Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 9 lần chữ số hàng đơn vị.. Biết tổng của hai số đó là một số có chữ số tận cùng là 3 và hiệu của chúng là một số có chữ số tận cùng là 7.. Tìm s
Trang 11 Phơng pháp xét chữ số tận cùng
Ví dụ 1 Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 9 lần chữ
số hàng đơn vị.
Giải : Gọi số phải tìm là ab (a ≠ 0 ; a, b < 10) Theo bài ra ta có : ab = b x
9
Cách 1 Vì a ≠ 0 nên b ≠ 0 Vì b x 9 có tận cùng là b (khác 0) nên b = 5.
Do đó : ab = 5 x 9 = 45.
Cách 2 Vì ab = b x 9.
nên ab = b x (10 – 1) (một số nhân với một hiệu) Suy ra : ab + b = 0 b (tìm
số bị trừ)
Vì b + b có tận cùng là 0 mà b ≠ 0 nên b = 5
Do đó : ab = 0 b - b = 50 – 5 = 45.
Cách 3 Vì ab = b x 9 nên ab = b x (8 + 1).
Hay : ab = b x 8 + b (một số nhân với một tổng) Suy ra : ab - b = b x 8
(tìm một số hạng của tổng) 0a = b x 8 Vì 0 a là số tròn chục nên b x 8
cũng phải là số tròn chục mà b ≠ 0 nên b = 5
Do đó : 0a = 5 x 8 = 40 Số phải tìm là 45.
Ví dụ 2 Cho số có ba chữ số Nếu xoá chữ số hàng trăm thì
số đã cho bị giảm đi 7 lần Tìm số đã cho.
Giải : Gọi số phải tìm là abc (a ≠ 0 ; a, b, c < 10) Khi xoá chữ số hàng trăm thì còn lại hai chữ số là bc Theo đầu bài ta có : abc = bc x 7 Vì a ≠ 0 nên
bc ≠ 0, do đó b ≠ 0 Vì c x 7 có tận cùng là c nên c = 0 hoặc c = 5.
a) Xét trờng hợp c = 0 Khi đó ta có :
0
ab = 0 b x 7 Suy ra : ab = b x 7 (cùng chia cho 10) Vì b ≠ 0 mà 7 x b có tận cùng là b nên b = 5 Do đó : ab = 5 x 7 = 35 Số phải tìm là : 350.
b) Xét trờng hợp c = 5 Khi đó ta có :
5
ab = 5 b x 7 Vì 5 x 7 = 35 nên b x 7 + 3 = ab
+) Nếu b là số chẵn thì ab là số chẵn, nhng b x 7 là số chẵn nên b x 7 +
3 là số lẻ, có nghĩa là số ab là số lẻ Số ab không thể vừa là số chẵn vừa là
số lẻ đợc
+) Nếu b là số lẻ thì ab là số lẻ, nhng b x 7 là số lẻ nên b x 7 + 3 là số chẵn,
có nghĩa là ab là số chẵn Số ab không thể vừa là số chẵn vừa là số lẻ đợc.
Nh vậy với c = 5 thì không tìm đợc ab
Ví dụ 3 Tìm abc , biết abc = ac x 9.
Giải : Theo bài ra ta có :
a x 100 + b x 10 + c = (a x 10 + c ) x 9 (cấu tạo số)
a x 100 + b x 10 + c = a x 90 + c x 9
a x (90 + 10) + b x 10 + c = a x 90 + c x (1 + 8)
a x 90 + a x 10 + b x 10 + c = a x 90 + c + c x 8
(một số nhân với một tổng)
a x 10 + b x 10 = c x 8 (cùng trừ đi a x 90 và c)
(a + b) x 10 = c x 8 (một tổng nhân một số)
Vì a ≠ 0 nên (a + b) x 10 là số tròn chục, nên c x 8 cũng phải là số tròn chục
Do đó c = 5
Khi đó : a + b = 40 : 10 = 4
Trang 2Ta xét các trờng hợp sau :
- Nếu a = 1 thì b = 3 Ta có abc = 135.
Thử : 15 x 9 = 135 Đúng với đầu bài
- Nếu a = 3 thì b = 1 Ta có : abc = 315.
Thử : 35 x 9 = 315 Đúng với đầu bài
- Nếu a = 4 thì b = 0 Ta có : abc = 405.
Thử : 45 x 9 = 405 Đúng với đầu bài
- Nếu a = b = 2 thì abc = 225.
Thử : 25 x 9 = 225 Đúng với đầu bài
Vậy các số phải tìm là 135, 315, 405 và 225
Ví dụ 4 Tìm số abcd biết rằng :
abcd + bcd + cd + d = 4574
Giải : Viết lại nh sau:
1000 x a + 200 x b + 30 x c + 4 x d = 4574 (1)
Xét hàng đơn vị thấy tích 4 x d có tận cùng là 4, suy ra d = 1 hoặc 6
- Nếu d = 1, thay vào (1) ta có:
100 x a + 20 x b + 3 x c = 457 (2)
Xét hàng đơn vị ta thấy 3 x c có tận cùng là 7, suy ra c = 9 Thay vào (2) ta
đợc :
10 x a + 2 x b = 43 (3) Vế trái của (3) là một số chẵn còn vế phải của (3)
là một số lẻ nên không tìm đợc a và b
- Nếu d = 6, thay vào (1) ta đợc :
100 x a + 20 x b + 3 x c = 455 (4)
Tích 3 x c có tận cùng là 5 nên c = 5, thay vào (4) ta đợc : 10 x a + 2 x b =
44 (5)
Tích 2 x b có tận cùng là 4 nên b = 2 hoặc b = 7 Thay vào (5) ta tìm đợc
abcd là 4256 và 3756.
Ví dụ 5 Xét hai số ab và ba (a > b) Biết tổng của hai số đó
là một số có chữ số tận cùng là 3 và hiệu của chúng là một số có chữ số tận cùng là 7 Tìm a và b.
Giải : Xét :
ab + ba = 3* (1)
ab - ba = 7* (2)
Từ (2) ta có : ab - ba = (a – b) x 9 = 7*
(a – b) là một số bé hơn 10 và khi nhân với 9 đợc số có tận cùng là 7, do đó
a – b = 3 (để 3 x 9 = 27)
- Từ (1) ta có b + a = 3 hoặc b + a = 13 (xét hàng đơn vị của phép cộng)
* Nếu b + a = 3 và a – b = 3 thì b = 0
Điều này vô lý vì b > 0
* Nếu b + a = 13 và a – b = 3 thì a = (13 + 3) : 2 = 8 ; b = 8 – 3 = 5
Thử lại : 85 + 58 = 143 ; 85 – 58 = 27 Đúng với đề bài Vậy a = 8, b = 5
2 Phơng pháp sử dụng tính chẵn - lẻ
Ví dụ 1 Thay mỗi dấu chấm hỏi (?) và chữ x bằng một chữ
số, trong đó các chữ số x biểu thị cùng một chữ số:
( ?? x ? + x ) x x = 1977.
Trang 3(Đề thi học sinh giỏi Quốc gia cấp Tiểu học 1976 - 1977)
Giải : Vì tích của hai số tự nhiên
(?? x ? + x) và x là một số lẻ (1977), nên x không thể là số chẵn Do đó x chỉ có thể là 1, 3, 5, 7, 9 Lại vì số 1977 không chia hết cho 5, 7 và 9 nên x
không thể là 5, 7, 9
- Nếu x = 1 thì theo bài toán ta có :
( ?? x ? + 1 ) x 1 = 1977
?? x ? + 1 = 1977
?? x ? = 1976
Nhng tích ?? x ? lớn nhất bằng 99 x 9 = 891 Do đó x không thể là 1.
- Nếu x = 3 thì theo bài toán ta có:
( ?? x ? + 3 ) x 3 = 1977
?? x ? + 3 = 1977 : 3 = 659
?? x ? = 659 - 3 = 656
?? = 656 : ? Vì thơng trong phép chia 656 : ? là một số có 2 chữ số, nên số chia phải
là số lớn hơn 6 Lại vì số 656 không chia hết cho 7 và cho 9, nên số chia chỉ
có thể là 8 Ta có 656 : 8 = 82 Vậy, ta có kết quả đúng nh sau: ( 82 x 8 +
3 ) x 3 = 1977
Ví dụ 2 Tìm số có 4 chữ số mà nếu ta đem số ấy nhân với 2
rồi cộng với 1003 thì kết quả nhận đợc là số có 4 chữ số viết bởi các chữ số nh số ban đầu nhng theo thứ tự ngợc lại.
Giải : Gọi số cần tìm là abcd (a ≠ 0, d ≠ 0 ; a, b, c, d < 10) Theo bài ra ta có
:
abcd x 2 + 1003 = dcba (1)
Từ (1), ta nhận thấy rằng abcd x 2 là số chẵn nên abcd x 2 + 1003 là số lẻ nên dcba là số lẻ Suy ra a là số lẻ, a < 5 vì nếu a ≥ 5 thì abcd x 2 là số có 5
chữ số (vô lý) Vậy a = 1 hoặc a = 3
* Nếu a = 1 suy ra d ≥ 3 Vì khi đó ít nhất ta có vế trái của (1) là số lớn hơn
3000 Nh vậy d x 2 + 3 = 11 hoặc d x 2 + 3 = 21
+ d x 2 + 3 = 21 suy ra d = 9 Vế phải của (1) lớn hơn hoặc bằng 9000 mà
vế trái nhỏ hơn 6000 (vô lý)
+ d x 2 + 3 = 11 suy ra d = 4 Thay vào (1) ta có : 1bc x 2 + 1003 = 4 4cb 1 Tách theo cấu tạo số ta có :
2008 + 2 x bc0 + 1003 = 4001 + 0cb
2 x bc0 = 990 + 0cb
2 x bc = 99 + cb (2)
19 x b – 8 x c = 99 Suy ra : 19 x b ≥ 99 (3)
Từ (2) suy ra b là số lẻ Từ (3) suy ra b > 5
Vậy b = 7 hoặc b = 9
+ Khi b = 7 không tìm đợc c
+ Khi b = 9 ta tìm đợc c = 9
Vậy số cần tìm là : abcd = 1994.
* Nếu a = 3 thì ta có: bcd3 x 2 + 1003 ≥ 7000 Suy ra vế phải : dcba ≥ 7000
hay d ≥ 7 (*) Nhng ta cũng thấy khi đó d x 2 + 3 = 13 (vì d < 10 nên không có d x 2 + 3 = 23) từ đó ta có d = 5 (**) Từ (*) và (**) ta thấy không thể có d thoả mãn bài toán
Trang 4Ví dụ 3 Có một số gồm hai chữ số mà hai lần chữ số hàng chục thì bằng 5 lần chữ số hàng đơn vị Tìm số đó.
Giải : Gọi số phải tìm là ab (a ≠ 0 ; a, b < 10).
Theo bài ra ta có : a x 2 = b x 5
- Vì a x 2 là số chẵn nên b x 5 cũng phải là số chẵn ; mà 5 là số lẻ nên b phải là số chẵn
- Vì giá trị lớn nhất của a là 9 nên a x 2 có giá trị lớn nhất là 9 x 2 = 18 ; do
đó giá trị lớn nhất của b x 5 cũng chỉ là 18 Vì thế giá trị lớn nhất của b cũng chỉ là 3 (vì nếu b = 4 thì 4 x 5 = 20 > 18), mà b là số chẵn nên b =
2 và a x 2 = 2 x 5
Suy ra : a = 5 Số cần tìm là 52
Ví dụ 4 Tìm ab biết :
aaaa x 3 + b = baaaa Giải : Theo bài ra ta có :
aaaa x 2 + aaaa + b = baaaa (một số nhân một tổng) aaaa x 2 + b = baaaa
- aaaa (tìm một số hạng của tổng).
aaaa x 2 + b = 0000 b (1)
- Vì a lấy giá trị lớn nhất là 9 thì aaaa x 2 = 9999 x 2 = 19998, số 19998 +
b đạt giá trị lớn nhất cũng không bằng 30 000 Do đó b < 3
- Vì aaaa x 2 là số chẵn ; 0000 b cũng là số chẵn nên suy ra b phải là số chẵn.
Thay b = 2 vào (1) ta có : aaaa x 2 + 2 = 20000.
aaaa x 2 = 20000 – 2 = 19998.
aaaa = 19998 : 2 = 9999 Do đó a = 9.
Thử : 9999 x 3 + 2 = 29999 (đúng với đầu bài)
Vậy số cần tìm là : ab = 92.
Ví dụ 5 Tìm số có ba chữ số, biết rằng số đó cộng với tổng
các chữ số của nó thì bằng 555.
Giải : Gọi số cần tìm là abc (a ≠ 0 ; a, b, c < 10).
Theo bài ra ta có : abc + a + b + c = 555.
Suy ra : a0 + bb + c x 2 = 555 a
- Vì 555 là số lẻ, c x 2 là số chẵn nên a + b phải là số lẻ
- Vì c + a + b + c < 9 x 4 = 36 nên nếu phép cộng có nhớ sang hàng chục thì nhớ nhiều nhất là 3 ; do đó phép cộng này không nhớ sang hàng trăm
Vậy a = 5 Khi đó để a + b là số lẻ thì b = 4 hoặc b = 2 hay ab = 54 hoặc ab = 52.
Nếu ab = 54 thì 505 + 44 + c x 2 = 555.
549 + c x 2 = 555 ; c = (555 – 549) : 2 = 3
Vậy số cần tìm là : abc = 543.
Nếu ab = 52 thì 505 + 22 + c x 2 = 555.
527 + c x 2 = 555 ; c = (555 – 527) : 2 = 14
Loại vì c > 10 là trái với điều kiện bài toán
3 Phơng pháp thử - chọn
Trang 5Ví dụ 1 Tìm tất cả các số có ba chữ số khác nhau abc sao cho :
a + b + c = a x b x c
Giải : Giả sử a < b < c Suy ra : a + b + c < c + c + c Hay : a x b x c < c
x 3
nên : a x b < 3 (cùng giảm đi c lần)
Vì vậy a x b = 1 hoặc a x b = 2
Nếu a x b = 1 thì a = b = 1 (loại vì a, b, c khác nhau)
Nếu a x b = 2 thì a = 1, b = 2
Khi đó ta có : 1 + 2 + c = 1 x 2 x c, suy ra c = 3
Vậy a = 1, b = 2, c = 3 Nhng a, b, c bình đẳng với nhau nên các số phải tìm là :
123, 132, 213, 231, 312, 321
Ví dụ 2 Tìm tất cả các số có ba chữ số khác nhau abc sao
cho:
a
1
+
b
1
+
c
1
= 1 Giải : Giả sử a < b < c, suy ra
c
1 <
b
1 <
a
1
Do đó ta có :
a
1
+
b
1
+
c
1 <
a
1 +
a
1 +
a
1 Hay : 1 <
a
1
x 3 nên suy ra a < 3 Mà a lớn hơn 1, vậy a = 2 Với a = 2 thì
2 1
+
b
1
+
c
1
= 1 Suy ra :
b
1
+
c
1 = 2
1 Suy ra b và c phải lớn hơn 2
Hơn nữa :
2
1 =
b
1
+
c
1 <
b
1 +
b
1 =
b
1
x 2 Suy ra b < 4 Vậy b = 3 Khi đó ta
có :
3
1
+
c
1
=
2
1 Suy ra : c = 6 Nhng a, b, c bình đẳng với nhau nên các số phải tìm là : 236, 263, 326, 362, 632, 623
Ví dụ 3 Tìm hai phân số đều có tử số là 1 sao cho tích của
hai mẫu số gấp hai lần tổng của hai mẫu số đó.
Giải : Gọi hai mẫu số phải tìm là a, b Theo bài ra ta có : (a + b) x 2 = a x
b (1)
Giả sử a ≤ b thì a + b ≤ b + b (cùng cộng b)
a + b ≤ b x 2
Do đó : (a + b) x 2 ≤ b x 2 x 2 (cùng nhân 2)
(a + b) x 2 ≤ b x 4 (2)
Từ (1) và (2) ta có : a x b ≤ b x 4
Vì b ≠ 0 nên a ≤ 4 (cùng chia cho b)
Thay mỗi giá trị của a ≤ 4 vào (1)
- Nếu a = 1 thì (1 + b) x 2 = 1 x b
Suy ra 2 + b x 2 = b (loại vì 2 + 2 x b > b)
- Nếu a = 2 thì (2 + b) x 2 = 2 x b
Suy ra 2 + b = b (loại vì 2 + b > b)
- Nếu a = 3 thì (3 + b) x 2 = 3 x b
Suy ra 6 + 2 x b = 3 x b Vậy b = 6
Thử : (3 + 6) x 2 = 3 x 6 (đúng với đầu bài)
Trang 6- Nếu a = 4 thì (4 + b) x 2 = 4 x b.
Suy ra : 4 + b = 2 x b Vậy b = 4
Thử : (4 + 4) x 2 = 4 x 4 (đúng với đầu bài)
Vậy các cặp phân số phải tìm là :
3
1
và 6
1 ; 4
1
và 4
1
Ví dụ 4 Tìm hai phân số đều có tử số là 1 sao cho tổng
của hai phân số đó cộng với tích của chúng thì bằng
2
1
Giải : Gọi hai phân số phải tìm là
a
1
và
b
1 (giả sử a ≤ b) Theo bài ra ta
có :
a
1 +
b
1 +
a
1
x
b
1 = 2
1 (*) Hay :
a
1
+
b
1 +
axb
1 = 2
1 Ta có :
a
1 <
2
1 nên a > 2 Giả sử a = b = 5 thì ta có :
5
1 + 5
1 + 5
1
x 5
1 = 25
11 Vì
25
11
<
22
11
= 2
1 nên
25
11 <
2
1 Nếu lấy những giá trị a ≥ 5 (mà a ≤ b) thì giá trị của tổng
a
1 +
b
1 +
axb
1
bị giảm dần và đều bé hơn
2
1
Do đó 2 < a < 5 Thay mỗi giá trị của a vào (*) ta có :
- Nếu a = 3 thì
3
1 +
b
1 + 3
1
x
b
1 = 2
1
Ta đợc b = 8
- Nếu a = 4 thì
4
1 +
b
1 + 4
1
x
b
1 = 2
1
Ta tìm đợc b = 5 Vậy các cặp phân số phải tìm là:
4
1
và 5
1 ; 3
1
và 8
1
Ví dụ 5 Cho ba chữ số khác nhau và khác 0 Từ ba chữ số
này lập tất cả các số gồm ba chữ số, trong mỗi số đó phải có đủ ba chữ số khác nhau đã cho Biết rằng tổng các số vừa lập đợc thì bằng 2664, hiệu của số lớn nhất và số bé nhất thì bằng 198 Tìm
ba chữ số đó.
Giải : Gọi ba chữ số phải tìm là a, b, c khác nhau và khác 0 Theo bài ra,
lập đợc sáu số là :
abc , acb , bca , bac , cab , cba
Tổng của sáu số này là :
abc + acb + bca + bac + cab + cba = 2664.
Ta thấy rằng mỗi chữ a, b, c đều xuất hiện hai lần ở hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị của sáu số trên, nên ta có thể viết nh sau :
aaa + aaa + bbb + bbb + ccc + ccc = 2664.
( aaa + bbb + ccc ) x 2 = 2664.
Trang 7Hay : aaa + bbb + ccc = 2664 : 2 = 1332.
Vì a, b, c đều khác 0 và ở hàng trăm có a + b + c ≤ 13 nên ở hàng đơn
vị ta có a + b + c = 12
Giả sử a > b > c thì theo đầu bài ta có :
abc - cba = 198.
Vì c < a nên đây là phép trừ có nhớ sang hàng chục và hàng trăm Do đó
ở hàng trăm ta có :
(a – 1) – c = 1, suy ra a – c = 2
Vì a + b + c = 12 và a = c + 2 nên có thể viết :
c + 2 + b + c = 12 hay c x 2 = 10 – b Vì c x 2 và 10 là số chẵn nên b là số chẵn khác 0
- Với b = 2 thì c = (10 – 2) : 2 = 4 (loại vì b < c)
- Với b = 4 thì c = (10 – 4) : 2 = 3
Khi đó a = 12 – 4 – 3 = 5
Thử : 543 + 534 + 435 + 453 + 354 + 345 = 2664 (đúng với yêu cầu bài toán)
- Với b = 6 thì c = (10 – 6) : 2 = 2
Khi đó a = 12 – 6 – 2 = 4 (loại vì a < b)
- Với b = 8 thì c = (10 – 8) : 2 = 1
Khi đó a = 12 – 8 – 1 = 3 (loại vì a < b)
Vậy các chữ số phải tìm là 5, 4, 3
4 Phơng pháp sử dụng tính chất chia hết
Ví dụ 1 Tìm số abc biết rằng :
7
ac
=
3 2
Giải : Ta có : 7 b < 100 và 7 b chia hết cho 3
Do đó b = 2 ; 5 ; 8
- Với b = 2 thì 27 : 3 = 9 Suy ra ac = 2 x 9 = 18.
Vậy abc = 128.
- Với b = 5 thì 57 : 3 = 19 Suy ra ac = 2 x 19 = 38 Vậy abc = 358.
- Với b = 8 thì 87 : 3 = 29 Suy ra ac = 2 x 29 = 58 Vậy abc = 588 Vậy có
ba số thoả mãn điều kiện bài toán là abc = 128 ; 358 ; 588.
Ví dụ 2 Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 3 lần tích
các chữ số của nó.
Giải : Gọi số phải tìm là ab (a ≠ 0 ; a, b < 10).
Theo bài ra ta có : ab = a x b x 3 Nhận xét : vì a ≠ 0 nên b ≠ 0 ab chia hết
cho a, b và 3
Vì ab chia hết cho a nên b chia hết cho a, do đó a < 5 để b là số có một
chữ số
Xét các trờng hợp a = 1, a = 2, a = 3, a = 4
*) Với a = 1 thì b1 = 1 x b x 3 = b x 3 Vì b x 3 có ttận cùng là b (b ≠ 0) nên
b = 5
Thử : 1 x 5 x 3 = 15 (đúng với yêu cầu của bài)
Trang 8*) Với a = 2 thì b2 = 2 x b x 3 = b x 6 Vì b x 6 có tận cùng là b nên b = 2 ;
4 ; 6 ; 8 Nhng b x 6 = b2 nên b = 4 để 4 x 6 = 24
Thử : 2 x 4 x 3 = 24 (đúng với yêu cầu của bài)
*) Với a = 3 thì b3 = 3 x b x 3 = b x 9 Vì b x 9 có tận cùng là b nên b = 5 Thử : 3 x 5 x 3 = 45 > 35 (loại)
*) Với a = 4 thì b 4 = 4 x b x 3 = b x 12 Nếu b 4 = b x 12 thì b4 chia hết cho 12 Do đó b = 8, hay số phải tìm là 48 Khi đó ta có : b x 12 = 8 x 12
= 96 Vì 96 ≠ 48 nên loại trờng hợp này
Vậy các số phải tìm là 15 và 24
Ví dụ 3 Thay a, b trong số 2007ab bởi chữ số thích hợp để số này đồng thời chia hết cho 2; 5 và 9.
Giải: Số 2007ab đồng thời chia hết cho 2 và 5 nên b = 0 Thay b = 0 vào số
ab
2007 ta đợc 2007a Số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó0 chia hết cho 9 Vậy (2 + 0 + 0 + 7 + a + 0) chia hết cho 9 hay 9 + a chia hết cho 9, suy ra a = 0 hoặc a = 9
Vậy ta tìm đợc 2 số thoả mãn bài toán là 200700; 200790
Ví dụ 4 Một số nhân với 9 thì đợc kết quả là 18064807? Hãy tìm số đó.
Giải: Một số nhân với 9 thì đợc kết quả là 18064807? nên số 18064807? chia hết cho 9 Vì số 18064807? chia hết cho 9 nên (1 + 8 + 0 + 6 + 4 + 8 + 0 +
7 + ?) chia hết cho 9, hay 34 + ? chia hết cho 9, suy ra ? = 2 Thay ? = 2 vào số 18064807? ta đợc 180 648 072 Số cần tìm là:
180 648 072 : 9 = 20072008
Ví dụ 5 Điền các chữ số thích hợp (các chữ cái khác nhau đợc thay bởi các chữ số khác nhau)
HALONG + HALONG + HALONG = TTT2006
Giải: Ta có vế trái: HALONG + HALONG + HALONG = 3 x HALONG Nh vậy
vế trái là một số chia hết cho 3 Vế phải TTT2006 có: (T + T + T + 2 + 0 + 0 + 6) = 3 x T + 6 + 2 = 3 x (T + 2) + 2 không chia hết cho 3, suy ra TTT2006 không chia hết cho 3 Điều này chứng tỏ không thể tìm đợc các chữ số thoả mãn bài toán
5 Phơng pháp sử dụng chặn trên, chặn dới
Ví dụ 1 Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu số đó chia cho chữ số hàng đơn vị của nó thì đợc thơng là 6 và d 5.
Giải: Gọi số phải tìm là ab (a ≠ 0 ; a, b < 10) Theo bài ra ta có : ab = b x 6
+ 5 Vì số d bé hơn số chia nên 5 < b Nếu lấy giá trị nhỏ nhất của b là 6
(trong trờng hợp này) thì giá trị nhỏ nhất của ab sẽ là 6 x 6 + 5 = 41 Do đó
a ≥ 4
Nếu lấy giá trị lớn nhất của b là 9 thì giá trị lớn nhất của ab sẽ là 9 x 6 + 5 =
59 Do đó a ≤ 5
Vì thế 4 ≤ a ≤ 5 nghĩa là giá trị nhỏ nhất của a là 4 và lớn nhất của a là 5
- Nếu a = 4 thì b4 = b x 6 + 5 Ta thấy b x 6 + 5 chỉ có giá trị từ 41 đến
49 nên b chỉ có thể lấy giá trị là 6 hoặc 7 Vì b x 6 là số chẵn nên b x 6 +
5 là số lẻ Do đó b là số lẻ Vậy ta chọn b = 7
Trang 9Thử : 47 : 7 = 6 (d 5) (đúng với yêu cầu bài ra).
- Nếu a = 5 thì b5 = b x 6 + 5 Ta thấy b x 6 + 5 chỉ có giá trị từ 51 đến
59 nên b chỉ có thể lấy giá trị là 8 hoặc 9
Vì b x 6 + 5 là số lẻ nên ta chọn b = 9
Thử : 59 : 9 = 6 (d 5) (đúng với yêu cầu bài ra)
Vậy số phải tìm là 47 và 59
Ví dụ 2 Tìm các số tự nhiên a và b sao cho :
a
4
+ 3
b
= 6 5
Giải: Vì
a
4
+ 3
b
= 6
5
mà 6
5 < 1 nên
3
b
< 1 (vì
a
4 ≠ 0) Do đó : b < 3 Vì
a
4
+
3
b
=
6
5 nên
a
4 = 6
5
- 3
b
Nếu b = 0 thì
a
4 = 6
5 Không có giá trị tự nhiên nào của a để có
a
4 = 6
5 Nếu b = 1 thì
a
4 = 6
5
- 3
1 Ta tìm đợc a = 8
Nếu b = 2 thì
a
4 = 6
5
- 3
2 Ta tìm đợc a = 24
Vậy ta tìm đợc a = 8, b = 1 và a = 24, b = 2
Ví dụ 3 Cho số có hai chữ số Nếu lấy số đó chia cho 6 thì
đợc thơng là tích của chữ số hàng chục nhân với chính nó Tìm số
đã cho.
Giải: Gọi số phải tìm là ab (a ≠ 0 ; a, b < 10) Theo bài ra ta có : ab = a
x a x 6
Nhận xét : a > 1 vì nếu a = 1 thì a x a x 6 = 1 x 1 x 6 = 6 chỉ là số có một chữ số Số lớn nhất có hai chữ số chia hết cho 6 là 96 Do đó a x a x 6
có giá trị lớn nhất là 96 Vì thế a x a có giá trị lớn nhất là 96 : 6 = 16 Vậy a
có giá trị lớn nhất là 4 (vì 4 x 4 = 16) hay a ≤ 4 Vậy 1 < a ≤ 4
- Nếu a = 2 thì a x a x 6 = 2 x 2 x 6 = 24 = ab Đúng với điều kiện bài toán
vì 24 : 6 = 4 ; 4 = 2 x 2
- Nếu a = 3 thì a x a x 6 = 3 x 3 x 6 = 54 Trái với điều kiện bài toán vì b3
≠ 54
- Nếu a = 4 thì a x a x 6 = 4 x 4 x 6 = 96 Trái với điều kiện bài toán vì b4
≠ 96
Vậy số phải tìm là 24
Ví dụ 4 Cho một số tự nhiên Nếu viết thêm một số có hai chữ số (khác 0) vào bên phải số đã cho thì đợc số mới lớn hơn số cũ
1994 đơn vị Hãy tìm số đã cho và số viết thêm đó.
Giải: Gọi số đã cho là N và số viết thêm là xy thì số mới sẽ là Nxy
Theo bài ra ta có : Nxy - N = 1994.
N x 100 + xy - N = 1994 N x 99 + xy = 1994
Trang 10*) Nếu xy đạt giá trị lớn nhất là 99 thì N sẽ đạt giá trị nhỏ nhất đợc xác
định nh sau : N x 99 + 99 = 1994 N x 99 = 1895 N = 1895 : 99 = 19,14 Vì N là số tự nhiên nên giá trị nhỏ nhất của N đợc ghi là N > 19
*) Nếu xy đạt giá trị nhỏ nhất là 10 thì N sẽ đạt giá trị lớn nhất đợc xác
định nh sau : N x 99 + 10 = 1994 N x 99 = 1984 N = 1984 : 99 = 20,24 Vì N là số tự nhiên nên giá trị lớn nhất của N đợc ghi là N ≤ 20 Vậy 19 < N ≤
20 Ta thử với N = 20
Nxy - N = 20xy - 20 = 1994 ; 20xy = 1994 + 20 = 2014
Vậy số phải tìm là 20 và số viết thêm là 14
Ví dụ 5 Toán học và Tuổi trẻ, Toán Tuổi thơ đều sinh vào tháng 10 Biết rằng năm 1994 thì tuổi của Toán học và Tuổi trẻ gấp rỡi tổng các chữ số của năm sinh Bạn có thể suy luận để biết Toán học và tuổi trẻ ra đời vào năm nào không ?
(Những Đề toán hay của Toán Tuổi thơ 1)
Giải: Gọi năm sinh của Toán học và Tuổi trẻ là abcd Tuổi của Toán học và
Tuổi trẻ năm 1994 là:
1994 - abcd =
2
3
x (a + b + c + d) (*) Vì a + b + c + d ≤ 9 + 9 + 9 + 9 = 36 nên :
2
3
x (a + b + c + d) ≤
2
3
x 36 = 54
Từ (*) ta thấy 1994 - abcd ≤ 54
nên 1940 ≤ abcd ≤ 1994 Suy ra ab = 19 và 40 ≤ cd ≤ 94 Thay ab = 19 vào
(*) đợc :
94 - cd = 23 x ( 1 + 9 + c + d)
hay : 2 x (94 - cd ) = 3 x (10 + c + d).
hay : 188 – 2 x (c x 10 + d) = 30 + c x 3 + d x 3
hay : c x 23 + d x 5 = 158
Vì d x 5 ≤ 45 nên suy ra 113 ≤ c x 23 ≤ 158
Do đó 5 ≤ c ≤ 6
- Nếu c = 5 thì d x 5 = 159 – 115 = 43, không tìm đợc số d nguyên
- Nếu c = 6 thì d x 5 = 158 – 138 = 20 nên d = 4
Thử lại : 1994 – 1964 =
2
3
x (1 + 9 + 6 + 4)
Vậy báo Toán học và Tuổi trẻ sinh năm 1964
6 Phơng pháp sử dụng
kỹ thuật thực hiện phép tính
Ví dụ 1 Tìm số có bốn chữ số, biết rằng nếu số đó nhân với 9 thì đợc một số có bốn chữ số nhng đợc viết theo thứ tự ngợc lại với
số phải tìm.
Giải: Gọi số phải tìm là abcd (a ≠ 0 ; a, b, c, d < 10), số viết theo thứ tự
ng-ợc lại là dcba Theo bài ra ta có :