BAI TAP TINH DIEN HAY

- Do ta luôn tìm được hai phần tử dq trên cung tròn đối xứng nhau qua trục OX, mỗi phần tử này gây ra tại O một cường độ điện trường có thành phần điện trường vuông góc với trục OX triệt

Trang 1

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI BÀI TẬP TĨNH ĐIỆN

LỜI NÓI ĐẦU

Bài tập về tĩnh điện rất đa dạng và phong phú, có nhiều phương pháp để giải, trong đó có nhiều bài tập cần đến tích phân để làm

Dạng toán tích phân là dạng bài tập tương đối khó đối với học sinh cấp ba, và việc ứng dụng nó vào để

giải các bài tập vật lí cũng không phải là dễ Chính vì lí do đó tôi viết chuyên đề “Ứng dụng tích phân để giải bài tập tĩnh điện” giúp các học sinh làm quen với những dạng bài tập tĩnh điện có sử dụng đến tích

phân, cũng như ứng dụng rộng rãi của tích phân trong vật lí, từ cơ sở đó các em học sinh có thể làm quen với các dạng bài tập vật lí khác có sử dụng đến tích phân

Trong chuyên đề này, tôi chỉ đưa ra ứng dụng của tích phân để tính cường độ điện trường và điện thế do một vật tích điện gây ra tại một điểm

Trong quá trình biên soạn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự góp ý của các thầy

cô giáo và các em học sinh

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

- Chia vật tích điện thành những phần tử nhỏ mang điện tích dq (cách chia này còn tuỳ thuộc vào hình

dạng của vật tích điện)

- Xét phần tử nhỏ mang điện tích dq bất kì, tìm cường độ điện trường E d ; điện thế dV do phần tử dq

đó gây ra tại điểm đang cần tính điện trường hoặc điện thế

- Lấy tích phân toàn bộ vật ta sẽ tìm được cường độ điện trường hoặc điện thế do toàn bộ vật tích điện gây ra tại điểm đang xét

1 Công thức xắc định cường độ điện trường do điện tích dq gây ra tại điểm M cách nó một đoạn r:

với r là véc tơ đơn vị trên phương của r ; r có gốc tại dq , ngọn tại M.0

2 Công thức xắc định điện thế do điện tích dq gây ra tại điểm M cách nó một đoạn r:

3 Mối liên hệ giữa cường độ điện trường và điện thế:

0

/ 10

9 4

1

C Nm



4 Mật độ điện tích:

Mật độ điện tích dài  Mật độ điện tích mặt  Mật độ điện tích khối 



d

dq





dq là điện tích chứa trong yếu tố dS

dq





dq là điện tích chứa trong yếu tố dV

dq





dq là điện tích chứa trong yếu tố

r

kdq

dV  (2)

dr

dV

E (3)

0

2 .r

r

kdq E

Trang 2

A – BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TÍCH ĐIỆN

DẠNG I: CUNG TRÒN TÍCH ĐIỆN ĐỀU Bài 1:

Một vòng tròn mảnh bán kính R, tích điện đều là q0đặt nằm ngang trong

không khí như hình vẽ bên Lấy trục OZ thẳng đứng trùng với trục của vòng

dây Gốc O tại tâm vòng Tính cường độ điện trường E và điện thế V tại điểm

M nằm trên trục Oz với OM  z

Bài giải:

- Mật độ điện tích dài trên vòng tròn mảnh là:

R

q

2

 

- Chia vòng thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , với d  Rd

- Điện tích trên mỗi phần tử nhỏ có chiều dài d là







2 d qd

dq 

* Tính cường độ điện trường tại M.

