GIÁO TRÌNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA THỨC VÀ HÀM SỐ §1. KHÁI NIỆM CHUNG 1. Khái niệm về phương pháp tính: Phương pháp tính là môn học về những lí luận cơ bản và các phương pháp giải gần đúng, cho ra kết quả bằng số của các bài toán thường gặp trong toán học cũng như trong kĩ thuật. Chúng ta thấy rằng hầu hết các bài toán trong toán học như giải các phương trình đại số hay siêu việt, các hệ phương trình tuyến tính hay phi tuyến, các phương trình vi phân thường hay đạo hàm riêng,tính các tích phân,... thường khó giải đúng được, nghĩa là khó tìm kết quả dưới dạng các biểu thức. Một số bài toán có thể giải đúng được nhưng biểu thức kết quả lại cồng kềnh, phức tạp khối lượng tính toán rất lớn. Vì những lí do trên, việc giải gần đúng các bài toán là vô cùng cần thiết. Các bài toán trong kĩ thuật thường dựa trên số liệu thực nghiệm và các giả thiết gần đúng. Do vậy việc tìm ra kết quả gần đúng với sai số cho phép là hoàn toàn có ý nghĩa thực tế. Từ lâu người ta đã nghiên cứu phương pháp tính và đạt nhiều kết quả đáng kể. Tuy nhiên để lời giải đạt được độ chính xác cao, khối lượng tính toán thường rất lớn. Với các phương tiện tính toán thô sơ, nhiều phương pháp tính đã được đề xuất không thể thực hiện được vì khối lượng tính toán quá lớn. Khó khăn trên đã làm phương pháp tính không phát triển được. Ngày nay nhờ máy tính điện tử người ta đã giải rất nhanh các bài toán khổng lồ, phức tạp, đã kiểm nghiệm được các phương pháp tính cũ và đề ra các phương pháp tính mới. Phương pháp tính nhờ đó phát triển rất mạnh mẽ. Nó là cầu nối giữa toán học và thực tiễn. Nó là môn học không thể thiếu đối với các kĩ sư. Ngoài nhiệm vụ chính của phương pháp tính là tìm các phương pháp giải gần đúng các bài toán,nó còn có nhiệm vụ khác như nghiên cứu tính chất nghiệm, nghiên cứu bài toán cực trị, xấp xỉ hàm v.v. Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu một loạt bài toán thường gặp trong thực tế và đưa ra chương trình giải chúng. 2. Các đặc điểm của phương pháp tính: Đặc điểm về phương pháp của môn học này là hữu hạn hoá và rời rạc hoá. Phương pháp tính thường biến cái vô hạn thành cái hữu hạn, cái liên tục thành cái rời rạc và sau cùng lại trở về với cái vô hạn, cái liên tục. 1Nhưng cần chú ý rằng quá trình trở lại cái vô hạn, cái liên tục phải trả giá đắt vì khối lượng tính toán tăng lên rất nhiều. Cho nên trong thực tế người ta dừng lại khi nghiệm gần đúng sát với nghiệm đúng ở một mức độ nào đó. Đặc điểm thứ hai của môn học là sự tiến đến kết quả bằng quá trình liên tiếp. Đó là quá trình chia ngày càng nhỏ hơn, càng dày đặc hơn hoặc quá trình tính toán bước sau dựa vào các kết quả của các bước trước. Công việc tính toán lặp đi lặp lại này rất thích hợp với máy điện toán. Khi nghiên cứu phương pháp tính người ta thường triệt để lợi dụng các kết quả đạt được trong toán học. Cùng một bài toán có thể có nhiều phương pháp tính khác nhau. Một phương pháp tính được coi là tốt nếu nó đạt các yêu cầu sau: ‐ phương pháp tính được biểu diễn bằng một dãy hữu hạn các bước tính cụ thể. Các bước tính toán cụ thể này của phương pháp tính được gọi là thuật toán. Thuật toán càng đơn giản càng tốt. ‐ đánh giá được sai số và sai số càng nhỏ càng tốt. ‐ thuật toán thực hiện được trên máy điện toán và thời gian chạy máy ít nhất 3. Các loại sai số: Trong việc thiết lập và giải các bài toán thực tế ta thường gặp các loại sai số. Giả sử ta xét bài toán A nào đó. Nghiên cứu các quy luật liên hệ giữa các đại lượng trong bài toán đẫn đến phương trình có dạng tổng quát : y = Bx Trong đó : x ‐ đại lượng đã biết y ‐ đại lượng chưa biết B ‐ quy luật biến đổi từ x sang y Bài toán thực tế thường rất phức tạp. Để đơn giản và có thể diễn đạt nó bằng toán học, người ta đưa ra một số giả thiết không hoàn toàn chính xác để nhận được phương trình trên. Vì vậy nếu gọi y1 là giá trị đúng của y thì khi đó y ≠ y1. Giá trị | y ‐ y1| được gọi là sai số giả thiết của bài toán. Do x là số liệu ban đầu của bài toán,thu được từ đo lường,thí nghiệm nên nó chỉ là giá trị gần đúng. Sai số này được gọi là sai số của các số liệu ban đầu. Để giải gần đúng phương trình trên ta thường thay B bằng C hay x bằng t để phương trình đơn giản hơn và có thể giải được. Bằng cách đó ta tìm được y2 gần đúng với y. Giá trị | y2 ‐ y| được gọi là sai số phương pháp của bài toán. 2Cuối cùng khi thực hiện các phép tính ta thường thu gọn các kết quả trung gian hay kết quả cuối cùng nên đáp số của bài toán là y3. Giá trị |y3‐y| là sai số tính toán. Trong phần này chúng ta quan tâm tới sai số phương pháp

