chuyên đề 7

Bài giảng này đề cập đến những phương pháp cơ bản và thông dụng nhất để chứng minh bất đăng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.. Mot dang thong dung cua bat dang thirc

Bài giáng số 7 HẤT HẲNG THỨC VÀ BIÁ TRI

LON NHAT, NHO NHAT CUA HAM SG

Bắt đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số luôn là một chủ đề hấp dẫn trong chương trình giảng dạy và học tập của bộ môn Toán ở nhà trường pho thông Trong các đề thi môn Toán của các kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đăng, các bài toán thuộc đạng này luôn có mặt, đặc biệt trong những năm gân đây nó déu thudc vao những bài toán khó (thường xuất hiện ở câu 5)

Bài giảng này đề cập đến những phương pháp cơ bản và thông dụng nhất để chứng minh bất đăng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

§1 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG

THUC VA TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỬA HÀM SỐ

, ok , ,

1 Các kiên thức cơ bản

Bát đăng thức C'ôsi cho hai hoặc ba số

a/ Nêu a, b là các số không âm, khi đó ta có:

at? > Jab (1)

Dau bang trong (1) xay ra <> a=b

b/ Néu a, b, c là các sô không âm, khi đó ta có:

a+b Tf > ¥Yabe (2)

3

Dấu bằng trong (2) xảy ra <> a =b=c

Mot dang thong dung cua bat dang thirc Cosi

a/ Nêu a, b là các sô dương, thì

Loại I: Các bài toán sử dụng trực tiếp bất đăng thức Côsi

Đặc điểm của những bài toán này là có thể sử dụng trực tiếp ngay bất đăng thức Côsi để chứng minh bất đăng thức trong đề, mà không qua các phép biến đỗi

trung gian phức tạp Với những bài toán này các số a, b (hoặc a, b, c) trong các bất đăng thức Côsi cho hai số (hoặc ba số) có thê lựa chọn được ngay từ đầu bài

Thi dul (DE thi tuyén sinh Dai hoc khối B — 2005)

Chứng minh rằng voi moi x € ®, ta có:

I2\YX (20) | IS\* (20)* ,

——~= | 4/221] >24* (2 — | +| —| >25S` GB

Dau bang trong (2) cting nhu trong (3) xây ra > x=0

Từ (1)(2) ) suy ra (sau khi cộng từng vẻ VỚI về của ba bất đăng thức)

Dấu băng trong (4) xây ra khi và chỉ khi đồng thời có dấu băng xảy ra trong

(1) (2) (3) ture Ja khi va chi khi x =0

Nhan xét-

Dang tông quát của bài toán trên là: Nếu a, b, c >0 thì:

a+b+c> vab + vbc + ca

Thi du 2: (Dé thí tuyển sinh Đại học khối D — 2005)

Cho các sô dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1 Chứng minh răng:

Theo bất đăng thức Côsi ta có:

1+x`+y ` >3ÿ1.xÌ.y` =3xy.

Từ đó suy ra:

Vl¢x +y? v3

Dấu bằng trong (l) xảy ra © l =x`=y`© x=y

Lập luận hoàn toàn tương tự ta có:

(do xyz = 1) Dau an trong (5S) xảy ra > x=y=z= Ì

Tir (4) (5) suy ra:

Thí dụ 3 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D — 2008)

Cho x, y là các số thực không âm Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:

_ (x-y)(I-xy)

(1 + x) (1+ y)

Giai

Do x, y> 0, nên hiện nhiên ta có:

l(x _y)( —xy)| <|(x + y)( + xy) =(x + y)( + xy)

Tóm lại, P đạt giá trị lớn nhất = rr và đạt giá trị nhỏ nhất khi P= Ta

Thi du 4: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc Sai Gon khối A - B 2007)