- Xét cường độ điện trường do phần tử dq gây ra

tại M là d E1có phương chiều như hình vẽ, độ lớn

) (

2

1

z R

kqd r

kdq

dE









- Do ta luôn tìm được hai phần tử dq đối xứng nhau

qua O, mỗi phần tử dq này gây ra tại M một điện

trường có thành phần điện trường vuông góc với

trục OZ triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một do đó điện

trường tại M có phương trùng với trục OZ, độ lớn:

) (

cos )

.(

2

cos

2 0

2 2 2

0

1

z R

kq z

R

d kq

dE

E











Với cos 2 2

z R

z





) (R z

kqz E







* Tính điện thế tại M.

2 2

2 2 2

2

kq d

z R

kq r

kdq dV

V















- Điện thế do mỗi phần tử dq gây ra tại điểm M là:

2 2

kqd r

kdq dV









- Điện thế V do cả vòng tròn tích điện gây ra tại M là:

2 2 2

0 2 2 2

kq d

z R

kq dV

V















- Do tính chất đối xứng trục, cường độ điện trường

do vòng gây ra tại điểm M có phương trùng với trục

OZ, độ lớn:

2 / 3 2

(R z

kqz dz

dV E









dE

1

dE

z

O R

2

dE

M

O

R

Z M

q



d



d

R O

Trang 3

Cũng có thể tính V như sau:

dz

dV z

R

kqz



 2 2 3/2

)

(

dz z

R

kqz

dV 2 2 3/2

) ( 







C z R

kq dz

z R

kqz dV











Khi z thì V 0 C0

2

2 z

R

kq

V







Nhận xét:

+ Khi









0

V

E R

z chính là cường độ điện trường và điện thế do điện tích điểm gây ra tại M

+ Khi











R

kq V

E z

0

0 như vậy cường độ điện trường tại tâm vòng tròn tích điện đều bằng không

+ Nếu q0, ta cũng thu được các kết quả tương tự nhưng chiều của E ngược lại.

Bài 2:

Một sợi dây có dạng một cung tròn mảnh, bán kính R, góc ở tâm 2α, sợi dây tích điện đều là q0 đặt trong không khí Xắc định cường độ điện trường và điện thế tại tâm của cung tròn

Bài giải:

- Mật độ điện tích dài trên cung tròn mảnh là:

R

q

2

 

- Chia cung tròn thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , với



Rd

d 

- Điện tích trên mỗi phần tử nhỏ d là dqdRd

* Tính cường độ điện trường tại O.

- Xét cường độ điện trường do phần tử dq gây ra tại M là

1

E

d có phương chiều như hình vẽ, độ lớn

R

d k R

kdq

dE1  2  . 

- Chọn hệ trục toạ độ như HV

- Do ta luôn tìm được hai phần tử dq trên cung tròn đối xứng

nhau qua trục OX, mỗi phần tử này gây ra tại O một cường độ

điện trường có thành phần điện trường vuông góc với trục OX triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một do đó

cường độ điện trường tại O có phương trùng với trục OX, độ lớn:





2 1

sin

cos cos

R

kq d R

k dE

E











* Tính điện thế tại O.

- Xét phần tử nhỏ dq bất kì Phần tử này gây ra tại O một điện thế: kd

R

kdq

dV  

 cả cung tròn gây ra tại O một điện thế là  















R

kq k

d k dV

Nhận xét:

+ Véc tơ E do cung tròn tích điện đều gây ra tại tâm của nó có phương nằm trên trục đối xứng của cung

dφ



X O

q

α -α

1

dE

φ



d

2

dE

Trang 4

+ Nếu

2

3

2   ứng với

4

3 vòng tròn 2

3

2 2

R

kq E







+ Nếu 2  ứng với nửa vòng tròn 2

2

R

kq E







+ Nếu

2

2  ứng với 

4

1 vòng tròn 2

2 2

R

kq E







R

kq

V điện thế do cung tròn tích điện đều gây ra tại tâm của nó không phụ thuộc vào 

+ Nếu q0 ta cũng thu được các kết quả tương tự nhưng chiều của E ngược lại.

