CDTOAN~1.DOC toán học

Tuy nhiên với dãy số dạng này vấn đề hội tụ của dãy thường không được đặt ra vì quá đơn giản giới hạn chỉ có thể là 0 hoặc �.. Hãy tìm giới hạn đó... Bình Luận: Như đã nhận xét trong các

Trang 1

DÃY SỐ DẠNG u n1  �u n  u n 

Kiều Đình Minh

(Giáo viên THPT Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ)

Đây là trường hợp đặc biệt của dãy số dạng u n1  f u n Tuy nhiên với dãy số dạng này vấn đề hội tụ của dãy thường không được đặt ra vì quá đơn giản (giới hạn chỉ có thể là 0 hoặc �) Trong bài viết này chúng ta chủ yếu xây dựng những đánh giá cho dãy hoặc tìm bậc tiệm cận của dãy, cụ thể là tìm  sao cho u n O n  , tức là u n

n

bị chặn Chúng ta cũng khảo sát dãy đã cho với các trường hợp cụ thể hay gặp của  như

1

2

             và một vài trường hợp  lớn hơn, riêng trường hợp   là quá đơn giản1 nên chúng ta không xem xét đến

1

  

Trường hợp này chúng ta hay gặp nhất trong giải toán Vì vậy chúng tôi đưa lên khảo sát trước tiên

1

n

u



2   2    2 

1

n

a



 Lời giải Trước hết ta có một số nhận xét về dãy này

● u n  0 n

●  u là dãy tăng thực sự và n u n �u1 n

Mặt khác lại có

2 2

1

k

 �

1

n

a



Trang 2

Lời giải Áp dụng kết quả của bài toán 1 ta có

1000

48

1

n

u



n

u n



� �

2

1

2

n n

n



 

Chuyển qua giới hạn khi n� � và theo nguyên lý kẹp suy ra lim n 2

n

u n



� �� � �

Nhận xét: Với bài toán này ta có thể làm cách khác như sau

Dễ thấy limn u n



� �  �, suy ra

1

1 2



2

n n

u n



� �  ■

2

  

Đây cũng là trường hợp mà chúng ta hay gặp Chúng ta cùng xem xét các bài toán sau

1

n

u



3 3   3 3

9

n

Lời giải Ta cũng có nhận xét như trên

● u n  0 n

●  u tăng thực sự và n u n �u1 n.

Ta có

3 3

n

 

Lại có

n

9

n

9

n

Chúng ta để kết quả đánh giá vế phải của bất đẳng thức trên như vậy để tuỳ thuộc vào hoàn cảnh cụ thể mà sử dụng ngắt đánh giá cho hợp lý

1

n

u



Trang 3

a) Chứng minh rằng tồn tại ,p q sao cho lim0 n p

n

u q n



� �



� �

� � Hãy tìm giới hạn đó.

b) Chứng minh rằng tồn tại r0 sao cho 4

1

n

r n u



  �

Lời giải a) Áp dụng kết quả bài toán 4 ta có

n

Vì

1



nguyên lý kẹp ta có

3

n

u n



� �



� �

� � Vậy p q  3 b) Ta có

1

n





Chọn r 2

a

 ta có điều phải chứng minh.■

Nhận xét: Phần a) ta có thể dùng định lý trung bình Cesaro như sau

Vì

3

3 3

u





1

2

  

1

n

u



3 3

3

a

a a

Lời giải Từ công thức truy hồi của dãy ta có

3 3

2 2

1

n

�

Mặt khác lại có

2

4

1

4

k

u



Để ý rằng ta có các đánh giá sau

Trang 4

       

2

1

.2

k

n

k

n







�

Suy ra

3

2

n

3 3

3

a

a a

Nhận xét: Đánh giá trên chưa thật sự chặt do ta đã làm trội qua một số bước trung gian, tuy nhiên chỉ cần như vậy

cũng đủ ứng dụng trong các bài toán giới hạn của dãy số Chẳng hạn như bài toán sau

1

n

u



thực p sao cho dãy số , 1

p n

u n n

� �

�

� �

� � có giới hạn hữu hạn khác không.

