Tính độ dài ba cạnh của tam giác... Bài 4 Một hộp đựng ba loại bi khác nhau... Câu 4 Cho hình thang ABCD AB//CD.. Tính chu vi của hình thang.
Trang 1BỒI DƯỠNG HSG TOÁN LỚP 7 A.ĐẠI SỐ
1 Bài tập về tính chất của tỷ lệ thức
Bài 1: Cho 3 số x ,y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện :
y z x+ −x = z x y+ −y = x y z+ −z
Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 x 1 y 1 z
+ + +
÷ ÷ ÷
Giải
Với 3 số x ,y , z khác 0
và y z x+ −x = z x y+ −y = x y z+ −z
⇒ y z 1 z x 1 x y 1
+ − = + − = + −
⇒ y z z x x y
+ = + = +
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
2( )
2
y z z x x y x y z
+ = + = + = + + =
+ + với x + y + z ≠ 0
Do đó :
B = 1 x 1 y 1 z
+ + +
÷ ÷ ÷
y z z x x y
= 2 2 2 = 8
Bài 2 Cho a, b, c là 3 số khác 0 và a b c 0 + + ≠ thỏa mãn: a b c
Tính giá trị biểu thức P b c c a a b
Giải
Ta có a b c a b c 1
b c c a a b 2.(a b c) 2
+ +
b c c a a b
Bài 3
Một tam giác có chu vi là 63 cm và ba cạnh của nó tỉ lệ với 5; 7; 9 Tính độ dài
ba cạnh của tam giác
Trang 2Gọi x,y,z là ba cạnh của tam giác (x,y,z >0; tính bằng cm)
Theo đề bài, ta có:
9
7
5
z
y
x
=
= và x + y + z = 63
Suy ra:
9 7 5
z y
x = = =
21
63 9 7
+ +
+ + y z x
= 3
x = 5 3 = 15
y = 7 3= 21
z = 9 3 = 27
Trả lời: Ba cạnh của tam giác là 15 cm, 21 cm, 27 cm
Bài 4
Một hộp đựng ba loại bi khác nhau Số lượng loại bi màu xanh, bi màu vàng và
bi màu đỏ tỷ lệ với các số 5,7,9 Tính số bi mỗi loại, biết số bi màu xanh ít hơn số bi màu vàng là 4 viên
Giải
- Gọi số bi màu xanh, vàng, đỏ lần lượt là x, y, z (viên)
⇒
9 7 5
z y
x = = và y−x= 4
Từ đó 2
2
4 5 7 9 7
−
−
=
=
= y z y x
x
- tìm được x= 10 ;y= 14 ;z= 18
- KL: Có 10 viên xanh; 14 viên đỏ; 18 viên vàng
Bài 5 Tìm các số a,b,c biết
4
3
2
c
b
a = = và a+b-c=15
Giải
Từ
4
3
2
c
b
a = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
4
3
2
c
b
3 4 5 2
a b c+ − = + −
⇒a=15; b=22,5;c=30
Bài 6 Tìm a, b, c biết
2 3 4
a = =b c và a+2b-3c= -20
Giải
Từa = = ⇒b c a = 2b =3c =a+2b−3c= −20=5
Trang 3
Bài tập 1.Tính x,y,z biết
x y z
y z = x z = x y = + +
HD
Từ (1)⇒x+y+z=1
2 ⇒y+z=1
2-x (2) Lại từ y z+ +x 1 2=1 ⇒y+z=2x-1 (3)
Từ (2) và (3) ⇒x=1
2 Tưng tự tính được y=5
6; z= 5
6
−
2.1.Tìm ba số a,b,c biết
2 3
a b
= (1);
5 7
b c
= (2) và a+b-c=8
HD
10 15 21 10 15 21 4
a = b = c = a b c+ − = =
+ −
⇒a=20;b=30;c=42
2.2Tìm ba số a,b,c biết 7
5
a
c = (1) , 1
5
b
c = (2) và a-b+c=55
HD
Từ 7
5
a
c = (1)⇒
7 5
a =c (*); Từ (2)⇒
1 5
b =c(**)
7 1 5 7 1 5 11
a = = =b c a b c− + = =
− +
⇒a=35; b=5; c=25
Bài 7 Cho a,b,c là các số tự nhiên khác 0
Chứng minh rằng nếu
d
c b
a
= thì
d c
d c b a
b a
7 2
7 2 7 2
7 2
−
+
=
−
+
Giải
Từ
d
c b
a = ⇒
BTTT Cho a,b,c là các số tự nhiên khác 0
Chứng minh rằng nếu
d
c b
a
= thì 2 5 2 5
2 5 2 5
Bải 8
cho a c
b = d chứng minh rằng a c
a b =c d
a b =c d
− − ;
Giải
Từ a c
b = ⇒d a b a b
c d c d
+
= =
a b=c d
Trang 42 Bài tập về dãy số
Bài 1 Tính tổng
a) S= 1+3+5+ +97+99
=(1+99)+(3+97)+(5+95)+ +(49+51) ,có 25 nhóm
=100.25=2500
b) S=1-2-3+4+5-6-7+8+ +2009-2010-2011+2012+2013
=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+ +(2009-2010-2011+2012)+2013 ( có 53 nhóm) =2013
1 1 1 1
3 3 + + 3 + + 3 (1) Chứng minh rằng M<1
2
Giải
Từ (1)⇒3M=1+ 2 3 98
1 1 1 1
3 3 + + 3 + + 3
⇒3M-M=1- 199
3 ⇒2M=1- 199
3 ⇒M=1 199
2 2.3 − ⇒M<1
2
BTTT Cho 1 1 12 13 20121
3 3 3 3
C= + + + + + (1) Chứng minh rằng C <3
2
Giải
Từ (1)⇒3C=3+(1+ 2 3 2011
1 1 1 1
3 3 + + 3 + + 3 )
⇒3C=3+C- 2012
1
3 ⇒2C=3- 2012
1
3 ⇒C= 2012
3 1 3
2 2.3 − < ⇒ 2 C <3
2
Bài 4 Chứng minh rằng A= 2 1 2 21 2 2 1 2 1
1 2 + 2 3 + + 9 10 < 2
Giải
( 1) 2 2 1 2 2 2 1
Do đó A<1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 3 9 10
− + − + + −
1 1 1 1 1
2 10 2 20
− = −
1 2
⇒A<1
2
BTTT
Chứng minh rằng M= 2 2 2 2 2 ( )2
1 2 + 2 3 + +n n 1 < 2
10
1 100
99
6
5 4
3 2
1
<
Bài 6 Tính tổng S= 1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 + + + + 99.100 S= 1 1 1 1 1 1
2 2 3 99 100
− + − + −
1 = 99
Trang 5Bài 7 Tính P= 1 2 1 2 1 2 1 2
2.3 3.4 4.5 9.10
− − − −
Nhận xét: ( ) ( ) ( ( ) ( ) )
1
n n
+ −
Do đó P=1.4 2.5 3.6 4.7 5.8 6.9 7.10 8.11 .
2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10=1 11 11.
3 9 = 27
BTTT Tính P= 1 2.32 1 3.42 1 4.52 1 n n( 2 1)
− − − −
Nhận xét: ( ) ( ) ( ( ) ( ) )
1
n n
+ −
( )
1 2 1.4 2.5 3.6 1 2 2
2.3 3.4 4.5 1 3 3
− + = − + = +
ĐỀ THI THỬ SỐ 1 Câu 1
1.Tìm số nguyên a sao cho 3 chia hết cho (a-2)
2.Tìm số nguyên x sao cho x− = 3 2
Câu 2
1.Tìm x,y,z biết 2 3
2 3 4
x = y = z (1) và x-y=15.
4 3 4 3
x = =y x y− =
−
⇒x=60; y=45; z= 40
2 Choa c
b =d Chứng minh rằng 2 5 2 5
2 5 2 5
Câu 3
1 Rút gọn biểu thức (2x-3y)(4x2+6xy+9y2)
2 Tính giá trị của biểu thức 6x2-(2x+1)(3x-2)-4 tại x=3
Câu 4
Cho hình thang ABCD (AB//CD) Các đường phân giác ngoài đỉnh A và D cắt nhau ở K; Các đường phân giác ngoài đỉnh B và C cắt nhau ở L Biết KL=25cm Tính chu vi của hình thang
Câu 5
Tìm các số nguyên x,y sao cho 5x+2y=3xy-3 (1)
Từ (1)⇒3xy-2y-5x=3
9xy-6y-15x=9
(9xy-6y)-(15x-10)=19
(3x-2y)(3y-5)=19
⇒ a) 3 2 19
3 5 1
x
y
− =
− =
3 2 1
3 5 19
x y
− =
− =
; b)
3 2 19
3 5 1
x y
− = −
− = −
hoặc
3 2 1
3 5 19
x y
− = −
− = −