Hệ thống kiến thức Toán 7 trình bày kiến thức cơ bản như số hữu tỉ, số thực; hàm số và đồ thị; thống kê; biểu thức đại số; đường thẳng vuông góc, đường thẳng song song; tam giác; quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy của tam giác. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chắc kiến thức.
Trang 1HỆ THỐNG KIẾN THỨC
TOÁN 7 Kiến thức cơ bản
JHSMATH.COM
Trang 2
Lời nói đầu
Tuy nhiên do thời gian có hạn nên trong tài liệu này chỉ trình bày phần Kiến thức cơbản Ba phần còn lại các em có thể xem trực tuyến tại Series Tự học Toán 7
Ngoài ra còn có các ví dụ minh họa ở mức nâng cao giúp các em đào sâu kiến thức vàrèn luyện kĩ năng ở mức độ cao hơn
Trong series này các ví dụ giải mẫu giúp các em biết cách trình bày bài toán sao chongắn gọn và rõ ràng
Ở một số ví dụ có những lưu ý về phương pháp giải toán giúp các em định hướngsuy luận, trau dồi phương pháp và kinh nghiệm giải Toán, mở rộng thêm hiểu biết về bàitoán
Trong phạm vi của series này sẽ sử dụng kí hiệu k để chỉ song song và kí hiệu ∼ đểchỉ đồng dạng Các kí hiệu khác sử dụng giống như trong sách giáo khoa Toán THCS hiệnhành
Trang 3Mục lục
1 Số hữu tỉ Số thực 6
1.1 Tập hợp Q các số hữu tỉ 6
1.2 Cộng, trừ số hữu tỉ 6
1.3 Nhân, chia số hữu tỉ 7
1.4 Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân 7
1.5 Lũy thừa của một số hữu tỉ 7
1.6 Tỉ lệ thức 8
1.6.1 Định nghĩa 8
1.6.2 Tính chất 8
1.7 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 8
1.8 Số thập phân hữu hạn Số thập phân vô hạn tuấn hoàn 9
1.9 Làm tròn số 9
1.10 Số vô tỉ Khái niệm về căn bậc hai 9
1.11 Số thực 10
2 Hàm số và đồ thị 11 2.1 Đại lượng tỉ lệ thuận 11
2.1.1 Định nghĩa 11
2.1.2 Tính chất 11
2.2 Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận 11
2.3 Đại lượng tỉ lệ nghịch 12
2.3.1 Định nghĩa 12
2.3.2 Tính chất 12
2.4 Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch 12
2.5 Hàm số 12
2.6 Mặt phẳng tọa độ 12
2.7 Đồ thị của hàm số y = ax 13
3 Thống kê 15 3.1 Thu thập số liệu thống kê Tần số 15
3.1.1 Bảng số liệu thống kê 15
3.1.2 Dấu hiệu 15
3.1.3 Tần số của giá trị 15
3.2 Bảng “tần số” các giá trị của dấu hiệu 15
3.3 Biểu đồ 16
3.4 Số trung bình cộng 16
4 Biểu thức đại số 17 4.1 Khái niệm về biểu thức đại số 17
4.2 Giá trị của một biểu thức đại số 17
Trang 44.3 Đơn thức 17
4.4 Đơn thức đồng dạng 18
4.5 Đa thức 18
4.6 Cộng, trừ đa thức 18
4.7 Đa thức một biến 18
4.8 Cộng, trừ đa thức một biến 19
4.9 Nghiệm của đa thức một biến 19
5 Đường thẳng vuông góc Đường thẳng song song 20 5.1 Hai góc đối đỉnh 20
5.1.1 Định nghĩa 20
5.1.2 Tính chất 20
5.2 Hai đường thẳng vuông góc 21
5.2.1 Định nghĩa 21
5.2.2 Tính duy nhất của đường vuông góc 21
5.2.3 Đường trung trực của đoạn thẳng 21
5.3 Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng 22
5.3.1 Tính chất 22
5.4 Hai đường thẳng song song 23
5.4.1 Định nghĩa 23
5.4.2 Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song 23
5.5 Tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song 23
5.5.1 Tiên đề Ơ-clít về đường thẳng song song 23
5.5.2 Tính chất hai đường thẳng song song 24
5.6 Từ vuông góc đến song song 24
5.6.1 Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song 24
5.6.2 Ba đường thẳng song song 25
5.7 Định lí 25
6 Tam giác 26 6.1 Tổng ba góc của một tam giác 26
6.1.1 Tổng ba góc của một tam giác 26
6.1.2 Áp dụng vào tam giác vuông 27
6.1.3 Góc ngoài của tam giác 27
6.2 Hai tam giác bằng nhau 27
6.3 Trường hợp bằng nhau thức nhất của tam giác: cạnh - cạnh - cạnh 27
6.4 Trường hợp bằng nhau thức hai của tam giác: cạnh - góc - cạnh 28
6.5 Trường hợp bằng nhau thức ba của tam giác: góc - cạnh - góc 28
6.5.1 Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác 28
6.5.2 Trường hợp bằng nhau cạnh huyền-góc nhọn của tam giác vuông 29 6.6 Tam giác cân 29
6.6.1 Tam giác cân 29
6.6.2 Tam giác vuông cân 30
6.6.3 Tam giác đều 30
6.7 Định lí Py-ta-go 31
6.7.1 Định lí Py-ta-go 31
6.7.2 Định lí Py-ta-go đảo 32
6.8 Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông 32
Trang 57 Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác Các đường đồng quy của tam
7.1 Quan hệ giữa các góc và cạnh đối diện trong một tam giác 33
7.2 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu 34 7.3 Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Bất đẳng thức tam giác 34
7.4 Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác 34
7.5 Tính chất tia phân giác của một góc 35
7.6 Tính chất ba đường phân giác của một tam giác 36
7.7 Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng 36
7.8 Tính chất ba đường trung trực của tam giác 37
7.9 Tính chất ba đường cao của tam giác 38
Trang 6Chương 1
Số hữu tỉ Số thực
1.1 Tập hợp Q các số hữu tỉ 6
1.2 Cộng, trừ số hữu tỉ 6
1.3 Nhân, chia số hữu tỉ 7
1.4 Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân 7
1.5 Lũy thừa của một số hữu tỉ 7
1.6 Tỉ lệ thức 8
1.7 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 8
1.8 Số thập phân hữu hạn Số thập phân vô hạn tuấn hoàn 9
1.9 Làm tròn số 9
1.10 Số vô tỉ Khái niệm về căn bậc hai 9
1.11 Số thực 10
• Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số a
b với a, b là các số nguyên và b 6= 0. Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q
• Ta có thể biểu diễn mọi số hữu tỉ trên trục số Trên trục số điểm biểu diễn số hữu
tỉ x gọi là điểm x
• Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó Nếu x < y thì điểm x ở bên trái điểm y
• Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm
Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ âm cùng không là số hữu tỉ dương
• Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng một phân số có cùng một mẫu dương rối áp dụng quy tắc cộng trừ, phân số
Trang 7• Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số: giao hoán, kết hợp,cộng với số 0 Mọi số hữu tỉ đều có một số đối
• Khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một đẳng thức ta phải đồi dấu
số hạng đó x + y = z ⇒ x = z − y
• Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rối ápdụng quy tắc nhân, chia phân số
• Phép nhân số hữu tỉ có các tính chất của phép nhân phân số: giao hoán, kết hợp,nhân với số 1, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng Mỗi số hữu tỉkhác 0 đều có một số nghịch đảo
• Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y (y 6= 0) gọi là tỉ số của hai số x
và y Kí hiệu x
y hay x : y
nhân, chia số thập phân
• Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x kí hiệu |x| là khoảng cách từ điểm x đến điểm
0 trên trục số
|x| = x khi x ≥ 0
−x khi x < 0Với mọi x ∈ Q ta luôn có |x| ≥ 0 và |x| ≥ x
• Để cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân ta có thể viết chúng dưới dạng phân sốthập phân rồi làm theo quy tắc các phép tính đã biết về phân số
• Trong thực hành ta thường cộng trừ nhân chia hai số thập phân theo các quy tắc
về giá trị tuyệt đối và về dấu tương tự như với số nguyên
• Khi chia số thập phân x cho số thập phân y (y 6= 0) ta áp dụng quy tắc Thươngcủa hai số thập phân x và y là thương của |x| và |y| với dấu + đằng trướcnếu x và y cùng dấu và dấu − đằng trước nếu x và y trái dấu
• Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x là tích của n thừa số x
xn = x.x x
| {z }
n
với x ∈ Q, n ∈ N, n > 1
Quy ước x1 = x và x0 = 1 với x 6= 0
• Nhân hai lũy thừa cùng cơ số xm.xn = xm+n
• Chia hai lũy thừa cùng cơ số xn : xm= xm−n (x 6= 0, m ≥ n)
Trang 8• Lũy thừa của lũy thừa (xm)n = xmn
• Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa (x.y)n= xn.yn
• Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa x
d Ta còn viết a : b = c : d Trong đó a và d gọi
là ngoại tỉ còn b và c gọi là trung tỉ
• Từ tính chất này ta suy ra có thể hoán vị các số hạng của một tỉ lệ thức Trong tỉ
lệ thứca
b =
cd
– Hoán vị các ngoại tỉ cho nhau d
b =
ca
– Hoán vị các trung tỉ cho nhau các ngoại tỉ cho nhau d
c =
ba
Trang 91.8 Số thập phân hữu hạn Số thập phân vô hạn tuấn
hoàn
• Nếu một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và
5 thì phân số đó viết được dưới dạng thập phân hữu hạn Chẳng hạn
– Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cộngthêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại Trong trường hợp số nguyênthì ta thay các chữ số bị bỏ đi bằng số 0
• Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn Tập hợpcác số vô tỉ được kí hiệu là I
• Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a
• Số dương a có đúng hai căn bậc hai là√a và −√
a
• Số 0 chỉ có một căn bậc hai là số 0
• Số âm không có căn bậc hai
Trang 10• Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số Ngược lại mỗi điểm trên trục
số đều biểu diễn một số thực Như vậy có thể nói rằng các điểm biểu diễn số thực
đã lấp đầy trục số
Trang 11Chương 2
Hàm số và đồ thị
2.1 Đại lượng tỉ lệ thuận 11
2.2 Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận 11
2.3 Đại lượng tỉ lệ nghịch 12
2.4 Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch 12
2.5 Hàm số 12
2.6 Mặt phẳng tọa độ 12
2.7 Đồ thị của hàm số y = ax 13
2.1 Đại lượng tỉ lệ thuận 2.1.1 Định nghĩa Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = kx (với k là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k 2.1.2 Tính chất • Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi • Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia • Cụ thể y1 x1 = y2 x2 = y3 x3 = · · ·
x1 x2 = y1 y2, x1 x3 = y1 y3, · · ·
Hai dạng toán thường gặp
• Dạng 1 Toán về hai đại lượng tỉ lệ thuận Trong đó biết hai giá trị của một đại lượng và một giá trị tương ứng của đại lượng kia Tìm giá trị tương ứng còn lại
• Dạng 2 Chia một số thành nhiều phần tỉ lệ thuận với một số cho trước
Trang 12• Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ)
• Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tươngứng của đại lượng kia
Hai dạng toán thường gặp về hai đại lượng tỉ lệ nghịch
• Dạng 1 Biết hai giá trị của một đại lượng và một giá trị tương ứng của đại lượngkia Tìm giá trị tương ứng còn lại
• Dạng 2 Biết hai giá trị của một đại lượng và tổng (hiệu) hai giá trị tương ứng củađại lượng kia Tìm hai giá trị tương ứng đó
• Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x
ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của
x và x gọi là biến số
• Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y được gọi là hàm hằng.Hàm số có thể cho bằng bảng, bằng công thức,
• Khi y là hàm số của x ta có thể viết y = f (x), y = g(x), Với y = f (x) ta viết
f (3) để chỉ giá trị của hàm số tại x = 3
• Mặt phẳng tọa độ Oxy được xác định bởi hai trục số vuông góc với nhau Trụchoành Ox và trục tung Oy Điểm O là gốc tọa độ
Trang 13Hai trục tọa độ chia mặt phẳng thành bốn góc phần tư I, II, III và IV
Trang 14• Vì đồ thị của hàm số là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ nên khi vẽ ta chỉ cầnxác định thêm một điểm A thuộc đồ thị và khác điểm gốc O Muốn vậy ta cho xmột giá trị khác 0 và tìm giá trị tương ứng của y
• Cặp giá trị đó là tọa độ của điểm A Đường thẳng OA là đồ thị của hàm số đã cho
Trang 15Chương 3
Thống kê
3.1 Thu thập số liệu thống kê Tần số 15
3.2 Bảng “tần số” các giá trị của dấu hiệu 15
3.3 Biểu đồ 16
3.4 Số trung bình cộng 16
3.1 Thu thập số liệu thống kê Tần số 3.1.1 Bảng số liệu thống kê Khi điều tra nghiên cứu một vấn đề hay một hiện tượng người ta cần thu thập các số liệu và ghi lại chúng trong một bảng gọi là bảng số liệu thống kê ban đầu 3.1.2 Dấu hiệu • Vấn đề hay hiện tượng được điều tra gọi là dấu hiệu (thường được kí hiệu là X, Y, )
• Khi điều tra về một dấu hiệu ứng với mỗi đơn vị điều tra có một số liệu tương ứng gọi là giá trị của dấu hiệu đó (giá trị của dấu hiệu thường được kí hiệu là x) Số các giá trị của dấu hiệu bằng số các đơn vị điều tra (thường được kí hiệu là N )
Trong dãy giá trị của một dấu hiệu một giá trị có thể có mặt một hay nhiều lần số lần xuất hiện của một giá trị trong dãy giá trị của dấu hiệu gọi là tần số của giá trị đó (tần
số của giá trị thường được kí hiệu là n)
• Từ bảng số liệu thống kê ban đầu có thể lập bảng “tần số” các giá trị của dấu hiệu (bảng phân phối thực nghiệm của dấu hiệu) Bảng “tần số” có thể viết theo hàng ngang hoặc cột dọc
• Bảng “tần số” viết theo hàng ngang là một khung hình chữ nhật có hai dòng – Dòng trên ghi các giá trị khác nhau của dấu hiệu theo thứ tự tăng dần
Trang 16– Dòng dưới ghi các tần số tương ứng với các giá trị đó
• Bảng “tần số” giúp người điều tra có những nhận xét chung về sự phân phối các giátrị của dấu hiệu và tiện cho việc tính toán
• Dựa trên bảng “tần số” ta có thể dựng biểu đồ Biểu đồ cho ta một hình ảnh cụ thể
về giá trị của dấu hiệu và tần số
• Các loại biểu đồ thường gặp là biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ chữ nhật và biểu đồhình quạt
Trang 17Chương 4
Biểu thức đại số
4.1 Khái niệm về biểu thức đại số 17
4.2 Giá trị của một biểu thức đại số 17
4.3 Đơn thức 17
4.4 Đơn thức đồng dạng 18
4.5 Đa thức 18
4.6 Cộng, trừ đa thức 18
4.7 Đa thức một biến 18
4.8 Cộng, trừ đa thức một biến 19
4.9 Nghiệm của đa thức một biến 19
• Các biểu thức 3x, 2a − 5, −4(x2+ 1), 4
2y + 3 gồm các số và các chữ nối với nhau bởi dấu các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa) là các biểu thức đại số
• Các chữ trong biểu thức đại số gọi là biến số Gọi tắt là biến
• Một biểu thức số cũng là một biểu thức đại số
Để tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến
• Ta thay các giá trị cho trước vào biểu thức
• Rồi thực hiện các phép tính
• Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến hoặc một tích giữa các
số và các biến
Trang 18• Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến đãđược nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương
• Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơnthức đó Số 0 được coi là đơn thức không có bậc Số thực khác 0 là các đơn thứcbậc 0
• Để nhân hai đơn thức ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau
• Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến
• Các số khác 0 được coi là những đơn thức đồng dạng
• Muốn cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau
và giữ nguyên phần biến
• Đa thức là một tổng của những đơn thức Mỗi đơn thức trong một tổng gọi là mộthạng tử của đa thức đó Mỗi đơn thức được coi là một đa thức
• Thu gọn đa thức là đưa đa thức về dạng không còn hai hạng tử nào đồng dạng
• Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức
đó Số 0 được gọi là đa thức không (đa thức này không có bậc)
Khi cộng hoặc trừ đa thức ta thường làm như sau
• Viết hai đa thức trong dấu ngoặc
• Bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc
Trang 19• Hệ số của lũy thừa cao nhất của biến gọi là hệ số cao nhất Hệ số của lũy thừa bậc
0 của biến gọi là hệ số tự do Chẳng hạn đa thức −3x2+ 4x − 5 có hệ số cao nhất
Để cộng hoặc trừ hai đa thức một biến ta có thể thực hiện theo một trong hai cách sau
• Cách 1 Cộng trừ đa thức theo “hàng ngang” đã học
• Cách 2 Cộng trừ đa thức theo “cột dọc” Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức cùngtheo lũy thừa giảm hoặc tăng của biến rồi thực hiện phép tính
Đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột
• Số a là một nghiệm của đa thức một biến P (x) nếu P (a) = 0
• Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, hoặc không
có nghiệm nào
• Một đa thức bậc n có nhiều nhất n nghiệm