ucln-bcnn

Trong chơng trình toán THCS, đặc biệt là chơng trình số học 6, sau khi học các khái niệm, kiến thức về ƯCLN, BCNN chúng ta sẽ gặp dạng toán tìm 2 số tự nhiên biết một số yếu tố có liên q

Bài toán Tìm hai số tự nhiên qua UCLN, BCNN và mối quan hệ đặc

biệt giữa UCLN với BCNN

A Đặt v ấn đề.

Môn toán là mộ bộ môn giúp học sinh phát triển t duy lô gíc, lý luận chặt chẽ, nó cũng là bộ môn cơ bản giúp học sinh phát triển trí thông minh, khả năng sáng tạo và linh động trong lúc giải các bài toán

Trong chơng trình toán THCS, đặc biệt là chơng trình số học 6, sau khi học các khái niệm, kiến thức về ƯCLN, BCNN chúng ta sẽ gặp dạng toán tìm 2

số tự nhiên biết một số yếu tố có liên quan đến ƯCLN, BCNN hoặc biết mộ số yếu tố có liên quan đến ƯCLN, BCNN hoặc biết mối quan hệ đặc biệt giữa

ƯCLN với BCNN Chẳng hạn bài toán:

Tìm hai số tự nhiên biết: a + 2b = 48 và ƯCLN (a,b) + 3BCNN (a, b) =

144 hoặc bài toán: Tìm hai số tự nhiên: BCNN (a, b) + ƯCLN (a,b) = 55 và rất nhiều bài toán nữa Với những bài toán dạng trên học sinh gặp phải khó khăn và lúng túng trong cách giải, thậm chí không giải đợc Để giúp các em giải quyết vấn đề này chúng ta phải làm gì?

Không có con đờng nào khác là giáo viên phải hớng dẫn cho học sinh các cách giải những loại bài toán này một cách hợp lý thì học sinh mới giải quyết

đ-ợc những khó khăn và lúng túng mắc phải, từ đó thêm yêu thích và say mê học tập

Trong quá trình giảng dạy môn toán 6 tôi nhận thấy: Trong chơng trình chính khoá không đề cập đến dạng toán này, có chăng chỉ ở bài tập Trong giảng dạy giáo viên và học sinh cũng không có thời gian đề cập đến Trong khi

đó dạng toán này lại xuất hiện trong các kỳ thi, trong chơng trình giải toán qua mạng internet và đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi huyện, tỉnh …

Do đó tôi nhận thấy cần phải làm gì giúp các em không gặp khó khăn lúng túng khi đứng trớc những bài toán đó Đặc biệt hơn là qua đó để phát triển

và bồi dỡng những em có năng khiếu toán học là nhân tài tơng lai cho đất nớc

Vì vậy ở đây tôi xin đề cập đến một số dạng toán cơ bản có liên quan đến

ƯCLN, BCNN và mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN với BCNN để bạn đọc tham khảo và mong muốn lớn hơn là giúp học sinh áp dụng để giải đợc các bài toán

t-ơng tự dạng trên từ đó các em thêm say mê nghiên cứu và yêu thích toán học

b giải quyết vấn đề.

i Cơ sở lý luận

Dạng toán mà tôi nói ở trên là một phơng tiện giúp học sinh phát triển t duy lôgíc, rèn luyện các kỷ năng phân tích, tổng hợp Đặc biệt khi giải các bài… toán này học sinh phải vận dụng các kiến thức của môn học từ đó khơi dậy tính hứng thú cho học sinh trong học tập

Qua việc dạy toán, dạy nâng cao và bồi dỡng học sinh giải toán 6 Qua nhiều cuộc thi học sinh giỏi các năm, qua giải toán trên mạng internet tôi nhận thấy dạng toán này thờng đợc đề cập đến Đặc biệt là có nhiều bài toán khó Vì vậy tôi chọn đề tài này để viết thành sáng kiến kinh nghiệm

Ii Cơ sở thực tiễn.

1 Thực trạng

Để giải những dạng toán nói trên đối với học sinh các em gặp khó khăn lúng túng không giải đợc vì các em cha biết cách giải Trong chơng trình học chính khoá của các em cũng cha hớng dẫn cách giải cho dạng toán này Do đó khi đa ra bài toán: Tìm 2 số tự nhiên biết a + 2b = 48 và ƯCLN (a,b) + 3.BCNN(a,b) = 114 Học sinh nhiều em không giải đợc và cũng không có hớng giải quyết vấn đề này

2 Số liệu điều tra,

Khi đa ra bài toán trên cho học sinh giải Kết quả cho thấy nh sau:

iii các giải pháp

Để giúp học sinh giải đợc bài toán trên và các bài toán có dạng tơng tự trên, bản thân tôi đã tiến hành nh sau:

1 Cung cấp cho học sinh các kiến thức có liên quan.

- Bội – ớc: Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b ta nói a là bội của b, còn b là ớc của a

* Ước chung (ƯC): Ước chung của hai hay nhiều số là ớc của tất cả các

số đó

* Bội chung (BC): Bội chung của hai hay nhiều số là ớc của tất cả các số

đó

* ƯCLN của 2 hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ƯC của các

số đó

* Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau

b) Kiến thức nâng cao:

+ Cho ƯCLN (a, b) = d Nếu chia a và b cho d thì thơng của chúng là những số nguyên tố cùng nhau

* Mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN của 2 số a, b (kí hiệu (a,b)) và BCNN của 2 số a, b (kí hiệu [a, b]) với tích của 2 số a và b là:

a b = (a, b) [a, b]

* Chứng minh: Đặt (a, b) = d ⇒ a = md và b = nd Với m, n ∈ N*, (m n) = 1 Từ (I) ⇒ ab = mnd2; [a, b] = mnd ⇒ (a, b) [a, b] = d (mnd) = mnd2 =

ab

Vậy ab = (a, b) [a, b] (ĐPCM)

2 Giải một số bài toán mẫu:

Dạng 1: Biết (a, b) và [a, b] tìm a và b.

Bài 1: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết (a, b) = 15; [a, b] = 300

Giải

Sử dụng mối quan hệ giữa a.b = (a, b) [a, b] ta có:

Ab = 300 15 = 4500 (1)

* Do vai trò của a, b nh nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a < b Vì (a, b) = 15 nen a = 15m, b = 15n (m, n) = 1 và m < n

Từ (1) suy ra: 15m 15n = 4500 nên m n = 20

Lập bảng ta có:

Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 15 vf 300; 60 và 75

Dạng 2: Biết tích của 2 số a và b và [a, b] hoặc (a, b).

Bài 2: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: ab = 216 và (a, b) = 6

Giải

Giả sử a >b vì (a, b) = 6 ⇒ a = 6m; b = 6n với m, n ∈ N*, (m, n) = 1; m

< n khi đó ab = 6m 6n = 36mn, do ab = 216 nên 216 = 36mn ⇒ mn = 6

Lập bảng

Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 6 và 36; 12 và 18

Bài 3: Tìm 2 số tự nhiên a và ba biết: ab = 180; [a, b] = 60

Giải

Từ ab = (a,b) [a, b] ⇒ (a, b) = 3

60

180 ] ,

b a ab

Giả sử a < b, vì (a, b) = 3 nên a = 3m, b = 3n với m, n ∈ N*

(m, n) = 1 vaf m < n Suy ra ab = 3m 3n = 9mn vì ab = 180 nên 180 = 9mn ⇒ mn = 20

Lập bảng:

Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 3 và 60; 12 và 15

Dạng 3: Biết tổng hoặc hiệu của 2 số a, b và [a, b] hoặc (a, b)

Bài 4: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a + b = 128 và (a, b) = 16

Giải

Giả sử a < b khi đó a = 16m; b = 16n với m, n ∈ N*, (m, n) = 1; m < n vì

a + b = 128 nên 16m + 16n = 128 ⇒ 16 (m + n) = 128 ⇒ m + n = 8

Lập bảng:

Bài 5: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a + b = 42 và [a, b] = 72.

Đặt (a, b) = d suy ra a = md, b = nd với m, n ∈ N*; (m, n) = 1 Giả sử a <

b khi đó m < n Do đó a + b = d(m + n) = 42 (1)

Từ (1) vf (2) ⇒ d ∈ ƯC (42, 72) mà ƯCLN (42, 72) = 6 ⇒ d ∈ Ư(6) nên

d ∈ {1; 2; 3; 6}

Lần lợt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có d =

6 là thoả mãn

Suy ra: m + n = 7 và m n = 12

Chỉ có m = 3 và n = 4 là thoả mãn Khi đó a = 18 và b = 24 Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 18 và 24

Bài 6: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a,b < 200 và a-b = 90; (a, b) = 15.

Giải

Vì (a, b) = 15 nên a = 15m, b = 15n với (m, n) = 1 và m > n

Do a = 15m < 200 nên m < 14

Ta lại có a – b = 90 ⇒ 15 (m – n) = 90 ⇒ m – n = 6

Lập bảng:

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: a = 195 a = 165 a = 105

Bài 7: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a – b = 7 và [a, b] = 140

Giải

Đặt (a, b) = d suy ra a = md, b = nd với m,n ∈ N*; (m, n) = 1

Do đó: a – b = d (m – n) = 7 (1) (a > b ⇒ m > n)

[a, b] = mnd = 140 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ d ∈ ƯC (7, 140) mà ƯCLN (7, 140) = 7 ⇒ d ∈ Ư(7) = {1, 7}

Thay các giá trị của d và (1) và (2) để tính m, n ta đợc kết quả duy nhất: d

Vậy 2 số tự nhiên cần tìm là: a = 35; b = 28

Dạng 4: Biết thơng của a, b và ƯCLN hoặc BCNN

Bài 8: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết = 2 , 6

b

a

và (a, b) = 5

Do (a, b) = 5 ⇒ a = 5m, b = 5n với m, n ∈ N*, (m, n) = 1 nên

5

13 5

13 6

,

2 = ⇒ =

=

=

n

m n

m

b

a

vì (m,n) = 1 nên m = 13, n = 5 Khi đó a = 13.5 = 65; b = 5.5 = 25

Vậy 2 số cần tìm là: a = 65; b = 25

Bài 9: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: 9 = 0 , 8

b và [a, b] = 140

Giải

Đặt (a, b) = d ⇒ a = m.d, b = nd với (m, n) = 1 m,n ∈ N*

⇒ = = = 0 , 8 =54

n

m nd

md b a

Và (m,n) = 1 ⇒ m = 4; n = 5

Mặt khác: [a, b] = m.nd ⇒ 140 = 4.5.d ⇒ d = 7

Lúc đó a = 4.7 = 28; b = 5.7 = 35

Vậy 2 số cần tìm là a = 28; b = 35

Dạng 5: Tổng hợp

Bài 10: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a + 2b = 48 và (a, b) + 3 [a, b] = 114.

Giải

Đặt (a, b) = d ⇒ a = dm; b = dn với (m, n) = 1 và [a, b] = dmn

a + 2b = 48 ⇒ d (m + 2n) = 48 (1) (a, b) + 3 [a, b] ⇒ d (1 + 3mn) = 144 (2)

⇒ Từ (1) và (2) ⇒ d ∈ ƯC (48, 144) mà ƯCLN (48, 144) = 6

⇒ d ∈ Ư(6) = {1; 2; 3; 6} lần lợt thay các giá trị của d vào (1) và 92) ta thấy chỉ có d = 6 là thoả mãn

⇒

m n a b

Vậy 2 số cần tìm là: a = 12 và b = 18; a = 36 và b = 6

Bài 11: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: [a, b] + (a, b) = 55

Giải

Đặt (a, b) = d khi đó: a = dm, b = dn (m, n) = 1

Giả sử a < b ⇒ m < n

Từ ab = (a, b) [a, b] ⇒ [a, b] = dmn

d

mn d s

ab b a

ab

=

=

) , (

Theo bài ra ta có: dmn + d = 55 hay d(mn + 1) = 55 ⇒ mn + 1 ∈ Ư(55) Mặt khác mn + 1 > 2 Ta có bảng

Vậy các cặp số tự nhiên a và b cần tìm là: (11, 44), (5, 10); (10, 25), (1, 54), (2, 27)

Bài 12: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a + b = 30, [a, b] = 6(a, b)

Giải

Đặt (a, b) = d thì a = em, b = dn với (m,n) = 1 Do đó ab = d2mn

⇒ d.6d = d2mn ⇒ m.n = 6

Giả sử a < b thì m < n

Ta có bảng:

Mặt khác: a + b = d(m + n) nên

30 = d(m+n) do đó m + n là ớc của 30

Nên chỉ có m = 2, n = 3 khi đó 30 = d (2 + 3) ⇒ d = 6

Do đó a = 6 2 = 12; b = 6 3 = 18

Vậy 2 số cần tìm là 12 và 18.

Bài tập tự giải

(1) tìm 2 số tự nhiên a và b, biết.

a) 1 b = 360, [a, b] = 60 b) (a, b) = 12, [a, b] = 72 c) (a, b) = 6, [a, b] = 180 d) (a, b) = 15, [a, b] = 2100 (a, b) e) ab = 180, [a, b] = 20 (a, b)

(2) Tìm phân số b a có giá trị bằng

a)

45

36

, biết BCNN (a,b) = 300

b)

35

21

, biết ƯCLN (a, b) = 30 c) 1535, biết ƯCLN (a, b) BCNN (a, b) = 3549

(3) Tìm 2 số tự nhiên a và b biết:

a) [a, b] – (a, b) = 5 b) [a, b] – (a, b) = 35

iv kết quả.

Với việc áp dụng kinh nghiệm này vào dạy nâng cao và bồi dỡng học sinh giỏi, trong các năm học qua tôi thấy thực sự có hiệu quả Từ các toán mẫu học sinh đã giải đợc thành thạo các bài toán dạng tơng tự thờng gặp qua đó nâng cao đợc kỷ năng

Cụ thể:

Trong dạy nậng cao 2 lớp 6A, 6B và bồi dỡng học sinh giỏi Sau khi tôi

đã hớng dẫn cho học sinh cách giải và qua bài tập mẫu thì nhiều học sinh biết

áp dụng và giải đợc các bài toán trên và cá bài toán tơng tự

Kết quả thu đợc:

Trên đây là một số dạng bài toán tìm 2 số tự nhiên biết ƯCLN, BCNN hoặc biết một số yếu tố liên quan đến mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN với BCNN Mặc dù đây là một dạng toán khó, nhiều em không giải đợc nhng sau khi hớng dẫn học sinh giải theo cách trên và phân loại chúng thành từng dạng liên kết thành một chuỗi thì nhiều em đã giải đợc Với kinh nghiệm này chắc chắn nó sẽ giúp các em ham đọc làm giàu thêm vốn kiến thức của mình

Tuy nhiên với thời gian có hạn, vốn kinh nghiệm còn ít chắc chắn không tránh khỏi sai sót Do đó tôi rất mong đón nhận đợc nhiều ý kiến đóng góp của bạn đọc để hoàn chỉnh hơn kinh nghiệm của mình

Phòng giáo dục - đào tạo lộc hà

Sáng kiến kinh nghiệm

Đề tài :

Bài toán: Tìm hai số tự nhiên qua cln, bcnn và mối quan hệ đặc biệt giữa cln

với cbnn