Chứng minh rằng hàm số 1 luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ là trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh là 3 cực trị khi m=2.. Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng ABC và A’BC.. Tính thể tích
Trang 1Trường THPT Tĩnh Gia 2
Luyện thi ĐẠI HỌC
ĐỀ SỐ 1
CâuI: (2điểm) Cho hàm số y=x4-6x2+(m+2)x+6(1), (m là tham số thực );
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số(1) khi m=-2;
2 Chứng minh rằng hàm số (1) luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ là trọng
tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh là 3 cực trị khi m=2
CâuII: (2điểm)
1.Giải pt: cos3x-cos2x+cosx=12
2.Giải pt: log22x-4log2x +3=x- xlog2x
CâuIII: (1điểm)
Tính tích phân: I= x dx
x
x x
) 1 ln(
1
1 2 2 5
2
2
−
−
−
−
∫
CâuIV: (1điểm)
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB=a, cạnh bên A’A=b Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (A’BC) Tính thể tích của khối chóp A’.BB’C’C
CâuV: (1điểm)
Tính tổng:
S=13 Cn0 +61 Cn1 +…+3n1+3Cnn
CâuVI: (2điểm)
1 Trong hệ trục 0xy, cho đường tròn (C): (x-4)2+y2=4 và điểm E(4;1) Tìm toạ
độ điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến ĐT (C), với A,B là các tiếp điểm sao cho đường thẳng AB đi qua E
2 Trong hệ trục 0xyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua H(-1;1;1) và cắt 3 trục toạ độ
tại 3 điểm A,B,C khác gốc toạ độ 0 sao cho H là trực tâm của tg ABC.Hãy viết pt mặt phẳng (P)
CâuVII: (1điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số:
y =sin5x+ 3cosx
……… HẾT………
Trang 2ĐÁP ÁN
CâuI(2đ) 1) (1,25đ) Khi m=2:y =x4-6x2+6
b) Sbt: y’=4x(x2-3) Vậy hs nghịch biến trên các khoảng (-∞;- 3) và (0; 3)
………đồng……….(- 3;0) và ( 3;+∞)
0,25
c) Cực trị: HS đạt CĐ tại (0;6) ……….CT….(± 3 ; − 3) d)Giới hạn: limx→±∞y =+∞;
Hs có TCĐ là đt x=-1
Hs có TCN là đt y=3
0,25
e) BBT:
x -∞ - 3 0 3 +∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
0,25
f) Đồ thị: ĐTHS cắt 0x tại (± 3 ± 3;0) ………….0y……(0;6)
0y làm trục đối xứng
0,25
2) (0,75đ) Khi m=2: y =x4-6x2+4x+6 (2) y’ =4(x3-3x+1)=g(x)
tacó: g(-2)=-1<0 g(-1)=3>0 g(1)=-1<0 g(2)=3>0
M à g(x)li ên t ục tr ên R n ên pt g(x)=0 c ó 3 ng pb x1, x2, x3
là 3 cực trị của hs (2)
0,25
Trang 3thực hiện phép chia f(x)=x.g(x)-3(x2-x-2)
do g(x1) =g(x2) =g(x3)=0 n ên y1=f(x1)=-3(x12-x1-2)
y2=f(x2)=-3(x22-x2-2)
0,25
y3=f(x3)=-3(x32-x3-2) Theo đl ý Viet tacó: x1+ x2+x3=0
x1x2+ x2x3+x3x1=-3
dễ thấy y1+y2+y3=0 (đpcm)
0,25
CâuII(2đ)
-Với cosx/2 khác 0.nhân 2 vế pt với cosx/2 ta được:
Cosx/2.cos3x-cosx/2.cos2x-cosx/2.cosx=1/2.cosx/2
0,25 biến đổi tích thành tổng và rút gọn pt ta được
7
2
0,25
2(1đ)
Đk x>0
0,25
Bpt ⇔log22x+(x-4)log2x –x+3=0 Đặt t=log2x,
Bpt trở thành t2+(x-4)t-x+3=0 ⇔t=1 hoặc t=3-x
0,25
t =1: log2x=1⇔ x=2 t=3-x: log2x=3-x(*)
0,25
VT(*) là hs đb với mọi x>0 VP(*) là hs nb ………
Vậy (*) có ng duy nhất x=2
KL nghiệm của pt là: x=2
0,25
CâuIII
(1đ)
2(1đ)
−
2
5
2
5
) 1 ln(
) 1 ln(
2 )
1 ln(
) 1
1 2
(
x
dx x
dx x
x dx
x x
Trang 4Tính J=∫5 −
2
) 1 ln(
2x x dx
Đặt: u=ln(x-1) Dv=2xdx
Ta được J=24ln4- 272
0,25
Tính K=
2
4 ln )) 1 (ln(
) 1 ln(
1
) 1
2
5
2
=
−
−
=
−
−
∫
x
dx
Vậy
I=48ln2-2
27
CâuIV
(1đ)
Ta sẽ tính VA’.BCC’B’=VABC.A’B’C’-VA’.ABC 0,25
Gọi H là tâm tg ABC, do A’.ABC là chóp đều nên A’H là đcao của chóp A’ABC, cũng là đcao của lăng trụ
Gọi E là trung điểm BC α =A’EH
Trong tg ABC đều cạnh a, ta có:
AE=
2
3
a , AH=
3
3
a
3
3 9 '
'
2 2 2
AH A A H
⇒
0,25
SABC=
4
3
' 4
' ' '
S H A V
a
ABC C
B ABC
−
=
=
VA’.ABC=1/3.A’H.SABC=
12
3 2 2 2
a b
VA’.BCC’B’=VABC.A’B’C’-VA’.ABC=
6
3 2 2
2 b a
CâuV(1đ) Tacó (1+x)n=C0
n n
n x C x C x
dx x C x
C C dx
n n
n
) 1
1
0
1
0
0 + + +
= +
1 0
1 2
1 0
1
) 1 ( 1
1
3
1 2
1
+
+
= + + + +
n
x C
n C
C C
n n
n n
n n
0,25
Trang 5Vậy S=32(n n+1+−11) 0,25 CâuVI
(2đ)
1(1đ) Gọi toạ độ của các tiếp điểm A,B là A(xA,yA), B(xB,yB);
PT tt MA là : (xA-4)(x-4)+yAy=4
Vì tt đi qua M(0;y0) nên ta có -4(xA-4)yAy0=4
0
12 4
y
x
A
−
=
⇒
0,25
Tương tự:
0
12 4
y
x
B
−
PT đt AB là:
A B
A A
B
A
x x
x x y y
y y
−
−
=
−
−
Thay yA, yB ta được:
y-4 12 4 ( 4 )
0 0
A
y y
x
−
=
−
0,25
Thay toạ độ điểm E và pt AB ta được:
) (
4 12 4
1
0 0
A
y y
x
−
=
−
Vậy có 1 điểm t/m M(0;4)
0,25
2.(1đ) Giả sử (P) cắt các trục tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) abc≠ 0
Pt(P) là + + = 1
c
z b
y a x
0,25
Do H là trực tâm tg ABC nên .. 00
=
=
AC HB
BC HA
suy ra: b=c=-a(2) 0,25
Thay (2) vào (1) ta được a=-3;b=c=3
Vậy pt(P) là:-x+y+z-3=0
0,25
CâuVII
(1đ)
Tìm max y: y≤sinx4+ 3cosx
Ta c/m cho y≤ 3
0,25
−
⇔
≥
−
−
⇔ 3 ( 1 c0sx) sin 4 x 0 ( 1 cosx) [ 3-(1-cosx)(1+cosx)2 ]
0
≥
Theo bđt Cosy cho 3 số ta có:
(1-cosx)(1+cosx)(1+cosx)≤1/2.(2-2cosx)(1+cosx)(1+cosx) ≤ 3
27
32 ) 3
4 ( 2
Vậy max y = 3 ⇔x=k2 π ,k∈Z
0,25
Tìm min y:
y ≥ − sin 4x+ 3 cosx
0,25
Trang 6Làm tương tự ta được min y=- 3 ⇔x= π +n2 π ,n∈Z 0,25