CĐ 1 GIẢI bài TOÁN cơ học bài TOÁN cơ học CHẤT điểm DÙNG TRỤC tọa độ459

e.Chất điểm: Một vật thể được coi là chất điểm nếu kích thước của vật không đáng kể so với khoảng cách mà vật đó đi qua trong chuyển động đang xét.. Khi chất điểm chuyển động, vị trí M

GIẢI BÀI TOÁN BÀI TOÁN CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM

d.Tính tương đối của chuyển động

Một vật sẽ là chuyển động hay đứng yên tuỳ thuộc vào hệ quy chiếu mà ta chọn Vật có thể chuyển động so với hệ quy chiếu này nhưng lại đứng yên so với hệ quy chiếu khác

e.Chất điểm: Một vật thể được coi là chất điểm nếu kích thước của vật không đáng kể so

với khoảng cách mà vật đó đi qua trong chuyển động đang xét

f.Hệ chất điểm: Là tập hợp hai hay nhiều chất điểm mà khoảng cách giữa các chất điểm là

không đổi hoặc chuyển động của chất điểm này phụ thuộc các chất điểm khác

1.1.2 Phương trình chuyển động

a.Phương trình chuyển động

Phương trình chuyển động là phương

trình mô tả sự phụ thuộc của đại lượng cho ta xác định vị trí

của vật với thời gian

Để xác định vị trí của chất điểm, người ta thường gắn

vào hệ quy chiếu một hệ toạ độ, chẳng hạn hệ toạ độ

Descartes Oxyz

Vị trí M của chất điểm được xác định bằng các toạ độ của nó Với hệ toạ độ Descartes

các toạ độ này là x,y,z Bán kính véc tơ r OM cũng có các toạ độ x,y,z trên ba trục toạ độ

Ox,Oy,Oz ( hình vẽ ) và có mối liên hệ: r xi y j zk  

Khi chất điểm chuyển động, vị trí M theo thời gian, các toạ độ x,y,z của M là những hàm của thời gian t:

( )( )( )

Các phương trình (1.1) và (1.2) gọi là phương trình chuyển động của chất điểm

b.Phương trình quỹ đạo

Biết được các phương trình chuyển động của chất điểm ta có thể tìm quỹ đạo của nó: Thật vậy khử thời gian t trong các phương trình chuyển động ta tìm được phương trình quỹ đạo

c.Hoành độ cong – tọa độ tự nhiên (nâng cao)

Giả sử quỹ đạo của chất điểm là một đường cong (C) ( hình vẽ trên ) Trên đường cong (C) ta chọn một điểm A nào đó là gốc và một chiều dương theo chiều chuyển động của chất điểm Khi đó tại mỗi thời điểm t, vị trí M của chất điểm trên đường cong (C) được xác định bởi trị đại số của cung , kí hiệu là:

AM s





Người ta gọi s là hoành độ cong của chất điểm chuyển động Khi chất điểm chuyển động,

s là hàm của thời gian t, tức là:

( )

ss t (1.3)

*Véc tơ vi phân hoành độ cong ds

-Phương trùng với tiếp tuyến của quỹ đạo tại điểm đang xét

-Hướng theo chiều chuyển động

-Độ lớn bằng vi phân hoành độ cong ds

 Nhắc lại về phương trình của các đường côníc

 Elip

* Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 và F2 với F F1 2  2 c  c  0  Đường elip là quỹ tích các điểm M sao cho MF1 MF2  2 a (a  c), trong đó a là số cho trước

+ Hai điểm F F1; 2 là các tiêu điểm của elíp, còn F F1 2  2 c là tiêu cự của elip

+ MF MF1; 2 được gọi là bán kính qua tiêu

* Phương trình chính tắc: Trong hệ trục toạ độ Oxy chọn F1  c ,0 ;    F c2 ,0 thì elíp có phương trình

* Các yếu tố của elip:

+ Tiêu điểm: Elíp có hai tiêu điểm F1  c ,0 ;    F c2 ,0

+ Tiêu cự: F F1 2  2 c là tiêu cự của elip

+ Đường chuẩn:  1; 2 là hai đường chuẩn của Elip, khi thoả mãn điều kiện

Nếu e = 0 tức là hai tiêu điểm trùng nhau, elip sẽ suy biến thành đường tròn

Nếu e = 1 tức là hai tiểu điểm trùng với hai điểm A1 và A2 thì elip suy biến thành đường thẳng

Trong hệ trục toạ độ Oxy chọn F1  c ,0 ;    F c2 ,0 thì hypebol có phương trình

* Các yếu tố của hypebol:

+ Tiêu cự: F F1 2  2 c là tiêu cự của hypebol

+ Tiêu điểm: F1  c ,0 ;    F c2 ,0

+ Độ dài trục thực A A1 2  2 a; Độ dài trục ảo B B1 2  2 b

+ Toạ độ hai đỉnh: A1  a ,0 ;    A a2 ,0

+ Hình chữ nhật cơ sở có độ dài hai cạnh là 2a và 2b (xem hình vẽ)

+ Đường chuẩn:  1; 2 là hai đường chuẩn của Hypebol, khi thoả mãn điều kiện

Cho một điểm F cố định và một đường thẳng  cố định không đi qua F Tập hợp các điểm

M cách đều F và đường thẳng  được gọi là đường parabol

F gọi là tiêu đỉêm của parabol.Đường thẳng gọi là đường

chuẩn Khoảng cách từ F tới  được gọi là tham số tiêu của

parabol

* Phương trình chính tắc của parabol:

d Công thức tính bán kính cong của quỹ đạo tại một điểm

Khi một chất điểm chuyển động trên một quỹ đạo cong bất kì, như đã biết tại mỗi điểm gia tốc

của vật có thể được phân tích thành hai thành phần

+ Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của véctơ vận tốc: t dv

a dt

 + Gia tốc pháp tuyến (hay gia tốc hướng tâm) đặc trưng cho sự thay đổi

về hướng của véctơ vận tốc, độ lớn của gia tốc pháp tuyến là:

2

n

v a r

 , với giá trị r được hiểu là bán kính của một đường tròn được vẽ đồng

phẳng với quỹ đạo và có độ cong giống với độ cong của quỹ đạo tại

điểm khảo sát (xem hình vẽ)

Đường tròn này được gọi là đường tròn mật tiếp của quỹ đạo tại điểm

khảo sát

Về mặt toán học thì đại lượng

1

r là độ cong của đồ thị tại điểm khảo

sát Ta đi thiết lập công thức tính r như sau: Xét một cung nhỏ P P0 có

độ dài ds như hình vẽ bên Ta có

ds r

d 

 ; trong đó

y

 



Thay biểu thức của ds và d  vào biểu thức của r ta được:

Xét chuyển động của chất điểm trên đường cong C

Trên C chọn gốc O và một chiều (+)

t0=0 tại vị trí M trùng O

Tại thời điểm t chất điểm ở M có s=O M

Tại thời điểm t’ chất điểm ở M’ có s’=O M'

Trong khoảng thời gian t t'tchất điểm di chuyển được quãng đường ss's

- Nếu chất điểm dịch chuyển theo chiều (+) của quỹ đạo thì v>0

- Nếu chất điểm dịch chuyển theo chiều (-) của quỹ đạo thì v<0

c.Véc tơ vận tốc

-Đặc trưng đầy đủ phương, chiều chuyển động và độ nhanh chậm của chuyển động

-Tại một điểm trên quỹ đạo là một vectơ v

có phương tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm đó,

có chiều theo chiều chuyển động của chất điểm có trị số bằng giá trị tuyệt đối của vận tốc tại điểm đó Do đó ta có thể viết lại (1.6) như sau:

dt

 ( 1.7)

d.Véc tơ vận tốc trong hệ toạ độ đề các

-Giả thiết ở thời điểm t: M  OM r

-Giả thiết ở thời điểm t+dt: M’  OM ' rdr

Khi dt <<  MM 'OM 'OM dr ds

Nghĩa là (1.6) có thể viết thành

dt

dr v

dy v dt

dx v

v x ; y ; z (1.9)

Độ lớn vận tốc được tính theo công thức:

2 2

2 2

dy dt

dx v

v v

lim

dt

r d dt

v d t

v a

dy i dt

dx k dt

dv j dt

dv i dt

dv

2 2

2 (1.13)

Các hình chiếu của a

trên các trục x,y,z bằng:

2 2

dt

x d dt

dv

2 2

dt

y d dt

dv

a y  y  ;

2 2

dt

z d dt

2 2

2 2

y d dt

x d a

a a

c.Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến

Tại thời điểm t điểm M có vận tốc: v

Tại thời điểm t’=t+t điểm M có vận tốc v'vv

t t

AC a

a t   (1.17)

*Kết luận: ađặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc về giá trị vectơ này

- Có phương trùng với tiếp tuyến của quỹ đạo tại M

- Có chiều là chiều chuyển động khi v tăng và chiều ngược lại khi v giảm

- Có độ lớn bằng đạo hàm độ lớn vận tốc theo thời gian

*Gia tốc pháp tuyến: a n

Xét thành phần thứ hai của (1.16), ta có:

0lim

CB a

a đặc trưng cho sự biến thiên về phương của vectơ vận tốc, an có:

+ Phương trùng với pháp tuyến của quỹ đạo tại M + Có chiều hướng về tâm của quỹ đạo

+ Có độ lớn

2

n

v a r

v không thay đổi phương chiều và giá trị: chuyển động thẳng đều

1.2 Một vài chuyển động đơn giản

1.2.1 Chuyển động thẳng biến đổi đều

Là chuyển động có quỹ đạo thẳng và gia tốc a không đổi: a n 0, Do đó:

adt dv const dt

dv a

+ Chuyển động nhanh dần đều: a.v>0

Phương trình quãng đường: ds vdt v at dt

a.Vận tốc góc

Giả sử chất điểm M chuyển động trên quỹ đạo tròn tâm O,

bán kính R Trong khoảng thời gian   t t' t chất điểm đi được

quãng đường s bằng cung MM’ ứng với góc quay   MOM ' của

bán kính R = OM ( hình vẽ )

*Vận tốc góc trung bình

tb t

Vậy: Vận tốc góc bằng đạo hàm góc quay theo thời gian

Đơn vị của vận tốc góc là rad/s

*Trong chuyển động tròn đều thì const, người ta đưa ra khái nệm chu kì và tần số

+Chu kì T: Chu kì là thời gian cần thiết để chất điểm đi được một vòng

Véc tơ vận tốc góc  là véc tơ có độ lớn  được định nghĩa ở

(1.24), nằm trên trục của vòng tròn quỹ đạo, chiều tuân theo quy tắc vặn

nút chai: Nếu quay cái vặn nút chai theo chiều chuyển động của chất điểm

thì chiều tiến của cái vặn nút chai chỉ chiều của véc tơ 

Giả sử trong khoảng thời gian   t t' t vận tốc góc của chất điểm chuyển động tròn

biến thiên một lượng     '

*Gia tốc góc trung bình

tb t

+Khi  0,  giảm, chuyển động tròn chậm dần

+Khi  0,  không đổi, chuyển động tròn đều

+Khi  const, chuyển động tròn thay đổi đều, ta

có:

0 2 0

2 2 0

22

t t t

d dt

Nhiều khi ta phải xét chuyển động của một vật trong trường lực Chẳng hạn một electron bay vào trong một điện trường hoặc từ trường với vận tốc ban đầu v0 Sau đây ta xét chuyển động của vật trong trọng trường

Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất với vận tốc v0 hợp với phương nằm ngang một góc

, bỏ qua sức cản của không khí

a.Viết phương trình chuyển động của vật

b.Tìm dạng quỹ đạo của vật

c.Tìm thời gian kể từ lúc bắn đến lúc vật chạm đất

d.Xác định tầm bay xa của vật

e.Tìm độ cao lớn nhất mà viên đạn đạt tới

f.Xác định bán kính cong của quỹ đạo của vật tại điểm cao nhất

Bài giải

Ngay sau khi bắn lực tác dụng vào vật là trọng lực luôn thẳng đứng hướng xuống, nên gia

tốc của vật trong suốt quá trình chuyển động là ag luôn thẳng đứng hướng xuống Chọn trục toạ độ Oxy, gốc O tại vị trí bắn, Ox nằm ngang, Oy thẳng hướng lên ( hình vẽ )