Bài 3:

Có hai cung tròn mảnh có cùng bán kính, góc ở tâm lần lượt là 2 và 1 (2  21) Hai cung tròn tích điện đều với mật độ điện tích dài lần lượt là 1 0;2 0.Ghép hai cung tròn nói trên lại với nhau thành vòng tròn kín rồi đặt trong không khí, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép chúng lại với nhau Tính cường độ điện trường và điện thế do vòng tròn nói trên gây ra tại tâm O của nó

Bài giải:

Đặt (2  21)22

Chọn hệ trục toạ độ OX như HV

Áp dụng kết quả bài 2 (phần cung tròn tích điện đều)

- Cung tròn mảnh bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích

dài 1 0 gây ra tại O một cường độ điện trường E có phương1

chiều như HV, độ lớn

R

k R

kq

2 1

1 1 1

sin 2





- Cung tròn mảnh bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích

dài 2 0 gây ra tại O một cường độ điện trường E có phương chiều như HV, độ lớn2

R

k R

kq

2

2 2

2

sin 2 sin

2





(Với

R

q

2 1

1



R

q

2 2



  ; (2  21)22) Theo nguyên lí chồng chất điện trường tại O ta có:EE1E2

E có phương trùng với trục OX có độ lớn 1 2 1 1 2

sin 2













R

k E E E

Dựa vào kết quả và nhận xét của bài 2: “điện thế do cung tròn tích điện đều gây ra tại tâm O của cung không phụ thuộc vào  ” ; mặt khác điện thế có tính cộng được nên điện thế do cả vòng tròn nói trên gây

ra tại O cho bởi công thức:

)]

( [

2 ) (

2 1 2

R

kq R

kq V

V

Nhận xét:

+ Nếu 1 2 









2

0

k V

E

phù hợp với kết quả bài 1 phần cung tròn tích điện đều ứng với z0

R

1



1

E

2

E

X

1

2 

2



Trang 5

Bài 4:

Có hai cung tròn mảnh giống nhau bán kính R có dạng nửa vòng tròn,

một cung tròn tích điện đều với mật độ điện tích dài là  0, cung tròn

còn lại tích điện đều với mật độ điện tích dài là  Ghép hai cung tròn

nói trên lại với nhau thành một vòng tròn kín rồi đặt trong không khí Lấy

trục OZ đi qua tâm của vòng dây và vuông góc với mặt phẳng chứa vòng

dây.Xắc định cường độ điện trường và điện thế tại điểm M nằm trên trục

OZ, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép hai cung tròn

lại với nhau

Bài giải:

- Chia vòng dây thành nhiều phần tử nhỏ mang điện tích





d Rd

dq 

Chọn hệ trục toạ độ OXYZ như HV1

1

E

) ( 2 2

2

1

z R

Rd k r

kdq

dE





- Do ta luôn tìm được hai phần tử dq đối xứng nhau qua O,

mỗi phần tử dq này gây ra tại M một điện trường có thành

phần điện trường theo phương của trục OZ triệt tiêu lẫn nhau

từng đôi một do đó điện trường tại M có phương vuông góc

với trục OZ tức nằm trong mặt phẳng XOY

- Nhận thấy khi dq di chuyển trên nửa đường tròn tâm O thì

véc tơ E d cũng quay trong mặt phẳng XOY, tâm M , độ lớn dE 2dE1sin không đổi, được vẽ biểu diễn như HV2

- Trong quá trình véc tơ E d quay trong mặt phẳng XOY, dễ thấy

thành phần theo phương của trục OX bị triệt tiêu, chỉ còn thành phần

theo phương OY

- Nói khác đi    









0

1 0

0

sin sin 2

dE dE

E

2 2 0

2

sin 4

sin sin

2

z R

R k d z

R

k

E









với sin 2 2

z R

R







2 / 3 2 2 2

/ 3 2 2

2

) (

4 )

