Hãy tìm công thức xác định công thức tổng quát của dãy số đó.. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát u n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.. Dự đoán công thức của số
Trang 1PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC :
I Chứng minh rằng ∀n∈N* ta luôn có các đẳng thức sau :
1
2
) 1 (
2
1+ + + = n n+
n
2
6
) 1 2 )(
1 (
2
1 2+ 2+ + 2 = n n+ n+
n
3
4
) 1 (
2 1
2 2 3 3
n
4
3
) 1 4 ( ) 1 2 (
3 1
2 2
2
n
5 1 + 3 + 5 + + ( 2n− 1 ) =n2
6 1 4 + 2 7 + +n.( 3n+ 1 ) =n(n+ 1 ) 2
3 2
1 2 1
1
+
= + + + +
n
n n
n
8 1 2 + 2 5 + 3 8 + +n( 3n− 1 ) =n2 (n+ 1 )
9 1 − 2 + 3 − 4 + − 2n+ ( 2n+ 1 ) =n+ 1
n
2 ).
1 (
1 1
2 ).
1 ((
2
2 3 2
4 2 2 1
3
+ +
+ +
11
3
) 1 2 ).(
1 ( 2 ) 2 (
4
2 2 + 2+ + 2 = n n+ n+
n
II Chứng minh rằng ∀n∈N* ta luôn có :
6 16n − 15n− 1 chia hết cho 225
7 4n+ 15n− 1 chia hết cho 9
9 6 2n + 3n+ 2 + 3n chia hết cho 11
10 7 2 2n− 2 + 3 2n− 1 chia hết cho 5
11 5 2 3n−2 + 3 3n−1 chia hết cho 19
12 n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24
13 4 3 2n+ 2 + 32n− 36 chia hết cho 64
15 2n+ 2 3n + 5n− 4 chia hết cho 25
16 5 2n+ 1 + 2n+ 4 + 2n+ 1 chia hết cho 23
17 7n + 3n− 1 chia hết cho 9
18 3 2n+ 1 + 40n− 67 chia hết cho 64
19 n6 − 3n5 + 6n4 − 7n3 + 5n2 − 2n chia hết cho 24
20 n.( 2n2 − 3n+ 1 ) chia hết cho 6
Trang 221 11n+ 1 + 12 2n− 1 chia hết cho 133
III Cho số thực x≠k2 π ,k∈Z Chứng minh rằng ∀n∈N*, ta luôn có :
1
2 sin
2
) 1 ( sin 2
sin
sin
2 sin sin
x
x n nx nx
x x
+
= +
+ +
2
2 sin
2 cos 2
) 1 ( sin
cos
2 cos cos
1
x
nx x
n nx
x x
+
= +
+ +
+
IV Cho số thực x > − 1 Chứng minh rắng : ( 1 +x)n ≥ 1 +nx , ∀n∈N*
V Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bđt :
n 2
1
2
1
1 3
1
2
1 1
+ + + +
+
n
3 22 21 31 4
6
5 4
3 2
1
+
<
+
+
n n
n
VI Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n≥ 2, ta luôn có :
n
n
n 2
1 1
1
9
1 1 4
1
−
−
− VII Cho n là một số nguyên lớn hơn 1 Hãy chứng minh bđt :
24
13 2
1
2
1 1
1
>
+ + +
+
n
IX Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥ 2, ta luôn có đẳng thức :
a −b = (a−b).(a n− 1 +a n− 2b+ +a.b n− 2 +b n− 1)
X Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 3, ta có :
1 2
2n > n+
XI Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥ 2, ta có :
n >
+ + +
3
1 2
1 1
− + + + +
1 2
1
3
1 2
1 1 XII Chứng minh rằng với mọi số nguyên ≥ 0 thì :
27 26
3 3n+ 3 − n− chia hết cho 169
1
) 2 ).(
1 (
1 )
1 (
1
n a n
a a
a a
a
S n
+
− + + + + +
+ +
=
a a
a a
1
2
1
4 1
