TIN HỌC CHUYÊN NGÀNH CƠ ĐIỆN MATLAB ỨNG DỤNG

Matlab cơ bản

TIN HỌC CHUYÊN NGÀNH

CƠ ĐIỆN - MATLAB ỨNG DỤNG

Một số hàm thông dụng trong MATLAB

Hàm với biến số thực:

abs(x) cho giá trị tuyệt đối của x ;

sign(x) cho dấu của x ;

fix(x) cho phần nguyên của x tức là làm tròn về phía số 0 ;

ceil(x) làm tròn x tới số nguyên nhỏ nhất  x tức là làm tròn về phía + ; floor(x) làm tròn x tới số nguyên lớn nhất  x ; tức là làm tròn về phía - ; round(x) làm tròn về số nguyên gần x nhất;

frac(x) cho phần phân số (thực sự ) của x: frac(x) = x – fix(x);

sqrt(x) cho căn bậc hai dương của x, (nếu x âm ta được số phức);

nthroot(x,n) cho căn bậc n (thực) của số thực x;

exp(x) cho hàm mũ cơ số e tức là ex;

pow2(x) cho hàm mũ cơ số 2 tức là 2x;

log(x) cho logarit tự nhiên (cơ số e) của x;

log10(x) cho logarit thập phân của x;

log2(x) cho logarit cơ số 2 của x;

factor(x) cho kết quả phân tích số x thành các thừa số nguyên tố;

primes(x) cho ra các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng x;

gcd(x,y) cho ước số chung lớn nhất của 2 số nguyên x và y ;

lcm(x,y) cho bội số chung nhỏ nhất của 2 số nguyên x và y ;

factorial(n) cho tính số n giai thừa (n!) ;

perms(v) với v là mảng có độ dài n cho tất cả mọi hoán vị có thể có của

mảng v;

nchoosek(N,k) cho số các tổ hợp chập k của N (số Ck

N);

dot(A,B) cho tích vô hướng của hai véc tơ A và B;

cross(A,B) cho tích có hướng (tích véc tơ) của hai véc tơ A và B;

Các hàm lượng giác:

sin(x) , cos(x) , tan(x) , cot(x) (x tính theo radian);

sind(x), cosd(x), tand(x), cotd(x) (x tính theo độ);

Các hàm lượng giác ngược:

asin(x) , acos(x) , atan(x) , acot(x) kết quả là radian;

asind(x) , acods(x) , atand(x) , acotd(x) kết quả là độ;

Các hàm sec(x) (=1/cos(x)) , csc(x) (=1/sin(x)) ,

asec(x) (=1/acos(x)) , acsc(x) (=1/asin(x));

Các hàm hypebolic: sinh(x) , cosh(x) , tanh(x) , coth(x);

Và các hàm ngược của chúng asinh(x) , acosh(x) , atanh(x) , acoth(x);

§1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC

1.1 Giá trị và nghiệm của đa thức

Để nhập một đa thức ta nhập các hệ số từ cao đến thấp, các hệ số

được viết giữa hai dấu [ ] và tách nhau bằng dấu cách

Để tìm giá trị của đa thức p tại x = x0 dùng lệnh polyval(p,x0).

Tìm nghiệm r của đa thức p dùng lệnh roots(p).

Biết nghiệm r của đa thức, tìm đa thức p dùng lệnh p = poly(r).

Tìm đạo hàm một đa thức p ta dùng lệnh polyder(p).

Tìm nguyên hàm một đa thức p dùng lệnh polyint(p) (coi hằng số C=0) Chú ý: Nếu sau một lệnh của MATLAB ta đánh dấu chấm phảy thì lệnh đó

được thực hiện nhưng không cho ra kết quả trên màn hình, còn nếu không

có chấm phảy thì ta có kết quả trên màn hình dưới hai dạng: ans, nếu

không đặt tên biến phải tìm; kết quả của biến đó, nếu nó đã được đặt tên

Thí dụ 1: Cho đa thức p = x 3 – 2x – 5

Tìm nghiệm của đa thức; Giá trị đa thức tại x = 5;

Đạo hàm và nguyên hàm của đa thức

1.4 Đa thức nội suy

Khi muốn có đa thức biểu diễn dãy số liệu thực nghiệm (xi , yi) thì sau khi vào các số liệu x và y trong dấu ngoặc vuông [ ] , các số cách nhau bằng dấu cách, ta dùng lệnh

polyfit(x,y,n)

với n là bậc đa thức mà ta chọn Trong trường hợp ta có n +1 cặp số liệu

mà ta chọn bậc đa thức n thì ta được đa thức nội suy Lagrange.