§1. KHÁI NIỆM CHUNG 

1.  Khái  niệm  về  phương  pháp  tính:  Phương  pháp  tính  là  môn  học  về 

những  lí  luận  cơ  bản  và  các  phương  pháp  giải  gần  đúng,  cho  ra  kết  quả bằng số của các bài toán thường gặp trong toán học cũng như trong kĩ thuật. 

phương trình đại số hay siêu việt, các hệ phương trình tuyến tính hay phi tuyến,  các  phương  trình  vi  phân  thường  hay  đạo  hàm  riêng,tính  các  tích phân,  thường khó giải đúng được, nghĩa là khó tìm kết quả dưới dạng các biểu thức. 

  Một  số  bài  toán  có  thể  giải  đúng  được  nhưng  biểu  thức  kết  quả  lại cồng kềnh, phức tạp khối lượng tính toán rất lớn. Vì những lí do trên, việc giải gần đúng các bài toán là vô cùng cần thiết. 

  Các  bài  toán  trong  kĩ  thuật  thường  dựa  trên  số  liệu  thực  nghiệm  và các giả thiết gần đúng. Do vậy việc tìm ra kết quả gần đúng với sai số cho phép là hoàn toàn có ý nghĩa thực tế. 

đáng kể. Tuy nhiên để lời giải đạt được độ chính xác cao, khối lượng tính toán  thường  rất  lớn.  Với  các  phương  tiện  tính  toán  thô  sơ,  nhiều  phương pháp  tính  đã  được  đề  xuất  không  thể  thực  hiện  được  vì  khối  lượng  tính toán  quá  lớn.  Khó  khăn  trên  đã  làm  phương  pháp  tính  không  phát  triển được. 

khổng lồ, phức tạp, đã kiểm nghiệm được các phương pháp tính cũ và đề ra các phương pháp tính mới. Phương pháp tính nhờ đó phát triển rất mạnh 

mẽ. Nó là cầu nối giữa toán học và thực tiễn. Nó là môn học không thể thiếu đối với các kĩ sư. 