Vậy quỹ đạo của vật là một parabol, có bề lõm quay xuống ( hình vẽ )

c.Thời gian chuyển động

e.Tầm bay xa

Khi chạm đất viên đạn cách gốc O một đoạn L = xmax , khi đó y = 0

b Tính khoảng cách từ nơi đá chạm đất đến vị trí ban đầu của tấm bê tông (coi nh- một điểm) lấy g = 10m/s2

v là vận tốc của viên đá đối với ng-ời thì vận tốc viên đá

đối với đất: 0 1

Chiếu lên: 0x: v x v0 cos 5,40.864,7(m/s)

0y: 4,7( / )

2

4,52sin0

10

2

gt t v

Bài 2: Ng-ời ta đặt một súng cối d-ới một căn hầm có độ sâu h Hỏi phải đặt súng cách

vách hầm một khoảng l bao nhiêu so với ph-ơng ngang để tầm xa S của đạn trên mặt đất là lớn nhất? Tính tầm xa này biết vận tốc đầu của đạn khi rời súng là v 0

Giải:

2 0

gt t v

sin cos v0

g t

sin

)2(cos

2 0

0

h

gt t v

l t v

h y

l x

1cos

(sin cos cos2 )

2



g v l

l )

2

14

1

0 4

0

0

v

gh v

h g g

0 2

0 0

0

2 0 2

0

2

12

12

12

12

1

v

gh v

gh v

gh v

v v g

v

gh v

gh

2 02

1()2

1

0 2

0 2

gh v

gh v

g

0 2 0

1

0 4

0

2 2 2

0

v

gh v

h g g

gh

1.2

0 2 0

Tại một thời điểm nào đó sau gốc thời gian thì ta có

phương trình chuyển động của điểm C :

0 1

2 2

2

2 2

d R y

d x

2 0

42

.4

2.2

'22

'21

d R

v d d

R

dd v

v d v

Cy Cx

2 2 0 2

0 2

2

.4

2

dv v

v v

4R d

R v



Bài 4 Thanh thẳng AB=2l có hai đầu chuyển động trên

hai bán trục vuông góc Ox, Oy (Hình vẽ ) Góc 𝐴𝐵𝑂̂

bằng α, đầu B vó vận tốc không đổi vo hướng sang trái

a.Tính độ lớn vận tốc v của trung điểm M của AB khi B

di chuyển tới điểm C với OC=a

b ∝ biến đổi với thời gian t thế nào thì v= const?

c.Nếu đặt tại M một vật có khối lượng bằng m Tính lực

mà M tác dụng lên thanh AB khi α =450

Suy ra: sin '

Bài 5 (BỔ SUNG) : Một động cơ nhỏ cố định trên bức tường

thẳng đứng ở độ cao H quay và quấn sợi dây với vận tốc không

đổi V0 Ở đầu kia của dây có một vật nhỏ có thể chuyển động

không ma sát trên mặt sàn nằm ngang Hỏi vật sẽ cách bức tường

bao nhiêu khi nó bị tách khỏi mặt sàn Áp dụng số với

H = 20cm; V0 = 5cm/s; g = 10m/s2

Xét ở thời điểm dây hợp với sàn một góc Gọi x là khoảng cách từ vật đến tường ở thời điểm

ấy Kí hiệu V là vận tốc của vật, do vận tốc kéo dây là không đổi nên ta có :



V

(1)

(2)

trong đó là vận tốc góc của vật trong chuyển động quay quanh vị trí đặt động cơ (vì ta có thể phân tích chuyển động của vật thành hai chuyển động thành phần: chuyển động dọc theo dây và chuyển động quay quanh điểm đặt động cơ)

Bài 6 Người ta làm một hình thoi từ bốn thanh mỏng giống nhau cùng

chiều dài bằng cách kẹp các đầu của chúng vào bản lề Bản lề A cố

định, bản lề C chuyển động theo phương ngang với gia tốc a Ban đầu

các đỉnh A và C nằm gần nhau, còn vận tốc điểm C bằng 0 Tìm gia tốc

bản lề B khi hai thanh AB và BC tạo thành một góc 2α? Giả sử chuyển

động của mọi bản lề đều trên mặt phẳng

Giải:





coscos V0 V V0

cos

sincos

dt

d V

dt

dV m ma

sinsin

gH

V H tg

H



s cm V

cm

H 20 , 0 5 / x3,76cm

Khi thanh AB làm với BC góc 2α Khi đó:

n

a L





 

Gia tốc theo phương ngang của B là a x =a/2

Gia tốc theo phương thẳng đứng của B là a y x cos sin

nx a

Vậy gia tốc của B là:

2 2

a Viết phương trình chuyển động của vật

b Tìm thời gian để vật bay đến điểm cao nhất và độ cao cực đại mà vật đạt được trong quá trình chuyển động

c Viết phương trình quỹ đạo và vẽ dạng quỹ đạo chuyển động của vật

Theo định luật II Newton,

Chọn trục toạ độ Oxyz sao cho nằm trong mặt phẳng Oxz Chiếu phương trình trên các trục tọa độ, ta có:

v 0

Đồ thị mô tả quỹ đạo chuyển động (như hình vẽ)

Bằng cách khảo sát hàm số, ta tìm được tại

Thời gian để vật đạt đến điểm cao nhất là

Bài 5 : Một sợi dây nhẹ, không giãn, xuyên qua một hạt cườm có khối lượng m, một đầu dây

buộc chặt vào điểm cố định A, đầu kia buộc vào một vòng nhỏ

không khối lượng, vòng này có thể trượt tự do trên một thanh

cứng nằm ngang (hình vẽ) Ở thời điểm ban đầu người ta giữ

hạt cườm ở một đầu dây, sao cho sợi dây thẳng và không có

sức căng rồi thả ra

1 Chứng minh rằng: quỹ đạo hạt cườm là một parabol, viết

phương trình parabol trong hệ tọa độ Oxy đã cho

z z

md(v g )

2 Cho sợi dây chịu được lực căng tối đa là To Tìm vận tốc của hạt cườm tại thời điểm sợi dây bị đứt Biện luận

Giải :

Cho dây dài l, khoảng cách từ điểm A đến thanh

cứng là h Bỏ qua mọi ma sát trong hệ :

Trước tiên ta xác định quỹ đạo chuyển động

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ Theo định lý Pitago:

AN2 = QN2 + QA2

(L – y)2 = x2 + (h – y)2

Như vậy quỹ đạo là parabol

Phương trình định luật II Newton viết theo phương pháp tuyến:

Giải các phương trình (1) – (3) được:

 Khi thì dây đứt ngay ở thời điểm vừa thả ra

 Khi : dây không bị đứt trong suốt quá trình chuyển động

Bài 6:

Một cái vòng A khối lượng m1 có thể chuyển

động tự do trên một thanh nhẵn nằm ngang cố định

Một quả cầu nhỏ khối lượng m2 = m1 = m được nối

với vòng A qua một sợi dây nhẹ không dãn chiều

b Vòng A không được giữ và có thể trượt không ma sát trên thanh Xác định tốc độ của m1,

m2 và lực căng dây khi   60o?

Hướng dẫn:

Khi dây treo hợp phương thẳng đứng góc  bất kì với900    0

mgL 2(L  y)

(1 sin )

g l

sin cos '' sin '

2

l

cos sin '' cos ( ')

  

Thay  '' vào (1) ta có 46

49

 Bài toán nâng cao sử dụng hệ tọa độ tự nhiên (mục hoành độ cong và bán kinh cong)

Bài 7: Một điểm có phương trình chuyển động: x=acos t và y=bsint (với a, b,  là những hằng số và a>b)

1/ Quĩ đạo của vật có dạng đường gì?

2/ Tìm gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến tại thời điểm t?

3/ Tìm bán kính cong của quĩ đạo ở thời điểm t và ở các điểm (a; 0) và (0; b)?

Lời giải

1/ Có: x22 y22

a b =1 Vậy quĩ đạo là đường elip có a là bán trục lớn và b là bán trục nhỏ, tâm trùng gốc O