(

4

z R

kqR z

R

R k

E















(q là điện tích của nửa vòng tròn 0





R

q



Do tính đối xứng nên V 0 ( 2 2 2 2 0)









Z R

kq Z

R

kq V

Nhận xét:

- Véc tơ cường độ điện trường cùng chiều dương với trục OY (tức là hướng về phía nửa âm của vòng tròn)

- Khi

R

k E

z0 4  phù hợp với kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều (khi sử dụng kết quả bài 2 với 2  và nguyên lí chồng chất điện trường)

O R

Z M





O R

Z

M





1

E d

2

E d

dq



z

x

y

HV1

M

E

d



x y

HV2

Trang 6

Bài tập tự luyện

B1:

Có hai cung tròn mảnh giống nhau bán kính R có dạng nửa vòng tròn, một cung tròn tích điện đều với mật độ điện tích dài là  0, cung tròn còn lại tích điện đều với mật độ điện tích dài là  Ghép hai cung tròn nói trên lại với nhau thành một vòng tròn kín rồi đặt trong không khí Xắc định cường độ điện trường và điện thế do vòng tròn nói trên gây ra tại tâm của nó, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép hai cung tròn lại với nhau

HD:

Sử dụng kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều và áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường

0

;

4



R

k

B2:

Một cung tròn mảnh bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích dài 1 0, góc ở tâm là 2 Cung 1 tròn mảnh thứ hai cũng có bán kính R, góc ở tâm là (2  21) tích điện đều với mật độ điện tích dài

0

2 

  Ghép hai cung tròn nói trên lại với nhau thành vòng tròn kín rồi đặt trong không khí, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép chúng lại với nhau, tính cường độ điện trường và điện thế

do vòng tròn nói trên gây ra tại tâm của nó

HD:

) (

sin 2

2 1

1 2



R

k E

E

)]

( [

2

R

kq

R

kq

V

Bài 3:

Một sợi dây có dạng một cung tròn mảnh, bán kính R, góc ở tâm 3α, đặt trong không khí Gọi A,B,C,D lần lượt là bốn điểm trên cung tròn tuân theo thứ tự trên A,B,C,D thoả mãn sao cho độ dài cung AB bằng

độ dài cung BC bằng độ dài cung CD

Xắc định cường độ điện trường và điện thế gây ra tại tâm của cung tròn trên nếu:

Cung BC nhiễm điện đều với mật độ điện tích dài là  0, cung AB và CD nhiễm điện đều với mật độ điện tích dài là 

HD:

1 cos 2 2 sin

2



R

k

E



k R

kq R

kq

R

kq

V  1  2  3  [   ]

DẠNG II: CUNG TRÒN TÍCH ĐIỆN KHÔNG ĐỀU,

Phạm vi nghiên cứu

Chỉ xét đường tích điện có mật độ điện tích tỉ lệ với chiều dài theo quy luật hàm bậc nhất hoặc bậc hai, các trường hợp bậc cao hơn hoặc mật độ điện tích bất thường thì việc tính toán sẽ rất phức tạp

Bài 1:

Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm 2 đặt trong không khí,

G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên Xắc định cường

độ điện trường và điện thế do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung

nếu mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai đầu A và B

của cung theo quy luật   a 0 với a  const;  là biến số theo

chiều dài

R



2

A

B G

O

Trang 7

Bài giải:

- Chia cung tròn thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , với d  Rd  R.

- Điện tích trên mỗi phần tử nhỏ d là



d a Rd aR d

dq    2

1

E



 d a k

R

kdq

dE1  2 

- Do ta luôn tìm được hai phần tử dq trên cung tròn đối xứng

nhau qua trục OX, mỗi phần tử này gây ra một cường độ điện

trường có thành phần điện trường vuông góc với trục OX

triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một, do đó cường độ điện trường

tại O có phương trùng với trục OX, độ lớn:



GA

a k d ka

dE

E 2 cos 2 cos 2 ( sin cos 1)

0



* Tính điện thế tại O ( V ). O

- Do tính đối xứng, mà điện thế có tính cộng được nên ta chỉ cần tính điện thế do cung GA gây ra tại O rồi nhân đôi ta sẽ được điện thế do cả cung AGB gây ra tại O

- Xét một phần tử nhỏ dq bất kì thuộc cung GA Phần tử này gây ra tại O một điện thế:



 d R a k

R

kdq





0

2

.a R d kaR k

dV V

GA

2

2V kaR

V O  



Bài 2:

Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm 2 đặt trong không

khí, G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên Xắc định

cường độ điện trường và điện thế do cung tròn trên gây ra tại tâm O

của cung nếu mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai

đầu A và B theo quy luật: từ G đên A là   a 0; từ G đến B là



 với a  const;  là biến số theo chiều dài

Bài giải:

- Làm tương tự như bài 1 phần cung tròn tích điện không đều

- Do tính đối xứng nên ta luôn tìm được hai phần tử dq trên

cung tròn đối xứng nhau qua trục OX, mỗi phần tử này gây ra

một cường độ điện trường có thành phần điện trường theo

phương OX triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một) do đó điện trường

tại O chỉ theo phương OY có độ lớn:



GA

a k d ka

dE

E 2 sin 2 sin 2 (sin cos )

0



Làm tương tự













2



kaR V

BG

AG

0







 V V AG V BG

dφ



X O

q

-α α

1

dE

φ



d

A

G

B

2

dE

R



2

A

B

G

O

dφ



X O

q

-α

α φ



d

A

G

B

2

dE

Y

dE

Trang 8

Bài 3:

Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm  đặt trong không khí Xắc định

cường độ điện trường và điện thế do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu

mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía A về phía B của cung theo quy

luật   a 0 với a  const;  là biến số theo chiều dài

Bài giải:

- Chọn hệ trục toạ độ như HV, có OX trùng với OA

- Chia cung tròn ra thành nhiều phần tử nhỏ mang điện tích



d a Rd aR d

dq    2

- Xét cường độ điện trường do phần tử dq gây ra tại O là E d có

phương chiều như hình vẽ, độ lớn k a d

R

kdq

dE  2 

- Phân tích dE dEX.idE Y.j

j E i E j dE i dE dE

E   X  Y  X  Y















) cos (sin

sin sin

) 1 cos sin

(

cos cos

0











a k d ka

dE dE

E

a k d ka

dE dE

E

AB AB

Y

AB AB

X

2 2

X E Y

E

góc  thoả mãn:

X

Y

E

tg 

- Xét một phần tử nhỏ dq bất kì Phần tử này gây ra tại O một điện thế:



 d R a k

R

kdq





0

2

.a R d kaR k

dV V

AB

Bài tập tự luyện

B1:

Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm 2 đặt trong không

khí, G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên Xắc định

cường độ điện trường do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu

mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai đầu A và B

của cung theo quy luật   a 2 0 với a  const;  là biến số theo

chiều dài

HD:

Làm tương tự như bài 1 phần cung tròn tích điện không đều, ta tìm

được điện trường tại O có phương nằm trên đường GO, điểm đặt tại

O, chiều từ G  O độ lớn E2k.a.R(2sin 2cos  2sin)

B2:

Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm 2 đặt trong không khí,

G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên Xắc định cường độ

điện trường do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ điện

tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai đầu A và B theo quy luật: từ

G đên A là   a 2 0; từ G đến B là  với a  const;  là biến số

theo chiều dài

R



A

B

O

R



A

B

O

X

Y

E d

Y

E d

X

E d

R



2

A

B

G

O

R



2

A

B G

O

Trang 9

Làm tương tự như bài 2 phần cung tròn tích điện không đều, ta tìm được điện trường tại O có phương vuông góc với đường GO, điểm đặt tại O, chiều từ phía bản dương về phía bản

âm, độ lớn E2k.a.R(2cos 2sin 2cos  2)

B3:

Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm  đặt trong không khí Xắc định

cường độ điện trường do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ

điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía A về phía B của cung theo quy luật

0

2 

 a

 với a  const;  là biến số theo chiều dài.

HD:

Làm tương tự như bài 3 phần cung tròn tích điện không đều

Chọn trục OX trùng với OA ta có



















) 2 cos 2 sin 2 cos (

) sin 2 cos 2 sin (

2



R

a

k

E

R

a

k

E

Y

X

DẠNG III: ĐƯỜNG THẲNG TÍCH ĐIỆN ĐỀU Bài 1:

Một thanh mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện đều với

mật độ điện tích dài  0, đặt trong không khí

Xắc định cường độ điện trường và điện thế do thanh gây

ra tại điểm M nằm trên trục của thanh cách đầu A của

thanh đoạn AM  như HV a

Bài giải:

- Chia thanh AB ra thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , mỗi phần tử mang điện tích dq.d

- Xét phần tử mang điện tích dq có chiều dài  d ở vị trí cách A đoạn là  bất kì như hình vẽ, phần tử này gây ra tại M một cường độ điện trường E d có phương chiều như HV, độ lớn 2 ( )2







a

d k r

kdq

 điện trường tổng hợp do cả thanh gây ra tại M là    





L

L k a

d k dE E

0

)

(



- Xét một phần tử nhỏ dq bất kì ở vị trí cách A đoạn là  bất kì như hình vẽ Phần tử này gây ra tại M

một điện thế:







a

d k r

kdq

 điện thế do cả thanh gây ra tại M là   











L

L k

a

d k dV V

0

1 ln



Bài 2:

Một thanh mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện đều với mật

độ điện tích dài  0, đặt trong không khí

Xắc định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M

cách đầu A của thanh đoạn a như HV

R



A

B

O

B A

M



E d

A

B a

M



Trang 10

Bài giải:

- Chia thanh AB ra thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài dX , mỗi

phần tử mang điện tích dq.dX

Chọn hệ toạ độ OXY như hình vẽ:

+ Xét một phần tử nhỏ có chiều dài dX , mang điện dq có toạ

độ X bất kì, xác định bởi góc  như HV

+ Phần tử này gây ra tại M một cường độ điện trường dE có

phương chiều như hình vẽ, độ lớn:

2

dX k

r

kdq

dE   (1)

+ HV

















d

a dX

tg a X

a r

2

cos

(2)

Từ (1)(2)

a

d k

dE   

+ Phân tích dE thành hai thành phần dE dEX.idE Y.j

j E i E j dE i dE dE

E   X  Y  X  Y

- Với

L a

k a

k d a

k dE

dE E

L a

a a

k a

k d a

k dE

dE E

AB AB

Y

AB AB



























































Y

2 2 0

X X

0

sin

cos cos

0 1 )

1 (cos

sin sin

2 2

Y

E

 ; E hợp với OX góc  thoả mãn:

X

Y

E

tg 

Nhận xét:

Nếu   /2 ứng với thanh bán vô hạn hay L thì









a

k E

a

k

E X ; Y 

a

k

E  2 

Bài 3:

Một thanh mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện đều với mật

độ điện tích dài  0, đặt trong không khí

Xắc định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M

cách trục của thanh đoạn a như HV

Bài giải:

- Coi thanh được cấu tạo từ hai phần AO và BO, chiều dài

mỗi phần tương ứng là X1; X2

- Chọn hệ trục toạ độ OXY như HV

- Áp dụng kết quả bài 2 phần đường thẳng tích điện đều 

riêng thanh AO gây ra tại M một cường độ điện trường có

các thành phần theo phương OX và OY là:

L

M

O

Y

X dX

X

dE

Y

dE

X

dE

r a

θ



a M



O

a M



O Y

X

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,04 MB