2 1
2
+ + + +
+ +
+
−
=
BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ :
I Tìm 5 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau :
Trang 31 Dãy số ( )u n với
n
n
u n 2 3
2 −
=
2 Dãy số ( )u n với sinn4π
u n =
3 Dãy số ( )u n với n n
n
u = ( − 1 ) 4
II Tìm 6 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau :
1. Dãy số (u n) với n n
n
u = 3 − 2
2. Dãy số (u n) với 33
n u
n
n = III Cho dãy số (u n) với
3
2 cos 4
u n = + Hãy điền các số thích hợp vào các ô trống sau đây :
un
IV Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số
1 2
1 2
2 +
−
=
x
x
y có đồ thị (C) Với mỗi số nguyên dương n, gọi A n là giao điểm của (C) với đường thẳng d : x = n Xét dãy số (u n) với u n là tung độ của điểm A n Hãy tìm công thức xác định công thức tổng quát của dãy số đó
V Hãy xét tính đơn điệu của các dãy số sau :
1 Dãy số (u n) với u n = 2n3 − 5n+ 1
2 Dãy số (u n) với u n n
n = 3 −
3 Dãy số (u n) với
1
2 +
=
n
n
u n
4 Dãy số (u n) với 1
2
3
+
= n n
n
u
5 Dãy số (u n) với
1
1 2
3 2
+
+
−
=
n
n n
u n
6 Dãy số (u n) với u n =n− n2 − 1
7 Dãy số (u n) với
n
n
u n = +1−1
8 Dãy số (u n) với
1 2
1 2
2 +
+ +
=
n
n n
u n
VI Xác định số thực a để dãy số (u n) với
3 2
1 1
2 +
+
=
n
an
1 Một dãy số tăng 2 Một dãy số giảm
VII Chứng minh rằng : dãy số (u n) với
3 2
1 2
2
−
+
=
n
n
u n là một dãy số bị chặn VIII CMR : dãy số (u n) với
7 5
5 7 +
+
=
n n
u n là một dãy số tăng và bị chặn
Trang 4IX Cho dãy số (u n) với u n
6
cos 3 sinnπ + nπ
=
1. Hãy tính : u1, u2 , u3 , u4 , u5
2 Dự đoán công thức của số hạng tổng quát u n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp
X Cho dãy số (u n) xác định bởi :
+ +
−
=
=
2
5 2 3
1
2 1
1
n n
u
u
∀n ≥ 1
1 Hãy tính : u2 , u3 , u4 , u5
2 Dự đoán công thức của số hạng tổng quát u n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp
XI Cho dãy số (u n) xác định bởi :
+
=
=
+ 7
1 1
1
n
u
u
∀n≥ 1
1. Hãy tính : u2 , u4 , u6
2 Dự đoán công thức của số hạng tổng quát u n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp
XII Cho dãy số (u n) xác định bởi :
− +
=
=
+ 3 2 1
2 1
1
n u u
u
n n
1
≥
∀n
1 Hãy tính : u2 , u3 , u4 , u5
2 Dự đoán công thức của số hạng tổng quát u n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp
XIII Cho dãy số (u n) với u =sin( 2n−1 ) π3
n
1. Chứng minh rằng : u n =u n+ 3 ∀n ≥ 1
2 Hãy tính 17 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ CỘNG :
Trang 5I Cho cấp số cộng (un) có : u1 =1 và u2 = 6.