3 2

3

4 2

2

n

a a

với a1 thì

3 2

2

Chuyển qua giới hạn khi n� � và theo nguyên lý kẹp ta được 

3

lim

2

n n

u n



� �

� �

� �

2

p thì

3 3 2 2

n

u



p n

u

2

p là giá trị cần tìm ■

Nhận xét: Sau khi chỉ ra được lim n u n



2

p (nhờ xấp xỉ

3 2

1

p





) thì ta có thể làm theo một trong hai cách sau mà không sử dụng

đánh giá như trên

●

2

1

2 2

2 1

u u



Trang 5

●●

3 2

1

3 2

1

n

u



2

1 0

n n

u

 � � � Khi đó áp dụng quy tắc 

2

n



Cuối cùng, áp dụng định lý trung bình Cesaro thì

3

lim

2

n n

u n



� �

� �

� �

1

3

  

3

1

n

u



    Tìm tất cả các số thực  sao cho dãy , 1, 2,

n

u

n



� �



� �

� � hội tụ và tìm giới hạn khác không của nó.

Lời giải Ta có u n   � và 0 n 1

3

u ��u   ��n� � u  u   n� � u  n n�

Mặt khác

3 3

3

2



suy ra

4

2

4

3

4

n

u



có

2

n



8

1



4

1

k



Từ      2 , 3 , 4 và  5 suy ra 3 4 4 1   35 1 59  

n

Trang 6

Từ    1 , 6 ta được    

4 3

n

u

Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức  7 khi n� � ta được 

4

lim

3

n n

u n



� �

� �

� �

Lại do limn u n



� �  � nên suy ra

4

3

4 3 lim

4 0

3

n

khi u

khi







� �

�

 �

�

mà

4 4 3 3

n

u

4 3 lim

4 0

3

n n

khi u

n

khi





� �

�

 �

�

3

  là giá trị duy nhất để u n , 1, 2,

n n



� �



� �

4

lim

3

n n

u n



� �

� �

� �

.■

2

 

lim

ln

n n

n



� �

 Lời giải Ta chứng minh limn u n 0



nạp ta được u n� 0;1 n Dễ thấy dãy đã cho giảm nên suy ra tồn tại limn u n a



� �  Chuyển qua giới hạn biểu thức truy hồi đã cho ta có a a a  2 � a0 Vậy limn u n 0



� �  Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có

2 1

2

1

n

nu





Áp dụng định lý Stolz ta có

1

n

nu

u



 



n

a

u



giới hạn và tìm giới hạn đó

Lời giải Xét hàm số f u  1 u a1 ,u 0,a 0,  0;1

u



     � có f u�   1 ��1au1 ��

f u�  �u a  Lập bẳng biến thiên ta có f u  �a, u 0 Dễ thấy u n   nên 0 n u n �an� Xét hiệu2



� � Vậy  u bắt đầu giảm từ n u và bị chặn dưới bởi a2  nên tồn tại giới hạn lim n



� �  Chuyển qua giới hạn hệ thức truy hồi đã cho ta có l 1 l a1 l a





� �  .■

Trang 7

Bình Luận: Như đã nhận xét trong các bài toán trên thì việc tìm giới hạn của n

p

u

n có thể được thực hiện bằng cách

sử dụng định lý Stolz hoặc định lý trung bình Cesaro Tuy nhiên với cách đánh giá và sử dụng nguyên lý kẹp thì lời giải bài toán tự nhiên hơn và cũng sơ cấp hơn

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1

n

u



1

1 6

k

k u



  �

2

n

u



1

1 4

k

k u



  �

�

1

2

n

u



n

nu n

n

1

2

n

a

u



1

n

u



3

lim n n

u n



� �

1

3

n

a

u



1

n

u



n

m



� �

  

u u � u   u u n� Tìm giới hạn limn nu n



� �

1

2

u u  u   u u  � Tìm p �� sao cho tồn tại n lim p 1

n



1

n

u



p n n

u

p n



1

n

u



1 1

1 lim n p 1

n

u



1 1

lim n i n

u u



� � � 

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	483,5 KB