Chuong 2 Power Point

Bài tập Đại số nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm, rất hay, bài tập rất hay và các bạn nên down về tham khảo thêm. tài liệu là bản tóm tắt cho các bạn tham khảo và làm luận văn tốt nghiệp, rất hay. Thể loại thuộc về toán học Đại số

Bảo Mật Thông Tin

Trần Nhật Quang Khoa Công Nghệ Thông Tin – ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật TP HCM

trannhatquang4810@gmail.com

 Thuật toán Euclid

 Thuật toán Euclid mở rộng

Các Nội Dung

 (Nhắc lại: Lý thuyết số nghiên cứu các số nguyên Vì vậy

các số ở đây đều là số nguyên.)

 Ước số chung lớn nhất (Greatest Common Divisor - gcd)

của 2 số a, b là số lớn nhất chia hết cả a và b.

 Ký hiệu: gcd(a, b) hay (a, b)

 Thuật toán Euclid rất hiệu quả để tìm gcd.

Ước Số Chung Lớn Nhất

 Thuật toán Euclid được dùng để tìm ước chung lớn nhất.

 Ta có phép chia a/b:

a = q.b + r

 Nếu số d: d|a và d|b  d|r

 Nên: gcd( a, b) = gcd( b, r)

 Thuật toán Euclid: Giả sử a ≥ b > 0

 Đặt g 0 = a, g 1 = b

 Lặp tìm số dư: g i+1 = g i-1 mod g i (g i +1 là số dư của g i-1 cho g i

)

Cho đến khi g k+1 = 0

 Lúc đó: (a,b) = g k

Thuật Toán Euclid

 Ví dụ 1: Tìm (8, 6)

 (8, 6) = (6, 2) = (2, 0)

 Hay: 8620

  (8, 6) = 2

 Ví dụ 2: Tìm (128, 48)

 (128, 48) = (48, 32) = (32, 16) = (16, 0)

 Hay: 1284832160

  (128, 48) = 16

Ví Dụ Thuật Toán Euclid

 Dùng để tìm số nghịch đảo a -1 mod n của số a.

 a -1 là nghịch đảo của a theo mod n nếu a.a -1 = 1 mod n

 Ví dụ: 3.7 = 1 mod 10  7 = 3-1 mod 10

 Nếu (a, n) = 1 thì luôn  nghịch đảo của a theo mod n (điều

kiện để dùng Euclid mở rộng).

 Sử dụng thuật toán Euclid mở rộng để

tìm các giá trị g i ,u i ,v i sao cho g i = u i .n + v i .a.

 Từ 1 = u k .n + v k .a suy ra v k là nghịch đảo của a

vì u k .n + v k .a mod n = v k .a mod n.

Thuật Toán Euclid Mở Rộng

 g0 = n, u0 = 1, v0 = 0 : g 0 = u 0 n + v 0 a

 g1 = a, u1 = 0, v1 = 1 : g 1 = u 1 n + v 1 a

• y = g 0 div g 1 (chia lấy nguyên)

g 0 = u 0 n + v 0 a

g 1 = u 1 n + v 1 a X y

-(g0 – y g1) = (u0 – y u1) n + (v0 – y v1) a

 g 2 = u 2 n + v 2 a ( g 2 = g 0 mod g 1 )

• y = g 1 div g 2

(g1 – y g2) = (u1 – y u2) n + (v1 – y v2) a

…………

Đến khi gk+1 = 0 ta có gk = gcd(a,n) = 1  v k = a -1 (mod n)

Thuật Toán Euclid Mở Rộng (2)

 TT tìm nghịch đảo của a theo mod n ( (a,n)=1 , n>a>0)

(nếu a > n  lấy a = a mod n)

• g0 = n, u0 = 1, v0 = 0

• g1 = a, u1 = 0, v1 = 1

• Lặp:

y = g i-1 div g i

g i+1 = g i-1 mod g i

ui+1 = ui-1 – y ui

v i+1 = v i-1 – y v i

• Đến khi gk = 1 ta có vk= a -1 mod n

Thuật Toán Euclid Mở Rộng (3)

Tìm 3 -1 mod 460 : a=3, n=460

i y g u(n) v(a) Đẳng thức tương đương

Ở đây k=2 Vậy: 3 -1 mod 460 = -153 = 307 mod 460

 Tìm 299 -1 mod 323: a= 299, n= 323 :

i y g u(n) v(a) Đẳng thức tương đương

-1

Ví Dụ

 Tìm 299 -1 mod 323: (a=299, n= 323)

Vậy: 299 -1 mod 323 = 148

Giải Thuật Rút Gọn

 Tập số dư đầy đủ theo mod n: [0 n-1]

 Tập số dư rút gọn theo mod n: chỉ gồm các số trong

[0 n-1] nguyên tố cùng nhau với n.

 Ví dụ: n = 10

 Tập số dư đầy đủ: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

 Tập số dư rút gọn: {1,3,7,9}

 Số phần tử trong tập số dư rút gọn gọi là hàm phi Euler

Ký hiệu: φ(n)

 Ví dụ: φ(10) = 4

Hàm Phi Euler

 Một số tính chất của φ(n):

 Nếu n là số nguyên tố thì: φ(n) = n-1

 Nếu n là số nguyên tố thì: φ(n r ) = n r-1 (n-1)

 Phân tích n thành thừa số nguyên tố: n = p a q b (p, q… là

số nguyên tố)  φ(n) = φ(p a q b ) = φ(p a ) φ(q b )…

 Ví dụ: φ(2000) = φ(2.103) = φ(2.23.53) = φ(24.53) =

φ(24).φ(53) = 23.(2-1) 52.(5-1) = 800

Hàm Phi Euler (2)

 Định lý nhỏ Fermat

 Định lý Euler

 Bây giờ ta có vài cách tính nghịch đảo a -1 mod n

đảo

Định Lý Nhỏ Fermat Và Định Lý Euler

 Ta thường cần tìm các số nguyên tố rất lớn.

để tìm các số nguyên tố không lớn lắm)

 Một vài hợp số (số không phải số nguyên tố) cũng thỏa

đẳng thức trên Các hợp số đó gọi là các GIẢ NGUYÊN TỐ.

sau:

Tìm Các Số Nguyên Tố Lớn

 Tính các logarit rời rạc sau:

 2x = 3 mod 5; 4 x = 2 mod 13; 5 x = 3 mod 7;

 6x = 10 mod 11; 7 x = 3 mod 13; 8 x = 3 mod 11

 (65,91); (102,238); (110,154); (171,285); (185,259)

 57, 61, 65, 79, 83, 85, 2012, 323

 Thử sai; Định lý Euler; TT Euclid mở rộng

 11-1 mod 35; 13 -1 mod 48;

 17-1 mod 199; 21 -1 mod 197;

Bài Tập

*1+ Đặng Trường Sơn, BMTT_06_NumberTheory.ppt, ĐH Sư

Phạm Kỹ Thuật TP HCM

[2] William Stallings, Cryptography and Network Security

Principles and Practices, Fourth Edition, Prentice Hall,

November 16, 2005

[3] Dương Anh Đức và Trần Minh Triết, Mã hóa và ứng

dụng, Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh, 2005.

[4] http://vi.wikipedia.org/wiki/Giải_thuật_Euclid

*5+ http://vi.wikipedia.org/wiki/Định_lý_nhỏ_Fermat

Tài Liệu Tham Khảo