Thí dụ 4: Tìm hàm xấp xỉ bậc nhất biểu diễn dãy số liệu

x=(2; 4; 6; 8); y=(0.35; 0.573; 0.725; 0.947)

Chú ý: Với cách nhập a:b ta có thể tạo ra một dãy các số từ a đến b cách

nhau 1 đơn vị; Với cách nhập a:n:b ta có thể tạo ra một dãy các số từ a đến

Nội suy tại một giá trị cụ thể x i

Sau khi vào x , y ta dùng lệnh interp1(x,y,xi,’linear’) (interpolation) nếu muốn nội suy tuyến tính hoặc interp1(x,y,xi,’spline’) nếu muốn nội suy

đa thức bậc ba tại điểm xi

Thí dụ 7: Nội suy đa thức giá trị hàm tại xi = 4.5 theo dãy số liệu sau:

x=(4; 4.2; 4.4; 4.6; 4.8; 5);

y=(0.6026; 0.62325; 0.64345; 0.66276; 0.68124; 0.69897);

Thí dụ 8: Dân số Hoa Kỳ (tính theo triệu người) từ 1900 đến 1990 (tính

theo 10 năm một) được cho ở bảng dưới Hãy dự đoán dân số Hoa Kỳ năm 2000

Năm 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 Dân

số 75.995 91.972 105.711 123.303 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633

MATLAB cũng cho phép ta nội suy giá trị của hàm hai biến z = f(x , y) tại điểm (xo , yo) theo các giá trị cho trước cùa hàm tại các điểm (x , y).

Trường hợp các giá trị hàm z cho theo lưới các điểm có tọa độ (x i , y j )

Giả sử x = x i i= 1 , 2 , , n ; y = y j j = 1 , 2 , m ;

Khi đó z được cho bởi ma trận cỡ mn z = [ z ij ] với z ij là giá trị

tương ứng của hàm tại (x i , y j ).

Để nội suy giá trị hàm tại (x 0 , y 0 ) ta dùng lệnh

zo = interp2(x,y,z,xo,yo,’linest’).

Thí dụ 9 Dãy x được quan sát từ 1950 đến 1990 với bước là 10 (tức là

1950 1960 1970 1980 1990, n = 5), dãy y được quan sát từ 10 đến 30 với bước 10 (tức là 10 20 30, m = 3); z là ma trận cỡ 35 ,

Hãy nội suy giá trị của z tại x = 1975, y = 15.

2.6 Trích các phần tử từ ma trận

Có một ma trận Ta có thể lấy ra một phần của ma trận đó bằng các hàm:

diag(A) lấy các phần tử trên đường chéo chính lưu vào vector cột;

diag(A,k) lấy các phần tử trên đường chéo k lưu vào vector cột Trong đó:

2.8 Một số ma trận đặc biệt trong MATLAB

[] ma trận rỗng không chứa phần tử nào

zeros(n) ma trận không cấp n;

zeros(m,n) ma trận không m hàng n cột;

eye(n) ma trận đơn vị cấp n;

ones(n) ma trận vuông cấp n có mọi phần tử bằng 1;

ones(size(A)) ma trận cùng cỡ với A nhưng mọi phần tử bằng 1;

diag(X) ma trận có các phần tử trên đường chéo chính là các

phần tử của véc tơ X, các phần tử khác bằng 0

magic(n) ma trận magic cấp n gồm các số nguyên từ 1 đến n2

sao cho tổng mọi phần tử trên một hàng, một cột ,đường chéo đều bằng nhau;

pascal(n) ma trận có các phần tử của tam giác Pascal

§3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

3.1 Hệ Cramer AX = B với det(A)  0

Ta có thể dùng ma trận đảo A -1 để tìm nghiệm X = inv(A)*B nhưng để

có kết quả nhanh hơn ta dùng lệnh chia trái X = A\ B

Thí dụ 19: Giải hệ : 10x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5

2x1 + 10x2 + 6x3 + 7x4 = -13x1 + 6x2 + 20x3 + 5x4 = 4.34x1 + 7x2 + 5x3 + 28x4 = -9

3.2 Trường hợp det(A) = 0

Ta kiểm tra điều kiện về hạng của ma trận [A] và ma trận mở rộng [A B]

(dùng lệnh rank()) Nếu hạng hai ma trận đó bằng nhau thì hệ có vô số

nghiệm; ta có thể giải bằng cách dùng ma trận giả đảo bởi lệnh

3.3 Hệ phương trình tổng quát AX = B , với A là ma trận chữ nhật mn

Nếu m < n thì trước khi giải phải kiểm tra điều kiện tương thích về hạng Nếu điều kiện đó được thoả mãn thì có thể giải hệ bằng

X = pinv(A)*B nếu muốn có nghiệm có chuẩn nhỏ nhất;

Y= A\ B nếu muốn có nghiệm có số thành phần khác không ít nhất.

Thí dụ 21: Giải hệ phương trình

x1 - x2 - x3 - 3x4 + x5 = 1

x1 + x2 - 5x3 - x4 + 7x5 = 2-x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 + x5 = 0-2x1 + 5x2 - 4x3 + 9x4 + 7x5 = -0.5 Nếu m > n và rank(A) = n hệ có nghiệm duy nhất;

Nếu rank(A) = rank([A B]) < n hệ có vô số nghiệm

Thí dụ 22: Giải hệ Ax = B

Với A = [1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ; 10 11 12] ; B = [1 ; 3 ; 5 ; 7]

4.2 Biểu diễn hàm trong MATLAB

Các hàm MATLAB MATLAB có một tệp là M-file chứa rất nhiều hàm,

các hàm đó nhận các giá trị đưa vào, tính toán rồi trả lại kết quả tính toán

Ta cũng có thể tự tạo nên các hàm M-file Chọn File, New rồi chọn

function, ta có màn hình soạn thảo để đánh các lệnh vào đó Chẳng hạn,

ta đưa vào một hàm và đặt tên là humps như sau:

dụng (function handle) bằng cách gõ thêm ký tự @ trước tên hàm

Thí dụ 25: Tính giá trị của hàm humps nêu trên tại x = 2.0

Các hàm không tên (Anonymous Functions) Một cách thứ hai để biễu

diễn hàm là tạo nên ở cửa sổ lệnh một hàm không tên bằng một xâu biểu

thức diễn tả hàm đó và cũng làm cho nó thành một hàm handle theo kiểu

handle=@(đối số) hàm không tên;

Thí dụ 26: Tính giá trị hàm y = 0.5x + 2-x tại x = 1

Thí dụ 27: Tính giá trị hàm z = ysinx + xcosy tại x =  , y = 2.

Mầu đường, kiểu đường, ký hiệu đánh dấu vị trí:

Sử dụng lệnh plot(x,y,'…’) trong đó ’…’ sẽ nhập các ký tự thể hiện mầu

đường, kiểu đường, ký hiệu đánh dấu vị trí của đồ thị, được cho trong bảng sau :

Xanh xám

Đỏ tím Vàng Đen Trắng

: -.

-

Nét liền Nét đứt chấm Nét gạch chấm Nét gạch gạch

0 x +

* s d v

^

<

>

p h

Điểm Tròn Dấu x Dấu + Dấu * Hình vuông Hình diamond Dấu v

Dấu ^ Dấu <

Dấu >

Hình ngôi sao Hình lục giác

Kiểu hiển thị: Lệnh colordef cho phép lựa chọn kiểu hiển thị Giá trị mặc

định colordef là white, khi đó trục tọa độ, mầu nền có mầu xám sáng, tên của đồ thị, trục có mầu đen Ta có thể dùng lệnh colordef black khi đó nền

trục tọa độ đen, nền hình vẽ mầu tối xám, tên đồ thị, trục có mầu sáng;

Đường bao miền vẽ đồ thị: Để tạo hoặc bỏ đường bao cho miền vẽ đồ

thị sử dụng lệnh box on hoặc box off;

Lưới grid : Để thêm hoặc bỏ lưới grid ở đồ thị, sử dụng lệnh grid on

hoặc grid off;

Tên cho các trục dùng lệnh xlabel(‘Tên trục hoành’) và ylabel(‘Tên

trục tung’);

Tên đồ thị dùng lệnh title(‘Tên đồ thị’);

Thêm văn bản (text box) vào vị trí nào đó trên đồ thị, sử dụng lệnh

text(x,y,’Nội dung’) với x, y là tọa độ mép trái của văn bản đưa vào hoặc gtext(‘Nội dung’) để chọn trực tiếp vị trí của văn bản bằng chuột.

Thể hiện trục tọa độ : Sử dụng lệnh axis … với … là các tham số thể

hiện trục tọa độ Có nhiều tham số để biết đề nghị sử dụng trợ giúp help

Thí dụ 29: Vẽ đồ thị hàm y = sin 2 α trên [- , ] với bước /20.

-pi -pi/4 -pi/2 -3pi/4 0 pi/4 pi/2 3pi/4 pi 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Trên Figure 1 cũng có thế trực tiếp thêm, thay đổi các lựa chọn của đồ

thị bằng cách sử dụng các lựa chọn trên menu của cửa sổ

Ta vẽ các trục x và y bằng cách chọn Insert, chọn Arow rồi vẽ trên đồ thị các trục x và y ở đúng vị trí của chúng Điền tên trục x , y bằng cách chọn Insert rồi chọn Text box xong đặt dấu + ở vị trí của x , y trên hình

Muốn thay đổi tính chất của đường vẽ đồ thị ta chọn Edit -> Curent Object Properties, nháy chuột vào đường cong để xuất hiện hộp thoại Property Editor - Lineseries, ở hộp thoại này ta có thể thay đổi được tính chất của đường đồ thị

Có thể vẽ đồ thị nhiều đồ thị trên cùng một hình bằng cách thêm các cặp

đối số x, y vào trong lệnh plot.

Nếu như một trong các đối số là ma trận và đối số còn lại là vector thì lệnh plot sẽ vẽ đồ thị tương ứng với mỗi cột của ma trận với vector đó

Cũng có thể sử dụng lệnh hold on hoặc hold off để cho phép giữ lại

hay xóa đồ thị cũ đi khi có lệnh plot vẽ đồ thị mới

Thí dụ 30: Vẽ đồ thị 2 hàm số y1 = sin(x) và y2 = cos(x) trên [0 , 2]

0 pi/4 pi/2 3pi/4 pi 5pi/4 3pi/2 7pi/4 2pi -1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-  <x< 

DO THI HAM SO sin(x)

cos(x)

Trong trường hợp muốn vẽ nhiều đồ thị với các hệ trục tọa độ khác

nhau trên cùng một cửa sổ figure, sử dụng lệnh subplot(m,n,p) với m,n,p

là các giá trị tự nhiên Lệnh sẽ thực hiện chia cửa sổ figure ra thành m x n khoảng để vẽ đồ thị, chọn vị trí p là khoảng để vẽ đồ thị tiếp theo

Thí dụ 31: Vẽ 4 đồ thị hàm số, mỗi đồ thị trên hệ truc tọa độ riêng cùng

nằm trên một cửa sổ figure y1 = sin(x); y2 = cos(x); y3 = 2sin(x)cos(x); y4 = tg(x) trên [0 , 2]

tg(x)

-1 0

4.3.2 Vẽ đồ thị hàm bằng lệnh fplot, ezplot

fplot(function, limits) với function là tên hàm được đặt trong hai dấu ’

’ hoặc hàm handle của một hàm trong M-file hoặc hàm handle của một

hàm không tên; limits là khoảng cần vẽ, nhập [x1 x2] hoặc [x1 x2 y1 y2]

ezplot(function, x1, x2) với function là tên hàm được đặt trong hai dấu

’ ’ hoặc hàm handle của một hàm trong M-file hoặc hàm handle của một

hàm không tên; x1, x2 giá trị giới hạn đồ thị cần vẽ

Thí dụ 32: Vẽ đồ thị 2 hàm số y1 = sin(x) và y2 = cos(x) trên [0 , 2] nhưng sử dụng lệnh fplot

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Thí dụ 33: Trong mục 4.2 ta đã lưu hàm humps trong M-file, bây giờ ta vẽ

hàm đó trong khoảng x = -5÷5 và trong khoảng x = -5÷5; y = -10÷10

-20 0 20 40 60 80 100

-10 -5 0 5 10 15 20 25

Thí dụ 34: Vẽ trên cùng một hình đồ thị hai hàm y = sinx và y = 2sin(x+3)

trên [0 , 2] Tính giá trị hai hàm đó với x lần lượt bằng 1 , 2 , 3

4.3.3 Một số kiểu đồ thị 2-D khác

Đồ thị bánh:

Sử dụng lệnh pie(a) trong đó a là một vector giá trị để vẽ đồ thị bánh;

Trong trường hợp muốn tách một phần nào đó ra khỏi đồ thị để quan

sát có thể sử dụng lệnh pie(a,b) với a là một vector giá trị và b là một

vector logic xác định phần muốn tách ra

Thí dụ 35: Vẽ biểu đồ biểu diễn cơ cấu thu nhập bình quân chia theo

nguồn thu Nguồn thu nhập

 Đồ thị cột

Sử dụng lệnh bar(a) trong đó a là một vector hoặc ma trận giá trị để vẽ

đồ thị cột, trong trường hợp a là ma trận biểu đồ vẽ được căn cứ trên số liệu của các hàng trong ma trận

bar(b,a) các giá trị của b được đưa vào trục hoành.

barh(a) để vẽ đồ thị cột nằm ngang.

bar3(a) để vẽ độ thị cột dạng 3D.

Lệnh pareto(a) trong đó a là một vector giá trị, đồ thị vẽ được gồm các

cột giá trị theo thứ tự giảm dần và có một đường thể hiện tổng cộng dồn của các giá trị a

Lệnh pareto(a,b) kết quả như lệnh pareto(a) các giá trị của b được đưa

vào trục hoành

Thí dụ 36: Vẽ biểu đồ so sánh thu nhập bình quân 1 nhân khẩu 1 tháng

theo thành thị và nông thôn ở Việt Nam qua các năm

500 1000 1500 2000

 Đồ thị miền:

Sử dụng lệnh area(x,y) khi đó khoảng cách từ 0 tới y được điền đầy.

 Đồ thị bậc thang

Sử dụng lệnh stairs(x,y) trong đó x, y là các vector giá trị, đồ thị vẽ

được là đường thể hiện giá trị y tương ứng với giá trị x theo bậc

Thí dụ 37: Vẽ đồ bậc thang theo dãy số liệu sau

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

15 20 25 30 35 40 45 50 55

60 Do thi bac thang

 Đồ thị tọa độ cực:

Sử dụng lệnh polar(p,d) trong đó p là vector chứa các giá trị góc đo

bằng radian, d chứa giá trị cần vẽ đồ thị

 Đồ thị dạng cây:

Sử dụng lệnh treeplot(p) trong đó p là vector chứa các giá trị chỉ số của

nút trong cây, thứ tự của nút tính tuần tự từ trên xuống dưới, từ trái qua phải, chỉ số của nút là thứ tự nút mẹ của nút đang xét

 Đồ thị dạng tín hiệu:

Sử dụng lệnh stem(x,y) đồ thị tạo ra sẽ có các dấu tại các điểm vẽ và

đường gióng giá trị xuống trục hoành

Và một số loại đồ thị khác, đề nghị xem thêm trong các tài liệu hướng dẫn

sử dụng MATLAB

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 Do thi dang tin hieu y=exp(-0.02*t)*cos(0.5*t)

Bài tập:

1.Vẽ đồ thị y = sin(5x) trong hệ tọa độ cực trong khoảng biến thiên x=0÷2π2.Xây dựng đồ thị phụ tải bậc thang ứng với số liệu sau:

3.Vẽ biểu đồ so sánh thu nhập của 3 nhân viên theo bảng số liệu sau:

4.Vẽ biểu đồ cơ cấu tiêu thụ điện năng theo bảng số liệu sau:

4.3.4 Vẽ đồ thị trong không gian ba chiều

Đồ thị đường cong

Dùng lệnh plot3(x,y,z).

Thí dụ 38: Vẽ đường đinh ốc Helix cho bởi phương trình

x = sint y = cost ; y = cost ; z = t trong khoảng [0 , 10].

1

-1 -0.5

0 0.5

1 0 10

Dùng lệnh ezplot3(’x(t)’,’y(t)’,’z(t)’,[t1 t2])

Với x(t), y(t), z(t) là các hàm theo biến t;

t1, t2 là khoảng biến thiên của biến t

Thí dụ 39: Vẽ đường đinh ốc Helix cho bởi phương trình

x = 3tsint ; y = 1,5tcost ; z = t trong khoảng [0 , 8].

-100 -50

100

-40 -20

0 20

4005 10 15 20 25 30

x

x = 3 t sin(t), y = 1.5 t cos(t), z = t

y

 Đồ thị bề mặt lưới mầu

Vẽ lưới (x , y) các ô vuông trong mặt phẳng Oxy bằng lệnh

meshgrid(x,y)

với x , y đã cho trước để chia lưới tọa độ x , y

sau đó đưa vào hàm Z = f(X , Y) rồi dùng lệnh mesh(X,Y,Z) để vẽ.

Thí dụ 40: Vẽ đồ thị mặt lưới 3D hàm Z = exp(Y 2 - X 2 ).

-2 0

201 2 3 4 5

Do thi mat luoi 3D

 Đồ thị mặt tô mầu

Lệnh surf(X,Y,Z) cho đồ thị mặt lưới 3 chiều không trong suốt, các mặt

đồ thị được thể hiện bởi mầu sắc khác nhau

Lệnh surfl(X,Y,Z) cho đồ thị mặt lưới 3 chiều không trong suốt, bề mặt

đồ thị được coi như bề mặt của vật thể với các đặc tính vật lý nhất định theo tính chất phản xạ ánh sáng

Thí dụ 41: Vẽ đồ thị mặt paraboloit tròn xoay cho bởi phương trình

5010 20 30 40 50

Su dung lenh surfl

 Vẽ đồ thị mặt với các lệnh ezmesh và lệnh ezsurf

Lệnh ezmesh(‘f’,[d]) và ezsuf(‘f’,[d]) với f là hàm của các biến x, y, còn

d là khoảng biến thiên của các biến này Khi sử dụng các lệnh này MATLAB sẽ tự động đưa tên đồ thị, tên các trục vào

Thí dụ 42: Vẽ đồ thị mặt yên ngựa f(x,y)=(x-3)2 – (y-2)2

trong khoảng x = 2 ÷ 4; y = 1 ÷ 3

2 2.5

3 3.5 41

1.5 2 2.5 3 -1 -0.5 0 0.5 1

x

(x-3)2-(y-2)2

3 3.5 41

1.5 2 2.5 3 -1 -0.5 0 0.5 1

x (x-3)2-(y-2)2

y

4.4 Tìm hàm xấp xỉ khớp với dãy điểm thực nghiệm

Trong mục §1.4 ta đã làm khớp bằng hàm đa thức bậc n nhờ lệnh

polyfit(x, y, n) Trong mục này sẽ đề cập đến một cách làm khác nhờ các

hàm fit và fittype.

Cú pháp: fit(xdata,ydata,‘ltype’) ; fittype(’ltype’) hoặc fittype(’expr’)

trong đó ltype là một dạng hàm có sẵn trong thư viện mẫu, đó là các hàm

Đa thức y = với n là bậc của đa thức, 1  n  9 ; ký hiệu

‘polyn’

Hàm mũ y = aebx hoặc y = aebx + cedx ; ký hiệu ‘exp1’ hoặc ‘exp2’

Hàm lũy thừa y = axb hoặc y = a + bxc ; ký hiệu ‘power1’ hoặc ‘power2’

Hàm hữu tỷ

trong đó bậc n của tử thức 0  n  5 , bậc m của mẫu thức 1 m  5 với

hệ số của xm luôn bằng 1 ; ký hiệu ‘ratnm ’.

1 1

n

n i i

i

p x  