giải  gần đúng  các bài toán,nó còn có nhiệm vụ khác như nghiên cứu tính chất  nghiệm,  nghiên  cứu  bài toán cực trị, xấp xỉ hàm v.v. Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu một  loạt  bài toán thường gặp trong thực tế và đưa 

liên  tiếp.  Đó  là  quá  trình  chia  ngày  càng  nhỏ  hơn,  càng  dày  đặc  hơn  hoặc quá trình tính toán bước sau dựa vào các kết quả của các bước trước. Công việc tính toán lặp đi lặp lại này rất thích hợp với máy điện toán. 

các  kết  quả  đạt  được  trong  toán  học.  Cùng  một  bài  toán  có  thể  có  nhiều phương pháp tính khác nhau. Một phương pháp tính được coi là tốt nếu  nó đạt các yêu cầu sau: 

tính cụ thể. Các bước tính toán cụ thể này của phương pháp tính được gọi là thuật toán. Thuật toán càng đơn giản càng tốt. 

  Vì vậy nếu gọi y1 là giá trị đúng của y thì khi đó y ≠ y1. Giá trị | y ‐ y1| 

của bài toán. 

  P(x) = a0xn  + a1xn ‐ 1 + a2xn ‐ 2 + + an      (1) tại một trị số x nào đó. Trong (1) các hệ số ai là các số thực đã cho. Chúng ta viết lại (1) theo thuật toán Horner dưới dạng: 

  P(xo) = ( ((a0x + a1)x+ a2x)+ + an ‐1 )x + an        (2) 

  Bước n  k = n    P = P(xo) = ( ((aox + a1)x+a2x)+ +an‐1)x + an 

) n (

2 0

0 0

0 0

n 0 n 0 1 n 0

)xx(

!2

)x(P

)xx(

!2

)x(P)xx(

!1

)x(P)x(P)x(P)x(P)x

x

(

−+

⋅⋅

⋅+

=+

hay : 

n 0 0

) n ( 2

0

0 0

0 1

n

!2

)x(P)

xx(

!2

)x(P)xx(

!1

)x(P)x(P)x

0 0

1

!2

)x(P)

xx(

!2

)x(P

!1

)x(P)x

)x(P)x(

0 1 n

′

=

Trong đó Pn‐1(x) lại có thể phân tích giống như Pn(x) dạng (3) để tìm ra 

Pn‐1(xo).  Quá  trình  này  được  tiếp  tục  cho  đến  khi  ta  tìm  hết  các  hệ  số  của chuỗi Taylor của Pn(x)  

  A(x) = aox5 + a1x4 + a2x3 + a3x2+ a4x  + a5

  B(x) = box3 + b1x2 + b2x + b3  

  C(x) = A(x).B(x)  

                  = aobox8  + (aob1 + a1bo)x7 +( aob2 + a1b1 + a2bo)x6  

       + (aob3 + a1b2 + a2b1+ a3bo )x5 + (a1b3 + a2b2 + a3b1 + a4bo)x4  

       + (a2b3 + a3b2 + a4b1 + a5b+)x3 + ( a3b3 + a4b2 + a5b1)x2 + a5b2x + a5b3Các hệ số của đa thức kết quả là : 

  Co = aobo

  C1 = aob1 + a1bo

  C2 = aob2 + a1b1 + a2bo

  C3 = aob3 + a1b2 + a2b1+ a3bo

  C4 = a1b3 + a2b2 + a3b1 + a4bo

  C5 = a2b3 + a3b2 + a4b1 + a5bo

k > m+1. Chỉ số j = k khi k <= n + 1 và j = n +1 khi k > n + 1. Chương trình tính tích hai đa thức : 

)x(A

m

1 m m

n m

n 1000 x

với xo chọn bất kì trong ( 9, 10 ) 

  Trên cơ sở phương pháp này chúng ta có các chương trình tính toán sau: 

Chương  trình  giải  phương  trình  exp((1/3)*ln(1000‐x))  với  số  lần  lặp  cho trước 

f(x)  liên  tục  trên  đoạn  [a, b] và f(a).f(b) < 

0.  Chia  đoạn  [a,  b]    thành  2  phần  bởi 

chính điểm chia (a + b)/2. 

b 1

ξ

b a

        x1 = a + h1

Trong đó  

) a b ( ) b ( ) a (

) a (

  Tiếp theo dùng cách đó với đoạn [ a, x1] hay [x1, b] mà hai đầu hàm nhận giá trị trái dấu ta được nghiệm gần đúng x2 v.v. 