1 Hãy tìm công sai d của cấp số cộng đã cho
2 Tính u3, u4, u5 và u6.
II Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Hãy xác định
công sai của mỗi cấp số đó
1. Dãy số (an) xác định bởi a1 = 1 và an+1 = 3 + an với mọi n≥ 1
2. Dãy số (bn) xác định bởi b1 = 3 và bn+1 = bn – n với mọi n≥ 1
3. Dãy số (cn) mà cn+1 = cn + 2 với mọi n≥ 1
III Trong mặt phẳng toạ độ, cho đồ thị (C) của hàm số y = 3x – 2
Với mỗi số nguyên dương n, gọi An là giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng x = n
Xét dãy số (un) với un là tung độ giao điểm An Chứng minh dãy số
un là một cấp số cộng Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó
IV Xét dãy số (un) xác định bởi u1 = a và un+1 = 5 – un với mọi n≥ 1, trong
đó a là một số thực Hãy xác định tất cả các gía trị của a để dãy số (un)
là một cấp số cộng
V Cho một cấp số cộng có 5 số hạng Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3
và số hạng thứ tư bằng 7 Hãy tìm các số hạng còn lại
VI Một cấp số cộng có 7 số hạng mà tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 28, tổng của số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 140 Hãy tìm cấp số cộng đó
VII Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = -3
Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A1, A2, sao cho với mỗi số nguyên dương n, điểm An có toạ độ (n, un) Chứng minh rằng tất cả các điểm An, ( n = 1,2,3,,,,) cùng nằm trên một đường thẳng Hãy cho biết phương trình của đường thẳng đó
VIII Cho một cấp số cộng có 7 số hạng với công sai duơng và số hạng thứ tư bằng 11 Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số cộng đó, biết rằng hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 6
IX Cấp số cộng (un) có u17 – u20 = 9 và (u17)2 + (u20)2 = 153 Hãy tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó
X Cho cấp số cộng (un) có công sai d > 0, u31 +u34 = 11 và
(u31)2 + (u34)2 = 101 Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó
Trang 6XI Cho cấp số cộng (un) và cho các số nguyên dương m, k với
m < k Chứng minh rằng:
2
m k m k k
u u
u = − + +
Áp dụng: Hãy tìm một cấp số cộng có 7 số hạng mà số hạng thứ ba
bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 10
XII Hãy tính các tổng sau đây :
1 Tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102, số hạng thứ hai bằng 105 và số hạng cuối bằng 999
2. Tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 13 , số hạng thứ hai bằng −31 và số hạng cuối
bằng : -2007
XIII Cho cấp số cộng (un) có u5 + u19 = 90 Hãy tính tổng 23 số hạng đầu của (un)
XIV Cho cấp số cộng (un) có u2 + u5 = 42 và u4 + u9 = 66 Hãy tính tổng
346 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó
XV Cho cấp số cộng tăng (un) có 3 302094
15
3
1 +u =
tiên bằng 585 Hãy tìm u1 và công sai d của cấp số cộng đó
XVI Tìm số hạng đầu tiên a1 và công sai d trong mổi trường hợp sau :
1 a3 = -15 & a14 = 18
2 a2 + a5 – a3 = 10 & a4 + a6 = 26
3 a2 + a4 + a6 = 36 & a2 a3 = 54
4 a5 – a3 = – 4 & a2 a4 = – 3
5 a1 + a7 = 4 & a32 + a72 = 122
6 S4 = 15 & S7 = 12
7 a3 + a5 = 4 & S12 = 129
8 a4 a5 = 130 & S5 = 35
9
= + + + +
= + + +
+
13
8 25 19 13 7 1
13 10 7 4 1
a a a a a
a a a a a
XVII 1 Tính S10 Biết : u1 + u6 = 17 & u2 + u5 – u3 = 10
2 Tính S20 Biết : u7 = 8 & u13 = 23
3 Tính S20 Biết : u3 = –15 & u14 = 18
4 Tính S30 Biết : u5 = 19 & u8 = 31
Trang 75 Tính S100 Biết : u9 – u4 = 10 & u3 u6 = 55
6 Tính tổng các số hạng sau :
a S = 1002 – 992 + 982 – 972 + + 22 – 12
b S = 105 + 110 + 115 + + 955 XVIII Số đo các góc của một tam giác lập thành một cấp số cộng Góc lớn nhất có số đo bằng 35 số đo góc nhỏ nhất Tìm số đo của mỗi góc
