Đến thời điểm t2 vật có li độ và có vận tốc.. Biết rằng khi chất điểm có tốc độ là 2 cm / s thì gia tốc của nó có độ lớn là.. Một vật dao động điều hoà với vận tốc cực đại là vmax tần số
Trang 1CHỦ ĐỀ 2: HỆ THỨC ĐỘC LẬP VỚI THỜI GIAN
I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
■ Xét hai dao động cùng pha x và y, có phương trình:
x
B
+) Tại mọi thời điểm x và y luôn cùng dấu
+) Đồ thị x phụ thuộc vào y là một đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ có hệ số góc dương (C)
VD: +) Fhp ma : Fhpvà a là 2 dao động điều hòa cùng pha với nhau
+) p mv : p và v là 2 dao động điều hòa cùng pha với nhau
■ Xét hai dao động ngược pha x và y, có phương trình:
x
B
A
B
+) Tại mọi thời điểm x, y luôn trái dấu
+) Đồ thị x phụ thuộc vào y là một đoạn thẳng có hệ số góc âm (-C)
VD: +) a 2x : avà x là 2 dao động điều hòa ngược pha với nhau
+) Fhp kx : F , xhp là 2 dao động điều hòa ngược pha nhau
■ Xét hai dao động vuông pha x và y, có phương trình:
Trang 2
x
1
B
+) Đồ thị x phụ thuộc vào y là một Elip
VD: +) x, v vuông pha:
2
2
v
1
+) v,a vuông pha:
1
Chú ý: Sử dụng mối quan hệ độc lập thời gian của hai đại lượng dao động điều hòa vuông pha:
+) Nếu tức, một đại lượng đang ở vtcb thì đại lượng kia đang ở biên
2
A 2 B 2
Ví dụ minh họa: Tính tần số góc của một vật dao động điều hoà Biết
a) tại thời điểm , vật có li độ và vận tốc là , tại thời điểm vật có li độ là t1 x1 v1 t2 x x2 1x2 và vận tốc là v2
b) tại thời điểm vật có vận tốc là và gia tốc là at1 x1 1, tại thời điểm vật có vận tốc là t2 v2và gia tốc là
2
a
Lời giải:
a) Do x v suy ra 2 2
1
Theo đề bài ta có
1
1
Trang 3Đặc biệt khi
b) Do
2
2
A
A
Đặc biệt khi
II VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox với chu kì T = 2 s và biên độ A =10 cm Tốc
độ của vật khi vật cách vị trí cân bằng một khoảng 6 cm là:
Lời giải
2
2
T
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với tần số góc là 4 rad / s Biết rằng khi vật đi qua điểm có li độ -8 cm
thì nó có tốc độ là 8 cm / s Biên độ dao động của vật là:
Lời giải
2
4
Ví dụ 3: [Trích đề thi chuyên ĐH Vinh 2017], Một vật dao động điều hoà với biên độ 20 cm Khi li độ là
10 cm thì vận tốc của vật là 20 3 cm/s Chu kì dao động của vật là:
Lời giải
v
Ví dụ 4: : [Trích đề thi đại học năm 2009] Một chất điểm dao động điều hoà với phương trình
Gọi v và a lần lượt là vận tốc và gia tốc của vật Hệ thức đúng là:
x A cos t
2
A
2
A
2
A
2
a
A v
Lời giải
Trang 4Ta có:
2
Chọn C.
2
A
Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa, ở thời điểm vật có li độ t1 x1= 1 cm , và có vận tốc v1= 30 cm / s Đến thời điểm vật có li độ xt2 2 = 3 cm và có vận tốc v2= 10 cm / s Hãy xác định biên độ, tần số góc của vật
Lời giải
Do x v suy ra 2 2
1
Theo đề bài ta có:
2
2 2
Chọn A
Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa, ở thời điểm vật có li độ và có vận tốc Đến thời điểm tt1 x1 v1 2 vật
có li độ x x2 1 x2) và có vận tốc v2 Chu kì dao động của vật là
2 1
2 1
Lời giải
Do x v suy ra 2 2
1
Theo đề bài ta có:
1
1
Chọn B.
Ví dụ 7: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox , ở thời điểm , vật có li độ , và có vận tốc t1 x1
Trang 5Đến thời điểm t2 vật có li độ và có vận tốc Biên độ dao động của vật
1
2 2 2 2
2 1 1 2
2 2 2 2
1 2 2 1
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 2
2 2 1 1
Lời giải
Do x v suy ra 2 2
1
Ta có:
1
1
Chọn A
Ví dụ 8: Một chất điểm dao động điều hòa theo trục Ox, tại thời điểm vật có li độ là =3 cm và vận tốc t1 x1
là v1 6 3 cm/s, tại thời điểm t2 vật có li độ là x2 3 2cmvà vận tốc là v2 6 2cm / s Tốc độ lớn nhất của vật trong quá trình dao động là:
A vmax 12 cm / s B vmax 18 cm / s C vmax 24 cm / s. D vmax 9 cm / s
Lời giải
2
Ví dụ 9: Một vật dao động điều hoà khi vật có li độ x 4 3 cm thì vận tốc của vật làv 8 cm/s và gia tốc
là 16 2 3 cm/s 2 Chu kì và biên độ của dao động lần lượt là
Lời giải
x
Áp dụng hệ thức độc lập ta có: 2 2 2 2 2 Chọn C.
4
Ví dụ 10: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox Khi chất điểm có tốc độ là thì gia tốc của v1
nó là a1 Khi chất điểm có tốc độ là v v2 2 v1 thì gia tốc của nó là a2 Tần số góc của chất điểm là
2 1
2 1
2 1
Trang 6Lời giải
2
2
A
A
Ví dụ 11: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc
độ của nó là 20 cm / s Khi chất điểm có tốc độ 16 cm / s thì gia tốc của nó có độ lớn là 24 cm / s2 Biên độ dao động của chất điểm là
Lời giải
Ta có: v1 vmax 20a10 và v2 16;a2 24
2
2
2
A
Chọn D.
max 1
4
Ví dụ 12: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox Khi chất điểm ở vị trí biên thì gia tốc của nó
là 36 cm/s 2 Khi chất điểm cách vị trí cân bằng một khoảng 3 cm thì tốc độ của nó là 3 7cm / s Biên độ dao động của vật là
Lời giải
Khi vật ở vị trí biên ta có: 2
max
2
2
3 7
A
Ví dụ 13: Một chất điểm dao động điều hòa trên một quỹ đạo là đoạn thẳng dài 16 cm Tại một thời điểm nào đó vận tốc của vật lần lượt là 40cm/s và 4 3 m/s 2 Chu kì dao động của vật là:
10
5
20
10
Lời giải
Biên độ dao động của vật là: A 8 cm
2
Ta có:
2
Trang 7 2
2
1
2
400 3
100
Do đó: T 2 s Chọn B.
5
Ví dụ 14: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc
độ của nó là 4 cm / s Biết rằng khi chất điểm có tốc độ là 2 cm / s thì gia tốc của nó có độ lớn là
Biên độ dao động của chất điểm là
2
8 3cm / s
Lời giải
Khi chất điểm ở vị trí cân bằng ta có: v v max A 4cm / s
2 max
8 3
2
2
Ví dụ 15: :[ Trích đề thi chuyên ĐH Vinh 2017] Một vật dao động điều hoà với vận tốc cực đại là vmax tần số góc thì khi đi qua vị trí có li độ sẽ có vận tốc thoã mãn: x1 v1
1 max
x
2
Lời giải
2
Ví dụ 16: Một vật dao động điều hoà với phương trình liên hệ v, x dạng x2 v2 4, trong đó x (cm), v
4 16
(cm/s) Biên độ và tần số góc dao động của vật là
Lời giải
2 2
A 4cm
Ví dụ 17: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng biên độ và chu kỳ lần lượt là và T1 T2 2T1 Khi chúng
có cùng ly độ thì tỉ số độ lớn vận tốc là
2
2
v 2
2
2
v 2
Lời giải
Trang 8Ta có: v A2 x2 Do đó 1 1 2 2 2 Chọn B.
2
Ví dụ 18: [Trích đề thi Chuyên ĐH Vinh 2017] Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox, với gia
tốc cực đại là 320 cm / s2 Khi chất điểm đi qua vị trí gia tốc có độ lớn 160 cm / s2 thì tốc độ của nó là
Biên độ dao động của chất điểm là:
40 3cm/s
Lời giải
max
2 max max
v
a
Ví dụ 19: [Trích đề thi thử sở GD&ĐT Vĩnh Phúc 2017] Một chất điểm dao động điều hòa trên đoạn
thẳng dài 20 cm Ở vị trí mà li độ của chất điểm là 5 cm thì nó có tốc độ 5 3cm / s Dao động của chất điểm có chu kì là:
Lời giải
2
2
v
v
2
Do đó T 2 2s.Chọn B
Ví dụ 20: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20 cm Khi độ dời là 5 cm vật có tốc độ
Lấy Chu kì dao động của vật là
v 10 3 cm / s 2 10
A T = 0,5 (s) B T = 1 (s) C T = 1,5 (s) D T = 2 (s).
Lời giải
Vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20 cm
=> Biên độ dao động của vật là A = 10 cm
Khi vật có li độ x = 5cm và vận tốc v 10 3 cm / s
Chu kỳ dao động của vật là: T 2 1 s Chọn B
Ví dụ 21: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 5cm và chu kì T = 2(s) Lấy 2 10 Tại thời điểm vật có tốc độ v 2,5 cm / s thì độ lớn gia tốc của vật là
A a 25 cm / s 2 B a 25 2 cm / s 2 C a 25 3 cm / s 2 D a 50 cm / s 2
Trang 9Lời giải
Tần số gốc của vật 2 rad / s
T
Khi có vận tốc v 2,5 cm / s Áp dụng hệ thức độc lập ta có:
Chọn C.
2
Ví dụ 22: Một vật dao động điều hòa với tần số f = 2Hz Khi pha dao động tại thời điểm t bằng thì gia
3
A 20 cm / s B 20 3 cm / s C 20 5 cm / s D 20 10 cm / s
Lời giải
Tần số góc của vật là: 2 f 4 rad / s
Pha dao động tại thời điểm t bằng x A cos A
Gia tốc tại thời điếm này là
2
2
Tốc độ của vật khi qua li độ x 2,5 2 cm là v A2x2 20 5 cm / s Chọn C.
Ví dụ 23: Một vật dao động điều hòa có phương trình x A cos t cm Tại thời điểm vật có li độ t1
x = 5cm, vận tốcv 10 3 cm / s Tại thời điểm t2 vật có li độ x 5 2 cm và vận tốc
Biên độ dao động của vật là?
v 10 2 cm / s
Lời giải
Áp dụng hệ thức độc lập thời gian:
Chọn B
2
2
A 10cm 2
Ví dụ 24: Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, có phương trình dao động lần lượt là
; Tại thời điểm chất diểm thứ nhất có li độ 5 cm thì
2
chất điểm thứ hai có li độ 3 3cm Tại thời điểm chất điểm thứ nhất có t2 li độ -2cm thì chất điểm thứ hai
có li độ là
tốc của chất điểm là a 8m / s2 Lấy 2 10 Tốc độ của vật khi đi qua li độ x 2,5 2cm
Trang 10A 1, 2 3cm B 1, 2 3cm C 1,6 3cm D 1,6 3cm
Lời giải
x1 và x2 ngược pha ta có mối quan hệ:
tỉ số li độ tức thời của 2 dao động luôn bằng hằng số
Chọn A.
2 t2
Ví dụ 25: Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, có phương trình dao động lần lượt là:
Cho biết Khi chất điểm thứ nhất có li độ là
x A cos t , x A cos t 2 2 2
thì tốc độ của chất điểm thứ nhất là 6 cm/s Khi đó tốc độ của chất điểm thứ hai là
1
x 2 cm
Lời giải
Cách 1: Đạo hàm theo t hai vế pt: 2 2 2 , được:
4x x 25 cm 1
(2)
4.2x v 2x v 0 4x v 2x v 0 4 x v x v
Khi x1 2 cmthay vào 1 x2 3
Thay vào (2) ta được 4.2.6 3 v 2 v2 16 cm/s
Cách 2:Chia 2 vế (1) cho 25, được vuông pha
1 2
1 x , x
25 25 4
25
4
Khi x12 cm, thay vào 1 x2 3
Hai chất điểm dao động cùng tần số
Chọn C.
2
2
v 16 cm/s
25
4
Ví dụ 26: Cho 2 vật dao động điều hòa có phương trình lần lượt là x1 A cos 40t1 1cmvà
Biết vận tốc của vật thứ hai và li độ vật thứ nhất tại mọi thời điểm liên hệ với
x A cos 40t cm
nhau bởi công thức v2 20x1, trong đó v có đơn vị cm/s, x có đơn vị cm Khi li độ của vật thứ nhất là 5
cm thì li độ của vật thứ hai là 2,5 3cm Tổng biên độ của 2 vật A1A2là
Lời giải
Do v2 20x1v2và x1 ngược pha: 2 1 2
Trang 11Đồng nhất hệ số: 2 2
ngược pha với , mà vuông pha với vuông pha :
1
x v2 v2 x2x1 x2
2
Từ (1) và (2) ta được: A1 5cm, A2 10 cmA1A2 15 cm. Chọn A.
Ví dụ 27: Đồ thị biểu diễn liên hệ giữa vận tốc và li độ của một vật dao động điều hòa được cho như hình
vẽ bên Gia tốc cực đại của vật dao động điều hòa bằng
Lời giải
Từ đồ thị tìm được A = 10 cm và khi x = 6 cm thì v = 80 cm/s
Do tại cùng một thời điểm v,x vuông pha, nên ta có
Chọn D.
max
a A 10 10 1000 cm/s
Ví dụ 28: Một chất điểm đang dao động điều hòa trên trục Ox Cho ba điểm M, I, N trên Ox với I là trung
điểm của đoạn MN Gia tổc của chất điểm khi ngang qua vị trí M và I lần lượt là 20 cm/s2 và 10 cm/s2 Gia tốc chuyển động của chất điểm lúc ngang qua vị trí N là
Lời giải
và có
a x
I trung điểm MN: N M
2
Nhân cả 2 vế cho 2: 2 2 2
Chọn D.
2 N
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox Lúc vật ở li độ 2 cm ) thì có vận tốc
và gia tốc Tốc độ cực đại của vật là
2 cm / s
A 2 cm / s. B 20 rad / s. C 2cm / s D 2 2cm / s
tốc độ của vật bằng
x A / 2
Trang 12Câu 3: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và vận tốc cực đại là vmax.Khi tốc độ của vật bằng nửa tốc độ cực đại thì li độ thỏa mãn
Câu 4: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và vận tốc cực đại là vmax Khi tốc độ của vật bằng vmax / 2thì li độ thỏa mãn
A x A / 4 B x A / 2 C x 2A 2 / 3 D x A / 2
Câu 5: Một vật dao động điều hòa, vận tốc của vật khi đi qua vị trí cân bằng có độ 20 cm / s và gia tốc cực đại của vật là 2 2Tính biên độ dao động
200 cm / s
Câu 6: Một vật dao động điều hoà trên một đoạn thẳng dài 4 cm Khi ở cách vị trí cân bằng lcm,vật có
tốc độ 31,4 cm/s Chu kỳ dao động của vật là
A T 1,25 s B T 0,77 s C T 0,63 s D T 0,35 s
Câu 7: Một vật dao động điều hòa với biên độ 4 cm Khi nó có li độ là 2 cm thì vận tốc là 1 m/s Tần số
dao động là:
Câu 8: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T 2 s , biên độ A 4cm. Tại thời điểm t vật có li độ tốc
độ v 2 cm/s. thì vật cách VTCB một khoảng là
3cm thì có vận tốc 16 cm / s. Chu kì dao động của vật là
của vật phụ thuộc vào li độ x theo phương trình a 400 x.2 Số dao động toàn phần vật thực hiện được trong mỗi giây là
Câu 11: Một vật dao động điều hòa, khi vật có li độ 3 cm thì tốc độ của nó là 15 3cm / s, và khi vật có li
độ 3 2cm thì tốc độ 15 2cm / s Tốc độ của vật khi đi qua vị trí cân bằng là
A 20 cm / s B 25 cm / s C 50 cm / s D 30 cm / s
Câu 12: Một dao động điều hòa khi có li độ 5 3cm thì vận tốc v1 4 3 cm / s khi có li độ
thì có vận tốc Biên độ và tần số dao động của vật là
2
x 2 2 cm v2 4 2 cm / s
A 8cm và 2Hz B 4 cm và 1Hz C 4 2cmvà 2 Hz D 4 2cmvà 1 Hz
Trang 13Câu 13: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ
của nó là 20cm / s Khi chất điểm có tốc độ là 10cm / s thì gia tốc của nó có độ lớn 40 3cm / s2 Biên độ dao động của chất điểm là
độ
v = 8 cm / s thì quỹ đạo chuyển động của vật có độ dài là (lấy gần đúng)
Câu 15: Một vật dao động điều hoà có vận tốc cực đại là vmax 16 cm / s và gia tốc cực đại
thì chu kỳ dao động của vật là
max
a 8 cm / s
tương ứng là 20 3cm / s, biên độ dao động của vật có trị số
A A =5 cm B A = 4 3 cm C A = 2 3 cm D A =4 cm.
Câu 17: Một vật dao động điều hòa với chu kì T = 3,14 (s) Xác định pha dao động của vật khi nó qua vị
trí x = 2 cm với vận tốc v = 0,04 m/s ?
Câu 18: Một vật dao động điều hoà khi qua VTCB có tốc độ 8 cm/s Khi vật qua vị trí biên có độ lớn gia tốc là 8 cm/s2 2 Độ dài quỹ đạo chuyển động của vật là
Câu 19: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và tốc độ cực đại là vmax Khi li độ x Atốc
3
độ của vật bằng
3
max
3v 2
max
v 2
Câu 20: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và vận tốc cực đại là vmax Khi tốc độ của vật bằng một phần ba tốc độ cực đại thì li độ thỏa mãn
A x A / 4 B x A / 2 C x 2A 2 / 3 D x A / 2
Câu 21: Một vật dao động điều hoà với phương trình liên hệ a, v dạng trong đó v
1
360 1,44 Biên độ dao động của vật
cm / s ,a m / s 2
Câu 22: Một vật dao động điều hoà với biên độ A quanh vị trí cân bằng O Khi vật qua vị trí M có li độ
và tốc độ Khi qua vị trí N có li độ và tốc độ Biên độ A là
1
Trang 14A B C D
2 2 2 2
1 2 2 1
2 2 2 2
1 2 2 1
2 2 2 2
1 2 2 1
2 2 2 2
1 2 2 1
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ta có: a 2x do đó x 2;a 2 2 2 2 rad / s
max
2 2
max
1
A x 2
max
Khi đó tốc độ của vật là 3vmax.Chọn C.
2
2 2
max
1
max
v v
2
2
1
2
2
2 2
max
1
max
v v
2
2
1
2
2
Câu 5: Khi vật qua vị trí cân bằng: v v max 20 A 20
Gia tốc cực đại của vật là: 2 2 max
max
max
a
v
Khi đó: vmax Chọn A.
Câu 6: Biên độ dao động A 4 2 cm
2
2
18,13 rad/s T 0,35s
2
v
28,87 rad/s
Câu 8: Tần số góc 2 rad/s
T
Tại thời điểm t vật cách vị trí cân bằng một khoảng là: Chọn D.
2 2 2
v
x A 3,46cm
Câu 9: Trong 1 chu kì vật đi được quãng là:
