TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY - chương 2

Định luật Ohm dạng vi phân • Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian dt dq Dấu trừ chỉ dòng điện I đư

Chương 1 CÁC ĐỊNH LUẬT

VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

1.1 Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ

1.1.1 Vector cường độ điện trường

• Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường

Eq

rr

0 r

r4

- ε - độ điện thẩm tương đối

- rr0 - vector đơn vị chỉ phương

n 1

rq4

1E

i

0

rr - các vector đơn vị chỉ phương

• Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó:

∫ρπεε

=

l

2 l 0 l

r

rdl4

1

=

S

2 S 0

rdS4

1

∫ρπεε

=

V 0 V

r

rdV4

4B

0r

rlId4

1.1.4 Vector cường độ từ trường

• Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector cường độ từ trường Hr

BHμμ

=

r

1.2 Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích

1.2.1 Định luật Ohm dạng vi phân

• Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian

dt

dq

Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm

• Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện

Evven

r

σ

=ρ

S

SdES

dJdI

L

R =ρ = ρ)

R

ULU)

EL)(

L(ESEdS

IS

=σ

=σ

=σ

=σ

dạng thông thường của định luật Ohm

σ - điện dẫn suất có đơn vị là 1/Ωm

1.2.2 Định luật bảo toàn điện tích

• Điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũng không

tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòng điện

• Lượng điện tích đi ra khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V bằng lượng điện tích giảm đi từ thể tích V đó

• Giả sử trong thể tích V được bao quanh bởi mặt S, ta có

∫ρ

=VdV

ddt

dVtS

S

dVtdV

J.S

∂

ρ

∂+

Đây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay phương trình liên

tục

1.3 Các đặc trưng cơ bản của môi trường

• Các đặc trưng cơ bản của môi trường: ε, μ, σ

• Các phương trình:

E

Dr 0 rεε

μμ

=0

BH

r

gọi là các phương trình vật chất

• ε, μ, σ ∉ cường độ trường : môi trường tuyến tính

• ε, μ, σ ≡ const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng

• ε, μ, σ theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau: môi trường không đẳng hướng Khi đó ε, μ biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng số Chẳng hạn ferrite bị từ hoá hoặc plasma bị từ hoá là các môi trường không đẳng hướng khi truyền sóng điện từ

• ε, μ, σ ∈ vị trí : môi trường không đồng nhất

Trong tự nhiên đa số các chất có ε > 1 và là môi trường tuyến tính

Xecnhec có ε >> 1 : môi trường phi tuyến

μ > 1 : chất thuận từ : các kim loại kiềm, Al, NO, Phương trình, O, N, không khí, ebonic, các nguyên tố đất hiếm

μ < 1 : chất nghịch từ : các khí hiếm, các ion như Na+, Cl- có các lớp electron giống như khí hiếm, và các chất khác như Pb, Zn, Si, Ge, S, CO2, H2O, thuỷ tinh,

đa số các hợp chất hữu cơ

μ >> 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al Độ từ hoá của chất sắt từ lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần

• Căn cứ vào độ dẫn điện riêng σ: chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất cách điện hay điện môi

Chất dẫn điện: σ > 104 1/Ωm, σ = ∞ : chất dẫn điện lý tưởng

Chất bán dẫn: 10-10 < σ < 104

Chất cách điện: σ < 10-10, σ = 0 : điện môi lý tưởng

Không khí là điện môi lý tưởng: ε = μ = 1, σ = 0

1.4 Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường

• Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell

• Thông lượng của vector điện cảm Dr qua mặt S là đại lượng vô hướng được xác định bởi tích phân

∫

=ΦS

) : hình chiếu của S lên phương Dr

• Xét một mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thông lượng của Dr do q tạo

ra qua mặt kín S, ta có

π

=π

4

Sd,Dcos.dS.qSdD

rrr

q

dΩ là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS

Thông lượng của Dr

qua toàn mặt kín S là

qd4

qSdDS

=Ωπ

qua toàn mặt kín S bằng 0

• Xét hệ điện tích điểm q1, q2, , qn đặt trong mặt kín S, ta có

∑

=

= n1 i iD

Thông lượng của Dr

do hệ q1, q2, , qn gây ra qua toàn mặt kín S

QqS

dDS

i S iS

Vậy: Thông lượng của vector điện cảm Dr

qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng đại

số các điện tích nằm trong thể tích V được bao quanh bởi S

Lưu ý: Vì Q là tổng đại số các điện tích q1, q2, , qn, do đó Φ có thể âm hoặc dương

• Nếu trong thể tích V được bao quanh bởi S có mật độ điện khối ρ thì Φ được tính theo

DrS

dr

A

B

q

dD

V S

Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng toán học của định lí Gauss đối với điện trường

Ostrogradski-Nguyên lý liên tục của từ thông

• Thực nghiệm đã chứng tỏ đường sức từ là khép kín dù nguồn tạo ra nó là dòng điện hay nam châm Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này

• Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ cảm Br Thông lượng của Br

qua mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này Do đường sức từ khép kín nên số đường sức từ đi vào thể tích V bằng số đường sức

từ đi ra khỏi thể tích V đó Vì vậy thông lượng của Br

được tính theo 0

SdBS

Công thức (1.32) gọi là nguyên lý liên tục của từ thông Đây là một phương trình cơ bản của trường điện từ

1.5 Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday

Khi đặt vòng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vòng dây này xh dòng điện cảm ứng Chứng tỏ trong vòng dây có một điện trường Er

có chiều là chiều của dòng điện cảm ứng đó

Thí nghiệm với các vòng dây làm bằng các chất khác nhau, trong điều kiện nhiệt độ khác nhau đều có kết quả tương tự Chứng tỏ vòng dây dẫn không phải là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặt của điện trường đó Điện trường này cũng không phải là điện trường tĩnh vì đường sức của điện trường tĩnh là đường cong hở Điện trường tĩnh không làm cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vì hoá ra trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượng điện !)

Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện thì công phải khác 0, có nghĩa là

0ldEql

≠

và đ.sức của điện trường này phải là các đ.cong kín và gọi là điện trường xoáy Phát biểu luận điểm I: Bất kì một từ trường nào biến đổi theo thời gian cũng tạo ra một điện trường xoáy

Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday:

Theo định luật cảm ứng điện từ của Faraday, sức điện động cảm ứng xh trong một vòng dây kim loại kín về trị số bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi qua diện tích của vòng dây

là thông lượng của vector từ cảm Br

qua S được bao bởi vòng dây Suy ra

S

t

BS

ddt

BdS

dBdt

ddt

Vì vòng dây kín l đứng yên nên theo các công thức (1.35), (1.36), (1.37) ta có

∫

∫ = ⎜⎜⎝⎛−∂∂ ⎟⎟⎠⎞

S l

Sdt

Bl

Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)

( )

∫

S l

SdEl

1.6 Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere

Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trường xoáy Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không ? Để đảm bảo

tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell đưa ra luận điểm II:

Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từ trường

(Đã chứng minh bằng thực nghiệm)

Lưu ý: điện trường nói chung có thể không p.bố đồng đều trong không gian,

có nghĩa là thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II sự biến

thiên của điện trường theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường

Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere:

Theo nguyên lí tác dụng từ của dòng điện và định luật Biot-Savart-Laplace, Ampere phát biểu định luật dòng điện toàn phần:

Lưu số của vector cường độ từ trường Hr

dọc theo một đường cong kín bất kì bằng tổng đại số các dòng điện đi qua diện tích bao bởi đường cong này

IIl

d

1 i

i l

=

=∑

Dòng điện I đi qua diện tích S có thể phân bố liên tục hoặc gián đoạn

Nếu dòng điện qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dòng điện J r

thì

J r

S l

SdJld

Định luật dòng điện toàn phần cũng là một phương trình cơ bản của trường điện từ

Khái niệm về dòng điện dịch

Căn cứ vào định luật cảm ứng điện từ của Faraday và định luật dòng điện toàn phần của Ampere, Maxwell bằng lý thuyết đã chỉ ra sự tác dụng tương hỗ giữa đt

và từ trường cùng với việc đưa ra khái niệm mới về dòng điện dịch Dòng điện dịch có mật độ được tính theo công thức

dP 0 0

t

P t

E t

∂

∂ ε

=

rr

- điện trường biến thiên trong chân không và gọi là mật độ dòng điện dịch

Để chứng minh sự tồn tại của dòng điện dịch, xét thí dụ sau: có một mặt kín S bao quanh 1 trong 2 bản của tụ điện Do có điện áp xoay chiều đặt vào tụ điện nên giữa 2 bản tụ có điện trường biến thiên Er

và dòng điện biến thiên chạy qua tụ

Dòng điện này chính là dòng điện dịch trong chân không vì giữa 2 bản tụ không

tồn tại điện tích chuyển động và có giá trị:

t

ES

I 0 0

∂

∂ε

d

S

′

=

∫ r vì điện trường chỉ tồn tại giữa 2 bản tụ

Đối với môi trường chân không, ta có: ε = 1

Dòng điện dẫn chạy trong dây dẫn nối với tụ có giá trị bằng

t

ESSdEdt

ddt

′

=ε

Bằng cách bổ sung dòng điện dịch vào vế phải của phương trình (1.42), ta có

(bổ sung được vì về khía cạnh tạo ra từ trường dòng điện dịch tương đương dòng điện dẫn)

∫

∫

S S

l

Sdt

DS

dJld

=S l

Sdt

DJl

-q

E r

~

Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)

( )

∫

S l

SdHl

d

Suy ra

dJJt

DJ

1.7 Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell

Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra điện trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ trường Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại và

có liên hệ chặt chẽ với nhau

Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một trường thống nhất gọi là trường điện từ

Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các hạt mang điện

Sdt

Bl

d

Dạng vi phân

t

BE

Sdt

DJl

∂

∂ +

=

×

∇

r r

Diễn tả luận điểm thứ hai của Maxwell: điện trường biến thiên cũng sinh ra

từ trường như dòng điện dẫn

- Định lí OG đối với điện trường

Dạng tích phân

q S d D

dV D S d

S

=

Dạng vi phân

0 B

Diễn tả tính khép kín của các đường sức từ trường: trường không có nguồn

Các phương trình (1.54), (1.56), (1.58), (1.60) gọi là hệ phương trình Maxwell

t

BE

t

D J H

∂

∂ +

=

×

∇

r r

∇r

- Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngoài

Trong lí thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và đi vào không gian Dòng điện trong anten là nguồn bức xạ điện từ Nguồn dòng điện này độc lập với môi trường và không chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồn ngoài Các nguồn ngoài có bản chất điện hoặc không điện Để đặc trưng cho nguồn ngoài của trường điện từ ta có khái niệm mật độ dòng điện ngoài J rO Đ.luật Ohm dạng vi phân:

=

Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (1.61) chỉ mô tả trường điện từ tại những

điểm trong không gian không tồn tại nguồn ngoài của trường hay trường điện từ

tự do Khi có nguồn ngoài hệ phương trình Maxwell được viết lại

t

BE

t

D J

J

∂

∂ + +

=

×

∇

r r r

∇ r

Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có ε, μ và σ, tức là

môi trường điện môi: D r 0E r

t

E J

E

∂

∂ εε + + σ

=

×

∇

r r

r

0

E εε

ρ

=

∇r

0 H

∇ r

- Nguyên lí đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell

• Xét trường hợp môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không điện tích tự do và nguồn ngoài Jr=JrO =ρ=0

∇r

0 H

∇ r

Nhận xét: Er

và Hr đối xứng và có thể đổi lẫn cho nhau

• Để hệ phương trình Maxwell trong trường hợp có nguồn ngoài vẫn đối xứng, cần phải đưa thêm 2 đại lượng hình thức

HJ

∂

∂μμ

r

t

EJ

∂

∂εε+

=

×

∇

rr

r

, J E ≡ J O

(1.66)

0E.εε

ρ

=

∇ rỨng dụng: nếu kết quả bài toán cho một nguồn điện (nguồn từ) đã biết, thì sử dụng nguyên lý đổi lẫn để xác định kết quả bài toán cho một nguồn từ (nguồn điện), mà không cần phải giải cả hai

- Hệ phương trình Maxwell đối với trường điện từ điều hoà

Trường điện từ và nguồn biến thiên điều hoà với tần số góc ω nên có thể biểu diễn dưới dạng phức, ta có

=

ρ reVới:

mz

i my

i mx m

m E x,y,z iE e jE e kE e

++

Er• = r• ω ; i t

meH

Hr• = r• ω ; i t

meJ

J• =r• ω

m 0

EH

0H =

∇ r•

1.8 Điều kiện biên đối với các vector của trường điện từ

Xét hai môi trường 1 và 2 có mặt phân cách S, xét tính liên tục hoặc gián

đoạn của các vector của trường điện từ và đã xác định được

- đối với thành phần pháp tuyến của điện trường

n

E

E ε

1

D

D ε

1

B

B μ

μ

=

τ τ

(1.73)

- Trường hợp đặc biệt môi trường 1 là điện môi và môi trường 2 là vật dẫn lí tưởng có σ2 = ∞ Trong vật dẫn lí tưởng trường điện từ không tồn tại, có nghĩa là

và thành phần tiếp tuyến của Hr

1.9 Năng lượng trường điện từ - Định lí Umov Poynting

- Năng lượng của trường điện từ

2

2

H2

E

- Định lí Umov Poynting

Đã chứng minh được

O t S

PPdt

dWS

Phương trình = ∫ =∫σ

V

2 V

dV E dV

Phát biểu: Tổng các độ biến đổi năng lượng trường điện từ, công suất tổn hao nhiệt và công suất nguồn ngoài trong thể tích V bằng thông lượng của vector Poynting qua mặt kín S bao thể tích V đó

Vector Poynting Πr biểu thị sự dịch chuyển năng lượng của trường điện từ

Er0 r

= khi t = 0

(x,y,z,0)H

Hr0 r

2 Biết thành phần tiếp tuyến của Er

và thành phần tiếp tuyến của Hr

tại mặt giới hạn S bao miền không gian khảo sát trong khoảng thời gian 0 < t < ∞ hay còn gọi là điều kiện biên

E = Eτ|S hoặc H = Hτ|S với 0 < t < ∞ (1.77)Nhận xét: Định lí nghiệm duy nhất có ý nghĩa quan trọng vì bằng cách nào đó

ta nhận được nghiệm của hệ phương trình Maxwell và nếu nó thoả mãn các điều kiện trên thì nghiệm nhận được là duy nhất

1.11 Nguyên lí tương hỗ

Nguyên lí tương hỗ phản ảnh mối quan hệ tương hỗ giữa trường điện từ và các nguồn tạo ra nó tại hai điểm khác nhau trong không gian

m 1 m 2 E m 2 m 1 E m 1 m 2 m

2 m 1

HJHJ

EJEJH

E.H

E

rrrr

rrrrr

rr

1 m 2 E m 2 m 1 E

S

m 1 m 2 m

2 m 1

dVHJHJE

JEJ

dSH

EH

E

rrrrr

rrr

rrr

V → ∞, ta có

0dVHJHJE

JEJV

m 1 m 2 M m 2 m 1 M m

1 m 2 E m 2 m 1

Giả sử trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, nguồn điện và từ 1 phân

bố trong V1, nguồn điện và từ 2 phân bố trong V2 và 2 thể tích này không có miền chung Do đó vế trái của phương trình (1.80) tích phân trong miền V → ∞ chia thành 3 miền V1, V2 và miền còn lại Tuy nhiên tích phân trong miền còn lại bằng

0 vì miền này không tồn tại nguồn cho nên phương trình (1.80) được viết lại

m 1 m 2 M m 1 m 2 E 1

V

m 2 m 1 M m 2 m 1

Nguyên lí đồng dạng điện động hay còn gọi là nguyên lí mẫu hoá xác định mối quan hệ giữa trường điện từ Các tham số điện và hình học của hệ điện từ và môi trường đối với 2 hệ điện từ đồng dạng điện động với nhau

Tham số hoá các đại lượng của trường điện từ

6 6 5

5 4

4 M 3 3 E 2 2 1

Hr =α r r =α r r =α r r =α r =α =α (1.82)

4 3 2

E

∂

∂εε++σ

=

×

∇

rr

rr

t

HJ

∂

∂μμ

r

Ta được

3 3 6

2 2 1

a

acc

∂

∂+

a

acaca

c

α

ασα

6

5 2 2

c

α

αεα

1

5 3 3cα

αα

2

5 4 4cα

αα

6 2

5 1 5

c

αα

αμα

Trường tĩnh điện được tạo ra bởi các điện tích đứng yên và không biến đổi theo thời gian, ta có hệ phương trình Maxwell như sau

Dr 0rεε

Dr 0rεε

H

Br 0rμμ

=Nhận xét: Điện trường của dòng điện không đổi cũng tương tự như điện trường tĩnh và là một trường thế, chỉ khác nhau là điện trường của dòng điện không đổi tồn tại ngay cả trong vật dẫn Jr Er

σ

= , còn điện trường tĩnh thì không tồn tại bên trong vật dẫn