XIX Giả sử a, b, c lập thành một cấp số cộng Chứng minh rằng :
1 a2 + 8bc = (2b+c)2
2 a2 + 2bc = c2 +2ab
9
b a c c a b c b a c b
XX Gọi a, b, c và A, B, C là ba cạnh và ba góc của tam giác ABC Chứng minh rằng : Nếu a, b, c lập thành cấp số cộng thì :
3
1 2
2tg C =
A tg
XXI 1 Tìm x để ba số : 10 – 3x ; 2x2 +3 ; 7 – 4x lập thành cấp số cộng
2 Giải phương trình :
(x+1) + (x+4) + (x+7) + + (x+28) = 155
XXII Thêm 20 số vào giữa số 4 và 67 để được một cấp số cộng hãy tìm các số đã thêm
XXIII Định m để mỗi phương trình sau có 4 nghiệm lập thành một cấp
số cộng :
1 x4 – 2mx2 + m + 4 = 0
2 x4 – 2mx2 + 2m – 1 = 0
3 x4 – 2(m+2)x2 + 2m + 3 = 0
4 x4 – 2(m+1)x2 + 2m + 1 = 0
Trang 8BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN :
I Cho cấp số nhân (un ) có u1 = 3 & u2 = 2
1 Hãy tìm công bội q của cấp số nhân
2 Hãy tính u3 ; u4 ; u5 và u6
II Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công bội của mổi cấp số nhân đó
1. Dãy số (an) xác định bởi a1=1 và an+1 =
7
n a
1
≥
∀n
2. Dãy số (bn) xác định bởi b1=3 và bn+1 =
n
b n
1
≥
∀n
3. Dãy số (cn) xác định bởi c1=2 và cn+1 =
n
C
6
1
≥
∀n
4. Dãy số (dn) mà dn+1 = 3dn ∀n ≥ 1
III Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1 = 4un + 9 ∀n ≥ 1
Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi : vn = un + 3 ∀n≥ 1 là một cấp
số nhân Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó
IV Xét dãy số (un)xác định bởi u1= a và un+1 =
n
u
12
∀n ≥ 1 trong đó a là một số thực khác 0 Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dảy số (un)
là một cấp số nhân
V Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với công bội dương Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3 và số hạng thứ tư bằng 6 Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó
VI Một cấp số nhân có 7 số hạng với số hạng đầu và công bội là các số
âm Biết rằng tích các số hạng thứ ba và thứ năm bằng 5184, tích của
số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 746 496 Hãy tìm cấp số nhân đó
VII Cho một cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số thứ bảy gấp 243 lần số hạng thứ hai Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó
VIII Xác định cấp số nhân gồm 6 số hạng với ba số hạng đầu bằng 168
và ba số hạng cuối bằng 21
IX Tìm số hạng đầu tiên u1 và công bội q , biết :
Trang 91 u5 = 96 & u6 = 192
2 u4 – u2 = 72 & u5 – u3 = 144
3 u7 – u4 = – 216 & u5 – u4 = –72
4 u20 = 8u17 & u3 + u5 = 272
5 u1 – u3 + u5 = – 65 & u1 + u7 = – 325
6 u2 + u4 = 30 & u4 + u6 = 270
X Cho cấp số nhân (un) có : 6u2 + u5 = 1 & 3u3 + 2u4 = –1 Hãy xác định số hạng tổng quát và công bội của cấp số nhân đó
XI Hãy tính các tổng sau :
1 Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2, số hạng thứ hai bằng –2 và số hạng cuối bằng 64 2
2 Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có 11 số hạng, số hạng đầu tiên bằng 34 và số hạng cuối bằng 25681
XII Cho cấp số nhân (un) có 8u2 – 5 5.u5 = 0 & u13 + u33 = 189 Hãy tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó
XIII Cho cấp số nhân (un) với công bội q ∈ (0 ;1) Hãy tính 25 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó, biết : u1 + u3 = 3 & u12 + u32 = 5
XIV Cho cấp số nhân (un) có : 3 3 u2 + u5 = 0 & u32 + u62 = 63 Hãy tính tổng : S = u1 +u2 +u3 + +u15
XV Xác định bốn số a, b, c, d Nếu chúng lập thành một cấp số nhân
theo thứ tự trên và :
= + + +
−=
+ +
+
3280
40 2 2 2
a
d c b a
XVI Cho dãy số (un) xác định bởi :
−
=
=
2
2 1
1
n
u
u
1
≥
∀n
Chứng minh rằng dãy số (un) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân