TÍNH THỂ TÍNH BẰNG CÁCH lắp GHÉP + tỉ số

DẠNG 2: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG CÁCH PHÂN CHIA LẮP GHÉP KHỐI HOẶC SO SÁNH TỈ SỐ Trong nhiều bài toán, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện như trong dạng 1 phương pháp trực

DẠNG 2: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG CÁCH PHÂN CHIA

LẮP GHÉP KHỐI HOẶC SO SÁNH TỈ SỐ

Trong nhiều bài toán, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện như trong dạng 1 (phương pháp trực tiếp)

có thể gặp khó khăn vì hai lí do:

+ Hoặc là khó xác định và tính được chiều cao

+ Hoặc tính được diện tích đáy nhưng cũng không dễ dàng

Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp gián tiếp được trình bày ngay sau đây

1 PHƯƠNG PHÁP

Tính thể tích bằng cách chia nhỏ

+ Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính thể tích của chúng + Sau đó, ta cộng các kết quả lại, ta sẽ có kết quả cần tìm

Tính thể tích bằng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác, sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới có thể dễ dàng tính được thể tích

Tính thể tích bằng tỉ số thể tích: So sánh thể tích khối cần tính với một đa diện khác đã biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích Trong phương pháp này, ta thường hay sử dụng kết quả của bài toán: Bài toán: Cho hình chóp S.ABC Lấy A B C  , , tương ứng trên cạnh SA, SB, SC

Khi đó: .

.

S A B C

S ABC



Chứng minh:

.

.

3

3

SB C

SBC

d A SB C S

 











Trong đó:   B SC BSC     

SA

d A SBC

Chú ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A B C , , có thể có điểm A A B B C C ,  ,   Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu.…

B

S

A'

C' B'

ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 - 2 - On line: TOLIHA.VN

2 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hình vẽ với E, F là trung điểm các cạnh bên SB và SC

Khối S.AEF có thể tích là:

A 1

12abc

Phân tích:

+ Tam giác ABC vuông tại B nên 1

2

ABC 

+ SA là chiều cao của khối chóp SABC nên ta tính được thể tích chóp SABC theo công thức:



SABC ABC

+ Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích SAEF 

SABC

Lời giải :

Tam giác ABC vuông tại B nên 1

2

ABC 

1 1 1

2 2 4

SAEF

SABC

VSAEF  VSABC  abc  Chọn đáp án A

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC, trên AB, BC, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho

AM MB BN NC SP PC Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S BMN và A CPN là :

A 4

3

C 5 6

D 1

a

c b

A

B

C

S

E

F

Phân tích:

+ Để áp dụng được công thức tỉ lệ thể tích ta

cần đổi đỉnh sao cho khối chóp cần tính có các

cạnh tỉ lệ tương ứng với các cạnh hình chóp

SABC

+ Với khối chóp S MNB ta chuyển đỉnh là B

đáy là SMN

S BMN B MNS

S ABC B ACS

1 2

3

4 4

5

BC

+ Với khối chópACPN ta chuyển đỉnh là C đáy là ANP :

A CPN C ANP

S ABC C ABS

1 4

5

1 2

SP PC

CS

Sau đó lập tỉ lệ của hai tỉ số thu được kết quả

Lời giải :

3 5 15

S BMN B MNS

S ABC B ACS

5 2 10

A CPN C ANP

S ABC C ABS

.

.

15 10 3

A CNP

V

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA SB a  , SC 2a,   60ASB BSC  o,  90ASC  o

Thể tích của khối chóp S.ABC bằng V Tỉ số 6V3

a là :

A 4 6

3

Phân tích :

Bài toán yêu cầu tính thể tích của khối S.ABC

ta rất khó xác định chiều cao của khối chóp do

vậy cần dựng thêm đường phụ

Gọi M là trung điểm SC, ta có SM a

Ta có : AB = BM = a và AB BM2 2 AM2

 ABMvuông cân tại B

B

C A

S

M

N P

60 60

B

C A

S

M H

ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 - 4 - On line: TOLIHA.VN

Ta có SH AM SH HB ,  SHABM ta đễ dàng tính được . 1



Dựa vào tỉ số thể tích: .

.

S ABC

S ABC S ABM

S ABM

Lời giải :

Gọi M là trung điểm SC , ta có SM a  SAMvuông cân tại S Gọi H là trung điểm của AM

Ta có AM SA SM2 2 a 2 1 2

Ta có SM = SB = a và  60BSC  o BSMđều BM a  BSMđều

Ta có AB = BM = a  ABMcân tại B

Mặt khác: AB BM2 2 2a2và AM2 2a2 AB BM2 2AM2

 ABMvuông cân tại B (định lý pitago đảo) 1 2

Ta có

     

 SHBvuông cân tại H (định lý pitago đảo)

Ta có SH AM SH HB ,  SHABM

2

ABM  a

3

.

