1 TÍNH đơn điệu của hàm số

Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trên tập D để giải quyết bài toán tìm giá trị của tham số để hàm số đơn điệu.. + Nếu ta không thể tách được thì phải sử dụng dấu của tam thức bậc 2.. Sử dụn

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A – LÝ THUYẾT CHUNG

Cho hàm số y= f x m( , ), m là tham số, có taaph xác định D

 Hàm số f đồng biến trên D⇔ f′≥ ∀ ∈ 0, x D

 Hàm số f nghịch biến trên D⇔ f′≤ ∀ ∈ 0, x D

Từ đó suy ra điều kiện của m

1 Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trên tập D để giải quyết bài toán tìm giá trị của tham số để hàm số đơn điệu

- Bước 2: Tính y′ Để hàm số đồng biến y′ ≥ ∀ ∈ , (để hàm số nghịch biến 0, x D y′ ≤ ∀ ∈ ) thì ta 0, x D

sử dụng lý thuyết nhắc lại phần trên

- Bước 3: Kết luận giá trị của tham số

Chú ý:

+ Phương pháp trên chỉ sử dụng được khi ta có thể tách được thành f x và g m( ) ( ) riêng biệt

+ Nếu ta không thể tách được thì phải sử dụng dấu của tam thức bậc 2

2 Sử dụng phương pháp tham thức bậc hai để tìm điều kiện của tham số:

1

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai ( ) 2

g x =ax +bx c+

 Nếu ∆ <0 thì g x( ) luôn cùng dấu với a.

 Nếu ∆ =0 thì g x( ) luôn cùng dấu với a,trừ

2

b x a

= −

 Nếu ∆ >0 thì g x( ) có hai nghiệm x x1, 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g x( ) khác dấu với a,

ngoài khoảng hai nghiệm thì g x( ) cùng dấu với a

4) So sánh các nghiệm x x1, 2 của tam thức bậc hai ( ) 2

 Sử dụng định kí Vi-et đưa (2) thành phương trình theo m

 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm

Câu 4: Cho hàm số sin2 , [0; ]

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=ln 16( x2+ −1) (m+1)x+ + nghịch m 2

biến trên khoảng (−∞ ∞; )

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y=x4−2(m−1)x2+ −m 2 đồng

biến trên khoảng (1;3) ?

−∞ − 

142;

Câu 16: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=2x3+3(m−1)x2+6(m−2)x+2017

nghịch biến trên khoảng ( )a b; sao cho b a− >3 là

A m>6 B m=9 C m<0 D 0

6

m m

m m

x m

−

=

− đồng biến trên khoảng 0;

C 1≤ <m 2 D m≥2

Câu 19: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số cot 1

cot 1

x y

Câu 21: Cho hàm số f ( )x xác định trên ℝ và có đồ thị hàm số y= f'( )x là đường cong trong

hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số f x( )nghịch biến trên khoảng(−1;1 )

B Hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng (1; 2 )

C Hàm số f x( )đồng biến trên khoảng (−2;1 )

D Hàm số f x( )nghịch biến trên khoảng (0; 2 )

Câu 22: Hình bên là đồ thị của hàm số y= f '( )x Hỏi đồ thị hàm số

x y

1

4

-1 O

-2Khi đó nhận xét nào sau đây sai?

5

A Trên (−2;1) thì hàm số f x( ) luôn tăng

B Hàm f x( ) giảm trên đoạn có độ dài bằng 2

C Hàm f x( ) đồng biến trên khoảng (1;+∞)

D Hàmf x( ) nghịch biến trên khoảng (−∞ −; 2)

Câu 24: Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình bên Hàm số đồng

biến trên khoảng:

Câu 25: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên R Đường cong

trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y= f'( )x ( y= f'( )x liên tục

trên R ) Xét hàm số g x( )= f x( 2−2) Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số g x( ) nghich ̣ biến trên (−∞ −; 2)

Xét hàm số g x( )= f (2−x2) Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số f x( ) đạt cực đại tại x=2

B Hàm số f x( ) nghịch biến trên (−∞;2)

C Hàm số g x( ) đồng biến trên (2;+∞)

D Hàm số g x( ) đồng biến trên (−1;0)

Câu 27: Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Hàm số y= f x( 2−2) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A (−2;0) B (2;+∞) C ( )0;2 D (−∞ −; 2)

m y

x m

−

′ =+

ℝ với ϕ ( )x =sinx−cos x

Hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔ y' 0,≤ ∀ ∈ ⇔x ℝ (2m+1) sinx≤ −3 m,∀ ∈x ℝ

ππ

9

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=ln 16( x2+ −1) (m+1)x+ + nghịch m 2

biến trên khoảng (−∞ ∞; )

m

m m

Ta có:

2 2 2

512 32( )

Dựa vào bảng biến thiên ta có max ( ) 4g x =

21

42

11

11;

m m

2

2 2

m vl m

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y=x4−2(m−1)x2+ −m 2 đồng

biến trên khoảng (1;3) ?

Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m≤min ( )g x ⇔m≤ 2

Câu 11: Tìm tham số m để hàm số y=x3+3mx2+3(m+1)x+2 nghịch biến trên một đoạn có độ

y′ = ⇔x + mx m+ + = ( )1 Điều kiện cần và đủ để hàm số nghịch biến trên một đoạn

có độ dài lớn hơn 4 ⇔ y′≤ trên đoạn có độ dài lớn hơn 4 0 ⇔ ( )1 có hai nghiệm

−∞ − 

142;

15

Dễ dàng có được ( )g x là hàm tăng ∀ ∈ +∞x [1; ), suy ra

1

14min ( ) (1)

Hàm số đồng biến trên (1;+∞ khi và chỉ khi ( ) 0,) g x ≥ ∀ > và x 1 m ≤1 (1)

Vì ∆ =g′ 2(m+1)2≥ ∀0, m nên (1)⇔g x( ) 0= có hai nghiệm thỏa x1≤x2≤1

Điều kiện tương đương là

2

2 (1) 2( 6 1) 0

3 2 2 0, 21

2

m S

Do đó không có giá trị nguyên dương của mthỏa yêu cầu bài toán

Câu 15: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y= − +x4 (2m−3)x2+m nghịch biến

Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: min ( ) 5

2

m≤ g x ⇔m≤ Vậy p+ = + = q 5 2 7

Câu 16: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=2x3+3(m−1)x2+6(m−2)x+2017

nghịch biến trên khoảng ( )a b; sao cho b a− >3 là

6

m m

TH2: ∆ > ⇔0 m≠ ⇒3 y′ có hai nghiệm x x x1, 2( 2>x1)

⇒Hàm số luôn nghịch biến trên (x x1; 2)

Yêu cầu đề bài:

m m

20;

22

m m

x m

−

=

− đồng biến trên khoảng 0;

( ) ( )

2 2

Hàm số đồng biến trong khoảng (2;+∞) thì ta xét 2 trường hợp sau:

TH1: Hàm số luôn đồng biến trên R:

' 0 m 3 2m 7m 7 0 m 3m 3 0, VL

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số luôn đồng biến trên R,

TH2: Hàm số đồng biến trong khoảng (2;+∞)

2

1 2

23

Câu 21: Cho hàm số f ( )x xác định trên ℝ và có đồ thị hàm số y= f'( )x là đường cong trong

hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số f x( )nghịch biến trên khoảng(−1;1 )

B Hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng (1; 2 )

C Hàm số f x( )đồng biến trên khoảng (−2;1 )

D Hàm số f x( )nghịch biến trên khoảng (0; 2 )

Hướng dẫn giải:

Chọn D

• Từ đồ thị ta thấy:

+ Hàm số f x( ) nghịch biến trên các khoảng (−∞ −; 2) và ( )0;2

+ Hàm số f x( ) đồng biến trên các khoảng (−2;0) và (2;+∞)

Câu 22: Hình bên là đồ thị của hàm số y= f '( )x Hỏi đồ thị hàm số

'

f x và hàm số y= f '( )x có đồ thị như hình vẽ bên

x y

1

4

-1 O

-2Khi đó nhận xét nào sau đây sai?

A Trên (−2;1) thì hàm số f x( ) luôn tăng

B Hàm f x( ) giảm trên đoạn có độ dài bằng 2

C Hàm f x( ) đồng biến trên khoảng (1;+∞)

D Hàmf x( ) nghịch biến trên khoảng (−∞ −; 2)

Câu 24: Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình bên Hàm số đồng

biến trên khoảng:

21

Câu 25: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên R Đường cong

trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y= f'( )x ( y= f'( )x liên tục

trên R ) Xét hàm số g x( )= f x( 2−2) Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số g x( ) nghich ̣ biến trên (−∞ −; 2)

Xét hàm số g x( )= f (2−x2) Mệnh đề nào dưới đây sai?

Câu 27: Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Hàm số y= f x( 2−2) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A (−2;0) B (2;+∞) C ( )0;2 D (−∞ −; 2)