Về mặt hình học, phương pháp này có nghĩa là kẻ dây cung của đường cong f(x) qua hai điểm A[a, f(a)] và B[b, f(b)]. Thật vậy phương trình dây cung AB 

có dạng: 

       a       x1      ξ  b       

Cho x = x1 y = 0  ta có 

)a()b(

)a(a

−

−

Trên  cơ  sở  của  phương  pháp  ta  có 

chương  trình  tính  nghiệm    của  phương 

b]  đồng  thời  fʹ(x)  và  fʺ(x)  liên  tục  và  giữ 

nguyên  dấu  trên  đoạn  [a,  b].  Khi  đã  tìm 

được  xấp  xỉ  nào  đó  xn  ∈  [a,  b]  ta  có  thể 

kiện  toàn  nó  theo  phương  pháp  Newton. 

Từ mút B ta vẽ tiếp tuyến với đường cong. 

Phương trình đường tiếp tuyến là  

x1  b = xo

a

)xx)(

b(f)x(

Tiếp tuyến này cắt trục hoành tại điểm có 

y = 0, nghĩa là: 

)xx)(

b(f)x

hay : 

)x(f

)x(x

x

0

0 0

Từ x1 ta lại tiếp tục vẽ tiếp tuyến với đường cong thì giao điểm xi sẽ tiến tới nghiệm của phương trình. 

  Nếu f(a).f(b) < 0 ; f(x) và fʺ(x) khác không và giữ nguyên dấu xác định khi x 

∈ [a, b] thì xuất phát  từ xo∈ [a, b] thoả mãn điều kiện f(x o ).f″(x o ) > 0  có thể tính  theo phương pháp Newton nghiệm ξ duy nhất với độ chính xác tuỳ ý. 

để tại đó f(xo).fʺ(xo) > 0. Áp dụng lí thuyết trên chúng ta xây dựng chương trình tính sau:   

2 2 2

2

1 1

2 1 1 1

0

2 0

fcbhah

)xx(h

v

fcbhah

)xx(h

v

fc)0(b)0(a)xx(0

v

=++

=

=

=++

=

=

=++

1

2 1

2 0

b

)1(h

f)1(ffa

+γ+

−γ

=

Sau đó ta tìm nghiệm của phương trình av2 + bv + c = 0 và có : 

ac4bb

c2x

n

2 0

0)

11(2.01

07385

0)11()0907.0()2915.0(1

c

91338

02

.0

2.0)45312

0()097.0(2915.0b

2 4

109184

1

c

81826

010474

.0

10474

0)4728.0(109184.10907.0b

4728.09095

.110474

09095.0

07385

09095.1)109184.1()0907.0(9095.0

110

9184.1)4728.0(4)81826

0(81826

0

109184.1289526

1

n

4 2

sai phân tuyến tính (1). Nếu (2) có n nghiệm phân biệt x1, x2, , xn thì (1) có các nghiệm riêng là  

k i

=

k

1

2 2

1 k

1 1 k

x

xc

c1xc

=

+ +

+

1 k

1

2 2

1 1

k 1 1 1

k

x

xc

c1xc

1 k

1

2 2 1

1 k

1

k

x

xc

c1

x

xc

c1xy

1 2 k

1 k

( 1 k n 1 n k

0 n

yk+3 ‐10yk+2 + 31yk+1 ‐ 30yk = 0 

Ta cho trước các giá trị y1 = 0; y2 = 0 và y3 = 1. Theo (4) ta tính được : 

y4 = ‐ (‐10y3 + 31y2 ‐ 30y1) = 10 

y5 = ‐ (‐10y4 + 31y3 ‐ 30y2) = 69 

y6 = ‐ (‐10y5 + 31y5 ‐ 30y3) = 410 

y7 = ‐ (‐10y6 + 31y5 ‐ 30y4) = 2261 

y8 = ‐ (‐10y7 + 31y6 ‐ 30y5) = 11970 

y9 = ‐ (‐10y8 + 31y7 ‐ 30y6) = 61909 

y10 = ‐ (‐10y9 + 31y8 ‐ 30y8) = 315850 

y11 = ‐ (‐10y10 + 31y9 ‐ 30y8) = 1598421 

y12 = ‐ (‐10y11 + 31y10 ‐ 30y9) = 8050130 

y13 = ‐ (‐10y12 + 31y11 ‐ 30y10) = 40425749 

y14 = ‐ (‐10y13 + 31y12 ‐ 30y11) = 202656090 

y15 = ‐ (‐10y14 + 31y13 ‐ 30y12) = 1014866581 

y16 = ‐ (‐10y15 + 31y14 ‐ 30y13) = 5079099490 

y17 = ‐ (‐10y16 + 31y15 ‐ 30y14) = 24409813589 

y18 = ‐ (‐10y17 + 31y16 ‐ 30y15) = 127092049130 

y19 = ‐ (‐10y18 + 31y17 ‐ 30y16) = 635589254740 

Tỉ số các số yk+1/yk lập thành dãy : 

  10 ; 6.9 ; 5.942 ; 5.5146 ; 5.2941 ; 5.172 ; 5.1018 ; 5.0607 ; 5.0363 ; 5.0218 ; 5.013 ; 5.0078 ; 5.0047 ; 5.0028 ; 5.0017 ; 5.001  

i n

i n i 1

n 0

a

ax

)x(Px

x

0 n

0 n 0

)x(P

)x(Px

x

1 n

1 n 1

  Pn‐1(x) = boxn‐1 + b1xn‐2 + p3xn‐3 + + bn‐2x + bn‐1        (4) 

Để xác định các hệ số của đa thức (4) ta thay (4) vào (3) và cân bằng các hệ số với đa thức cần tìm nghiệm Pn(x) mà các hệ số ai đã cho: 

  Phép  chia  Pn(x)  cho  (x  ‐    α1)  cho  ta  Pn‐1(x)  và  một  nghiệm  mới  khác được  tìm  theo  cách  trên  khi  chọn  một  giá  trị  xo  mới  hay  chọn  chính xo=α1. Khi  bậc  của  đa  thức  giảm  xuống  còn  bằng  2  ta  dùng  các  công  thức  tìm nghiệm của tam thức để tìm các nghiệm còn lại. 

)x(Px

x

1 n

1 n 1

và nghiệm của tam thức x2 ‐ s*x + p*x sẽ là nghiệm của đa thức Pn(x). Ta biết rằng bn‐1 và bn là hàm của s và p : 

s

(

g

0)p

xi+1 = xi ‐ f(xi)/fʹ(xi)  

hay  fʹ(xi)(xi+1 ‐ xi) = ‐f(xi) 

Với một hệ có hai phương trình,công thức lặp trở thành: 

  J(Xi)(Xi+1 ‐ Xi) = ‐F(Xi) 

f)

∆

∂

∂

)p,s(gpp

gss

g

)p,s(pp

fss

f

i i

i i

gf

∂+

fg

s

gp

fp

gs

f

∂

∂,s

g

∂

∂,p

g

∂

∂. Các đạo hàm này được tính theo công thức truy hồi. 

Do bo = ao nên  

)sb(s

as

0s

)sb

n 3

n 2

s

fc

s

fc

s

fc

2 2 n 3 n 1 n

3 n n 2 n 1 n

cc

c

cbc

bs

2 n n 1 n 1 n

cc

c

cbc

bp

.5

5.57.0

1.38

.0

1.35

.5

7.02.3

8.05.5

88.251

.4

5.57.0

88.207.0

88.251

.4

17.003.1

07.051.4

f

0)x, ,x,x,x

(

f

0)x, ,x,x,x

(

f

0)x, ,x,x,x

(

f

n 3

2 1 n

n 3 2 1 3

n 3

2 1 2

n 3 2 1 1

)x(xx

i

i i

n 2

n 1

n

n

2 3

2 2

2 1

2

n

1 3

1 2

1 1 1

i

x

fx

fx

fx

f

x

fx

fx

fx

f

x

fx

fx

fx

−

=++

−

=

−+++

x

2

04x8x25

05xxxx

08xxx3xx

4 3 2 1

3

2 1

4 3 2 1

4 2 1

2 2

3

1

x2x

x2

08

0x

25

1

2 1 3

1 3

2

2 1

này,các hệ số a[i,5] là các hàm fi(x).Vectơ nghiệm ban đầu được chọn là { 0,‐

1.12499779,8.05819031  }T  với  độ  chính  xác  0.000001.Vectơ  số  dư  r  =  { 0.00000536,‐0.00000011,‐0.00000001,‐0.00000006}T. 

34 33 32 31

24 23 22 21

14 13 12 11

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

34 33 32 31

24 23 22 21

14 13 12

aaaa

aaaa

aaaa

aaa1

Lấy hàng 2 trừ đi hàng 1 đã nhân với a21, lấy hàng 3 trừ đi hàng 1 đã nhân với a31 và lấy hàng 4 trừ đi hàng 1 đã nhân với a41 (thay hàng bằng tổ hợp tuyến tính của các hàng còn lại) thì định thức vẫn là D/p1 và ma trận là: 

34 33 32

24 23 22

14 13 12

aaa

0

aaa

0

aaa

0

aaa1

34 33 32

24 23

14 13 12

aaa

0

aaa

0

aa10

aaa1

Lấy hàng 1 trừ đi hàng 2 đã nhân vớia′ , lấy hàng 3 trừ đi hàng 2 đã nhân 12với a′32và lấy hàng 4 trừ đi hàng 2 đã nhân với a′  thì thì định thức vẫn là 42

34 33

24 23

14 13

aa00

aa00

aa10

aa01

0

010

0

001

0

000

(trong  biểu  thức  này E  là  một  ma  trận  vuông  có  các  phần  tử  trên  đường chéo chính bằng 1).  Dạng của ma trận E, ví dụ cấp 4, là: 

0100

0010

0001

   Phương pháp loại trừ để nhận được ma trận nghịch đảo A‐1 được thực hiện qua nhiều giai đoạn (n), mỗi một giai đoạn gồm hai bước. Đối với giai đoạn thứ k: 

   ‐ chuẩn hoá phần tử akk bằng cách nhân hàng với nghịch đảo của nó  

 ‐ làm cho bằng không các phần tử phía trên và phía dưới đường chéo cho đến cột thứ k. Khi k = n thì A(k) sẽ trở thành ma trận đơn vị và E trở thành A‐1

Ví dụ:  Tính ma trận nghịch đảo của ma trận  

112

010

001E2

11

121

112

010

0021E2

11

121

21211

0121

0021E23210

21230

21211

03231

0021E23210

3110

21211

    Bước b: Lấy hàng 1 trừ đi hàng 2 nhân 1/2 và lấy hàng 3 trừ đi hàng 2 nhân 1/2 

03231

03132E3400

3110

3101

03231

03132E1

00

3110

3101

    Bước b: Lấy hàng 1 trừ đi hàng 3 nhân 1/3 và lấy hàng 2 trừ đi hàng 3 nhân 1/3 

341

414143E100

010

001

4/14

/34/1

4/14/14

/3

9102

12

kj ik

22

1

11148

10

5

343

22

1

35

01

31

12

có vô số vectơ riêng. Nếu X là một véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ thì cX cũng là vec tư riênh ứng với λ. Có nhiều thuật toán tìm giá trị riêng 

−

⋅⋅

⋅λ

−

nn 2

n 1

n

n 2 22

21

n 1 12

11

aa

a

aa

a

aa

a

  Như  vậy  do  (2)  là  hệ  phương  trình  tuyến  tính  thuần  nhất  nên  điều kiện cần và đủ để λ là giá trị riêng của ma trận trên là định thức của nó bằng không: 

Phương trình (4) được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A. Định thức det(A ‐ λE) được gọi là định thức đặc trưng của ma trận A. Định thức PA(λ) của ma trận trên được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận vuông A. 