2

6

S ABC

S ABC S ABM

S ABM

a  Chọn đáp án B

* Tổng quát: Cho chóp S.ABC có SA a SB b SC c ,  ,  và ASB,BSC,ASC

6

S ABC

abc

Áp dụng vào bài này ta được:

3

.

S ABC

3

a  Chọn đáp án B

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB a BC a ,  3, SA vuông góc với mặt phẳngABCvà SA = 2a Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB và SC Thể tích của khối chóp A.BCKH là V Tỉ số aV3 gần nào nhất giá trị nào trong các giá trị sau:

A 1 B 2

C 3

D 4

Phân tích:

ABC

S  1AB BC

6

Mặt phẳng AHKchia khối SAB thành hai khối: SAHK và ABCKH

SABC SAHK ABCKH

Ta tính VSAHKdựa vào công thức SAHK

SABC

Dựa vào các tam giác vuông SAB, SAC ta tính được tỉ lệ SH SK

SB SC.

Lời giải :

+ Ta có :

SABC

a

V 1AB BC SA . 1 3.2a a a 3 3

AC AB BC2 2  a23a2 2a

SAC

  vuông cân tại A  K là trung điểm

của SC

+ SABvuông tại A có :

5 4

SAHK

SABC

5 2 5

a

V

 3  5 2,89

3  Chọn đáp án C

Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là  thoả mãn cos = 1

3

 Mặt phẳng  P qua AC và vuông góc với mặt phẳng SADchia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau:

S

C

B

K

ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 - 6 - On line: TOLIHA.VN

Phân tích:



SO ABCD Các mặt bên tạo với đáy góc

bằng nhau nên ta chỉ cần chọn mặt SCD

 SCD ABCD SNO

Ta có      





AC SO

SD ACM  ACM  SAD nên mặt phẳng  P là ACM

+ Mặt phẳng  P chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối MACDvà SABCM

Ta sẽ tính tỉ số thể tích của khối MACDso với khối SABCD

Dễ thấy VSABCD 2VSACDđến đây ta đổi đỉnh khối M ACD thành D MAC

và vận dụng công thức tỉ lệ thể tích .

.

D AMC

D SABC

Việc tính DM, DS chỉ dựa vào hệ thức lượng trong các tam giác vuông

Lời giải:





CD SN CD ON

SCD ABCD CD  SCD , ABCD SNO 





AC BD

AC SO

SD ACM  ACM  SAD nên mặt phẳng  P là ACM

+ Xét tam giác SON vuông tại O có : cos 21 32

3

a

SN

SNO

   

   

+ Xét tam giác SOD vuông tại O có : 2 2  2 2 2 2 10

2

10

10 2

 SN CD  a a  a CM

O B

D A

S

C N M

+ Xét tam giác MCD vuông tại M có :

2

Ta có :

10

2

MACD MACD

SABCD SACD

a

1 10

VMACD VSABCD Mặt phẳng  P chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối MACDvà SABCM

VSABCD VMACDVSABCM 9

10

VSABCM  VSABCD

Do đó : 1 0,11

9

 

MACD

SABCM

V

Tổng quát: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là  Mặt phẳng  P qua AC và vuông góc với mặt phẳng SAD

chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là 1 2

2

cos



V

Lời giải:

Ta có:



2 2

cos

2 2

1

1 cos

2.cos







2

.cos

1 cos 1 cos

2 2

2 2

.cos

2.cos

MACD MACD

SABCD SACD

a

a



















Do vậy : MACD cos2

SABCM

V

ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 - 8 - On line: TOLIHA.VN

3 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN

Câu 1 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có thể tích là V Thể tích khối chóp

' '

A

4

3

V

C 3 4

3

V

Câu 2 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích là V

Trong các hình dưới đây, hình có thể tích 23V là

Câu 3 Cho hình vẽ với E, F là trung điểm các cạnh bên SB và SC

Khối ABCFE có thể tích là

A 1

3abc

Câu 4 Cho hình chóp S.ABC có SA2 ,cm SB3 ,cm SC4cm,  60ASB o, BSC900,

 1200

ASC Thể tích của khối chóp S.ABC là

I

A'

C B

A

a

c b

A

B

C

S

E

F

Câu 5 Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 20cm, cạnh

SA = 30cm và vuông góc vói đáy Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và

SD Mặt phẳng AB D' ' cắt SC tại C’ Thể tích khối chóp S AB C D ' ' 'gần nhất giá trị nào dưới đây

A 2120cm3 B 2770cm3

C 1440cm3

D 1470cm3

Câu 6 Cho hình chóp đều S ABCD Mặt phẳng   P chứa AB và đi qua trọng tâm G

của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N Tỷ lệ .

.

