Chứng minh rằng khi m thay đổi, giao điểm của d1 và d2 luôn nằm trên một đờng thẳng cố định.. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E khác C.. Giả sử đờng tròn ngoại tiếp tam giác ∆ABC cắt đờ
Trang 1sở giáo dục và đào tạo
quảng ninh
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
lớp 9 năm học 2006-2007
đề thi chính thức
môn : Toán Số báo danh:
(bảng A) Thời gian làm bài : 150 phút Chữ ký giám thị 1: (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 27/3/2007.
Bài 1
Rút gọn biểu thức A = 13 + 30 2 + 9 + 4 2
Bài 2
Chứng minh rằng với x > 0, x ≠ 1, biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
1
1
+
−
− +
−
+
−
− +
+ +
x
x x x x x x x
x x x
x
x x
Bài 3
Giải phơng trình: (2x + 1)2(x + 1)x = 105
Bài 4
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đờng thẳng (d1) : y = 3x – m – 1 và (d2) : y = 2x + m - 1 Chứng minh rằng khi m thay đổi, giao điểm của (d1) và (d2) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định
Bài 5
Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D khác A và B Trên tia đối của tia CA lấy điểm E khác C Cạnh BC cắt DE tại I Giả sử đờng tròn ngoại tiếp tam giác ∆ABC cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ∆CEI tại điểm thứ hai K Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp ∆ADE đi qua điểm K
Bài 6
Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn, H là trực tâm tam giác Dựng đờng tròn tâm O đờng kính BC, qua A kẻ các tiếp tuyến AP, AQ với đờng tròn (P, Q là các tiếp điểm) Chứng minh: P, H, Q thẳng hàng
Bài 7
Cho a, b ≥ 0 thoả mãn : a+ b = 1 Chứng minh rằng: ab(a + b) 2 ≤ 641 Dấu bằng xảy ra khi nào ?
- Hết
-hớng dẫn chấm thi Học Sinh Giỏi cấp tỉnh môn toán lớp 9 - bảng a năm học 2006-2007.
Trang 2Bài Sơ lợc lời giải Cho
điểm Bài 1
3 điểm Rút gọn đợc:
2 4
9 + =2 2+1 ; 2 + 9 + 4 2 = 2+1
=> 13 + 30 2 + 9 + 4 2 = 43 + 30 2 = 5 + 3 2
1,5 đ 1,5 đ
Bài 2
3 điểm Với x > 0, x ≠ 1, rút gọn đợc:
−
+
−
− +
+ +
x x
x x x
x
x
= x.(−x2−1)
và x2+x x x+−1x− x = x.(x− 1 )
2
+
−
− +
−
+
−
− +
+ +
x
x x x x x x x
x x x
x
x x
= - 2 (đpcm !)
1,5 đ 1,0 đ
0,5 đ
Bài 3
3 điểm
Biến đổi ph/tr (1): (2x + 1)2(x + 1)x = 105 thành (4x2+4x+1)(x2+x) = 105
Đặt x2+x = t, từ (1) => (4t+1)t = 105 <=> 4t2 + t – 105 = 0 (2)
Giải (2) đợc t = 5 và t = -21/4
Với t = 5, tìm đợc x1,2 = (-1± 21)/2; Với t = -21/4, vô nghiệm
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm là x1,2 = (-1± 21)/2
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,5 đ
Bài 4
3 điểm
Tìm đợc (d1) cắt (d2) tại M(2m ; 5m-1) với mọi m
Suy ra quan hệ : ym = 5xm/2 – 1 với mọi m
Do đó khi m thay đổi, giao điểm M của (d1) và (d2) luôn nằm trên đờng
thẳng cố định (d) : y = (5/2)x - 1
1,0 đ 1,0 đ 1,0 đ
Bài 5
3 điểm
Trớc hết ch/m đợc ∠BKI +∠BDI =∠BKC +∠BAC => BKID nội tiếp
Chứng minh đợc: ∠DKE = ∠DKI + ∠IKE = ∠DBC + ∠BCA
=> ∠DKE+∠DAC = ∠DBC+∠BCA+∠DAC = 1800=> ADKE nội
tiếp
Suy ra đờng tròn (ADE) đi qua K (đpcm !)
1,0 đ 0,5 đ 1,25 đ 0,25 đ
Bài 6
3 điểm
Gọi I = AOxPQ; D = ACx(O) Do AP, AQ là các tiếp tuyến nên PQ⊥AO
Chứng minh đợc AI.AO = AQ2 = AD.AC = AH.AK
=> tứ giác HIOK nội tiếp Suy ra IH ⊥AO
Từ đó suy ra P, H, Q thẳng hàng (đpcm !)
0,5 đ 1,0 đ 1,0 đ 0,5 đ
Bài 7
2 điểm Do giả thiết a, b ≥ 0; a + b =1 nên: ab(a + b)
2 ≤641 64.ab(a + b)2 ≤ 1
64ab(a + b)2 ≤ ( a+ b) 8 64ab(a + b)2 ≤ (a+b+2 ab)4
áp dụng BĐT Côsi, đợc: (a+b+2 ab) ≥ 2 (a+b) 2 ab
=> (a+b+2 ab)4 ≥ (2 (a+b) 2 ab )4 = 64.ab(a+b)2 (đpcm !)
Dấu = có a+b = 2 ab a = b = 1/4
1,0 đ
0,75 đ 0,25 đ
Các chú ý khi chấm:
Trang 31 Hớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lợc một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đợc điểm tối đa
2 Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống nhất
điểm chi tiết nhng không đợc vợt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó
3 Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 đ nhng phải thống nhất trong cả tổ chấm Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn
Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ninh.