Biết : Nếu đa 1 em từ giải nhì lên giải nhất thì số giải nhì gấp đôi giải nhất.. Nếu giảm số giải nhất xuống giải nhì 3 giải thì số giải nhất bằng 1/4 số giải nhì Số em đạt giải ba bằng
Trang 1
Đề số 4
Đề thi hs giỏi môn toán 9
Thời gian 150 phút
Câu 1(2đ) : Giải PT sau :
a, x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + 2 = 0
Câu 2(2đ): a, Thực hiện phép tính :
b, Rút gọn biểu thức :
Câu 3(3đ) : a, Chứng minh rằng :
5
b, Tìm GTNN của P = x2 + y2+ z2
Biết x + y + z = 2007
Câu 4(3đ) : Tìm số HS đạt giải nhất, nhì, ba trong kỳ thi HS giỏi toán K9 năm
2007 Biết :
Nếu đa 1 em từ giải nhì lên giải nhất thì số giải nhì gấp đôi giải nhất Nếu giảm số giải nhất xuống giải nhì 3 giải thì số giải nhất bằng 1/4 số giải nhì
Số em đạt giải ba bằng 2/7 tổng số giải
Câu 5 (4đ): Cho ABC : Góc A = 900 Trên AC lấy điểm D Vẽ
CE BD
a, Chứng minh rằng : ABD ECD
b, Chứng minh rằng tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp đợc
c, Chứng minh rằng FD BC (F = BA CE)
d, Góc ABC = 600 ; BC = 2a ; AD = a Tính AC, đờng cao AH của ABC và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF
Câu 6 (4đ): Cho đờng tròn (O,R) và điểm F nằm trong đờng tròn (O) AB và
A'B' là 2 dây cung vuông góc với nhau tại F
a, Chứng minh rằng : AB2 + A'B'2 = 8R2 - 4OF2
b, Chứng minh rằng : AA'2 + BB'2 = A'B2 + AB'2 = 4R2
c, Gọi I là trung điểm của AA' Tính OI2 + IF2
Trang 2
- Hết
-Đáp án và biểu điểm môn toán Câu 1(2đ) :
a, PT đã cho <=> (x-1)(x-2)(x2+1) = 0 (0,5đ)
Do x2+1 > 0 với mọi x => x-1 =0 và x-2 = 0 (0,25đ)
x = 1; x = 2 (0,25đ)
Nếu - 1 0 x + 1 1 x 0 thì
(1) 2 = 2 =1 x = 0 (0,25đ)
Nếu x < 0 thì 2 = 2 (luôn đúng) (0,25đ)
vậy -1 x 0 là nghiệm của PT (0,25đ)
Câu 2 : (2đ)
= 2 - - 2 - 3 = -4 (0,25đ)
b, Vì a + b + c = 0 a = - b - c a2 = b2 + 2bc + c2 (0,25đ)
a2 - b2 - c2 = 2bc
b2 - c2 - a2 = 2ac
c2 - a2 - b2 = 2 ab (0,25đ)
Câu 3 :(3đ)
a, 5 < 1 + + + + < 10 (0,25đ)
đặt S = 1 + + + +
Ta có S > + + + = 50 = 5 (0,5đ)
Trang 3
(0,5đ)
Cộng 2 vế ta đợc :
S <
(0,5đ)
Từ (1) và (2) 5 < S < 10 (đpcm) (0,25đ)
b, Tìm GTNN P = x2 + y2 + z2 biết x + y + z =
áp dụng BĐT Bu Nhiacốpxki ta có :
(x + y + z)2 (x2 + y2 +z2) (12+12+12) (0,5đ)
x2 + y2 + z2 = 669 (0,25đ)
Vậy GTNN của P là : 669 (0,25đ)
Câu 4(3đ): Gọi số giải nhất, nhì, ba lần lợt là x,y,z
Ta có ĐK : x,y,z N (0,5đ)
Theo đề ra ta có :
2(x+1) = y - 1 4(x-3) = y +3 (0,5đ)
z = 2x - y = - 3 (1)
<=> 4x - y = 15 (2) (0,5đ)
(x+y) (3) Lấy (2) - (1) ta đợc 2x = 18 x = 9 (0,25đ)
Thay x = 9 vào (1) y = 2.9 + 3 = 21 (0,25đ)
Thay x = 9, y = 21 vào (3) (3) (9+21)
z = =12 (0,5đ)
y = 21 (0,25đ)
z = 12 (0,25đ) Đáp số : Số giải nhất là 9
Trang 4
Số giải ba là 12
Câu 5(5đ) : Vẽ hình cân đối GT- KL (0,5đ)
E C
(1đ)a, ABD và ECD có :
E = A = 900 K ADB = EDC (đồng dạng)
ABD ECD F
A B (0,5đ)b, Tứ giác ABCE nội tiếp vì BAC = BEC = 1v
(1đ)c, FBC có : CA và BE là 2 đờng cao Giao điểm D của chúng là trực tâm của tam giác
FD BC tại K
(2đ)d, ABC tại A , có B = 600 nên là nửa tam giác đều có BC = 2a
Đờng cao AH và nửa cạnh là AB Do đó :
AHB tại H có = 600 nên là nửa tam giác đều có AB = a đờng cao AH, nửa cạnh BH
AH =
KEB tại K (chứng minh trên) có B = 600
KFB = 300 Do đó AFD là nửa tam giác đều FD = 2AD = 2a
Vì FAD = FED = 1 nên ADEF nội tiếp đờng tròn đờng kính FD = 2a R = a
Câu 6 (5đ): Vẽ hình cân đối , viết GT- KL (0,5đ)
a, Vẽ OH AB ; OK A'B'
Xét 2 vuông OHB và OKA' có
AB2 = 4R2 - 4 OH2
A'B'2 = 4R2 - 4OK2
AB2 + A'B'2 = 8R2 - 4OF2 (1,5đ)
b, Chứng minh vuông FAA' vuông FBB' có
BB'2 = FB2 + FB'2
AA'2 + BB'2 = FA2 + FA'2 + FB2 + FB'2
Trang 5
= 4R2
Tơng tự với vuông FAB' vuông FBA' có
A'B2 + AB'2 = AA'2 + BB'2 = 4R (2đ)
c, Xét vuông FAA' có : IF =
Do đó IO2 + IF2 = R2 (1đ)