2

11

3

31

3

 Trước hết ta tính đa thức đặc trưng của ma trận A: 

  (4 )( 4) 

22

11

3

31

3)(

−

−λ

−

=λ

Nghiệm của PA(λ) = 0 là λ1 = 4, λ2 = 2j và λ3 = ‐2j. Vì trường cơ sở là số thực nên ta chỉ lấy λ = 4. Để tìm vec tơ riêng tương ứng với λ = 4 ta giải hệ  

02

2

11

3

31

3

3 2

−

−λ

n 1 n

n 2 22

21

n 1 12

11

aa

a

aa

a

aa

  p1 = vet(B1)  với   B1 = A 

  p2 = (1/2)vet(B2)   với   B2 = A(B1‐p1E) 

  p3 = (1/3)vet(B3)   với   B3 = A(B2‐p2E) 

∑

=

=+

⋅⋅

⋅++

1 i

i i n

n 2

2 1

i i i n

1 i

i i

vAV

i

p i

i XvAV

λ+

⋅+

λ+

λ+λ

p

1

n n 3

p

1

3 3 2 p

1

2 2 1 1

p 1 p

Xv

Xv

Xv

XvV

⋅

⋅+

λ+

λ+λ

=

+ +

+ +

+

n

1 p

1

n n 3

1 p

1

3 3 2

1 p

1

2 2 1 1 1 p 1 1

p

Xv

Xv

Xv

XvV

1 1

1 p

VA

  ‐ tính Vp+1 =AVp′ với vp+1,j là phần tử thứ j của Vp+1. Ta có: 

1 p p

vlim

XVlim

4323

68

102

720

138

1730

2417

A

Chọn V= {1, 1, 1, 1}T ta tính được  

649

012

ta nhận được giá trị riêng là 3.0000 và vec tơ riêng là x = { ‐0.75 ; 0.75 ; 1 }T  Như  chúng  ta  đã  nói  trước  đây,  phương  pháp  Mises  (hay  còn  gọi  là phương pháp lặp lũy thừa) chỉ cho phép tìm giá trị riêng lớn nhất và vec tơ riêng tương ứng của ma trận. Để xác định các giá trị riêng khác, ma trận A được biến đổi thành một ma trận khác A1 mà các giá trị riêng là λ2 >  λ3 >  Phương  pháp  này  gọi  là  phương  pháp  xuống  thang.  Sau  đây  là  phương pháp biến đổi ma trận:  

Giả sử X1 là vec tơ riêng của ma trận A tương ứng với giá trị riêng λ1 

và W1 là vec tơ riêng của ma trận AT tương ứng với giá trị riêng λ1. Từ định nghĩa AX1 = λ1X1 ta viết: 

(A ‐ λE)X1 = 0 

Ta tạo ma trận A1 dạng:  

W X X W A

1 1 1 T 1

1 1

λ

−

=       (7) 

Ta chú ý là X1W1T   là một ma trận còn W1TX1 là một con số.Khi nhân hai vế của biểu thức (7) với X1 và chý ý đến tính kết hợp của tích các ma trận ta có:  

0

X AX

X W X W X AX

X W X X W AX X

A

1 1 1

1 T 1 1 T 1 1 1 1

1 T 1 1 1 T 1

1 1 1

X W X X W AX X

A

1 T 1 2 T 1 1 1 2

2 T 1 1 1 T 1

1 2 2

áp dụng thuật toán này để tìm các giá trị riêng còn lại của ma trận. Các bước tính toán như sau  

  ‐  khi  đã  có  λ1  và  X1  ta  tìm  W1  là  vec  tơ  riêng  của  AT  ứng  với  giá  trị riêng λ1 (ví dụ tìm W1 bằng cách giải phương trình (AT ‐λ1E)W1 = 0). Từ đó tính ma trận A12 theo (7). 

  ‐ tìm giá trị riêng và vec tơ riêng của A1 bằng cách lặp luỹ thừa và cứ thế tiếp tục và xuống thang (n‐1) lần ta tìm đủ n giá trị riêng của ma trận A. 

4323

68

102

720

138

1730

2417

717

548

2030

4310

1324

232

817

8681492

1390586

00

00

434746

695293

434746

695293

120

7X

W

WX

1

T 1

T 1 1

.330833

.381833

.11

68

102

3167.185167

.235417

.270917

.9

3167.85167

.135417

.160917

.0

Từ ma trận A1 ta tìm tiếp được λ2 theo phép lặp luỹ thừa và sau đó lại tìm 

ma trận A3 và tìm giá trị riêng tương ứng. 

Chương trình lặp tìm các giá trị riêng và vec tơ riêng của ma trận như sau: 

32540

16423

23 22 21

13 12 11

aaa

aaa

aaa

l

01l

001L

321 31

13 12 11

r00

rr0

rrrR

23 22 21

13 12 11

aaa

aaa

aaa

23 22 21

13 12 11

cbb

bbb

bbbB

23 22 21

13 12 11

ccc

ccc

cccC

với   c11= a11b11 + a12b21 + a13b31

  c12= a11b12 + a12b22 + a13b32

  c13= a11b13 + a12b23 + a13b33

  c21= a21b11 + a22b21 + a23b31

kj ik

l

01l

001

321 31

13 12 11

r00

rr0

rrr

23 22 21

13 12 11

aaa

aaa

aaa

1 k ki jk ji

ji

r

rla

21

2R1

65.3

015.1

001L3

57

113

21

23 22 21

13 12 11

aaa

aaa

aaaA

13 12 11

r00

rr0

rrrR

13 12 11 T

33

23 22

13 12 11

r00

rr0

rrr

r00

rr0

rrr

23 22 21

13 12 11

aaa

aaa

aaa

a

as

;a

1 i

1 k

2 ki ii

69106

8

45657

678710

00

0

0707107

.00

00

414214

1121320

2414214

10

0R

22 21

11

aaa

0a

a

00a

13 12 11

a00

aa0

aaa

+

=+

+

=+

+

3 3 33 2 32 1 31

2 3 2

22 1 21

1 3 2

1 11

bxaxax

a

bx0xax

a

bx0x0x

a

Với phương trình dạng này chúng ta sẽ giải phương trình từ trên xuống. Chương trình giải phương trình ma trận tam giác dưới là : 

=+

+

=+

+

3 3 33 2 1

2 3 23 2 22 1

1 3 13 2 12 1 11

bxax0x

0

bxaxax

0

bxaxax

a

Với phương trình này chúng ta giải từ dưới lên. 

Chương trình giải phương trình ma trận tam giác trên là : 

=+

+

=+

+

3 3 33 2 32 1 31

2 3 23 2 22 1 21

1 3 13 2 12 1 11

bxaxax

a

bxaxax

a

bxaxax

21 2 12 11

21 1

a

axaa

axaa

ax

Số hạng đầu của phương trình bằng số hạng đầu của hàng thứ hai trong hệ phương trình ban đầu. Khi trừ hàng một đã được biến đổi cho hàng 2 ta nhận được hàng 2 mới  

11

21 2 3 13 11

21 23 2

12 11

21 22

a

abxaa

aaxaa

aax

3 2 1

33 32

23 22

13 12 11

bbbx

xx

aa0

aa0

aaa

a

aa

11

21 23

a

aa

11

31 32

a

aa