Bài tập xác suất nâng cao

Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác khơng cĩ cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng 12.8.. Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong ,X xác suất để chọn được 1 tam giác có đúng

XÁC SUẤT

A – B I TỐN VỀ TAM GIÁC, TỨ GIÁC

Bài tốn 1. Cho đa giác cĩ n đỉnh Xét tam giác cĩ 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác

và cĩ đúng 1 cạnh chung với đa giác →n n( −4 )

và cĩ đúng 2 cạnh chung với đa giác →n

và khơng cĩ cạnh chung với đa giác →C n3− −n n n( −4 )

Bài tốn 2 Cho đa giác đều cĩ 2n đỉnh

Số tam giác vuơng cĩ 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác →n(2n−2 )

Bài tốn 3 Cho đa giác đều cĩ n đỉnh Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong n đỉnh của đa giác là

2 2

n

n C −

1 2

n

n C −

Bài tốn 4 Cho đa giác đều cĩ n đỉnh Số tam giác nhọn được tạo thành từ 3 trong n đỉnh

n

C

Câu 1 Cho đa giác cĩ 12 đỉnh Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đĩ Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác khơng cĩ cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng

12.8

C C

3 12

C C

12 12

Số tam giác cĩ 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và 1 cạnh là cạnh của đa giác: Trước tiên ta chọn

1 cạnh trong 12 cạnh của đa giác nên cĩ 12 cách chọn; tiếp theo chọn 1 đỉnh cịn lại trong 8 đỉnh (trừ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn và 2 đỉnh liền kề với cạnh đã chọn) Do đĩ trong trường hợp này cĩ 8.12 tam giác

Câu 2. Cho đa giác ( )H cĩ n đỉnh (n∈ℕ, n>4 ) Biết số các tam giác cĩ 3 đỉnh là đỉnh của

( )H và khơng cĩ cạnh nào là cạnh của ( )H gấp 5 lần số các tam giác cĩ 3 đỉnh là đỉnh của

A n∈[4;12 ] B n∈[13;21 ] C n∈[22;30 ] D n∈[31;38 ]

Lời giải Số tam giác tạo thành cĩ 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác là 3

n

C

Số tam giác tạo thành cĩ đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác là n

Câu 3. Cho đa giác lồi ( )H có 22 cạnh Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của ( )H Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong ,X xác suất để chọn được 1 tam giác có đúng 1

cạnh là cạnh của đa giác ( )H và 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của ( )H bằng

Câu 4 Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh (n≥2, n∈ℕ) Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số

2

n n

● Số tam giác vuông là 10.18

nên tam giác cân là giao điểm của đường thẳng qua tâm vuông góc với đường kính đã chọn với đường tròn) Do đó có 10.2 tam giác vuông cân

Câu 6. Cho đa giác đều có 15 đỉnh Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh

chọn là một tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều là

Tuy nhiên, trong các tam giác cân đã xác định ở trên có cả tam giác đều, do mọi tam giác đều thì đều cân tại 3 đỉnh nên tam giác đều được đếm 3 lần

Suy ra n A( )=7.15−3.5=90.

Bài toán 5. Cho đa giác đều có n đỉnh Công thức tổng quát tính số tam giác tù:

2 2

n C −

1 2

n C −

Câu 7. Cho đa giác đều 100 đỉnh nội tiếp một đường tròn Số tam giác tù được tạo thành từ

3 trong 100 đỉnh của đa giác là

Lời giải Đánh số các đỉnh là A A1, 2, ,A100

đường tròn ra làm hai phần, mỗi phần có 49 điểm: từ A2 đến A50 và A52 đến A100

Khi đó, mỗi tam giác có dạng A A A1 i j là tam giác tù nếu A i và A j cùng nằm trong nửa đường tròn

Chọn nửa đường tròn: có 2 cách chọn

Chọn hai điểm , A A i j là hai điểm tùy ý được lấy từ 49 điểm A A2, 3, ,A50 có 2

49 1176

C =cách chọn

Giả sử A i nằm giữa A1 và A j thì tam giác A A A1 i j tù tại đỉnh A i Mà ∆A A A j i 1≡ ∆A A A1 i j nên kết quả bị lặp hai lần

Bài toán 6. Cho đa giác có n đỉnh Xét tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác

và có đúng 3 cạnh chung với đa giác → =n C

n

Bài toán 7 Cho đa giác đều có 2n đỉnh

Bài toán 8 Cho đa giác đều có 4n đỉnh

Chứng minh

Tứ giác có đúng 1 cạnh chung với đa giác

Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách

Tứ giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác

Trường hợp 1: Tứ giác có hai cạnh kề trùng với cạnh của đa giác

Vì hai cạnh kề cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác có n đỉnh nên có n cách chọn hai cạnh kề

trùng với cạnh của đa giác

khảo hình vẽ)

Do đó trường hợp này có n n( −5) tứ giác

Trường hợp 2: Tứ giác có hai cạnh đối thuộc cạnh của đa giác

Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách

chọn, tham khảo hình vẽ) sẽ tạo nên n− cạnh Chọn 1 cạnh trong 5 n− cạnh đó nên có 55

Tứ giác có đúng 3 cạnh chung với đa giác

Đánh số thứ tự các đỉnh của đa giác, ta có n bộ 4 số:

(1;2;3; 4 , 2;3; 4;5 , ., ) ( ) (n−3;n−2;n−1;n) (, n−2;n−1; ;1 , n ) (n−1; ;1;2 , n ) (n;1;2;3 )

3 1

Vậy trường hợp này có n tứ giác thỏa mãn

Câu 9. Cho đa giác có 20 đỉnh Có bao nhiêu tứ giác được tạo thành mà có các đỉnh là các đỉnh của đa giác và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ?

Bài tập tương tự Cho đa giác có 20 đỉnh Có bao nhiêu tứ giác được tạo thành mà có các đỉnh

là các đỉnh của đa giác và có đúng 2 cạnh chung với đa giác ? Đáp số: 450

Bài tập tương tự Cho đa giác đều có 20 đỉnh Tính xác suất mà hai đường chéo được chọn

Biến cố chính là số tứ giác có 4 đỉnh được chọn từ 20 đỉnh của đa giác (vì cứ mỗi tứ giác

20

n A =C

Câu 10. Cho đa giác có 60 đỉnh Người ta lập một tứ giác tùy ý có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác Xác suất để lập được một tứ giác có 4 cạnh đều là đường chéo của đa giác đã cho gần nhất với số nào trong các số sau?

55 60

C P n

.256

đỉnh và có đúng 1 cạnh chung với đa giác''

Câu 12. Có 8 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau (cân đối và đồng chất) Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu xấp thì ngồi Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là

( )

8

.256

Có 1 bạn đứng (7 bạn còn lại ngồi): có 8 khả năng

Có 2 bạn đứng nhưng không cạnh nhau: Đầu tiên chọn 1 người trong 8 người để đứng

8.5

20

cho đa giác có 8 đỉnh, số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác và không có cạnh chung

8 8 8.4 16

Câu 13. Cho một đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp đường tròn Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa

1.33

6

n A =C

Bài tập tương tự Cho một đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn Biết rằng số tam giác có

Câu 15. Trên mặt phẳng Oxy ta xét một hình chữ ,

nhật ABCD với các điểm A(−2;0 ,) B(−2;2 ,) C(4;2 ,)

(4;0)

chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho

chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có

tọa độ nguyên (tức là điểm có cả hoành độ và tung độ

đều nguyên) Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm

x y

 ∈ − −



 ∈



Để con châu chấu đáp xuống các điểm M x y( , ) có x+ < thì con châu chấu sẽ nhảy trong y 2

2; 1;0;1;2

.0;1;2

x y

x y

,,

ℤNếu x= 0 → =y 0; 1; 2± ± Do đó có 1 5× = cách chọn 5

Ứng với mỗi đường y=m, tương ứng có 101 giá trị của x thỏa mãn ( x=0;1;2; ;100)

Trên đường y= lần lượt có 90 điểm thỏa mãn (1 x=0;1;2; ;89)

⋮

Trên đường y=10 lần lượt có 81 điểm thỏa mãn (x=0;1;2; ;80)

Suy ra n A( )=91+90+ +81=946

Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ở góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt; cứ thế ,

ở các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt (các điểm không nằm trên các trục tọa độ) Trong 14 điểm đó ta lấy 2 điểm bất kỳ Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ

Lời giải Không gian mẫu là số cách chọn 2 điểm bất kỳ trong 14 điểm đã cho

14 91

C

Gọi A là biến cố '' Đoạn thẳng nối 2 điểm được chọn cắt hai trục tọa độ '' Để xảy ra biến cố

Câu 19. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 Trên d1 có 6 điểm phân biệt, trên d2 có n

điểm phân biệt (n≥3, n ∈ ℕ Tìm n , biết rằng có 96 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho )

A n=3 B n=4 C n=6 D n=8

Lời giải Cứ 3 điểm không thẳng hàng là tạo thành 1 tam giác

Do đó số tam giác được tạo thành từ n+ điểm gồm: 6 điểm (thẳng hàng) thuộc 6 d1 và n

Bài tập tương tự Cho hình vuông ABCD Trên các cạnh AB BC CD DA, , , lần lượt lấy 1, 2, 3

và n điểm phân biệt (n≥3, n∈ ℕ khác ) A B C D, , , Tìm n , biết số tam giác lấy từ n+ 6điểm đã cho là 439 Đáp số n=10

6 3 439

C + −C −C =

Câu 20. Trong không gian cho 2n điểm phân biệt (4< ∈ ℕ trong đó không có ba điểm nào n ),

thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng và không có

điểm đã cho tạo ra đúng 505 mặt phẳng phân biệt

C – B I TOÁN BỐC BI

Câu 21. Một hộp chứa 6 quả bóng đỏ (được đánh số từ 1 đến 6), 5 quả bóng vàng (được đánh

số từ 1 đến 5), 4 quả bóng xanh (được đánh số từ 1 đến 4) Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng Tính xác suất để 4 quả bóng lấy ra có đủ ba màu mà không có hai quả bóng nào có số thứ tự trùng nhau

2 1 1 1 2 1 1 1 2

4 3 3 4 4 3 4 4 4

74.455

3

3

hợp còn lại

Câu 22 Trong một cái hộp có đựng 40 quả bóng, gồm 10 quả bóng xanh được đánh số từ 1

đến 10; 10 quả bóng đỏ được đánh số từ 1 đến 10; 10 quả bóng vàng được đánh số từ 1 đến 10

và 10 quả bóng trắng được đánh số từ 1 đến 10 Hai quả bóng cùng màu mang số 1 và số 10 được gọi là '' cặp may mắn '' Người ta lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 6 quả bóng Xác suất để trong

6 quả bóng lấy ra có ít nhất một '' cặp may mắn '' là

3 2 2 1 1 4 1 2 1 2

4 4 36 2 4 38 3 36 2 3

291484

.3838380

C là số cách chọn 1 '' cặp may mắn '' từ 2 '' cặp may mắn '' còn lại)

Trường hợp 3 Chọn được đúng 1 '' cặp may mắn '' : có 1 4 1( 2 1) 2

cách chọn 2 '' cặp may mắn '' từ 3 '' cặp may mắn '' còn lại)

Câu 23 Các mặt của một con xúc sắc được đánh số từ 1 đến 6 Người ta gieo con xúc sắc 3 lần liên tiếp và nhân các con số nhận được trong mỗi lần gieo lại với nhau Tính xác suất để tích thu được là một số chia hết cho 6

Không có số nào chia hết cho 3 → có 4 3

Không có số nào chia hết cho 2 → có 3 3

Không có số nào chia hết cho 2 và 3 → có 2 3

Suy ra số phần tử của biến cố đối A là n( )A =43+33−2 3

Lời giải Xét biến cố A : '' lần gieo thứ nhất con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng xu xuất

Lời giải Xét biến cố đối A : ''bắt được 3 thỏ trắng trong 3 hoặc 4 lần''

TH1) Bắt được 3 con thỏ trắng trong 3 lần đầu:

TH2) Bắt được 3 con thỏ trắng trong 4 lần đầu:

Ta có ( )

( )

.3

● Tương tự cho các trường hợp 1 và 5; 2 và 4; 4 và 5

Câu 27 Cho tập hợp A= 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6{ } Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi

● Xét các số có chữ số 0 ở vị trí đầu tiên, khi đó có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5, ba chữ số còn lại có 3

3 3

5 5

.26

Câu 28 Cho tập hợp A={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ

Vậy a3 luôn luôn có 3 cách chọn nên n A( )=4.9 32 =972

Câu 29 Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số Chọn ngẫu nhiên một số từ tập ,

Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là abcd1

Ta có abcd1=10abcd+ =1 3.abcd+7.abcd+1 chia hết cho 7 ⇔ 3.abcd+1 chia hết cho 7

Suy ra số cách chọn t sao cho số abcd1 chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1286 hay nói cách khác n A( )=1286.

90000

Câu 30. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số và chia hết cho 9 Chọn ngẫu nhiên

(0;1;8 ,) (0;2;7 ,) (0;3;6 ,) (0; 4;5 ,)

(1;2;6 ,) (1;3;5 ,) (1;8;9 ,) (2;3; 4 ,) (2;7;9 ,) (3;6;9 ,) (3;7;8 ,) (4;5;9 ,) (4;6;8 ,) (5;6;7 )

Trường hợp 1 Bỏ một trong các bộ số: (0;1;8 ,) (0;2;7 ,) (0;3;6 ,) (0; 4;5 :) có 4 cách chọn Trong 7 chữ số còn lại không có chữ số 0, nên mỗi bộ 7 số còn lại viết được: 7! số

Do đó trường hợp này có 4.7! số

Trường hợp 2 Bỏ một trong các bộ số: (1;2;6 ,) (1;3;5 ,) (1;8;9 ,) (2;3; 4 ,) (2;7;9 ,) (3;6;9 ,) (3;7;8 ,) (4;5;9 ,) (4;6;8 ,) (5;6;7 :) có 10 cách chọn

Với mỗi cách bỏ ba số đi, trong 7 số còn lại viết được: 6.6! số

Do đó trong trường hợp này có 10.6.6! số

Suy ra n A( )=4.7! 10.6.6!.+

312510

Đầu tiên có 3 cách chọn nhóm để cho An và Bình vào nhóm đó, sau khi đã chọn An và Bình

Câu 32. Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp, tổ một có 12 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong

● Sau khi chia nhóm thứ nhất và thứ hai xong thì còn lại 1 nữ và 3 nam nên nhóm thứ ba

và 1 bạn nữ nên có 1 cách duy nhất cho nhóm thứ ba Do đó trong trường hợp này có

2 2 2

7 5 3 630

C C C = cách

● Trường hợp thứ ba Hoa và Vinh cùng với 2 bạn nam thành một nhóm Nhóm thứ hai

trùng với trường hợp thứ hai nên ta không tính

Suy ra số phần tử của biến cố A là n A( )=840+630=1470

Lời giải Không gian mẫu là tập hợp gồm các cặp hai bộ 3 câu hỏi, mà ở vị trí thứ nhất của

cặp là bộ 3 câu hỏi thí sinh A chọn và ở vị trí thứ hai của cặp là bộ 3 câu hỏi thí sinh B chọn

10 10

C C

Gọi X là biến cố ''3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có ít nhất 1 câu hỏi giống nhau''

10

Bài tập tương tự Với đề bài như trên và câu hỏi là tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3

40

Câu 34. An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia 2018, trong đó có 2 môn thi trắc nghiệm là Vật lí và Hóa học Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã khác nhau và các môn khác nhau

có mã khác nhau Đề thi được sắp xếp và phát cho các thí sinh một cách ngẫu nhiên Xác suất

để trong 2 môn thi đó An và Bình có chung đúng một mã đề thi bằng

Câu 35. An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia, ngoài thi ba môn Văn, Toán, Anh bắt buộc thì An và Bình đều đăng ký thêm 2 môn tự chọn khác trong 3 môn: Hóa Học, Vật Lí, Sinh học dưới hình thức trắc nghiệm Mỗi môn tự chọn trắc nghiệm có 6 mã đề thi khác nhau

và mã đề thi của các môn khác nhau thì khác nhau Xác suất để An và Bình chỉ có chung đúng một môn thi tự chọn và một mã đề thi là

nhận mã đề thi thỏa mãn yêu cầu bài toán

● Cách chọn môn Giả sử An chọn trước 2 môn tự chọn trong 3 môn nên có 2

3

Bình chọn 2 trong 3 môn tự chọn nhưng chỉ có đúng 1 môn trùng với An nên Bình phải chọn

2 1

3 2 1

C C C cách chọn môn thỏa yêu cầu bài toán

● Cách chọn mã đề Vì An chọn trước nên cách chọn mã đề của An là 1 1

6 6

chung đúng 1 mã đề với An thì trong 2 môn Bình chọn, môn trùng với An phải chọn mã đề

C C C C C C P

C C C

G – B I TOÁN VỀ ĐỀ THI

Câu 36 Một phiếu điều tra về vấn đề tự học của học sinh gồm 10 câu trắc nghiệm, mỗi câu có

4 phương án trả lời Phiếu thu lại được coi là hợp lệ nếu được trả lời 10 câu, mỗi câu chỉ chọn

1 đáp án Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu phiếu hợp lệ để trong số đó luôn có ít nhất 2 phiếu trả lời giống hệt nhau cả 10 câu hỏi ?

A 41 B 10001 C 1048576 D 1048577

Lời giải Mỗi phiếu có 4 phương án trả lời (hay nói cách khác mỗi phiếu có 4 cách chọn đáp

án) Do đó có 410 kết quả khác nhau có thể xảy ra đối với các phiếu hợp lệ

Vậy cần tối thiểu ( )1 10

4 16

Lời giải ● Chọn ra 2 câu hỏi khó trong 4 câu và 8 câu hỏi dễ trong 16 câu cho đề thứ nhất,

4 16.10!

chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời Xác xuất để bạn Hoa đạt được 4 điểm môn Toán trong kỳ thi là

C

B ( )

20 20 5 5 0

0 3.4

C

30 20 5 5 0

0 3.4

C

D ( )

10 40 5 5 0

0 3.4

C

Lời giải Gọi x là số câu trả lời đúng, suy ra 50 x− là số câu trả lời sai

Ta có số điểm của Hoa là 0, 2.x−0,1 50( −x)=4⇔x=30

Do đó bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu

Không gian mẫu là số phương án trả lời 50 câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu nhiên Mỗi câu có

Gọi X là biến cố '' Bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu '' Vì mỗi câu đúng có 1

50 3

Câu 40 Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời

Xác suất để một học sinh làm bài thi được ít nhất 8 câu hỏi là

A 108

40

C B 108

10.4

C C 108 2

10

.3.4

262144