Cho a, b, c là ba sô dương thỏa mãn a "+b+c” =] Tim giá trị nhỏ nhất của biểu

Dau bang xay ra <> a=b=c=

Vay P nhận giá trị nhỏ nhất = V3 khi và chỉ khi a=b=

Thi du 3: (Dé thi tuyén sinh Cao dang Sư phạm Quảng Binh — 2006)

Cho a >0, b >0 Chứng minh 3a + 7b > 9ab”

Giải

Theo bắt đăng thức Côsi ta có

3a) + 7bŠ =3a2 + 3b + 4b) >3Ñ36a?b =3ab2336 (1)

Do ab >0, còn 3/36 >3, nên từ (1) suy ra

3a” + 4b” > 9ab” (2)

Dấu bằng trong (2) xay ra <> ab’= 0

Tuc la trong | hai số a, b có ít nhất một số băng 0

Thi du 6 (Dé thi tuyén sinh Cao đăng Cơ khí luyện kim -2006)

Cho a, b, c>0 Chứng minh

23 3 3

3 +P LC >ab+bc+ca,

b c a

Tương tự ta có: — + bc > 2b“ (3) ba 22c (4)

C Dấu bằng trong (3), trong (4) xây ra tương ứng khi và chí khi b =c:c = a

Cộng từng về với về của (2) (3) (4) ta có:

VT (1)> 2(aÌ+ b’ +) (5)

Dấu bằng trong (5) xây ra © đồng thời có dau bang trong (2) (3) (4)

<>a=b=c

Lại theo bất đăng thức Côsi ta có:

2(a° + b? +07)=(a? +b?) +(b? +07) +(c? +a?) >2(ab+ be + ca) (6)

Dau bang trong (6) xay ra <> a=b=c

Lai theo bat dang thirc Cési ta co: to 4242 > 33 _—.>.š = 3 (3)

y 8 8 y § 8 4

Dau bang trong (3) xảy ra © a " 3 << y =3

Lại có: x + y > 4 (gia thiét) (4)

Dâu băng trong (4) xảy ra <S>=x +y =4

Tir (2) (3) (4) taco: A> 142.5 +2 = ¬

bề +y? = /3xy Thi du 9: 5

Cho x>0, y>0 và x+yÝ = 1 Chứng minh

s=(1+x)[I+> ]+(+y(+ + 3/5 +4

Giải

x++> V2 (2): y+t> V2 (3)

x

“y

Dau bang trong (2) và (3) xay ra <> x =y =:

Lại theo bất đăng thức Côsi, ta có:

Cho x, y, z >0 va + + =2 Chứng minh rằng: xyz <1

Loại 2: Sử dụng bat đăng thức Côs¡ kết hợp với biến đổi đại số

Với các bài tập dạng này không thé ap dụng trực tiếp bất đăng thức Côsi để chứng minh như các bài tập thuộc dạng 1 Đề có thé sử dụng được bất đăng thức Côsi, trước hết ta cần thực hành các phép biến đối đại số, mà chủ yêu là phép đặt

an phụ Sau quá trình biến đổi ta đưa bất đăng thức cần chứng minh về dạng mà có thể sử dụng trực tiếp được bất đẳng thức Côsi

Thi dul (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối A-2007)

Cho x, y, z>0 va xyz=1 Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

i du 2: (Đề thì tuyển sinh Đại học khối 4 - 2009)

ho x>0, y>0, z>0 va thoa man diéu kién x(xt+y+z) =3xyz

hứng minh:

(x+y) tx+y) +3(x+y)(x+z)(y+z)<5(y+z}

Giải 25ặta=x+y;b=x+z;¡c= y; khi đó ta có a>0,b>0,c> 0 và:

a+b-c a+c-b b+c-a

Từ giả thiết x(x+y+z)=3yz, ta có:

a+b-—c a+b+c „a+b-c b+c~a

c? =a? +b? —ab=(a+b)° ~3ab

Theo bất đăng thức Côsi ta có:

Theo bất đẳng thức Côsi và theo (4) ta có:

3ab < =(a + by’ < 3c”

Từ (7) và do c>0 suy ra: (a+b)c< 2c?

Từ (7) (8) suy ra (Š) đúng => dpcm

Œ)

(2) (3)

(4) (5)

(7) (8)

Nhan xeét:

Trong bài tập trên ta sử dyng bat dang thirc Cési 6 dang don giản nhất

5

a +tb> 2vab <>(a+b) 2 4ab

Tuy nhiên, phép biến đối đại số ở đây đóng vai trò rất quan trọng

và ta có: a= ›b= te =——

Từ đó: abc >(b+c—a)(a+c—b)(a +b_— c)

¬ <>(y †Z)(x † Z)(y + x) 2 6xyz (])

Theo bât đăng thức Côst, ta có:

Ở đây ta sir dung bất đăng thức Côsi dạng đơn gian nhat: a+ b2>2VJab voi a,

b >0 Tuy nhiên phương pháp biến đổi đại số để đưa bài toán về dạng có thể áp dụng được bất đăng thức Côsi mới quan trọng

Thí dụ 4: (Đề thì tuyển sinh: Đại học khối A — 2006)

Cho hai số thực x#0,y #0 thay đối và thỏa mãn điều kiện

(x + y)xy = x7 + y?— xy

Tìm giá trị lớn nhất của biêu thức:

(x ty)ay =x + y= xy, taco

(+2) i t+te a+b=a”+ bỶ~ ab (1)

ab a” ab b

I | 2

Ta có: Anatase tb =(a+b)(a* -ab+b’) =(a+b) (do (1))

Theo bat dang thirc Cési ta cé: (a + b)° >4ab > ab< =(a + b) (2)

a+b=a + b’— ab = (a + by — 3ab2 (at by —7 (a+ by =a+b>-x(a+b)

=>(a+b}“ —4(a +b)<0 =0 <a+b<4 (3)

Từ (3) suy ra: A = (a + b)} < 16 (4)

Dấu băng trong (4) xảy ra © a+b=4vàa=b <6 x=y= >

Tom lai min A= 16 <= x=y= >

Dấu băng trong (4) xay ra khi va chikhix=y=z= I

Vi xyz = ] nên viết lại (1) dưới dạng:

Thư dụ 1: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối A — 2005)

Dấu bằng trong (3) xay ra <> x=y =z

ở đây a, b, c là ba cạnh còn p 1a nua chu vi tam giac

Giai Theo bat dang thirc Cési co ban, ta co:

| P= + +— +X+y

I—x |l-y x+y

Do đó Pain =0

Loại 4: Sử dụng phép thêm bớt khi sử dụng sử dụng bất đăng thức Côsi:

Có hai cách thêm bớt chính: thêm bớt hằng số và thêm bớt biểu thức chứa

biến Xét các thí dụ mình họa sau đây

Thi du 1: (Đề thì tuyển sinh Cao đăng khối A, B — 2005)

Cho x> 2, y > 3,z> 4 Tìm giá trị lớn nhất của biêu thức:

xyVz—4 +YZVx-2+ zx/y -3

¡ bớt hăng sô và sử dụng bat dang thirc Cé6s1, ta wv

(en ay4 s E44 vz~4 4

ich thém bot hang so va theo bat dang thirc Cési ta cd

ea dy =‡x+3y}.LI ee eee _x+3y+2

MJÌ—x? =ÄÑl—x.l+x< lixivEL—X (1)

2

Virx =Vi-x1s SQ)

S<l4+vl—-x+vi4+x (4) Dấu bằng trong (4) xảy ra ©> đồng thời có dẫu bằng trong (1) (2) 3)

Z+X

x+y+zZ

2 (4) Cộng từng về (1) (2) (3) và có: S>

Lại áp dụng bắt đăng thức Côsi, ta có:

x+y>2/xy;yY+z>2\jyz;Zz+x>2Vzx

Vậy: x+y+Z> Jxy + Jyz+vV2zx =I (5)

