Chứng minh rằng tứ giác IJ HK nội tiếp.b Chứng minh rằng khi D chuyển động trênBC, đường tròn ngoại tiếp tam giác IJ K luôn đi qua một điểm cố định khác điểm I.. Chứng minh rằng tâm đườn
Trang 1ĐỀ 1 BẮC GIANG Câu 1 (4 điểm) Tìm hàm số liên tục :f ¡ →¡ thỏa mãn
( ) ( ) 2( ) ( ) 2 , ,
f x y f x y+ − = f x f y ∀x y∈¡
Câu 2 (4 điểm) Cho đa thức P x( ) = +1 4x+4x2+ +L 4x2n−1+4x2n với n là số lẻ, n≥3.Chứng minh rằng P x( ) không thể là bình phương của một đa thức khác
Câu 3 (4 điểm) Người ta dùng 4 màu để tô các đỉnh của một đa giác lồi có 2019 đỉnh sao cho
mỗi đỉnh được tô bởi một màu và hai đỉnh kề nhau được tô bởi hai màu khác nhau Hai cách tômàu được gọi là khác nhau nếu tồn tại một đỉnh của đa giác đó có màu được tô khác nhau tronghai cách Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô màu?
Câu 4 (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O và H là trực tâm tam giác ABC
Gọi M là điểm chính giữa cung BHC¼ của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC BM giao.
AC tại , giao tại Kẻ phân giác trong AD của góc ·BAC Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếptam giác
a) Chứng minh TD⊥BC
b) Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF bằng OD
Câu 5 (4 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n>1 có tính chất: nếu a b, là các ước nguyêndương của n và ( )a b, =1 thì a b+ −1 cũng là ước của n
………HẾT………
Trang 2ĐỀ 2 BẮC NINH (DAY 1) Câu 1 (5,0 điểm)
Cho hai dãy số ( ),u n ( )v n xác định như sau u0 =a v; 0 =b với hằng số thực a b, cho
trước thỏa mãn 0 a b và < < + = +
2
n n n
ABC Các đường thẳng OD và BE cắt nhau tại K, các đường thẳng OE và AD cắt nhautại L Gọi M là trung điểm cạnh AB Chứng minh ba điểm K L M, , thẳng hàng khi và chỉkhi bốn điểm C D O H, , , cùng nằm trên một đường tròn
Trang 3ĐỀ 3 BẮC NINH (DAY 2) Câu 5 (7,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm f :¡ → ¡ thỏa mãn điều kiện:
nội tiếp các tam giácABC BDF CDE, , .
a) Gọi H là trực tâm của tam giácJ DK Chứng minh rằng tứ giác IJ HK nội tiếp.b) Chứng minh rằng khi D chuyển động trênBC, đường tròn ngoại tiếp tam giác IJ K
luôn đi qua một điểm cố định khác điểm I
b) Xét tập hợp S gồm đường chéo A A1 4 và tất cả các đường chéo khác của đa giác mà
có cùng độ dài với nó Chứng minh trong tập hợp đó, số đường chéo có hai đầu là màu đỏ bằngvới số đường chéo có hai đầu là màu xanh Gọi k là số đường chéo có hai đầu là màu xanh trong, tìm tất cả các giá trị có thể có của
Trang 4b Cho đa thức P x ( ) = xp + ax2+ bx c + trong đó a b c , , là các số nguyên và p là
số nguyên tố Biết rằng P x ( ) có ba nghiệm nguyên x x x1, ,2 3 thỏa mãn
( x1− x2) x2 − x3) ( x3− x1) không chia hết cho p Chứng minh rằng abc ac +
chia hết cho p3
Câu 3: (4 điểm)
Trong mặt phẳng cho 37điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hang
a Chứng minh rằng có ít nhất 6438 tam giác không cân được tạo thành
b Chứng minh rằng có thể chọn ra một tập con gồm 7 điểm sao cho trong đó không
có 3 điểm nào tạo thành một tam giác đều
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn ( )O và ( )O′ Gọi AA’ là tiếp tuyến chung của
hai đường tròn ( A∈( )O A; ′∈( )O′ ) , K là trung điểm AA’ Từ K lần lượt kẻ hai tiếp tuyến KB, KB’ đến ( )O , ( )O′ L= AB∩A B P KL OO′ ′, = ∩ ′ Chứng minh rằng B, B’, P, L cùng nằm trên một đường tròn.
4
Trang 5ĐỀ 5 BÌNH DƯƠNG (DAY 2)
Câu 1: (5 điểm) Gọi x x x1, ,2 3 là ba nghiệm của phương trình x3+ ax2 + + = bx c 0,trong đó a, b, c là các số nguyên Chứng minh rằng biểu thức Sn = x1n + + x2n x3n nhận giá trị
nguyên với mọi số nguyên dương n
Câu 2 (5,0 điểm) Cho dãy số ( )u n xác định bởi ( ) 4 2 *
n n
a) Gọi A là một tập con của tập T thỏa mãn: với x y z , , ∈ A và x < < y z
thì x y z , , là độ dài ba cạnh của một tam giác Hỏi tập hợp A có nhiều nhấtbao nhiêu phần tử?
b) Gọi X là một tập con của tập T thỏa mãn: với x y X , ∈ và x ≠ y thì có
đúng một tam giác cân (không đều) xác định bởi độ dài các cạnh là x y , Tìm giátrị lớn nhất của X
Câu 4. (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có D, E lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp
( )I với AB, AC và H, K lần lượt là hình chiếu của B lên AC và C lên AB Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AHK là trực tâm của tam giác ADE.
HẾT
Trang 6ĐỀ 6 ĐỒNG THÁPCâu 1 (3,0 điểm)
Cho dãy số thực dương ( )x n xác định bởi công thức:
Câu 4 (5,0 điểm)
Cho đường tròn ( )O và dây cung BC cố định Điểm A (khác với B C, ) di động trênđường tròn ( )O sao cho AB AC≠ Gọi D E F, , lần lượt là chân đường cao hạ từ A B C, , củatam giác ABC Đường thẳng EF cắt đường tròn ( )O tại P và Q Chứng minh rằng:
a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQD đi qua một điểm cố định.
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PQD chạy trên một đường tròn cố định
Câu 5 (4,0 điểm)
Xét bảng ô vuông kích thước 5×n n ( ∈Z+) (bảng gồm 5 hàng và n cột) Hỏi với n nào
thì có thể lát được bảng bởi các viên gạch có dạng như hình bên dưới (hình có thể xoay theo mọihướng)?
-
HẾT -6
Trang 7ĐỀ 7 HƯNG YÊN (DAY 1)
Bài 1 (5,0 điểm) Cho dãy số ( )a n xác định bởi 1 1
Bài 2 (5,0 điểm) Cho m n, là các số nguyên dương, n m< và a a1, 2, ,a m là các số thực phân
biệt Tìm tất cả các đa thức P x( ) với hệ số thực và có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n thỏa mãn điều
kiện P a( )i −P a( )j = a i −a j với mọi 1≤ < ≤i j m
Bài 3 (5,0 điểm) Cho đường tròn ( )O cố định ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi D là trungđiểm của cạnh BC Trên AB AC, lần lượt lấy các điểm E F, sao cho DE⊥ AC và
DF ⊥AB
a) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF thuộc một đường tròn cố định khi
điểm A di động và B C, cố định trên đường tròn ( )O
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt cạnh BC tại G; đường thẳng AG cắt đường tròn
( )O tại M ; đường cao đỉnh A của tam giác ABC cắt đường tròn ( )O tại N (N khácA).Các tiếp tuyến tại M N, của đường tròn ( )O cắt nhau tại P Các tiếp tuyến tại B của đườngtròn ngoại tiếp tam giác BGM và tiếp tuyến tại C của đường tròn ngoại tiếp tam giác CGM
cắt nhau tại Q Chứng minh giao điểm của PQ và AD nằm trên đường tròn ( )O
Bài 4 (5,0 điểm) Tập hợp X khác rỗng được chia thành các tập con đôi một không giao nhau
1, , ,2 n
A A A và đồng thời cũng được chia thành các tập con đôi một không giao nhau
1, , ,2 n
B B B Biết rằng hợp của hai tập con bất kì không giao nhau A B i, j(1≤i j n, ≤ ) chứa
không ít hơn n phần tử Chứng minh rằng số phần tử của tập X không nhỏ hơn
22
n
Khi số
phần tử của tập X bằng
22
n
, hãy chỉ ra cách chia tập X thỏa mãn bài toán
Trang 8ĐỀ 8 HƯNG YÊN (DAY 2)Câu 5 (6,0 điểm) Tìm tất cả các hàm f :¡ →¡ thỏa mãn
f x yf x+ = f xf y − +x f y+ f x ∀x y∈¡
Câu 6 (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng l đối xứng với
đường thẳng AC qua đường thẳng BC, l cắt BO tại X Điểm E tùy ý trên đoạn BO, đường tròn ngoại tiếp tam giác XAE cắt đường thẳng l tại Q khác X Đường thẳng QE cắt đường thẳng OC tại Y
a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AYE đi qua điểm cố định khi E thay đổi trên BO
b) Gọi M là điểm chính giữa cung AE không chứa Y của đường tròn ngoại tiếp tam giác AYE và
CM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AYE tại một điểm K khác M Chứng minh khi E di chuyển thì đường thẳng KE luôn đi qua một điểm cố định
Câu 7 (7,0 điểm) Tìm các bộ số nguyên( , , )a b c với c≥0 sao cho b 2n +c chia hết cho2
n n
a + với mọi n nguyên dương
8
Trang 9Chứng minh rằng dãy số ( )u n có giới hạn hữu hạn.
Câu 2 (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f :R®R thỏa mãn:
AC AB sao cho EF song song BC Các tiếp tuyến tại ,E F của đường tròn ngoại tiếp tam giác
AEF cắt đường thẳng BC lần lượt tại M và N Giả sử đường thẳng BE cắt đường thẳng FN
tại K và đường thẳng CF cắt đường thẳng EM tại L
a) Chứng minh rằng ÐKAB = ÐLAC
b) Giả sử đường thẳng BE cắt đường thẳng CF tại X và đường thẳng EN cắt đường thẳng
FM tại Y.Chứng minh rằng đường thẳng XY luôn đi qua điểm cố định khi ,E F thay đổi.
Câu 5 (3,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m n với ,, ) m n ³ 3 để tồn tại vô hạn các số nguyên dương x sao cho 2 1
1
m n
+ + - là một số nguyên dương.
-Câu 6 (3,0 điểm) Tìm số hoán vị (a a1, , ,2 a2020)của 2020 số nguyên dương đầu tiên thỏa mãn
đồng thời hai điều kiện sau:
i) a i+1- a i £ với mọi 1 i =1,2,3, ,2019
ii) Tồn tại đúng hai chỉ số i và j với 1£ < £i j 2020 sao cho a i = và i a j =j
Trang 10b) Gọi xn là nghiệm dương duy nhất của phương trình trên Tính lim xn.
Câu 3 (5,0 điểm).Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD (D thuộc BC) và hai điểm M, N lần
lượt nằm trên các cạnh AB, AC sao cho MN song song với BC Điểm P chuyển động trên đoạnthẳng MN Lấy các điểm E, F sao cho EP ⊥ AC, EC ⊥ BC, FP ⊥ AB, FB ⊥ BC
a) Gọi I là giao của EF và AD Chứng minh rằng I cố định khi P chuyển động trên đoạnMN
b) Đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại Q Chứng minh rằng đường trungtrực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ
Câu 4 (5 điểm) Cho số nguyên dương n và tập hợp S {1; 2; n}= Tìm số các tập con của Skhông chứa hai số nguyên dương liên tiếp
-Hết 10
Trang 11ĐỀ 11 NINH BÌNH VÒNG 1 (DAY 2) Câu 1 (5,0 điểm).Cho a b c, , là 3 số thực sao cho (a b b c c a− )( − )( − ≠) 0 Tìm giá trị nhỏ
Câu 3 (5,0 điểm).Cho tam giác nhọn ABC , AB AC< và đường tròn nội tiếp tam giác ABC
tiếp xúc với các cạnh BC CA AB, , lần lượt tại D E F, , Đường phân giác trong của góc ·BAC
cắt các đường thẳng DE DF, lần lượt tại X Y, Gọi S T, là các điểm nằm trên đường thẳng
BC sao cho ·XSY = ·XTY = °90 Chứng minh rằng:
90
AXB=
b) Đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AST tiếp xúc với nhau
Câu 4 (5,0 điểm) Cho dãy số ( )u n : 1 2 3
Trang 12-Hết ĐỀ 12 NINH BÌNH VÒNG 2 Câu 1 (4,0 điểm) Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn (a2+1)(b2+1)(c2+ =1) 8 Tìm giá trị
lớn nhất của P ab bc ca= + +
Câu 2 (4,0 điểm) Cho số nguyên dương n và hàm số f liên tục trên ¡ sao cho f nhận cả giá
trị âm và giá trị dương Chứng minh rằng tồn tại một cấp số cộng a a1, , ,2 … a n sao cho
Câu 3 (4,0 điểm).Cho tam giác ABC có AB AC< , đường tròn ( )I nội tiếp tam giác tiếp xúc
với các cạnh BC CA AB, , lần lượt tại D E F, , Điểm M thay đổi trên đoạn thẳng FD, đường thẳng qua M và song song BC cắt EF tại K và cắt DE tại P Kẻ tiếp tuyến KH với đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF với H là tiếp điểm Đường trung trực của ME cắt AI tại N và
Trang 13a) Chứng minh rằng PD đi qua điểm chính giữa của cung BC không chứa A
b) Gọi X là giao điểm của AD và BE; Q là điểm đối xứng vớiX qua EF ; Hlà hìnhchiếu vuông góc của D lên EF Chứng minh rằng ba điểmA ,H,Q thẳng hàng
Câu 3 (5 điểm) Cho n là số nguyên dương có dạng n = 22p − 1 (trong đó p > 3là số nguyêntố) Chứng minh rằng n | 2n − 8 và n có ít nhất ba ước nguyên tố phân biệt
Câu 4 (5 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( , ) m n sao cho với mọi đa thức ( )P x bậc
m có hệ số thực luôn tồn tại đa thức Q( )x bậc n có hệ số thực mà Q P x( ( ) ) chia hết cho
Q( ).x
Trang 14M N lần lượt là trung điểm của BC OH , và E F , lần lượt là hình chiếu vuông góc của N
lên AC AB , Gọi L là điểm đối xứng với B quaACvà K là điểm đối xứng với C qua AB
a) Chứng minh rằng các đường thẳng KF EL , và AM đồng qui
b) Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Chứng minh rằng AJ vuông góc
với KL
Câu 7 (7 điểm)Cho số nguyên dương n ≥ 2, xét 2n điểm phân biệt trong mặt phẳng sao chokhông có 3 điểm nào thẳng hàng Nối n2+ 1 cặp điểm trong số đó Chứng minh rằng:
a) Có ít nhất 1 tam giác tạo thành
b) Có ít nhất n tam giác tạo thành.
HẾT
14
Trang 15ĐỀ 15 QUẢNG NGÃI (DAY 1)
Bài 1:(5,0 điểm) Giải hệ phương trình
Cho ABC là tam giác nhọn, có AB AC< Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
và M là trung điểm BC Đường thẳng đi qua A vuông góc với AIcắt tiếp tuyến vẽ từM của
đường tròn nội tiếp tam giác ABC (khác đường BC ) tại điểm P Gọi D là điểm tiếp xúc của BC với đường tròn (I).
a) Gọi (Q) là đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC, E là điểm tiếp xúc của BC với (Q), D’ là điểm đối xứng với D qua I Chứng minh rằng ba điểm , , ' A E D thẳng hàng.
b) Chứng minh rằngAItiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giácMIP
Bài 4: (5,0 điểm)
a) Có thể đánh số các ô vuông của một bảng ô vuông 4 x 4 bởi các số tự nhiên từ 1 đến 16(mỗi ô chỉ viết một số, mỗi số chỉ viết một lần) sao cho tổng 4 số ở mọi phần của bảng ô vuông
có dạng như hình chữ T dưới đây (có thể xoay về mọi phía) đều chia hết cho 4 hay không?
b) Cho tập hợp gồm 2019 phần tử sau: {1; 2; 3; ; 2019} Cần loại bỏ ít nhất bao nhiêu phần tử khỏi tập hợp trên, để tập hợp gồm các phần tử còn lại có tính chất: với ba phần tử bất kỳ,không có phần tử nào bằng tích hai phần tử còn lại?
Trang 16ĐỀ 16 QUẢNG NGÃI (DAY 2)
Bài 1: (6,0 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) biết :
a Cho là một số nguyên dương có ít nhất 6 ước nguyên dương Giả sử các ước nguyên
dương của được sắp theo thứ tự sau với Tìm tất cả sốnguyên dương sao cho
b Choplà số nguyên tố Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên x y z n, , , , với 0 n< < p
thỏa mãn x2+ + − y2 z2 np = 0.
Bài 3: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O Một đường tròn ( )I bất kỳ
đi qua , B C và lần lượt cắt các cạnh CA AB tại , , D E BD cắt CE tại F và G là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng AF
a Chứng minh rằng bốn điểm , , , D E G I cùng nằm trên một đường tròn và GA
là tia phân giác của góc ·DGE
b BD cắt GE tại H , CE cắt GD tại K Đường thẳng DE cắt đường tròn ( )O tại hai
điểm M N Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác , GHK tiếp xúc với đường trònngoại tiếp tam giác GMN
16
Trang 17ĐỀ 17 TP HỒ CHÍ MINH (DAY 1)
Bài 1 (5 điểm)
a) Cho dãy số ( )u n xác định bởi: 1 1 2
11
n n
Chứng minh dãy số ( )u n có giới hạn hữu hạn khi n ® +¥ và tìm giới hạn đó
b) Cho các số dương a b c d, , , thỏa mãn a2+ + +b2 c2 d2 =1 Chứng minh rằng
24(1- a)(1- b)³ (c d+ )
tại K và TH cắt ( )O tại điểm D thuộc cung nhỏ BC Gọi L là trung điểm của HT
a) Chứng minh các điểm A L O K D, , , , cùng nằm trên một đường tròn
b) Gọi P là giao điểm thứ hai của AO với ( )O Đường thẳng đi qua H và song song với
BC cắt đường thẳng PD tại X Chứng minhXA là tiếp tuyến của đường tròn ( )O
Bài 4 (5 điểm)
Cho đa thức hệ số thực P x( ) có bậc 2019 và hệ số bậc cao nhất bằng 1 Biết rằng P x( ) cóđúng 2019 nghiệm thực phân biệt không phải là số nguyên Giả sử mỗi đa thức P x(2 2- 4 )x
và P x(4 - 2 )x2 đều có đúng 2692 nghiệm thực phân biệt
a) Hỏi có bao nhiêu nghiệm của P x( ) thuộc khoảng ( 2;2)- ?
b) Chứng minh rằng tồn tại 3 đa thức cùng bậc A x B x C x( ), ( ), ( ) có hệ số thực sao cho
( ) ( ) ( ) ( ),
A x B x C x =P x " Î ¡x và B x( )¹ A x C x( ) ( )," Î -x ( 1;1)
HẾT
Trang 18CF tại I, AI cắt BC tại D, IB cắt DF tại M và IC cắt DE tại N.
a) Tia O I¢ cắt đường tròn ( )O tại R Chứng minh rằng AR MN BC, , đồng quy
b) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên ( )O thì đường phân giác trong và đường cao qua đỉnh
I của tam giác IMN lần lượt đi qua các điểm cố định
Bài 8 (5 điểm)
Số nguyên dương n được gọi là số “đẹp” nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) n là số chính phương không chia hết cho 3
ii) Với mỗi ước m ³ 15 của n thì m + 15 = pk với k Î ¥ , p nguyên tố.
a) Chứng minh rằng nếu n là số “đẹp” và n có ước nguyên tố lẻ p thì p =7.
b) Tìm tất cả các số “đẹp” (Chú ý rằng theo điều kiện trên thì n =1 là số “đẹp”)
HẾT
-18