S ABMN

S ABCD

V T V

 có giá trị là

A 1

8

C 1 4

D 3 4

Câu 7 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bằng 15cm Gọi M là

điểm thuộc AA'sao choAM 10cm Mặt phẳng  P chứa CM và song song với BD chia khối lập phương thành hai phần Thể tích của phần lớn hơn là

A 1687,5cm 3 B 2531,25cm3 C 2250cm3

D 1125cm3

Câu 8 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a Cạnh

' 2

AA  a và tạo với đáy một góc 450 Thể tích khối tứ diện ACA’B’ là

A 3 6

12

6 8

6 4

6 6

a

Câu 9 Cho khối hộp chữ nhật A BC D A B C D ' ' ' 'có AB4 ,cm BC8 ,cm AA' 6 cm

Lấy E, F lần lượt là trung điểm của BC và CD Mặt phẳng A EF'  chia khối hộp thành hai phần Gọi x cm là thể tích phần nhỏ,  3 y cm là thể tích phần lớn Giá trị  3 5 7x y

là

Câu 10 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a Gọi G là trọng tâm

tam giác ABC, góc giữa SG và mặt phẳng SBC là 300 Mặt phẳng  P chứa BC và vuông góc với SA chia khối chóp S ABC thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần là

A 1

7

C 6 7

D 2 3

ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 - 10 - On line: TOLIHA.VN

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

ACB D B AB C A AB D C CB D D ACD

' ' 4

VACB D  V V V  Chọn đáp án B

Chú ý: Khối tứ diện có 6 cạnh tạo bởi 3 cặp đường chéo (không song song) của các mặt bên song song của hình hộp có thể tích:

6

 V

Tø diÖn

Câu 2 '. ' ' 2

3

A BCC B

V

V   Chọn đáp án D

Câu 3 Tam giác ABC vuông tại B nên 1

2

ABC 

1 1 1

2 2 4

SAEF

SABC

VSAEF  VSABC  abc

SABC SAEF ABCFE

6 24 8  Chọn đáp án C.

Câu 4 Tương tự ví dụ 3, hoặc áp dụng công thức giải nhanh:

6

S ABC

abc

S ABC

6

 Chọn đáp án A

C D

B'

C' D'

A'

Câu 5

.

S ABCD ABCD

17

30 20 20

13

30 20

+ ' ' ' ' '

.

2

S AB C D SAC D

S ABCD SACD

3 ' ' ' 9 9. . 81 .4000 324000 1466

VS AB C D  VS ABCD    cm  Chọn đáp án D

Câu 6

+  SCD     P MN CD MN   / / nên M, N

lần lượt là trung điểm SC, SD

S ABMN SAMN SABM SAMN SABM

S ABCD SACD SABC SACD SABC

T





 Chọn đáp án B

Câu 7

+ OO'MC K , Từ K kẻ đường thẳng song

song với BD cắt BB’, DD’ lần lượt tại N và P

mặt phẳng  P là MNCP

+ OK là đường trung bình của CAM

2

' ' ' ' 15 3375

ABCD A B C D

V   cm mặt phẳng  P

chia khối lập phương thành hai phần

' ' ' '

+ Ta có  ACC A ' '  chia khối ABCDPMNthành hai phần bằng nhau do vậy:

1

3

ABCDPMN CADPM ADPM

' ' ' '. 3375 1125 2250

A B C D MNCP

B

D A

S

C

C' B'

D'

G

O B

D A

S

C

M N

K

K O'

O

A'

D'

C' B'

B A

M

P

N

ANPHA EDUCATION APUS TÂY HN 0973.514.674 - 12 - On line: TOLIHA.VN

Câu 8

+ ABC đều 2 3

4

ABC a

S

+ Ta có AA ABC',  A AH' 45o

'

A AH

 vuông tại H có:



A H AA A AH a

3 ' ' '

6 '

4

a

Khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp

C.A’B’C’, B’.ABC và ACA’B’ ta có:

1 3

3

3

a

Câu 9

' ' ' ' ' 192

ABCD A B C D

+ Mặt phẳng A EF'  cắt các đoạn AB, AD,

BB’, DD’ lần lượt tại I, J, M, N

AA  IA và DDDN' JDJA  13

3

A AIJ

3

MBIE

BC AB BB

3

NDFJ

DC AD DD

3

3

A MEFNDAB A AIJ MBIE NDFJ

3

A B C D NFEM ABCDA B C D A MEFNDAB

   Chọn đáp án C

B

B'

C' A'

H

C B

D' C' B'

A'

I

J

E

F N M

Câu 10

+ Do S ABC là hình chóp tam giác đều







SBC SAM SG SAD nên hình chiếu

vuông góc của SG lênSBC là SM



 SG SBC  SG SM GSM o

+ Kẻ MN SA , ta có BCSAMSA BC SANBCnên  P là NBC

+ Xét tam giác SGM vuông tại M có:

+ Xét tam giác SGA vuông tại G có:

2 2

 

       

3

14 21

6

a a

MN

+ Xét tam giác SNM vuông tại N có:

       

Ta có:

21 1 42

7 21 6

SNBC

SABC

a

1 7

VSNBC  VSABC Mặt phẳng  P chia khối chóp

thành 2 khối SNBCvà NABC VSABC VSNBC VNABC 6

7

VNABC  VSABC

6



SNBC

NABC

V

V  Chọn đáp án A

B

S

M G

N