- Tur (4) (5) suy ra: S > > = đpcm

Dau bang xay ra <> x =y=z= 3

Trong các thí dụ 6, 7, 8 ta đã sử dụng phép thêm bớt biêu thức chứa biên khi

sử dụng bât đăng thức Côs¡

Dat a=3*; b = 3°; c=3* => a,b, c> 0

Tur gia thiét tac: 3**) +394? + 34** = 3 <> ab+ be +ca =abe (1)

Khi đó bât đăng thức cần chứng minh có dạng tương đương:

Theo bat đăng thức Côsi, ta có:

Cộng từng vé (2) (3) (4) => 2 đúng => dpcm

Dấu băng xảy ra © a=b=c=3 <{>x=y=z=Ì

§Z SU DUNG CHIEU BIẾN THIEN HAM SO DE CHUNG MINH BAT DANG THUC VA TIM GIA TRI LON NHAT, NHO NHAT CUA HAM SO

Đây là một trong những phương pháp cơ bản dé chứng minh bắt đăng thức

Đề sử dụng phương pháp này người ta tiến hành như sau:

- Với mỗi bất đăng thức hãy chọn một hàm số thích hợp (các hàm số này thường có thé thấy ngay từ đầu bài, hoặc sau một vài phép biến đối đơn giản sẽ tìm

được nó)

- Khảo sát chiều biến thiên hàm số vừa tìm được trên miền xác định của nó

(miễn xác định này được tìm thấy dựa vào điều kiện của đầu bài) Thông thường ta

sử dụng đạo hàm đề lập ra bảng biến thiên

- Từ bước 2 sẽ cho ta lời giải của phép chứng minh bất đăng thức, hoặc giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số cần tìm

Thi dul: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối B-2009)

Tìm giá trị lớn nhât và nhỏ mhật của biêu thức:

A= 3x! ty +x? y ?)- 2( x? +y?]+1,

với x, y là các số thỏa mãn điều kiện: (x + y) + 4xy >2

Giải ~

Dựa vào bắt đăng thức hiển nhiên (x+ yy >4xy, nên từ

(xty)' + 4xy > 2 => (xty)’ + (xty)’> (xty)? + 4xy >2 => (xty)’ + (x+y} —2>0

=> | (x +y)-1] (x+y)? +(x+y)+ 2|>0 (1)

2

Do GẶ+y +(x+s)+2=|+y)+2 +7 >0 va tir (1) suy ra: xty > 1

Vay néu cap (x, y) thoa man yéu câu đầu bài thì x+y> ! (2)

“Ta biến đổi A như sau:

2

A= 3(x4 +y!" +X ?y?)- 2(x +y?]+l

=3(x? +y?Ÿ +2 (x! +y1)-2|x? +y?)+l -)

2

2 2

D ox +y 4 4 2 nén tur (3) suy ra: (x +y?) ^ `

S(x?+y?} + 2(x*+y*)~2(x? + y?) 41

hay Az=(x? +y?} -2(x2 +y?)+]

Vi x+y 2 Ae nên từ (2) ta có Payer

Tom lai min A = 16 (và có thể thấy điêu đó xảy ra ©> x= y= —) 2

Thí dụ 2 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D-— 2009) — - _

Cho x, y> Ö và x + y = I1 Tìm giá trị lớn nhât và nhỏ nhật của biểu thức:

Thi du 3 (Đề thì tuyển sinh Cao đẳng khối A, B — 2009)

Cho 0 <a<b< 1 Chứng minh: a”Inb—bỶ Ina >lna —lnb

Thí dụ 4- (Dé thi tuyén sinh Cao dang khối A, B — 2008)

Cho x, y [a cdc s6 thuc va thoa man x? + y* = 2

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P= 2(x? + y*)- 3xy

Thi du 5: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối B-2007)

Cho x, y, z>0 Tìm giá trị nhỏ nhật của biêu thức:

-Q) $5:

Vay f(x) la ham nghich bién khi x>0 Do a >b>0 né€n ta co: f(a) < f(b)

