PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 1 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2009-2010
Ngày thi : 03 tháng 2 năm 2010
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề )
Câu 1 : (1,5đ) Phân tích thành nhân tử : x3 – 19x -30
Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh : n3- n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
Câu 3 : (1,5đ) cho∆ABC vuông tại B,BH⊥AC (H∈AC),M là trung điểm của BH Gọi K là
điểm đối xứng của C qua B Chứng minh rằng: AM ⊥ KH
Câu 4 : (1,5đ) Cho ∆ABC vuông tại A Chứng minh : ·
2
ABC AC tg
AB BC
= +
Câu 5 : (1,5đ) Chứng minh rằng ( )2 ( 2 2) ( 2 2) ( )2
ay bx− = a +b x + y − ax by+
Câu 6 : (2đ) Chứng minh rằng : nếu abc = 1 thì 1
Câu 7 : (2đ) Cho (O;R) và (O’;r) ,(R > r) ngoài nhau Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB (
A∈ O R B∈ O r ).Chứng minh rằng : AB>2 Rr
Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng 9n + 2 và 12n + 3 ( n N∈ ) là hai số nguyên tố cùng nhau
Câu 9 : (1,5đ) Rút gọn biểu thức P = 5− 3− 29 12 5−
Câu 10 : (2đ) Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 với n∈N và n>1 không phải là
số chính phương
Câu 11 : (2đ ) Cho ∆ABC ( AB≠ AC).vẽ phân giác AD (D BC∈ ).Ở miền ngoài tam giác vẽ tia
Cx sao cho·BCx BAD=· và tia Cx cắt tia AD tại I Chứng minh : AI.AD.DC = AC2.DB
Câu 12 : (1,5đ) Tìm số tự nhiên a biết a + 15 và a – 74 là các số chính phương.
- HẾT
-HỌ VÀ TÊN THÍ SINH : Số báo danh Chữ ký giám thị 1 : Chữ ký giám thị 2
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2009-2010
Ngày thi : 03 tháng 2 năm 2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN
Câu 1 : (1,5đ) Phân tích thành nhân tử : x3 – 19x -30
x3 – 19x -30 = x3 – 9x –10x –30 = x(x2– 9) – 10(x+3) = x(x-3)(x+3)-10(x+3) 0,75đ
Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh : n3 - n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
Câu 3 : (1,5đ) Cho∆ABC vuông tại B,BH⊥AC (H∈AC),M là trung điểm của BH Gọi K
là điểm đối xứng của C qua B Chứng minh rằng: AM ⊥ KH.
Gọi N là trung điểm của HC,chứng minh MN ⊥AB 0,5đ Chứng minh M là trực tâm ∆ABN=>AM⊥BN 0,5đ Chứng minh KH//BN=>AM⊥KH 0,5đ
Câu 4 : (1,5đ) Cho ∆ABC vuông tại A Chứng minh : ·
2
ABC AC tg
AB BC
= +
Vẽ phân giác BD =>AD AB AD CD
CD = BC ⇒ AB = BC 0,5đ
=> AD AD CD AC
AB AB BC AB BC
+
+ + (1) 0,5đ
· ·
2
tg tg ABD
AB
Từ(1) (2) => ·
2
ABC AC tg
AB BC
= + 0,5đ
N M
K
H
B
A
C
D
B
Trang 3Câu 5 : (1,5đ) Chứng minh rằng ( )2 ( 2 2) ( 2 2) ( )2
ay bx− = a +b x + y − ax by+
Vế phải : ( 2 2) ( 2 2) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
a +b x +y − ax by+ =a x +a y +b x +b y −a x − abxy b y− 0,75đ
0,75đ0,75
Câu 6 : (2đ) Chứng minh rằng : nếu abc = 1 thì 1
Ta có: abc = 1=> a 1
bc
=>
1
1
bc
+ +
1
bc
+ + 0,5đ
1
1
1 1
b bc
bc b
Câu 7 : (2đ) Cho (O;R) và (O’;r) (R>r) ngoài nhau Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB
(A∈(O R B; ), ∈(O r', )).Chứng minh rằng : AB>2 Rr
Vẽ O’C//AB =>ABO’C là hình chữ nhật => AB = O’C 0,5đ
=> O C' = OO'2−OC2
O C= OO − R r−
=> 2 ( )2
'
OO’> R+r => OO’2 >(R+r)2
=> ( ) (2 )2
AB> R r+ − R r− 0,5đ => AB> 4Rr ⇔ AB>2 Rr 0,5đ
Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng 9n + 2 và 12n + 3 ( n N∈ ) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Gọi d là ước chung lớn nhất của 9n + 2 và 12n + 3 ; d∈N
=> (9n 2) d (36n 8) d
0,5đ
=> 9n + 2 và 12n + 3 (n N∈ ) là hai số nguyên tố cùng nhau 0,5đ
B
A C
(36n 9) (36n 8) d 1 d d 1
( )2
a y b x abxy ay bx
Trang 4Câu 9 : (1,5đ) Rút gọn biểu thức P = 5− 3− 29 12 5−
( )2
Câu 10 : (2đ) Chứng minh rằng số cĩ dạng n6 – n 4 + 2n 3 + 2n 2 với n∈N và n>1 khơng phải là số chính phương.
n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] 0,5đ = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ]
Với n∈N, n >1 thì n2-2n+2 = (n - 1)2 + 1 > ( n – 1 )2
và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n - 1) < n2
Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2 ⇒ n2 – 2n + 2 khơng phải là một số chính phương 0,75đ => n6 – n4 + 2n3 + 2n2 với n∈N và n>1 khơng phải là số chính phương 0,25đ
Câu 11 : (2đ ) Cho ∆ABC ( AB≠AC).vẽ phân giác AD (D BC∈ ).Ở miền ngồi tam giác vẽ tia Cx sao choBCx BAD· =· và tia Cx cắt tia AD tại I Chứng minh : AI.AD.DC = AC 2 DB
DC DB = AC AB (doAD là phân giác cuả Â)
⇒ DB.AC = AB.DC (1) 0,75đ Chứng minh ∆ADB ~∆ACI ⇒
AI
AB AC
AD
=
⇒AD.AI = AB.AC (2) 0,75đ
chia từng vế cuả (2) cho(1)ta được:
DB AD..AC AI = AB AB..DC AC ⇒ AD.AI.DC =AC2.DB 0,5đ
Câu 12 : (1,5đ) Tìm số tự nhiên a biết a + 15 và a – 74 là các số chính phương.
Vì a + 15 và a – 74 là các số chính phương
Đặt a + 15 = m2, a – 74 = n2 với m, n∈ N. 0,25đ
⇒ m2 – n2 = 89 ⇔(m – n)(m + n) = 89 0,25đ
Vì 89 là số nguyên tố và m – n < m + n nên m n 1
m n 89
− =
+ =
m 45
n 44
=
=
- HẾT
-Chú ý: Nếu HS giải đúng bằng cách khác thì giám khảo phân bước tương ứng để cho điểm.
D I A
