chuyên đề 8

Bài giảng số 8 LÁC HÀI THÁN VỀ SỐ PHỨC Các bài toán về số phức là chủ đề mới xuất hiện lần đầu trong các đề thi tuyển sinh vào các trường Đại hoc va Cao dang nam 2009.. Bai giang nay gi

Bài giảng số 8 LÁC HÀI THÁN VỀ SỐ PHỨC

Các bài toán về số phức là chủ đề mới xuất hiện lần đầu trong các đề thi tuyển sinh vào các trường Đại hoc va Cao dang nam 2009

Bai giang nay giới thiệu các bài toán cơ bản nhất về số phức: Các bài toán về

môđun số phức, dạng lượng giác của SỐ phức và phương trình xét trên tập các số

phức

§ 1 CÁC PHÉP TÍNH VE SO PHUC VA MODUN CUA SO PHUC

1 Tóm tắt lí thuyết

- Các phép tính về số phức:

Cho hai sô phức Z = a + bi va Z’ = a’+b’i Ta dinh nghĩa

Z+Z =(ata’)+(bt+b’)i,

Cho số phức Z = a + bi Số phức Z= a - bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên

- Môđun của số phức:

Cho số phức Z = a + bi, ta kí hiệu |Z| là môđun của số phức Z được xác định như sau:

|Z|= Na? +b“

- Cho hai số phức Z = a + bi va Z’ = a’ + b’i Ta dinh nghia

Z.Z’ = aa’ — bb’ + (ab’ + a’b)i

- Cho sé phirc Z =a + bi £ 0 (tire 1a a” + b’ > 0) Ta dinh nghia

Z' = a“ +b — 7= An, a“ +b

Néu Z # 0 thi Sa ZZ"

2 Các dạng toán cơ bản

Loại 1: Các phép tính về số phức:

Các bài toán thường có dạng hoặc đòi hỏi tính toán trực tiếp một biểu thức về

số phức, hoặc phải giải một phương trình dạng đơn giản dé tim số phức Z, ma thyc chất của phép giải phương trình này chỉ đòi hỏi thực hiện các phép tính về số phức

Thi dul: (Dé thi tuyén sinh Cao đẳng khối A, B— 2009)

Tim phan thực và phan ảo của số phức Z, nếu như ta có

(1+?}(2—-i)Z= §ti+(1+20Z

at q-0d+2p, SS

1—

Giai

Ta có (1+ iy 2-i)Z= 8tit+(1 + - 2i)Z

<> Z[(1+i) (2-1) — (1+2i)] = 8 + i > Z[2i(2-i) — 1 - 21] = 8 + |

B+ _(8+i)U=21)_, ai

Vậy phân thực của Z là 2 và phân ảo là -3

Thí dụ 2:

Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số

L) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân

2) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D, sao cho ABCD là hình vuông

Giai

4 _ — =2-~2i Vậy A = (2; -2)

(1 - i)(1+2i) 2461 _ 2+ ONG = 3+i > B=(3; 1) 4) 9) 5 C= (0:2)

Từ đó suy ra BC” = 10;

BA? = 10; CA?= 20, nên có

vuông ABCD Ta có T O ; / 3 X

©> (_—l: -3) = (xu; yo-2) _ _ 2 _— => A

& Xp =-l35 yo =—!

<> D =(-1;-1)

Vậy số phức Z = —l—i được biểu diễn bởi điểm D

Thí dụ 3:

Giải các phương trình sau:

I)(2-)Z-4=0;

2) 211 atest

Giai

ee

5 5

>: _ _

l—I - :2+] 2+

;-(-l†3)0d-U_ 2+ái

c© z-(@+#)-4)_ 22 4,

2 2S 25

Nháu xét:

2+i

l—I

} 5)

Thực chất đây là các bài toán thực hiện các phép tính trên số phức Thi du 4:

Giai cac phuong trinh sau:

1) Z+2Z=2-4i,

2)Z?+Z=0

Ï) Xét phương trình Z+22Z=2-ái (1)

Đặt Z=x+yi => Z=x-yi Khi đó

(1) <> (x + yi) + (2x — 2yi) = 2 - 4i

© 3x-yi=2-41

Bàn

So

—y=-4

2

Vay Z=2+4i

>

2) Xét phuong trinh Z? + Z=0 (1)

Dat Z=xt+tyi—> Z =x-—yl Tudo

(Io x?-y’ + 2xyi+x—yi=0

<> (x’-y" + x) + (2xy —y)i = 0

X —y +x=0

y(2x-l)=0

ms

=0

x ` +Xx=Ô0

x=-l

2 x= so

~_y=0Q

LA 2

Vay (1) co cac nghiém sau : Z; = 0; Z,=-—1 °

>

"-

Zy=_—+ i;

32° 2

I3

4==———!

2 2 Nhận xét: Ta đã sử dụng định nghĩa về sự băng nhau của hai số phức

a+bi=a +bi<c©

b=b'

Thi du Š:

.\4 Giải phương trình: 2H] =]

Z-1

Giai

Xét phương trình { 2* ¡ =1.(1)

Z+i

Ta có (Ì) ©= ,

Z+1

LZ—I

LZ +i

Dé thay (2) =

|Z Z+l_

Tuong tu (3) <= > MA

Z-1

Vậy (1) có 3 nghiệm Z\= 0, Z:= 1, “4= -Ï

Loại 2 : Các bài toán về môđun của số phức:

Các bài toán thuộc dạng này có các dạng cơ bản sau :

- Tính các biêu thức có chứa môđun của sô phức

l = Tl (loại)

Z=0

+i

—l_—i 1+1

- Tìm tập hợp điêm các sô phức nêu như chúng thỏa mãn một điêu kiện nào

đó về môđun

- Giải các phương trình có liên quan đến môđun số phức

Thí dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối 4~ 2009)

Cho Zi, 2; là nghiệm của phương trình Z + 2Z+ 10 =0 Tinh đại lượng

=|ZiP + Za

Giai

Xét phương trình Z” + 2Z + 10 =0(1),

ta có: A'= I_— 10=—9

vay (1) |

=97 => JA’ =3i

Z,=-14+31

Z.=—l~3i.

diễn số phức Z = x + yi nằm trên đường

tròn tâm I(3; —4) bán kính R = 2

còn I(3; —4) là điểm biểu diễn số phức 3-4i

Khi do ta co:

tam | ban kinh 2 Ta thu lai két qua trên

Ta có: 211 =IZal= V1 +9 =J10 Vay A= Z7+Z? =20

Thi du 2: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối B — 2009)

Cho số phức Z thỏa mãn:

°Z-—(2+i)|= 10 và Z.Z=25 Hãy tìm Z

Dat Z=xt+yi > Z=x-yi > ZZ =(x+ yi)(x~ yi)= XỶ + yỶ

Ta c6 |Z —(2+i)|= jJ(x+2)? +(y—

Từ đó theo bài ra ta có hệ phương trình:

n2 +(y~I} =10 x? + y? =25

<> P(B;)= C2; (0,03) (0, ø;)!8

x+2y=l0 x=3;y=4

Vay là hai sô phức cân phải tìm

Thi du 3 (Dé thi tuyển sinh Dai hoc khối D — 2009)

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z biét rang |Z — G- 4)| =

Giải

Giả sử Z=x+yl, khi đó: |Z_— (3 — -4i)|= =

3l

I[(1+3tšÏ' (1+3t)2

Tu (1) suy ra cac điểm M(x; y) biếu

> \(x- 3)+ (y+4)i|=2 =“ - 9

Y¿ bu

Chu y:

Ta có thê giải bài toán trên như sau:

Gọi M là điểm biểu diễn "SỐ phức Z °

IZ— (3-41) = 2 &]MI=2 (2)

Tu (2) suy ra M nam trén duong tron

Thí dụ 4

Tìm số phức Z nếu Z + |Z| =

Dat Z=xt+yi => |Z|= \jx?+y2 , khi đó Z? +|Z|=

©(x+yÖŸ tyx?+y? =02 (x? ty?}+ Vx? +y? +2xyi =0

an a ~y? +x? +y? = 0 (1) |

<>

Giai hé (3) (4) va (5) (6) (dé dang) ta di dén hé (1) (2) có nghiệm

x=0:y=0 x=0:y=-—Ì x=0;y=l

Vậy ba số phức cần tim Z = 0; Z= i; va Z = -i

Thi du Š

Tim tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z nếu như thỏa mãn một trong các

_ điều kiện sau:

1/|Z + 2| = li — 2 2/ |Z — 4i| + |Z + 4i| = 10

Giải l/ Taco |Z + 2) =|i-Z| = |Z-(C2)|=|Z-1()

Goi M la diém biéu dién SỐ phức Z, A là điểm biểu diễn số -2 (tức là

= (-2;0), B là điểm biểu diễn số I (tức là B = (0;1)

Khi do (1) <> MA = MB (2)

Từ (2) suy ra tập hợp những điểm M biểu diễn số phức Z nằm trên đường trung trực của đoạn AB

Chứ ý: 1/ đây ta đã sử dụng nhận xét sau: Nếu M¡M; tương ứng là hai điểm biêu diễn các số phức Z¡.và Z thì:

A |Z \—Z,| — MM,

y + Ta có thê giải cách khác như sau: Đặt Z = x

+ VI

Ta có: |Z + 2| = |L— Z|

© |x+2)+yi| =|x +(y— DI

2 \ Vậy tập hợp các điểm M là đường thang (3)

Các bạn có thể thấy (3) chính là trung trực của AB

Gọi M là điểm biểu diễn số

phức Z, A = (0, -4) và B = (0; 4)

tương ứng là các sô phức -—4i và 4i

Khi đó:

|Z — 41| + |Z + 41] = 10

Từ (*) suy ra M năm trên elip có hai tiêu

diém la A; B và trục lớn băng 10

x yy

9 25 —

Thi duo:

Tim tập hợp các điểm trong mặt

phăng phức biêu diễn các số phức Z +

<> 2jx + (y—- Hil = J2(y + I)i| |

© x? +(y-1) = (y+)

x

% ¬ ¬

l2

x Vậy tập hợp những điểm M là parabol y = 7

Nhan xét:

Với các thí dụ 3, 4, Š nên sử dụng biêu diễn hình học của sô phức

Còn trong thí dụ 6, thì sử dụng băng phép tính về môđun

Thi du 7:

ad

Tìm số phức thỏa mãn hệ:

Z-3I|_ !

Z+i| |

Giải Với hai số Z„ Z` (Z' # 0) thi z = ra ,„ do đó hệ đã cho tương ứng VỚI:

fee "`

lz-3i|=|z-(-j| _ (2)

_Goi M là điểm biểu diễn số phức Z„ A=(1;0), B = (0;1) tương ứng biểu diễn các số 1 và ¡; C (0;3) và D = (0; —1) tương ứng biêu diễn các số phức 3i và —i thì:

MC=MD (4)

lo - Từ @) (4) suy ra M là giao điểm của

34 y=* đường trung trực của AB và đường trung -

trực của CD

y=1 đường trung trực của AB và CD

5 ˆ —s >x_ Vậy.Z= I + ¡ là số phức cần tìm

Thi du 8 Tìm sô phức thỏa mãn hệ

Z-8i| 3

Z-4 |

Z+8

Giai Dat Z= xtyi khi do:

Z-4

=l ©|x—4+yl|= |x— 8 + yli

<> x= 6()1)

=— <©|x—- 12+ yi|=—|6 + (y—8)I

© 36+yŸ =S|36+(y~8) ]

<> y* —25y +136=0

=17

es |

Vậy có hai số phức cần tìm: Z = 6 + 8i và Z = 6 + l7i

Nh@n xét:

Hai thi du 7 va 8 cing loại nhưng ta dùng hai phuong pháp giải thích hợp khác nhau (phương pháp biểu điễn hình học của số phức với thi dụ 7, phương pháp

tính toán môđun với thí dụ 8) _

§2 DANG LUONG GIAC CUA SO PHUC

1 Tóm tắt lí thuyết

Nêu o là một acgumen của sô phức z thì mọi acgumen của nó có dạng

Nếu r > 0 là môđun của số phức z, còn @ là một acgumen của nó, thì

=r(cos@ + isin @) là đạng lượng giác của số phức z

thi z, 22 = rir› | cos (9, +0;)+isin(@, —@› N

Zz

AL = “LÍ cos( — @2)+ isin (@, — 2 ) | :

22 J2

Công thức Moivre: Nếu z = r(cos @ +isin @).„r > 0

thì z” =r” (cos nọ + ¡sin nọ)

2 Cac dang bai tap cơ ban

Loại 1: Các bài toán xác định acgumen của số phức

Nhìn chung các loại bài tập này có cách giải chung như sau: Giả sử phải tìm một acgumen của số phức z Ta cần biến đổi sao cho z có dạng:

z=r(COS @+ isin @}) voir > 0

Khi đó œ là một acgumen cua z

Thi dul

Cho s6 phire Z= |-sin p+icos @ (0 <@<>)

Tim mot acgumen cua so phuc Z

Giải

Taco: Z=1-—sing+ising =I —eos|Š —ø | isin| 2 ~ 6)

= 2sin'( ~ # ]+ isin| E - Ÿ loos

Do 0<@<^ => t5) >0

Vay từ (1) suy ra 7 + 2 là một acgumen của Z

2

Thi du 2

Cho số phức Z có môđun băng | va œ là một acgumen của nó

I/ Tìm một acgumen của số phức z-

2/ Tìm một acgumen của số phức Z + Z nếu coso #0 °

Giai

Tu gia thiét suy ra: Z= cos » + isin @

1/Ta có Z _cosp~—ising cos(—@ )+ ¡ sin(—@)

cos@ + ising cos@ +ising

Vậy —2@œ là một acgumen cua số phức “=>

2/ Ta có Z+Z = COSO + I SI1(0 + COSO — I Sin( = 2coso

+ Nếu @>0 khi đó Z +Z = 2cos—l= 2cos @ (cos0 + isin0)

Vay luc nay 0 la mét acgumen của số phức Z¿ = Z + Z

+ Nếu @ <0, khi đó Z + Z = (~2cos@) (—1) =(—2cos@)(coszt + ¡ sin r)

Do -2cos @ > 0 nên Z;= Z + Z có một acgumen là 7

Loại 2: Các bài toán xác định sô phức Z dựa vào điều kiện vê acgumen:

Thí dụ ï

Xét các sô phức Z thỏa mãn điều kiện

2z~2 =i⁄2|=1 (1)

1/ Tìm tập hợp các điểm M biêu diện số phức Z thỏa mãn điều kiện (l)

2/ Trong các sô phức đã cho (tức là thỏa mãn điều kiện (l)), tìm sô phức có

acgumen dương và nhỏ nhật

Giải 1/ Ta co:

(1) <=© 2-(2i2) =5 ©)

Goi | si là điêm biểu diễn số

phức Ý2 ,¡v2 khi đó

Ị

ụ Wz i Từ (3) suy ra tập hợp các điểm biểu diễn

" sO phirc Z thoa man (1) la đường tròn tâm

[ bán kính I

2

2/ Kẻ tiếp tuyến OK với đường tròn ở câu 1 Dễ thấy OI = 1, nén

sinlOK = Š=Ì — jOK =Ã

——_SsỐÖỐ

Ta có: KOx= —

12

1T 7 cos — + isin——

x

4

Vậy số phức Z = O

“es,

= ——| COS—— +iSin— |,

là số phức thỏa mãn (1) và có acgumen đương và nhỏ nhất

Thí dụ 2:

Tìm số phức của Z sao cho |_—— _ =] và Z+l có một acgumen bằng —,

iai

Từ LÝ~LÍ=1 ©|Z—i|=|Z+3i|

Z+3i

© |x+(y-!)i|=|x+(y+3)i|, (ở đâyZ=x+yj)

Sw +@-3Ÿ= xt(y+3)

xe

>

pes

Vay Z = x-1

Ta có: Z † l =(x+ ])_—i (1) Vị Z + 1 có một acgumen bằng~= nên Z+† có

dang:

Z+l=r cos(~) +isin( -2 | voi t>0 = —(V3 -i) ooe(-F) 9-3 s(8-))@ (2

rv3

Từ (1) (2) suy ra 2 > 4

2

Vậy Z2 = 2/3 - I—i là số phức cần tìm

Xác định tập hợp các điểm trên mặt phăng phức biêu diễn các sô phức Z sao

Ẩ , Z-2 , ^ ` T

cho sô phức có một acpgumen băng 30

Giai

Giả sử Z =x + yi, thi:

Z+2 (x+2)+yi_ (x-2) +y? (x-2}ˆ +y? (x-2) +y?

{’ Do —— cé mét acgumen bang = , hén ta co:

a” ở _ Từ đó suy ra:

4y _ w3 (x-2) +y? 2

Tir (1) (2) dan dén y>0 (do t>0) va

2 2 4 \

ca -ðee(-Ä] (al (x 2Ÿ +y 3 V3

Kết hợp (3) và y >0 suy ra tập hợp các diém M can tìm là phần đường tron

tâm tại điệm [| 0;——= | bán kính —= năm phía trên trục thực (trục Ôx)

Loại 3: Dạng lượng giác của số phức:

Khi giải các bài tập cân lưu ý đến các điều sau đây:

- Dạng lượng giác của SỐ phức có dạng: r(cos@ +1 sing) , voir > 0

- Thuộc các công thức nhân, chia và công thức Moivre đối với số phức dưới dạng lượng giác

Thidu lt:

Tim phan thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

(+i)

l/ Z¡=————_ :

(43+¡}

2172 “(ssŸ-isn2] i? (1+ V3

L/ Ta có:

⁄2

Theo công thức Moivre ta có:

siete) tet it

12

(1+i)” (V2) (cos3z+isin37) 3n sn)

|= 9 = =— | cos—— a3 + isin—— |

(V3 +i) 2° (cos + isin 5) 2

Vậy phân thực của Z¡ là 0, phân ảo của nó là “3°

2/ Ta có: cos——isin— = cos|—5] +i sn| =5]

3 [-32) + isin{ 22]

i” —i=cos| —— |+isin| -— |;

I+A/3i=2 1.13, = 2{ cos% +isin 5 ]

Từ đó theo công thức Moivre ta có:

=] ¬ “2 ( = ^ == 7 7x 7m

Zy =| cos} -—— }+ isin] —— | || cos| —— |+isin} -— ||.2ˆ | cos—— + isin—— Ì

Theo quy tắc nhân số phức dưới dạng lượng giác ta có:

Vậy phần thực của Z¿ là -25 /3 = -64./3 , phần ảo của Z; là —64

Thí dụ 2

|

-k, $k , : ~ l _ Xs, kí 2010

Biết rằng sô phức 2Z thỏa mãn Z + 7 | Hay tinh Z * 53010

Giải

Từ

Ì 3 71L 7 , “£=2+-2 I=Co0s +tisin

Z+>=l«sZ ~Z+I=0 >

1 V3 ( 3 ¬ ( 3

Z=————-I=(COS| —— |+ISin| —— |

a/Néu Z = cos— +isin= => Z0 =eos“ T— +isin^.— ()

Ta có: —=——————— | TL * to =cos— -Ï Sin— =cos| —— |+isin| —— 3 3 3) 3

cos — +isin—

— z3 = COS “3 + ISin| — 3 (2)

=2cos(670z) = 2

Từ (1) (2) suy ra: Z””!” + 72010

b/ Néu Z = cos —= | i sin( -2 => + =cos—+isin= => Z?!9 to =2

Tóm lại ta luôn có : z?919+ — =

Z

Cho sô phức Z -(; 5) Tim m nguyên dương đề Z là số thực; là sô ảo

Giải 7+1 7+1)(44+31

Ta co: 4—3i ri _| iN 25 ) 14i=V3[ e+ Jai] =Vi[ cos + isin) _— \M2_ 2 4 4

in

Theo cong thie Moivre taco: Z=2? [cos + isin | (1)

Tu (1) suy ra:

Z là số thực © sin~— =0 c2 =k <> m = 4k; voi k = 1, 2,

Z là số ảo << cOs—— =Ö << mẽ =4k+2,vớik=0, 1,2

§3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC

Trong mục nảy sẽ xét việc giải phương trình trong đó ân SỐ của mỗi phương trình là một số phức Z Đề giải được phương trình trên tập số phức cần năm vững các kiến thức sau:

1/ Biết cách khai căn bậc hai của một số phức Z = a+bi

2/ Biết cách giải phương trình bậc hai ax”+bx+c =0, trong đó các hệ số a,

b, c nói chung là các số phức

3/ Thành thạo cách giải phương trình và hệ phương trình hữu tỉ

Cần nhớ rằng việc giải phương trình trên tập số phức về cơ bản giống như giải phương trình trên tập số thực, chỉ có cái khác là phép tính ở đây là các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và khai căn số phức

Các dụng bài tập co ban

Loại 1: Giải phương trình bậc hai trên tập các số phức:

Phương pháp giải: Sử dụng công thức nghiệm như công thức nghiệm đỗi với phương trình bậc hai trên tập các sô thực

Thí dụ 1: (ĐỀ thi tuyển sinh Cao đẳng khối A, B — 2009)

Giải phương trình sau trên tập số phức:

4-3-1 =Z_—-21I

Z-i