏc hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường

thẳng

song song; cắt nhau; trựng nhau

Phơng pháp: Xem lại các ví dụ ở trên

-Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b

Xem lại các ví dụ ở trên

Xỏc định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b,

Ph

ơng pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phơng trình ta tìm đợc giá trị của x; thay giá trị của x vào(d1) hoặc (d2) ta tính đợc giá trị của y Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng

Tớnh chu diện tớch của cỏc hỡnh tạo bởi cỏc đường thẳng:

Ph ơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực tiếp đợc Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh

+ Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S

Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1

Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2)

Để 3 đờng thẳng đồng qui thì (d1)phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào pt (d1) ta có:

Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số

đồng biến hay nghịch biến trờn R ? Vỡ sao?

Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay

Bài 5: Với giỏ trị nào của m thỡ hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại

một điểm trờn trục tung Viết phương trỡnh đường thẳng (d) biết (d) song song với

(d’): y = x

2

1

−

và cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ bằng 10

Bài 6: Viết phương trỡnh đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm

A(2;7)

Bài 7: Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3).

Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = 1 2

2x+ và (d2): y = − +x 2

a/ Vẽ (d1) và (d2) trờn cựng một hệ trục tọa độ Oxy

b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tớnh chu vi và diện tớch của tam giỏc ABC (đơn vị trờn hệ trục tọa độ là cm)?

Bài 9: Cho các đờng thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m≠ 0

(d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9)

a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2)

b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2

c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố

định B Tính BA ?

Bài 10: Cho hàm số : y = ax +b

a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)

b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc ∝ tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ?c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ?

d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2

CHủ đề 3: hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

I các kháI niệm:

Ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:

+Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết(a≠ 0hoặc b≠ 0 )

+ Một nghiệm của phơng trình là cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c

+ Phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm

+ Tập nghiệm đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d): ax + by = c Nếu a≠ 0 ;b≠ 0thì đờng thẳng (d)

là đồ thị của hàm số bậc nhất:

b

c x b

=

+

)2 (

)1

.(

, ,

a

c by ax

+ Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phơng trình

+ Nếu hai phơng trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm

+ Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm:

-Phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d)

-Phơng trình (2) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d')

*Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất

*Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm

+

+

=

3 2

21 3263

yx yy

u ý : Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ

Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ

Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với

số thích hợp để đa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệsố)

3

y x

−

=

−

2 6

4

1 3

−=

−

31 11

10

7 11

3

3

y x

8 5

2

y x y x

2 2

−

7 3 6

4 2

5

y x

−

=

−

5 6 4

11 3

2

y x

y x

2 5

2

y x

4 2

3

y x

y x

Đặt ẩn phụ rồi giải các hệ phơng trình sau

+

=

− +

+

5 ) (2 )

(

4 ) (3 )

(2

y x y

x

y x y

1 1 1

5

4 1 1

y x

y x

3 2 2

2 1

1 2 1

y x

y x

2

2

y x

1 5

2

y x

y x

3

y x

4 3

2

y x

y x

−=

+

0 3 8 6

2 4

3

y x

=

−

8 3

2 4

1 3

2

y x

y x

Bài 2 : Giải các hệ phơng trình sau :

=

−

−

0 1 2 y

1 x 3

2 2 y

2 x

=

−

− +

1 2

3 2

20

1 2

1 2

4

y x y x

y x y x

y x m

a) Giải hệ phơng trình khi m = 1

b) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình nhận cặp số ( x= 1 ; y =- 6) làm nghiệmc) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm đó

y ax

−

=

−

1 2

2

a y x

a y ax

a) Giải hệ phơng trình khi a = -2

b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a

c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1

d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x và y là các số nguyên

Bài 6 :a) Giải và biện luận hệ phơng trình:

16 )4 (

2

y x m

y m

x

(I)

b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn 1

Bài 7* : Giải phơng trình sau :

a) 8 + x + 5 − x = 5 b) 2 −x2 + x2 + 8 = 4

CHủ đề 4: hình học

I hệ thức trong tam giác vuông:

 Hệ thức giữa cạnh và đ ờng cao:

c c

b c

b

=

=

Hệ thức giữa cạnh và góc:

Tû sè l îng gi¸c:

D

K Cotg K

D Tg H

K Cos

H

D

TÝnh chÊt cña tû sè l îng gi¸c:

1/ NÕu α + β = 90 0 Th×: Cos Sinαα==Cos Sinββ Tg Cotgαα=Cotg=Tgββ

2/Víi α nhọn thì 0 < sinα < 1, 0 < cosα < 1

*sin2 α + cos2 α = 1 *tgα = sinα /cosα

*cotgα = cosα /sinα *tg α cotgα =1

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A Biết b = 4 cm, c = 3 cm Giải tam giác ABC

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có b’ = 7, c’ = 3 Giải tam giác ABC?

Bài 3a: Cho tam giác ABC vuông tại A có b = 4, b’ = 3.2 Giải tam giác ABC?

Bài 3b: Cho tam giác ABC vuông tại A có c = 4, b’ = 3.2 Giải tam giác ABC?

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH = 4.8, BC =10 Giải tam giác ABC?

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có h = 4, c’ = 3 Giải tam giác ABC?

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có b = 12, a = 20 Giải tam giác ABC?

Bài7: Chotam giác ABC vuông tại A có h = 4, c = 5 Giải tam giác ABC?

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông có A = 900, b = 5, B = 400. Giải tam giác ABC?

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có a = 15, B = 600 Giải tam giác ABC?

Bài 10:Cho tam giác ABC vuông tại A có AH = 3, C = 400 Giải tam giác ABC?

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A có c’ = 4, B = 550 Giải tam giác ABC?

Bài 12: Chotam giác ABC vuông tại A, có trung tuyến ứng với cạnh huyền ma = 5, h = 4 Giải tam giác ABC?

Bài13: Chotam giác ABC vuông tại A, trung tuyến ứng với cạnh huyền ma = 5, một góc nhọnbằng 470 Giải tam giác ABC?

Bài14: Tam giác ABC vuông tại A có h = 4, §êng ph©n gi¸c øng víi c¹nh huyÒn ga = 5 Giải tam giác ABC?

Bài15: Chotam giác ABC vuông tại A có §êng ph©n gi¸c øng víi c¹nh huyÒn ga = 5 Góc C =

300 Giải tam giác ABC?

+ Đờng tròn đó đi qua 3 điểm ( Khi đó tâm là giao điểm của hai đờng trung trực của hai đoạn thẳng nối hai trong ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến một trong 3 điểm

đó)



Tính chất đối xứng:

+ Đờng tròn có tâm đối xứng là tâm của đờng tròn

+ Bất kì đờng kính vào cũng là một trục đối xứng của đờng tròn



Các mối quan hệ:

1 Quan hệ giữa đ ờng kính và dây:

+ Đờng kính (hoặc bán kính) ⊥ Dây ⇔ Đi qua trung điểm của dây ấy

2 Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:

+ Hai dây bằng nhau ⇔Chúng cách đều tâm

+ Dây lớn hơn ⇔Dây gần tâm hơn



Vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng với đ ờng tròn:

+ Đờng thẳng không cắt đờng tròn ⇔Không có điểm chung ⇔ d > R (dlà khoảng cách từ tâm

đến đờng thẳng; R là bán kính của đờng tròn)

+ Đờng thẳng cắt đờng tròn ⇔Có 1 điểm chung ⇔d < R

+ Đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn ⇔Có 2 điểm chung ⇔d = R



Tiếp tuyến của đ ờng tròn:

1 Định nghĩa: Tiếp tuyến của đờng tròn là đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn đó

2 Tính chất: Tiếp tuyến của đờng tròn thì vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính (tiếp

c/ Biết AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tính bán kính của đờng tròn tâm (O)

Bài 2 Cho ( O) và A là điểm nằm bên ngoài đờng tròn Kẻ các tiếp tuyến AB ; AC với đờng

tròn

( B , C là tiếp điểm )

a/ Chứng minh: OA⊥ BC

b/Vẽ đờng kính CD chứng minh: BD// AO

c/Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB =2cm ; OC = 4 cm?

Bài 3: Cho đờng tròn đờng kính AB Qua C thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến d với đờng tròn

G ọi E , F lần lợt là chân đờng vuông góc kẻ từ A , B đến d và H là chân đờng vuông góc kẻ từ C

đến AB Chửựng minh:

a/ CE = CF

b/ AC là phân giác của góc BAE

c/ CH2 = BF AE

Bài 4: Cho đờng tròn đờng kính AB vẽ các tiếp tuyến A x; By từ M trên đờng tròn ( M khác A,

B) vẽ tiếp tuyến thứ 3 nó cắt Ax ở C cắt B y ở D gọi N là giao điểm của BC Và AO .CMR

a/ CN NB

AC = BD

b/ MN ⊥ AB

c/ gãc COD = 90º

Bµi 5 : Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn Vẽ điểm N đối xứng

với A qua M BN cắt đường tròn ở C Gọi E là giao điểm của AC và BM

a)CMR: NE ⊥ AB

b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M CMR: FA là tiếp tuyến của (O)

c) Chứng minh: FN là tiếp tuyến của đtròn (B;BA)

c) OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F Chứng minh EF = R

d) Tìm vị trí của M để CD có độ dài nhỏ nhất

Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Qua A và B vẽ lần lượt 2 tiếp tuyến (d) và

(d’) với đường tròn (O) Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N

a/ Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân

b/ Hạ OI vuông góc với MN Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).c/ Chứng minh AM.BN = R2

d/ Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất Vẽ hình minh hoạ

Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Từ một điểm M trên nửa đường

tròn ta vẽ tiếp tuyến xy Vẽ AD và BC vuông góc với xy

a) Phát biểu định nghĩa hàm số bậc nhất

b) Lấy hai ví dụ về hàm số bậc nhất