Bai tap Dai so Nhung chim nua nhom vao nhom

Bài tập Đại số nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm, rất hay, bài tập rất hay và các bạn nên down về tham khảo thêm. tài liệu là bản tóm tắt cho các bạn tham khảo và làm luận văn tốt nghiệp, rất hay. Thể loại thuộc về toán học Đại số

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I NHÓM VÀ NHÓM CON

A LÝ THUYẾT

1 Nhóm

1.1.Định nghĩa

Cho tập X khác rỗng, * là phép toán hai ngôi trong X (X,*) được gọi là nhóm nếu:

i) Mọi a,b,c∈ X, ta có a*(b*c)= (a*b)*c

ii) Tồn tại phần tử e∈X sao cho x∈X, ta có e*x = x*e = x

iii) Mọi phần tử x∈X luôn tồn tại x,∈X

sao cho x*x, =x,*x=e

Nếu (X,*) có tính giao hoán thì X được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel

1.2 Định lý ( về điều kiện tương đương với nhóm)

Cho X là tập khác rỗng, * là phép toán hai ngôi thỏa: (a*b)*c=a*(b*c), mọi a,b.c∈X Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

i) X là nhóm

ii) Các phương trình a*x=b và x*a=b có nghiệm trong X, mọi a, b∈X

iii)Trong X có phần tử đơn vị trái và mọi phần tử trong X đều có nghịch đảo trái

iv) Trong X có phần tử đơn vị phải và mọi phần tử trong X đều có nghịch đảo phải

1.3 Định lý

Cho (X,.) là một nhóm thì ta có các khẳng định sau:

i) Mỗi phần tử của X chỉ có một phần tử nghịch đảo

ii) Nếu xy = xz ( yx = zx) thì y = z (luật giản ước)

iii) Với mọi x, y ∈X , ta có (xy)−1= y−1x−1

iv) ( x−1)-1 = x , với mọi x∈X

Nếu H ≤G, H ≠1, H ≠G thì H được gọi là nhóm con thực sự của G Kí hiệu H <G

2.2 Định lý ( về điều kiện tương đương với nhóm con)

Cho H ⊂G, H ≠Ø Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

i) H được gọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại N <G sao cho H < N <G.

ii) H được gọi là nhóm con tối tiểu của G nếu H ≠1 và không tồn tại K ≤G sao cho 1<K < H

3 Nhóm con chuẩn tắc

3.1 Định nghĩa

Cho G là một nhóm và H ≤G Ta nói rằng H là nhóm con chuẩn tắc của G hay H là ước chuẩn

của G nếu mọi x∈G ta có Hx = xH Kí hiệu HG

3.2 Một số tính chất

i) Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc

ii)Cho H ≤G, khi đó HG khi và chỉ khi xhx− 1∈H

Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X thì X/A = { xA x∈X } cùng với phép toán

xAyA = xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A

B CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP

Bài toán 1 Chứng minh tập khác rỗng X cùng một phép toán hai ngôi ( ) lập thành một

nhóm

Phương pháp giải:

Cách 1 Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:

(i) Với mọi x,y,z∈X , có (xy)z = x(yz)

(ii) Tồn tại phần tử (đơn vị ) e∈X sao ch xe = ex = x, với mọi x∈X

(iii) Với mọi x∈Xtồn tại x,∈X

(ii) Mọi x∈X, ta có xH = Hx

Cách 3 Ta chứng minh H = Kerf với f :X →Y là một đồng cấu nào đó

C MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI

Bài 1 Trong tập Q, ta định nghĩa phép toán (*) :

a*b = a + b + ab, mọi a, b∈Q

a) Hỏi ( Q,*) có lập thành nhóm không ? Tại sao ?

b) Chứng minh rằng nếu a, b∈Q\{-1} thì a*b∈ Q\{-1}

c) Chứng minh rằng ( Q\{-1},*) lập thành một nhóm.

Giải

a) Dễ thấy 0 là phần tử đơn vị của ( Q,*) Giả sử ( Q,*) lập thành nhóm Suy ra -1∈( Q,*) luôn

có phần tử nghịch đảo là b Khi đó 0 = (-1) * b = (-1) + b + (-1)b = -1 Điều này vô lý Nên ( Q,*)

( trái giả thiết a, b≠-1) Nên a * b≠-1 Vậy a * b∈Q\{-1}.

c) Gọi a, b, c∈Q\{-1}, ta có :

(a*b)*c = ( a + b + ab ) * c = a + b + ab + c + ac + bc + abc

a*( b*c ) = a*( b+ c + bc ) = a + b + c + bc + ab + ac + abc

Suy ra ( a*b ) * c = a*( b*c ) Nên phép toán có tính kết hợp

Với a∈Q\{-1} phần tử nghịch đảo của a là b a

1

11

11

*

*

2 2

2

=+

−

−+

=+

−+

−+

−+

−+

a a

a a a a

a a a

a a

a

a a

*2009

Vậy Q+ có phần tử đơn vị là e = 2009

• Với a∈Q+ có phần tử nghịch đảo là a a

2 , = 2009

a

a aa a

2009

2009.2009

2 ,

, = =   = =

Do đó mọi a∈ Q+ có nghịch đảo a a

2 , = 2009

Vậy (Q+,*) lập thành một nhóm

• Mặt khác mọi a, b∈ Q+ , ta có y x

yx xy

y

20092009

010

01

010

001

010

01

010

01

010

010

010

010

0

Thật vậy

010

010

010

010

001

Bài 4 Trong nhóm GL2 ( R ), xét tập con H =

1

R 



Chứng minh rằng H là nhóm con của GL2 ( R ).

01

1α

1β

Ta có

H b a b

110

110

1αβ

011

0

110

Vậy H là nhóm con của GL2 ( R ).

Bài 5 Trong nhóm GL3(R), xét tập con H = {A∈GL3(R)detA=1}

Chứng minh rằng H là nhóm con chuẩn tắc của GL3(R).

Giải Ta có H≠ Ø vì I3∈H và H⊂ GL3(R)

Giả sử A, B∈ H, khi đó det A = 1, det B = 1.

Ta có det (AB) = det A.det B = 1.1 = 1 Suy ra AB∈H

Ta có det A = 1 nên tồn tại A−1 và det A-1 = 1 1

1det

1

=

=

A Suy ra A-1∈ HVậy H≤ GL3(R).

Giả sử C∈ GL3(R), khi đó det C = 1 và det C -1 = 1

Ta có det ( CAC-1 ) = det C det A det C -1 =1 Suy ra CAC-1∈H

Vậy H GL3(R).

Bài 6 a) Chứng minh rằng giao của một họ bất kỳ những nhóm con của nhóm X là một nhóm con

của nhóm X

b) Hỏi hợp của các nhóm con của nhóm X có phải là nhóm con của nhóm X không ? Tại sao ?

Giải a) Giả sử { }Xα ∈I là một họ nhóm con của ( X, )

Vậy A là nhóm con cuả X

b) Hợp của hai nhóm con có thể không là nhóm con.Chẳng hạn X là tập các hàm số thực trên

R Khi đó ( X, +) lập thành một nhóm Abel, trong đó phép ( +) là cộng hai hàm số thực.

Gọi X1, X2 là tập các hàm số lẻ và chẵn trên R Dễ dàng kiểm tra được (X1,+),(X2,+) là các nhóm con của ( X, +) Tuy nhiên X1∪X2 không là nhóm Thật vậy, f( x = 2 2

)()

Nhận xét nếu a , k a l đều có nghịch đảo là a m thì a k a m =e=a l a m ⇒a k=a l

Do đó nếu A không có phần tử nào là nghịch đảo cuả chính nó ( ngoài e) thì 2n-2 phần tử tạo thành (n-1) cặp ( a i,a j) trong đó a , i a j là nghịch đảo của nhau Mỗi phần tử ở cặp này khác với mỗi

phần tử ở cặp kia Nên trong A còn có một phần tử a t không có phần tử nào là nghịch đảo của nó Điều này mâu thuẫn Do đó trong A ngoài e, còn có một phần tử khác là nghịch đảo của chính nó.

Bài 8 Cho A là một bộ phận khác rỗng của nhóm X Chứng minh rằng A là nhóm con của X khi và

(⇒ Giả sửA ⊄B và B⊄ A Khi đó A \ B ≠ Ø và B \ A≠Ø nên tồn tại a∈A/B,b∈B/A

Vì A∪B là nhóm con của X nên 

A b ab a B ab

A ab B

A ab

1 1

Điều này vô lý vì a∈A\B,b∈B\A

Vậy ta phải có A⊆B hoặc B⊆ A.

Bài 10 Cho X là nhóm và a,b,c∈X Chứng minh rằng nếu abc = e thì bca = e, cab = e ( với e là

phần tử đơn vị của X ) Hơn nữa ( )ab − 1=a− 1b− 1khi và chỉ khi ab = ba

Giải Ta có ( )bca 2 =(bca)( )bca =bc( )abc a=bca⇒bca=e và ( ) ( )( )cab 2 = cab cab

= c(abc)ab = cab ⇒ cab = e.

Hơn nữa, nếu (ab)-1 = a-1b-1 thì (ab)-1 (ab) = e ⇒(ba)-1 (ba) = e = (ab)-1 (ba)

( do (ba)-1 = a-1b-1 = (ab)-1 ) Suy ra ( )ab − 1ab=( )ab − 1ba Do đó ab=ba ( luật giản ước) Ngược lại

nếu ab = ba, với mọi a, b∈X thì (ab)-1 = (ba)-1 nên ( )ab − 1 =a− 1b− 1

Bài 11 Cho X là nhóm, a,b∈X Chứng minh rằng ( )ab 2 =a2b2 khi và chỉ khi ab = ba.

Giải.

( )⇒ Ta có ( )ab 2 =abab

, mà ( )2 2 2

b a

ab = nên ( )ab 2 =abab=a2b2 =aabb⇒ab=ba

( luật giản ước )

( )⇐ Ta có ( )ab 2 =abab

, mà ab=ba nên ( )2 2 2

b a aabb

Bài 12 Cho X là một nhóm với phần tử đơn vị e Chứng minh rằng nếu mọia∈X có a2 =e

thì X

là một nhóm Abel

Giải Ta có mọi a,b∈X ,( )ab 2 =e a2 =e b2 =e

,, Do đó ( )2 2 2

e b a

Mà ( )ab 2 =a2b2 thì ab=ba ( theo bài 11)

Vậy X là nhóm Abel

Bài 13 Cho H, K là các nhóm con của nhóm X Chứng minh rằng HK=KH khi và chỉ khi HK là

nhóm con của X, trong đó HK ={hk h∈H,k∈K}

1h h k

k = Nên (h k )(h k )=h(k h )k =( )( )h h k,k2 ∈HK

1

, 2 1 2 2 1 1 2 2 1

Vậy A n là nhóm con của nhóm A

b) Vì ( m, n) =1 nên tồn tại u, v∈ Z sao cho mu+nv=1 Gọi a∈A n ∩A m, suy ra 

e a

m n

( )⇐ Hiển nhiên A = =mZ = { mk k∈Z } là nhóm con của Z

( )⇒ Giả sử A là nhóm con của nhóm ( Z, +)

Nếu A={ }0 thì A= 0Z

Nếu A≠{ }0 thì A chứa những số dương Suy ra tồn tại m là số nguyên dương nhỏ nhất thuộc

I i i I i i i I i i I i i

x e

x e

x

e

x x

e x

Bài 17 Cho X là tập tùy ý Kí hiệu Map(X, X) là tập hợp các ánh xạ từ X đến X Với phép nhân ánh

xạ Map(X, X) có lập thành nhóm hay không ? Tại sao ?

Chứng minh rằng bộ phận S(X) của Map(X, X) gồm các song ánh từ X đến X là một nhóm với phép nhân các ánh xạ Hãy tìm số phần tử của S(X) trong trường hợp X có n phần tử ( n∈N, n≥ 1 )

Nếu Map( X, X) là nhóm thì f phải có phần tử nghịch đảo, giả sử đó là g∈ Map(X, X), khi đó

fg = 1X, điều này không thể vì fg(1) = f(g(1)) = 0 ≠1X(1) = 1 Do đó f không có phần tử nghịch đảo

Vậy Map(X, X) không lập thành một nhóm

• Ta có tích hai song ánh từ X đến X là một song ánh từ X đến X , phép nhân ánh xạ có tính kết hợp, ánh xạ đồng nhất 1X của X là một song ánh nên 1X ∈S(X)

Nếu f ∈S (X) thì f là một song ánh do đó f có ánh xạ ngược f− 1∈S(X)

và ff − 1 = f− 1f =1X

Vậy S(X) là một nhóm với phép nhân ánh xạ

• Giả sử X ={x1,x2, ,x n} Với mỗi hoán vị (x i1,x i2, ,x in) của X ta có một song ánh f :

X

X → xác định bởi: f( )x j =x ij , j=1,n Đảo lại, với mỗi song ánh f :X → X , cho ta một hoán

vị của X

Vậy số phần tử của S(X) bằng số hoán vị n phần tử đó là n!

Bài 18 Cho Y là một bộ phận của tập hợp X Chứng minh rằng bộ phận S( X,Y) của S (X) gồm các

song ánh f :X → X sao cho f(Y) = Y là một nhóm con của

S(X) Tìm số phần tử của S (X,Y) trong trường hợp X có n phần tử, Y có một phần tử

Giải Ta có 1X(Y) = Y nên S(X,Y)≠ Ø

Giả sử f,g∈S(X,Y) Khi đó f(Y) = Y, g(Y) = Y, do đó gf(Y) = g(f(Y)) = g(Y) = Y Nên )

nên S(X,Y) là nhóm con của S(X)

Nếu X có n phần tử và Y có một phần tử thì S(X,Y) có (n-1) ! phần tử, nó ứng với số các hoán

vị của n-1 phần tử của tập X\Y

Tổng quát số phần tử của S(X,Y) trong trường hợp X có n phần tử, Y có phần tử là k!(n- k) !

Chứng minh rằng (X, *) lập thành một nhóm , không Abel

3) Trong GL2(R), cho tập con 

a H

Chứng minh rằng H là nhóm con của GL2(R).

4) a) Cho α,β∈S8,α =( )(123 4568),β =( )(34 52618) Tính α3,β2α,αβ

.b) CMR: K ={e,( )( ) ( )( ) ( )( )12 34,13 24,14 23} là nhóm con giao hoán của nhóm S

4 Nhóm này gọi

là nhóm Klein

5) Giả sử a, b là các phần tử của nửa nhóm X ( tức X ≠ Ø và đóng kín đối với phép toán trên

X ) sao cho ab=ba Chứng minh ( )ab n =a n b n, với mọi số tự nhiên n≥1.

6) a) Chứng minh rằng ( Z*p, ) lập thành nhóm giao hoán , với p là nguyên tố

b) Tìm phần tử nghịch đảo của 2,4,7,8 trong Z11

7) Các mệnh đề sau đúng hay sai:

C( )= ∈ = ,∀ ∈ được gọi là tâm của tập A

Trường hợp đặc biệt A={ }a thì C(A) được kí hiệu là C

a và được gọi là tâm của phần tử aTrường hợp A = G thì C(A) được gọi là tâm của G và kí hiệu là Z(G) Tức là Z(G)=

Cho G là nhóm , với x,y∈G ta gọi x−1y−1xy là một hoán tử của G

Nhóm con sinh bởi tập tất cả các hoán tử của G được kí hiệu là [G, G].

Nếu G là nhóm thì [G,G]G

3 Định nghĩa

Cho G là nhóm, S⊂G

i) Nhóm con nhỏ nhất của G chứa S được gọi là nhóm con sinh bởi tập S và kí hiệu là <S>ii) Với H ≤G,H =<S > Ta nói nhóm con H được sinh bởi S hay S là tập sinh của H

Đặc biệt H = G, ta nói G là nhóm sinh bởi tập S hay S là tập sinh của G

iii) Nếu G có một tập sinh hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn sinh

Đặc biệt, nếu G có tập sinh chỉ gồm một phần tử thì G được gọi là nhóm xiclic

iv) Nếu S ={x1,x2, ,x n} thì <S >=< x1,x2, ,x n >

4 Định nghĩa

Một nhóm G được gọi là nhóm xiclic nếu G được sinh bởi một phần tử a nào đó của G ,

G=<a> Khi đó a gọi là phần tử sinh của G

5 Phân loại nhóm xiclic

Giả sử G là nhóm xiclic sinh bởi a, G=<a> Khi đó xảy ra hai trường hợp sau

i) Tất cả các lũy thừa am (m∈Z ) khác nhau đôi một Trường hợp này G là nhóm xiclic vô hạn.

ii) Tồn tại những lũy thừa bằng nhau Chẳng hạn ak = al (k ≠l) thì G là nhóm xiclic hữu hạn

6 Cấp của phần tử

6.1 Định nghĩa

Cho G là nhóm

i) Cấp của G chính là lực lượng của G và kí hiệu là G

Nếu G hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn, ngược lại G được gọi là nhóm vô hạn

ii) Cấp của phần tử a∈G là cấp của nhóm <a> và kí hiệu là a

Nếu a hữu hạn thì a gọi là phần tử có cấp hữu hạn Ngược lại, a được gọi là phần tử có cấp vô hạn

iii) Nhóm G gọi là nhóm xoắn nếu mọi phần tử trong G đều có cấp hữu hạn

iv) Nhóm G gọi là không xoắn nếu trong G chỉ có duy nhất phần tử đơn vị có cấp hữu hạn

B) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP

Bài toán 1 Cho phần tử x thuộc G Chứng minh |x| = n <∞

Phương pháp giải:

Cách 1 Ta chứng minh rằng x2 ≠e,x3 ≠e, ,x n− 1 ≠e,x n =e

Cách 2 Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:

(i) xn = e(ii) Giả sử tồn tại k∈Z sao cho xk = e Ta chứng minh n|k

Bài toán 2 Cho x thuộc nhóm G Chứng minh x có cấp vô hạn

Phương pháp giải Lấy mọi m, n thuộc Z sao cho m≠n Ta cần chứng minh xm≠xn

Bài toán 3 Cho G là nhóm cấp n Chứng minh G xylic

Phương pháp giải:

Cách 1 Lấy mọi y∈G Ta cần chỉ ra phần tử a∈ G sao cho y = ak, k∈ Z

Cách 2 ta cần chứng minh tồn tại a∈G sao cho |a| = n

Bài toán 4 Chứng minh G là nhóm hữu hạn sinh

Phương pháp giải Ta cần chỉ ra tập S⊆G sao cho

(i) S hữu hạn phần tử

(ii) <S> = G

C) MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI

Bài 1 Cho G là nhóm Chứng minh rằng:

k n

1

1 2

1 2

1

l

n k n n m

l m m n k n

x

xy− = 1 2 − 1 − 2 −

2 1 2

x 1 2

2 1

= , với x i ∈A;n i,k∈Z, i=1,n Hay

k n

x 1 2

2 1

= với x i∈< A>∪B, n i, k∈Z, i= 1,k.Nếu x i ∈B, ∀i=1,k thì x∈< A∪B>

1 (*) bằng quy nạp theo n

Với n=1 thì (*) hiển nhiên đúng

Với n=2 thì (*) đúng do chứng minh trên

Giả sử ta luôn có <∪ >=<∪< >>

=

k i i k

= +

= +

+

k i k

i k i k

k i k

i

k

1 1

1 1

1 1

1 1

Bài 3 Cho G là nhóm Chứng minh rằng:

a) Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G và K là nhóm con của G thì HK =<K∪H > và HK=KH

b) Nếu H i ≤G,i=1,n và H j G,j=1,n−1 thì =<∪ >

= i

n i

H H H

1 2

1

và HiHk=HkHi,

n k

H

1 2

1

,,,1,

1 2 1

1 2

1 2 1 1

1

2

1 , Do đó (k1h1) ( )k2h2 −1∈KH Vậy KH ≤G

Lấy x bất kỳ thuộc K∪H Khi đó x thuộc K hoặc x thuộc H Nếu x thuộc K thì x=xe∈KH

(vì e∈H ) Nếu x∈H thì x=ex∈KH(vì e∈K) Suy ra x∈KH hay K∪H ⊂KH

Giả sử tồn tại M là nhóm con của G chứa K∪H Lấy kh bất kỳ thuộc KH với k∈K,h∈H

h

M H K K

H H H

1 2

Giả sử ta luôn có =<∪ >

= i

k i

H H H

1 2

H H

1 1 2

1

, trong đó H i ≤G;i=1,k+1,H j G, j=1,k

k i

H H H

2 1

2

1 , +

= + = ∪

H H H

1 2

H1 2 1 2 Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 4 Cho H là nhóm con chuẩn tắc của G Chứng minh rằng nếu H và G/H hữu hạn sinh thì G là

y y

y

2 1

g 1 2

2 1

= Do đó g(y y y m l) H

l m

m 2 −1∈

k n n m

l m

y

2 1

1 2

l

l m m n k

1

= Nên g∈K Do đó G = K hay G là nhóm sinh bởi tập hợp

{x1,x2, ,x n,y1,y2, ,y m} Vậy G là nhóm hữu hạn sinh

Bài 5 Chứng minh rằng nếu H là nhóm con thực sự của G thì G = <G\H>.

d r x x

x x x x

x

y

r

r r p d r dp k

10

Từ đó suy ra x <∞⇒∀m,n∈N sao cho m≠ n thì x m =x n.

Bài 7 Chứng minh rằng mọi nhóm có cấp vô hạn đều có vô hạn nhóm con.

Giải Nếu X = <x> là nhóm xiclic có cấp vô hạn thì với mỗi số tự nhiên n, ta có <xn> là nhóm con xiclic của X và nếu n≠m thì <x n >≠< x m > nên X có vô hạn nhóm con

Nếu X không là nhóm xiclic

• Nếu X có chứa một phần tử cấp vô hạn x thì A = <x> là nhóm con xiclic cấp vô hạn của X,

A có vô hạn nhóm con nên X cũng có vô hạn nhóm con

• Nếu mỗi phần tử của X đều có cấp hữu hạn thì số các nhóm con xiclic sinh bởi các phần tử của X là vô hạn vì x∪X < x>=X

∈ là tập vô hạn và <x> hữu hạn

Bài 8 Chứng minh rằng nếu X là nhóm chỉ có các nhóm con tầm thường là

{e }và X thì X là nhóm xiclic, hữu hạn, cấp nguyên tố

Giải Lấy x∈X,x≠e Xét nhóm con < x > Vì <x >≠{e} nên < x> = X Vậy X là nhóm xiclic

Nếu x có cấp vô hạn thì <x2 > là nhóm con thực sự của X

( trái giả thiết ) Vậy X phải có cấp hữu hạn n

Nếu n không phải là số nguyên tố, tức n = n1n2 ( n1, n2∈ N, n1, n2 ≠1 ), khi đó nhóm con

>

< x n1 là nhóm con thực sự cấp n2 của X ( trái giả thiết )

Vậy X là nhóm xiclic, hữu hạn, cấp nguyên tố

Bài 9 Chứng minh rằng nhóm con của nhóm xiclic là nhóm xiclic

Giải Giả sử X là nhóm xiclic, X = < a > và A là một nhóm con của nhóm X

Bài 10 Giả sử X1, X2 là các nhóm xiclic có cấp nguyên tố lần lượt là n1, n2 Chứng minh rằng X1 ×

2

X là nhóm xiclic khi và chỉ khi n1, n2 nguyên tố cùng nhau

Giải Giả sử X1 = <a1> có cấp n1 và X2 = <a2> có cấp n2 Dễ thấy nhóm

1 1 2

1 2

e a

e a e

e a

a

k

k k

2 1 2 1

,

n n

n n n

e a

e a

e a

1 1

Mọi (x1,x2, ,x k)∈X1× X2 × … × X k, ta có ( ) ( ) ( k)

m k m m m

x x

n1 2 nên X1 × X2 × …×X k không là nhóm xiclic

Bài 12 Giả sử X là nhóm xiclic sinh bởi phần tử a cấp n, b = ak Chứng minh rằng:

k d

n d

k

nên d

n m

Vậy cấp của b là d

n

.Suy ra mọi nhóm con của nhóm xiclic cấp n đều có cấp là ước của n

b) Ta có X = <b> khi và chỉ khi cấp của b bằng n tức d n

n =

hay d = 1

Vậy b là phần tử sinh của X khi và chỉ khi ( k, n ) = 1 Ta có các phần tử sinh của X chính là các phần tử có dạng ak ( 0<k<n ) với ( k, n ) = 1

Bài 13 Cho X là nhóm xiclic cấp n và d là một ước của n Chứng minh rằng X có đúng một nhóm

con cấp d và nhóm này là nhóm xiclic

Giải Giả sử X = <a> có cấp n và d là ước của n Áp dụng bài 12 ta có d

n, =

Do đó tồn tại x, y ∈Z

n ky

n

a = H

Vậy có duy nhất nhóm con cấp d của X

Bài 14 Các nhóm sau có bao nhiêu nhóm con Tìm cấp của chúng

a) Nhóm xiclic cấp 12

b) Nhóm xiclic cấp 17

Giải a) Số 12 có các ước là 1, 2, 3, 4, 6, 12 nên nhóm xiclic cấp 12 có 6 nhóm con có cấp 1, 2,

3, 4, 6, 12

b) Số 17 có các ước 1, 17 nên nhóm xiclic nhóm 17 có 2 nhóm con có cấp 1, 17

Nhận xét Từ bài 12 và bài 13 ta có các kết quả :

i) Giả sử X là nhóm xiclic sinh bởi phần tử a cấp n và b = ak Khi đó b là phần tử sinh của

nhóm con xiclic H của X cấp là d

n

với d = (n, k) Hơn nữa <a s >=<a t > khi và chỉ khi (s, n) = (t,n) ii) Nếu a là phần tử sinh của nhóm xiclic cấp hữu hạn n thì các phần tử sinh khác của X là ar

với r và n nguyên tố cùng nhau

Bài 15 a) Xét nhóm Z12 với phép cộng, ta đã biết Z12 là nhóm xiclic với phép cộng, phần tử sinh là

1

Liệt kê các phần tử của <3>, <4>

b) Z18 là nhóm xiclic với phép cộng, có phần tử sinh là 1 Tìm các phần tử sinh khác của Z18

Giải a) Ta có 3=3.1, (12,3) = 3 nên cấp của <3> là 3 4

Bài 16 Giả sử X là nhóm, a và b là hai phần tử của X.

a) Chứng minh rằng cấp của ab bằng cấp của ba

b) Giả sử ab = ba và cấp của a, b là r, s

Khi đó nếu (r, s) = 1 thì cấp cùa ab là rs

Giải a) Giả sử ab có cấp là k, khi đó ( )ab k =e ⇔

a e babab

Vậy nếu ab = ba và cấp của a, b là r, s và (r, s) = 1 thì cấp cùa ab là rs

Bài 17 Tìm cấp của các phần tử trong GL2(R)

11

11

01

01

01

2

10

01

11

11

2110

11

11

10

0

i

i B

G=

b) Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta thấy A2 là phần tử duy nhấtcó cấp 2

Bài 19 Cho G là nhóm sinh bởi {x,y} thỏa x2 = y2 Chỉ ra những phần tử trùng nhau của các phần tử sau:

Giải Ta biết nếu u i =u j thì u i u−j1 =e

Ta có u2u5 −1 = yxyxy2x−1y−1x−3yx−2 = yxyxx2x−1y−1x−3yx−2 = yxyx2y−1x−3yy−2

Hay u u− 1 = yxyx2y− 1x− 3y− 1 = yxyy2y− 1x− 3y− 1 = yxy2x− 2x− 1y− 1 = yxx− 1y− 1 =e

5 2

Nên u2 =u5 Tương tự ta được u3 =u6

Bài 20 Cho G = < a, b > thõa a3 = e; b7 = e; a-1ba = b3 Chứng minh rằng G là nhóm xiclic cấp 3

Giải Giả sử a = e thì b2 = e Do đó b6 = e hay b6 = b7 vì thế b = e ( mâu thuẫn) Do đó a≠e

nên a =3 Vì a−1ba=b3

nên ( 1 ) ( )2 3 2

b ba

D) MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1) Các mệnh đề sau đúng hay sai:

a) Phần tử a của nhóm G có cấp là n ∈Z+ nếu và chỉ nếu an = e ( e là đơn vị của G )

b) Nếu H và H, là hai nhóm con của nhóm xiclic X thì H∩H, là nhóm con xiclic của X

c) Tồn tại nhóm xiclic cấp 8 có 5 nhóm con phân biệt

d) Mọi nhóm xiclic cấp 8 đều có 4 nhóm con phân biệt

1 n

, với n∈Z cùng với phép nhân hai ma

trận lập thành một nhóm xiclic Tìm phần tử sinh của X

010

4) Chứng minh rằng Z2 ×Z3 là nhóm xiclic nhưng Z2 ×Z4 , Z3 ×Z6 không là nhóm xiclic

5) Cho p là số nguyên tố.Tìm số phần tử sinh của nhóm xiclic Zp r, r∈Z, r≥1

6) Tìm tất cả các phần tử sinh của các nhóm sau:

a) Z12 b) Z7 c) Z9

7) Tìm tất cả các nhóm con của các nhóm xiclic cấp 12, 17

CHƯƠNG III ĐỒNG CẤU NHÓM

Một đồng cấu nhóm f từ nhóm X đến nhóm X đựơc gọi là tự đồng cấu nhóm

Đồng cấu nhóm f :X →Y với f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh) được gọi là đơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu)

Nếu tồn tại một đẳng cấu f :X →Y ta nói nhóm X đẳng cấu với nhóm Y Kí hiệu X ≅Y

i) Nếu f :X →Y là đồng cấu nhóm thì f(e)=e và f( )x−1 =[f( )x ]− 1, ∀x∈X

ii) Nếu các ánh xạ f :X1 → X2 và g:X2 →X3 là các đồng cấu thì ánh xạ tích g f :X1 → X3

cũng là một đồng cấu nhóm Đặc biệt tích của hai đơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu) là một đơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu)

iii) Nếu f :X →Y là đẳng cấu nhóm thì đẳng cấu ngược f− 1:Y → X

cũng là đẳng cấu nhóm

2 Ảnh và tạo ảnh của đồng cấu nhóm

2.1 Định nghĩa

Cho f :X →Y là đồng cấu nhóm, khi đó

i) Ảnh của đồng cấu f ( kí hiệu là Imf) là tập được xác định: Im f ={f(x)x∈X}= f(X)

ii) Hạt nhân của đồng cấu f ( kí hiệu Kerf) là tập được xác định Kerf ={x∈X f(x)=e}= f −1(e)

v) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf ={ }e

vi) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf =Y

vii) Nếu nhóm X đựơc sinh bởi tập A thì Imf được sinh bởi tập f(A)

B) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP

Bài toán 1 Cho ánh xạ f: X →Y Chứng minh f là đồng cấu nhóm

Phương pháp giải Ta chứng minh :

(i) X, Y lập thành nhóm với các phép toán tương ứng

(ii) Mọi x1 , x2 ∈X, ta có f (x1 x2 ) = f (x1) f (x2 )

Bài toán 2 Cho ánh xạ f: X →Y Chứng minh f là đơn cấu

Phương pháp giải Ta chứng minh :

(i) f là đồng cấu nhóm

(ii) f là đơn ánh hoặc Kerf = { }e

Bài toán 3 Cho ánh xạ f: X →Y Chứng minh f là toàn cấu

Phương pháp giải Ta chứng minh :

(i) f là đồng cấu nhóm

(ii) f là toàn ánh

Bài toán 4 Cho ánh xạ f: X →Y Chứng minh f là đẳng cấu nhóm

Phương pháp giải Ta chứng minh

(i) f là đơn cấu

(ii) f là toàn cấu

Bài toán 5 Chứng minh X ≅Y, với X, Y là các nhóm cho trước

Phương pháp giải.

Cách 1 Lập ánh xạ f :X →Y và chứng minh f là đẳng cấu nhóm

Cách 2 Nếu X = G/H thì ta lập một toàn cấu nhóm f :G→Y sao cho

Kerf = H

Cách 3 Nếu X là nhóm xylic cấp n thì ta cần chứng minh Y là nhóm xylic cấp n

C) MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI

Bài 1 Cho A A1, 2 lần lượt là các nhóm con chính tắc của nhóm X X1, 2

Chứng minh rằng:

2 1 2

1 A X X

A ×  × và (X1×X2) (/ A A1× 2) (≅ X1/A1) (× X2 /A2).

Giải Gọi πi:X i →X i/A i, i=1,2 là các toàn cấu chính tắc

Xét tương ứng: π:X1×X2 →(X1/A1) (× X2 /A2)

(x1,x2)(π1( ) ( )x1 ,π2 x2 )

Ta thấy π là toàn cấu nhóm và Kerπ = ×A A1 2 Do đó (X1×X2) (/ A A1× 2) (≅ X1×A1) (/ X2×A2) .

Bài 2 Cho X là nhóm xiclic sinh bởi phần tử a Chứng minh rằng:

a) Nếu cấp của a là vô hạn thì X đẳng cấu với Z.

b) Nếu cấp của a là số n hữu hạn thì X đẳng cấu với Zn

Do a có cấp vô hạn nên m – n = 0 tức f là đơn cấu Vậy f là đẳng cấu

b) Theo giả thiết a =n nên ánh xạ: ϕ Zn →X được xác định ( ) r

được xác định tốt, không phụ thuộc vào việc chọn lớp r Dễ dàng kiểm tra được ϕ là đẳng cấu nhóm.

Bài 3 Chứng minh rằng:

a) Mọi nhóm xiclic cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhau

b) Hai nhóm xiclic cấp hữu hạn đẳng với nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp

Giải a) Giả sử X = a Y, = b là các nhóm xiclic cấp vô hạn,

Bài 4 Giả sử A và B là hai nhóm con chuẩn tắc của nhóm X sao cho A B∩ ={ }e và X = AB Chứng

minh rằng X đẳng cấu với nhóm A B×

Giải Do AB = X nên với mỗi phần tử x của X viết được dưới dạng x = ab với a A∈ và b B∈ .Giả sử có x ab a b= = , , với a a, ,∈A và b b, ,∈B thì a a b b, 1− = , −1∈ ∩A B Vì A B∩ ={ }e nên

, 1 , 1

a a b b− = − =e do đó a,=avà b, =b Vậy mỗi phần tử x X∈ được viết một cách duy nhất dưới dạng x = ab, với a A b B∈ , ∈ Mặt khác các phần tử của A giao hoán được với các phần tử của B

Thật vậy, với a, b tùy ý thuộc A, B, xét tích a b ab−1 −1 Vì A và B là những nhóm con chuẩn tắc của X nên b ab A−1 ∈ và a b a B− 1 − 1 ∈

Vậy a b ab A B− 1 − 1 ∈ ∩ ={ }e nên a b ab e− 1 − 1 = hay ab=ba.

b) X H/ Abel ⇔ ∀x y X, ∈ thì xyH = yxH ⇔ ∀x y X, ∈ thì x y xy H− 1 − 1 ∈ ⇔[X X, ]⊂H .

Bài 6 Cho X và Y là hai nhóm xiclic cấp tương ứng là s và t và các phần tử sinh là x và y

a) Chứng minh quy tắc ϕ cho tương ứng với mỗi phần tử n

x ∈X với phần tử ( )k n

y ∈Y

,với k là một số tự nhiên khác không cho trước là một đồng cấu nhóm khi và chỉ khi sk là bội của t

b) Chứng minh rằng nếu ϕ là đẳng cấu thì (s,k)=1.

Giải a) Nếu ϕ là đồng cấu nhóm thì ( ) ( )s ( ) s ks

e =ϕ e =ϕ x =ϕ x  =x

Vậy y ks =e Y nên ks t

Ngược lại, nếu ks t , ta chứng minh ϕ là đồng cấu nhóm.

Đầu tiên, ta chứng minh ϕ là một ánh xạ.

Thật vậy, nếux n =x m thì n m s−  do đó k n m t( − ) Bởi vậy y kn = y km tức là ϕ là ánh xạ.

y

y k i k j

,1,

≠

Do đó y k là một phần tử sinh của Y nên ( )k,t =1 Vì t = s nên (s, k) = 1

Bài 7 Cho BA≤G và C≤G Chứng minh rằng:

a) (B∩C) ( A∩C) và (A∩C) (/ B∩C)≅B(A∩C)/B

b) Nếu C  G thì BC  AC và AC/BC≅ A/B(A∩C)

Giải a) Vì (A∩C)≤ A và B  A Áp dụng định lý 2.3 với G được thay bởi A, H thay bởi

Bài 8 Cho A ≤Z (G) và f :G→H là toàn cấu Chứng minh rằng f(A)≤Z(H)

Giải Ta chỉ cần chứng minh f(A) ⊂Z (H)

Lấy y∈ f (A) Do đó f là toàn cấu nên tồn tại x∈A sao cho y = f(x)

b) Giả sử X là một nhóm Abel thì theo a) ϕ là một đồng cấu vì Kerϕ = ∈{x X x có cấp là ước

của−1} hay x K∈ erϕ⇔cấp x là ước của -1 ⇔ =x e

Do đó ϕ là một đơn cấu, hơn nữa ϕ là một toàn cấu vì ( )1 1

n

f   = ÷

 

Như vậy n lại là ước của n1 Vô lý

Vậy chỉ có một đồng cấu 0 từ nhóm cộng các số hữu tỷ Q và nhóm cộng các số nguyên Z, Q không đẳng cấu với Z nên Q không là một nhóm xiclic ( bài 3 )

Bài 11 Tìm tất cả các đồng cấu từ

a) Z6 đến Z18

b) Z18 đến Z6

c) Một nhóm xiclic cấp n đến chính nó

d) Một nhóm xiclic cấp n đến một nhóm xiclic vô hạn

Giải Ta có mỗi đồng cấu f : Zn → Zm hoàn toàn được xác định bởi f( )1 =k

( tức f( )x =kx )

Theo bài 6 thì f là đồng cấu khi và chỉ khi kn m Bởi vậy ta có

a) Mỗi đồng cấu f : Z6 → Z18 hoàn toàn xác định bởi f(1)=k với 0≤k <18 và 6k18⇔k3

Do đó k = 0, 3, 6, 9, 12, 15 nên có tất cả 6 đồng cấu f : Z6 → Z18 đó là các đồng cấu xác định bởi:

c) Mỗi đồng cấu f : Zn → Zn hoàn toàn xác định bởi f(1)=k với 0≤k < n và kn n Do đó có

tất cả n đồng cấu f : Zn → Zn được xác định bởi: f(1)=k với k =0,1,2, ,n−1

d) Giả sử f : a → b là đồng cấu nhóm và giả sử f(a)=b k Khi đó ta có

nk n

a f

e

f

e= ( )= ( )=( ( )) = Vì b có cấp vô hạn nên nk = 0, suy ra k = 0 và do đó f(a)=e

Vậy có duy nhất một đồng cấu từ nhóm xiclic hữu hạn và nhóm xiclic cấp vô hạn đó là đồng cấu tầm thường

Bài 12 a) Tìm KerΦ và Φ (25) của đồng cấu Φ: Z → Z 7 biết Φ(1)=4

b) Tìm KerΦ vàΦ (18) của đồng cấu Φ: Z → Z10 Biết Φ ( 1 ) = 6

c) Tìm KerΦ và Φ (3) của đồng cấu Φ: Z10 → Z20 biết Φ(1)=8

3

Φ

Bài 13 Cho G là nhóm hữu hạn sinh, G’ là nhóm bất kỳ và mỗi ánh xạ f :S →G', trong đó S là tập

sinh của G Chứng minh rằng tồn tại duy nhất đồng cấu F:G→G' sao cho F S = f Ngược lại, nếu

G là nhóm Abel và mỗi ánh xạ f :S →G' đều tồn tại F:G→G' sao cho F S = f thì G là nhóm

sinh bởi tập S

Giải Ta biết x∈G thì n k

k n

n x x x

x 1 2

2 1

= , với x i ∈S,n i∈Z, i= 1,k

Xây dựng tương ứng F:G→G'

( )n k

k n

n f x f x x

f x F

x ( ) ( ) 1 ( ) 2

2 1

(1)

Vì a,b∈G nên k l m l

m m n

k n

x

a 1 2 , 1 2

2 1 2

= , với x i,y j ∈S;n i,m j,k,l∈Z,

i=1,k, j = 1l Vì thế ( 1 2 )( 1 2 ) ( 1 2 )( 2 1)

1 2 2

1

1 2

1 2

1

l

n k n n m

l m m n k n

x

1 2 2

1 2 2

1

1 m m m

l

n k n

n

y y y x x

x

ab− = k − l − − Suy ra

( ) [ ( ) ] ( )1[ ] 2 [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] 2[ ( ) ] 1

1 2

2 1

2

Hay [ ( ) ]1[ ( ) ] 2 [ ( ) ] [ ( ) ] 1 [ ( ) ] 2[ ( ) ] 1

1 2

2

l

n k n

k n

x

a 1 2 , 1 2

2 1 2

2

l

n k n

x f ab

Vì thế F(ab) = F(a)F(b) Nên F là đồng cấu

Lấy x bất kỳ thuộc S thì x=x1 nên F( )x =[f( )x ]1 = f( )x

( ) [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] k [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]n k

k n

n n

k n

n

x g x

g x g x

f x

f x

f

a

2 1

2

k n

n x x x

g a

2 1

đồng cấu) Nên F(a)=g(a), với mọi a thuộc G

Vậy F = g hay F là duy nhất

Ngược lại Nếu G là nhóm Abel thì <S>G Đặt G' =G/<S >

a) Ảnh đồng cấu của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh

b)Nhóm thương của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh

Giải a) Cho G là nhóm hữu hạn sinh với tập sinh là S, G’ là nhóm và f :G→G' là đồng cấu

Ta chứng minh <f(S)>= Imf Thật vậy, Imf khác rỗng vì e Im∈ f Lấy y1, y2 bất kỳ thuộc Imf Khi

đó ∃x1.x2 ∈G:y1 = f( )x1 ;y2 = f( )x2 Do đó y y f( ) ( )x [f x ] 1 Im f

2 1

1 2

n x x x

x 1 2

2 1

=

2 1

( H ≤G và f( )x i ∈ f( )S ⊂ H) Nên Imf⊂H Vì thế Imf =< f(S)> Vậy ảnh đồng cấu của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh

b) Cho G là nhóm, H  G Xét toàn cấu chính tắc π :G→G/H

x

x 

Theo chứng minh trên thì G/H =Imf =<π( )S >=<x1,x2,x3, ,x n >

Vậy nhóm thương của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh

Từ kết quả trên suy ra nếu G=<S> và f :G →G' là toàn cấu nhóm thì G’=<f(S)>

Bài 15 Cho X là nhóm sinh bởi tập S với S ={x1,x2, ,x n}, Y là nhóm bất kỳ và

Y X g

( )⇒ Nếu f = g thì f(x) = g(x), ∀x∈X Do đó f( )x i =g( )x i với mọi i=1,n

( )⇐ Nếu f( )x i =g( )x i với mọi i=1,n, ta phải chứng minh f = g Thật vậy, với mọi x thuộc X

ta có x x n1x n2 x k n k

2 1

( ) ( k) [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] k [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]n k

n n

n n

k n

n n

k n n

x g x

g x g x

f x

f x f x x

2 1

m x x x

x 1 2

2 1

m m

k m

2 1 2

1 2

Vậy f là toàn cấu

( )⇒ Nếu f là toàn cấu thì hiển nhiên f là toàn ánh lên tập S’

Bài 17 Cho Gi là nhóm, i=1,n Chứng minh rằng i

x x

x

1 2

í k

im

k i

k i

2 1

nm

k m

k m

k m k k k m k

x

2 1 1 2 2 2 22 21 1 1 12 11

2 22 21 1 12 11

n n

m

nm

k n

k m k

k m

x , , , , , , , , , , , 2 2, , , , , , 1 , , ,

2 21

1 1 11

1 2

21 1

11

Do vậy :

n n

m

nm

k n

k m k

k m

k

x e e x

e e e

x e e x e e

e x e e x

2 21

1 1

11

1 2

21 1

a) Hay nhóm bất kỳ G, G, luôn tồn tại đồng cấu từ G và G,

b) Mọi đồng cấu nhóm là đơn cấu khi và chỉ khi hạt nhân của nó chỉ chứa phần tử đơn vị

Chứng minh rằng f là đồng cấu nhóm khi và chỉ khi G là nhóm Abel

3) Chứng minh rằng nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của X thì tồn tại một song ánh từ tập hợp các nhóm con chuẩn tắc của X chứa A đến tập hợp các nhóm con chuẩn tắc của X/A

(i) Tập Ha ={ ha|h∈H } được gọi là lớp ghép phải của a đối với nhóm con H

(ii) Tập aH ={ah| h∈H } được gọi là lớp ghép trái của a đối với nhóm con H

Nhận xét Cho G là nhóm, H ≤G Khi đó, mọi a ∈ G, ta có |aH| = |Ha| = |H|

( ở đây ta hiểu |aH| là lực lượng của tập aH )

2 Định nghĩa

Cho X là nhóm và H ≤ X, số các lớp ghép trái ( hoặc phải ) của x theo nhóm con H được gọi

là chỉ số của H trong X, kí hiệu [X H: ]

3 Định lý Lagrange

Giả sử H là nhóm con của nhóm hữu hạn X Khi đó H là ước của X và [X H: ]=

X H

4 Công thức lớp

X là hữu hạn, khi đó: X =Z X( ) +∑i I∈ [X C x ( )i ]

, x i∉Z X( )Chú ý Cho X là nhóm Khi đó

(i) Nếu H ≤ X thì X = H [X H: ], ( X tùy ý )

(ii) Nếu X- hữu hạn, HX thì X H/ =

X H

(iii) Nếu X- hữu hạn, khi đó∀x ∈X, x là ước của X

5 Định nghĩa

Giả sử X là nhóm, khi đó:

(i) Nếux X∈ có số nguyên dương m sao cho xm =e thì m được gọi là số mũ của x

(ii) Số nguyên dương m được gọi là số mũ của nhóm X nếu m là số nguyên dương sao cho xm

Giả sử p là số nguyên tố, khi đó:

(i) Nhóm H được gọi là p- nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của p

(ii) Nhóm H được gọi là p- nhóm con của nhóm X nếu H ≤ X và H là p- nhóm.

(iii) Nhóm H được gọi là p- nhóm con Sylow của nhóm X nếu H là p- nhóm con của X và H =

pn là lũy thừa cao nhất của p chia hết X

iv) ( Định lý Sylow 2 ) Giả sử X là nhóm hữu hạn và p là ước nguyên tố của X Khi đó:

• Mọi p- nhóm con H của X đều nằm trong p-nhóm con Sylow nào đó của X

• Nếu P P1, 2là p-nhóm con sylow của X chúng liên hợp với nhau, tức là

∃x ∈ X sao cho P2 = x P1. x-1 ( P1 =xP2x-1 )

• Nếu r là số các p- nhóm con Sylow của X thì r ≡ 1 ( mod p ), r X

v) Nếu X = mpk ( m, p ) = 1, p nguyên tố, khi đó số p- nhóm con Sylow của X là ước của m.(vi) Nếu H là p- nhóm con Sylow cấp t duy nhất của X thì H  X.

(vii) Cho G là nhóm hữu hạn Nếu G có đúng một p- nhóm con Sylow với mỗi p là ước nguyên

tố của G thì G là tích trực tiếp của các p- nhóm con Sylow của nó

Với (*) là dãy chuẩn tắc của G, khi đó

i) Số n đựoc gọi là độ dài của chuỗi

iv) Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu G có một dãy Abel

v) Cho G là nhóm, P là một tính chất nào đó của nhóm

Một dãy poly-P là dãy chuẩn tắc của G mà tất cả các nhân tử của dãy đều có tính chất P

Nhóm G được gọi là nhóm poly-p nếu nó có một dãy poly-P

vi) G là nhóm giải được nếu nó là nhóm polyabelian

vii) G là nhóm polyxylic nếu nó có một dãy polyxylic

viii) Giả sử P, Q là các tính chất nào đó của nhóm Nhóm G được gọi là nhóm P-by-Q nếu có

G

N  sao cho N có tính chất P và G/N có tính chất Q

Nhận xét Tính chất P và Q của nhóm được bảo toàn qua phép đẳng cấu Do đó tính chất của

nhóm poly-P và nhóm P-by-Q được bảo toàn qua phép đẳng cấu

12 Tính chất

(i) Cho G là nhóm hữu hạn Khi đó, G luôn có một dãy cơ bản

(ii) Cho G là nhóm giải được hữu hạn Khi đó G có một dãy hợp thành với các nhân tử là nhóm

có cấp nguyên tố

(iii) Nhóm con của nhóm giải được là nhóm giải được

iv) Ảnh đồng cấu của nhóm giải được là nhóm giải được

(v) Nhóm thương của nhóm giải được là nhóm giải được

(vi) Cho X là nhóm và HX Khi đó X giải được khi và chỉ khi H và X/H là nhóm giải được

B) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP

Bài toán 1 Chứng minh nhóm X là giải được

Phương pháp giải Ta xây dựng một dãy các nhóm con của X

X= X0≥X1≥ X2 ≥ ≥Xn ={ }e

sao cho dãy trên thỏa các tính chất

(i) Mọi h∈ Xi, mọi x∈ Xi-1, ta có xhx-1 ∈ Xi hoặc x-1hx ∈ Xi

(ii) Xi-1/ Xi là nhóm Abel, tức là mọi x, y ∈ Xi-1, ta có xyx-1y-1 ∈ Xi (∀i=1,n)

Bài toán 2 Chứng minh nhóm X cấp n < ∞ là giải được

Phương pháp giải.

Cách 1 Sử dụng phương pháp của bài toán trên

Cách 2 Tìm một mhóm con chuẩn tắc H của X sao cho

(i) H là nhóm giải được(ii) X/H là nhóm giải được

C) MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI

Bài 1 Cho f X: →Y là một đồng cấu từ nhóm hữu hạn X đến nhóm hữu hạn Y Chứng minh rằng:

a) Cấp của a X∈ chia hết cho cấp của f(a)

b) Cấp của X chia hết cho cấp của f(X)

Giải a) Giả sử cấp của a là m, khi đó a m=e Khi đó ( ) m ( )m ( )

f a = f a = f e =e

Vậy cấp của f(a) là ước của m

b) Do X hữu hạn nên cấp của X/Kerf bằng chỉ số của Kerf là một ước của cấp của X ( Định lý Lagrange )

Vậy cấp của f(X) là một ước của cấp của X

Bài 2 Chứng minh rằng mọi nhóm cấp nguyên tố đều là nhóm xiclic.

Giải Gọi X là nhóm có cấp là p ( p là số nguyên tố ) và x∈ X\ { }e , khi đó x >1 Theo định lý Lagrange thì x là ước của p Do p nguyên tố nên x = p, do đó

X = x Vậy X là nhóm xiclic

Bài 3 Chứng minh rằng mọi nhóm cấp nhỏ hơn hoặc bằng 5 đều là nhóm Abel.

Giải Ta có mọi nhóm cấp 1,2,3,5 đều là nhóm Abel ( do 2,3,5 là các số nguyên tố nên mọi

nhóm cấp 2,3,5 đều là nhóm xiclic do đó là nhóm Abel )

Ta chứng minh nếu X = 4 thì X là nhóm Abel

Thật vậy nếu ∃ x ∈ X sao cho X = 4 thì X là nhóm xiclic, do đó X là nhóm Abel.

Nếu trong X không có phần tử nào cấp 4 tức là mọi ∃ x ∈ X, x≠e thì x2 = e Do đó X là nhóm Abel ( bài 12 chương I )

Bài 4 a) Cho X là nhóm hữu hạn, H ≤ X, K X

Nên trong X tồn tại 3- nhóm con Sylow,

Gọi r là số 3-nhóm con Sylow, ta có

1(mod 3)5

r r

≡





 ⇒ r = 1

Do đó tồn tại duy nhất 3- nhóm con Sylow H, H = 3 ⇒H  X

Tương tự trong X cũng tồn tại 5- nhóm con Sylow của X

Nếu s là số 5- nhóm con Sylow của X thì

1(mod 5)

13

s

s s

Vì nếu H∩K > 1 ⇒ H∩K = 3 ( đều này không thể vì H∩K ≤ H,

H∩K  K và H∩K = H nên H∩K = H nên H⊂K ⇒ H ≤ K mà H không là ước của