Vay (2) ding = dpcm Dau bang xay ra ©> a= b -

Thi du 9: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối B -— 2003)

Tim giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

| Vay max y = y(2}= 2/2 5

Min y= min {y(—2);y(2)} = min {-2;2} =-2

Nhận xét:

Ta có thê giải như sau:

Do-2<x<2 => x+V4-x? 2-2 và y(-2) = -2

Vay miny =2

Để tìm giá trị lớn nhất ta sẽ sử dụng bất đăng thức Bunhiacopski

Bình luận: Với các thí dụ 5, 7, 8, 9 việc sử dụng trực tiếp phương pháp chiều biến thiên Hàm số đề giải bài toán là rõ ràng và quá đơn giản

Trong các thí dụ 4, 3, 2, I và I0 ta thường sử dụng đặt biến phụ đề có hàm số tương ứng Khi đặt â ân phụ, điều lưu ý là cầm tìm miền xác định cho biến mới đó Thi du 10: (Dé thi tuyén sinh Cao đẳng Giao thông Van tai — 2005)

Cho x, y, 20 va x+y=1 Tim giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biêu thức:

P=32*+3, Giải

Ta có y= I—x, từ đó P =37% +3! =3* tt với 0<x< I1

§3 CAC PHUONG PHAP KHAC CHUNG MINH BAT DANG

THUC VA TIM GIA TRI LON NHAT, NHO NHAT CUA HAM SO

Trong mục này, chúng tôi để cập đến một số phương pháp khác để chứng

minh bất đăng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Mặc dù các bài tập

sử dụng những phương pháp này hoặc là chưa có mặt, hoặc là có mặt chỉ một, hai lần trong các kì thi tuyên sinh vào Đại học và Cao đăng trong những năm gan đây

Nhưng chúng tôi nghĩ rằng phương pháp mà sắp được giới thiệu ở đây là rất có ích trong việc chứng minh bất đăng thức và tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm

số Việc sử dụng nó để giải các bài toán trong các kì thi tuyến sinh sắp tới là khả

năng hoàn toản hiện thực và có tính khả thi lớn

a Phương pháp miễn giá trị hàm số để chứng mình bất đăng thức và tìm

a2 sinx + b›¿ COSXx +C¿ a2x“ˆ +bạx+C;

Để giải các bài toán này, ta tiễn hành theo lược đồ sau đây:

Giả sử yọ là một giá trị tùy ý của hàm số Khi đó phương trình sau (ân x)

Thi du 1: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối B — 2008)

co nghiém Do sinx—2cosx + 3 >3— J5 >0 Vx,nên

(1) © 2sin x +cosx +1 = m(sinx + 2cosx + 3)

_—— ©(2-m)sinxrt (I†2m)cosx = 3m—I (2) ¬ Theo lý thuyết phương trình lượng giác (phương trình bậc nhất đỗi với sinx và cosx thì (2) có nghiệm:

1

<>(2-my +(1+ 2m)“ >(3m-— 1) <> 2m’?-3m-2 <0 ==> <m <2 Đó là dpcm

Chi y: Dau bang bén phai xay ra <> m= -5 © sinx=-—Ì (theo (2))

> x==z+k2m,k EZ

Bạn đọc tự xét khi nao dau bằng, bên phải xảy ra!

b Phương pháp sứ dụng bất đăng thức Bunhiacopski

Bat đăng thirc Bunhiacopski \a một bất đăng thức cũng rất thông dụng chỉ sau bat dang thức Côsi Mặc dù nó chỉ xuất hiện một lần trong các đẻ thi, nhưng không

vì thế mà ta xem nhẹ các dạng bài tập thuộc loại này

Thi dul (Dé thi tuyên sinh Đại học khối B — 2003)

Ta sẽ str dung bat dang thirc Bunhiacopski dé tim gia tri lon nhat cba ham sé

Ap dung Bunhiacopski véi hai day: