ĐƯỜNG ĐI HAMILTON VÀ ỨNG DỤNG

THUẬT TOÁN LIỆT KÊ CÁC CHU TRÌNH VÀ ĐƯỜNG ĐI HAMILTON 1.Định nghĩa Đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị mỗi đỉnh đúng một lần được gọi là đường đi Hamilton.. Thuật toán liệt kê tất c

Đề Tài:

Môn : Toán Rời Rạc

Mục Lục

I GIỚI THIỆU VỀ ĐỒ THỊ

II ĐỒ THỊ HAMILTON

A THUẬT TOÁN LIỆT KÊ CÁC CHU TRÌNH VÀ

ĐƯỜNG ĐI HAMILTON

B THUẬT TOÁN NHÁNH CẬN VÀ BÀI TOÁN TSPIII ỨNG DỤNG

I GIỚI THIỆU VỀ ĐỒ THỊ

1 Đồ thị - Cạnh – Đỉnh :

a) Đồ thị vô hướng : G = (V,E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh Mỗi cạnh

e E được liên kết với một cặp đỉnh v, w ( không kể thứ tự).

v w

b) Đồ thị có hướng : G = (V,E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh có hướng

gọi là cung Mỗi cạnh e E được liên kết với một cặp đỉnh v, w có thứ tự.

v w

c) Đồ thị lót : Cho đồ thị có hướng G = (V,E) Nếu ta thay đổi mỗi cung của G bằng

một cạnh, thì đồ thị vô hướng nhận được gọi là đồ thị lót của G.

Ghi chú : Đồ thị vô hướng có thể xem là đồ thị có hướng trong đó mỗi cạnh e = (v,w) tương ứng với hai cung (v,w) và (w,v).

d(v) :=Số cạnh liên thuộc + 2*Số khuyên

Từ định nghĩa suy ra , đỉnh cô lập trong đồ thị đơn là đỉnh

có bậc bằng 0.

• Số bậc lớn nhất của G ký hiệu là

• Số bậc nhỏ nhất của G gọi là

• Đỉnh treo là đỉnh có bậc bằng 1.

• Đường đi sơ cấp là đường đi không đi qua một đỉnh quá 1 lần.

• Đường đi có hướng trong đó đồ thị có hướng là dãy có hướng, trong đó các cung không lặp lại.

• Đường đi có hướng sơ cấp là đường đi có hướng không đi qua một đỉnh quá 1 lần.

b) Chu trình :

• Chu trình là đường đi có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau.

• Chu trình sơ cấp là chu trình không đi qua một đỉnh quá 1 lần.

• Chu trình có hướng là đường đi có hướng đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau.

• Chu trình có hướng sơ cấp là chu trình có hướng không đi qua một đỉnh qua 1 lần.

• Định lý 1.2 : Đồ thị G lưỡng phân khi và chỉ khi G không chứa chu trình độ dài lẻ.

II ĐỒ THỊ HAMILTON

A THUẬT TOÁN LIỆT KÊ CÁC CHU TRÌNH VÀ ĐƯỜNG ĐI HAMILTON

1.Định nghĩa

Đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị mỗi đỉnh đúng một lần được gọi là đường đi Hamilton.

Chu trình bắt đầu từ một đỉnh v nào đó qua tất cả các đỉnh còn lại mỗi đỉnh đúng một lần rồi quay trở về v được gọi là chu trình Hamilton.

Đồ thị G được gọi là đồ thị Hamilton nếu nó chứa chu trình Hamilton và gọi là đồ thị nữa Hamilton nếu nó có đường đi Hamilton.

Rõ ràng đồ thị Hamilton là nửa Hamilton, nhưng điều ngược lại không còn đúng.

Ví dụ 1 Trong hình 1: G3 là Hamilton, G2 là nửa Hamilton còn G1 không là nửa Hamilton.

A THUẬT TOÁN LIỆT KÊ CÁC CHU TRÌNH VÀ ĐƯỜNG ĐI HAMILTON

2.Định lý và thuật toán liệt kê tất cả các chu trình Hamilton.

a.Định lý 1 (Dirak 1952)

Đơn đồ thị vô hướng G với n>2 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc không nhỏ hơn n/2 là đồ thị Hamilton

b.Định lý 2

Giả sử G là đồ có hướng liên thông với n đỉnh.

Nếu deg+ (v) ≥ n/2, deg – (v) ≥ n/2, v thì G là Hamilton ∀ ∀

c Định lí 3

i) Mọi đồ thị đấu loại là nửa Hamilton

ii) Mọi đồ thị đấu loại liên thông mạnh là Hamilton

Ví dụ 2 Đồ thị đấu loại D5, D6 được cho trong hình 3.2

Hình 2 Đồ thị đấu loại D 5 , đấu loại liên thông mạnh D 6

3 Thuật toán liệt kê tất cả các chu trình Hamilton.

Thuật toán liệt kê tất cả các chu trình Hamilton của đồ thị.

Thuật toán sau đây được xây dựng dựa trên cơ sở thuật toán quay lui cho phép liệt kê tất cả các chu trình Hamilton của đồ thị.

Ví dụ : Hình dưới đây mô tả cây tìm kiếm theo thuật toán vừa mô tả.

Hình 3: Đồ thị và cây liệt kê chu trình Hamilton của nó theo thuật toán quay lui.

Trong trường hợp đồ thị có không quá nhiều cạnh thuật toán trên có thể sử dụng để kiểm tra đồ thị

có phải là Hamilton hay không.

2 BÀI TOÁN TSP

(TRAVEL SALEMAN PROBLEM)

a.Giới thiệu bài toán

Một người du lịch muốn đi thăm quan n thành phố T1, T2, …, Tn Xuất phát từ một thành phố nào đó, người du lịch muốn đi qua tất cả các thành phố còn lại, mỗi thành phố đi qua đúng một lần, rồi quay trở lại thành phố xuất phát Biết cij

là chi phí đi từ thành phố Ti đến thành phố Tj(i = 1, 2, , n), hãy tìm hành trình với tổng chi phí là nhỏ nhất (một hành trình là một cách đi thoả mãn điều kiện)

b.Ý tưởng

Thuật toán nhánh cận là một trong những phương pháp giải chủ yếu của tối

ưu tổ hợp Như trong mục trước đã thấy, tư tưởng cơ bản của nó là trong quá

trình lìm kiếm lời giải ta sẽ phân hoạch tập các phương án của bài toán ra thành hai hay nhiều tập con được biểu diễn như là các nút của cây tìm

kiếm và cố gắng bàng phép đánh giá cận cho các nút, tìm cách loại bỏ

những nhánh của cây tìm kiếm (những tập con các phương án của bài toán)

mà ta biết chắc chấn là không chứa phương án tối ưu M ặc dù trong tình huống tồi nhất thuật toán sẽ trở thành duyệt toàn bộ, nhưng trong nhiều

trường họp cụ thể, kỹ thuật đó cho phép rút ngắn được một cách đáng kể

quá trình tìm kiếm Mục này sẽ trình bày một cách thể hiện khác những tư tưởng của thuật toán nhánh cận vào việc xây dựng thuật toán giải bài toán người du lịch

Có thể viết lại dưới dạng: (π(1), π(2), π(2), π(3), , π(n-1), π(n), π(n), π(1), trong

đó mỗi thành phần: π(j-1), π(j) sẽ được gọi là một cạnh của hành trình

Khi tiến hành tìm kiếm lời giải bài toán người du lịch chúng ta phân tập các hành trình thành 2 tập con: Tập những hành trình chứa một cặp cạnh (i, j) nào đó còn tập kia gồm những hành trình không chứa cạnh này Ta gọi việc làm đó là sự

phân nhánh, mỗi tập con như vậy được gọi là một nhánh hay một node của cây tìm kiếm Quá trình phân nhánh được minh hoạ bởi hình sau:

Việc phân nhánh sẽ được thực hiện dựa trên một qui tắc heuristic nào đó cho phép ta rút ngắn quá trình tìm kiếm phương án tối ưu Sau khi phân nhánh và tính cận dưới giá trị hàm mục tiêu trên mỗi tập con Việc tìm kiếm sẽ tiếp tục trên tập con có giá trị cận dưới nhỏ hơn Thủ tục này được tiếp tục cho đến khi

ta nhận được một hành trình đầy đủ tức là một phương án cuả bài toán Khi đó

ta chỉ cần xét những tập con các phương án nào có cận dưới nhỏ hơn giá trị của hàm mục tiêu tại phương án đã tìm được Quá trình phân nhánh và tính cận trên tập các phương án của bài toán thông thường cho phép rút ngắn một cách đáng

kể quá trình tìm kiếm do ta loại được rất nhiều tập con

1 Thủ tục rút gọn

Rõ ràng tổng chi phí của một hành trình của người du lịch sẽ chứa đúng một

phần tử của mỗi dòng và đúng một phần tử của mỗi cột trong ma trận chi phí C

Do đó, nếu ta cộng hay trừ bớt mỗi phần tử của một dòng (hay cột) của ma trận

C đi cùng một số α thì độ dài của tất cả các hành trình đều giảm đi α vì thế hành trình tối ưu cũng sẽ không bị thay đổi

Vì vậy, nếu ta tiến hành bớt đi các phần tử của mỗi dòng và mỗi cột đi một hằng số sao cho ta thu được một ma trận gồm các phần tử không âm mà trên mỗi dòng, mỗi cột đều có ít nhất một số 0, thì tổng các số trừ đó cho ta cận dưới của mọi hành trình

Thủ tục bớt này được gọi là thủ tục rút gọn, các hằng số trừ ở mỗi dòng (cột)

sẽ được gọi là hằng số rút gọn theo dòng(cột), ma trận thu được được gọi là ma trận rút gọn thủ tục sau cho phép rút gọn ma trận một ma trận A kích thước k ×

k đồng thời

Tổng các hằng số rút gọn là 81, vì vậy cận dưới cho tất cả các hành trình là 81 (không thể có hành trình có chi phí nhỏ hơn 81).

Bây giờ ta xét cách phân tập các phương án ra thành hai tập Giả sử ta chọn cạnh (6, 3) để phân nhánh Khi đó tập các hành trình được phân thành hai tập con, một tập là các hành trình chứa cạnh (6,3), còn tập kia là các hành trình

không chứa cạnh (6,3) Vì biết cạnh (6, 3) không tham gia vào hành trình nên

ta cấm hành trình đi qua cạnh này bằng cách đặt C[6, 3] = ∞ Ma trận thu được

sẽ có thể rút gọn bằng cách bớt đi mỗi phần tử của cột 3 đi 48 (hàng 6 giữ

nguyên) Như vậy ta thu được cận dưới của hành trình không chứa cạnh (6,3)

là 81 + 48 = 129 Còn đối với tập chứa cạnh (6, 3) ta phải loại dòng 6, cột 3 khỏi ma trận tương ứng với nó, bởi vì đã đi theo cạnh (6, 3) thì không thể đi từ

6 sang bất sang bất cứ nơi nào khác và cũng không được phép đi bất cứ đâu từ

3

Kết quả nhận được là ma trận với bậc giảm đi 1 Ngoài ra, do đã đi theo cạnh (6, 3) nên không được phép đi từ 3 đến 6 nữa, vì vậy cần cấm đi theo cạnh (3, 6) bằng cách đặt C(3, 6) = ∞

Cây tìm kiếm lúc này có dạng như trong hình.

Lúc này cây tìm kiếm có dạng:

Cạnh (6,3) được chọn để phân nhánh vì phân nhánh theo nó ta thu được cận dưới của nhánh bên phải là lớn nhất so với việc phân nhánh theo các cạnh khác Qui tắc này sẽ được áp dụng ở để phân nhánh ở mỗi đỉnh của cây tìm kiếm Trong quá trình tìm kiếm chúng ta luôn đi theo nhánh bên trái trước Nhánh bên trái sẽ có ma trận rút gọn với bậc giảm đi 1 Trong ma trận của nhánh bên phải ta thay một số bởi ∞, và có thể rút gọn thêm được ma trận này khi tính lại các hằng số rút gọn theo dòng và cột tương ứng với cạnh phân nhánh, nhưng kích thước của ma trận vẫn giữ nguyên.

Do cạnh chọn để phân nhánh phải là cạnh làm tăng cận dưới của nhánh bên phải lên nhiều nhất, nên để tìm nó ta sẽ chọn số không nào trong ma trận mà khi thay nó bởi ∞ sẽ cho ta tổng hằng số rút gọn theo dòng và cột chứa nó là lớn nhất Thủ tục đó có thể được mô tả như sau để chọn cạnh phân nhánh (r, c).

Thủ tục chọn cạnh phân nhánh

Đầu vào: ma trận rút gọn A kích thước k x k

Đầu ra: cạnh phân nhánh (r,c) và tổng hằng số rút gọn theo dòng r cột c là beta.

void BestEdge(A, k, r, c, beta)

     minr = < phần tửnhỏnhất trên dòng i khác với A[i, j];

     minc = <phần tửnhỏnhất trên cột j khác với A[i, j];

      total = minr + minc;

    if (total > beta)

Khi phân nhánh dựa vào cạnh (iu, iv) ta phải thêm cạnh này vào danh sách các cạnh của node bên trái nhất Nếu iu là đỉnh cuối của một đường đi (i1, i2, , iu) và jv là đỉnh đầu của đường đi (j1, j2, , jk) thì để ngăn ngừa khả năng tạo thành hành trình con ta phải ngăn ngừa khả năng tạo thành hành hành trình con ta phải cấm cạnh (jk, i1) Để tìm i1 ta đi ngược từ

iu, để tìm jk ta đi xuôi từ j1 theo danh sách các cạnh đã được kết nạp vào hành trình.

Như vậy chúng ta thu được hai hành trình tối ưu với chi phí là 104 Ví dụ trên cho thấy bài toán người du lịch có thể có nhiều phương án tối ưu Trong ví dụ này hành trình đầu tiên nhận được đã là tối ưu, tuy nhiên điều này không thể mong đợi đối với những trường hợp tổng quát Trong ví dụ trên chúng ta chỉ cần xét tới 13 node, trong khi tổng

số hành trình của người du lịch là 120.

3 Thuật toán nhánh cận giải bài toán người du lịch.

Các bước chính của thuật toán nhánh cận giải bài toán người du lịch được thể hiện trong thủtục TSP Thủ tục TSP xét hành trình bộ phận với Edges là cạnh đã được chọn và tiến hành tìm kiếm tiếp theo Các biến được sử dụng trong thủ tục này là:

Edges - Số cạnh trong hành trình bộ phận;

A - Ma trận chi phí tương ứng với kích thước (n-edges, n-edges)

cost - Chi phí của hành trình bộ phận

Mincost - Chi phí của hành trình tốt nhất đã tìm được

Hàm Reduce(A, k), BestEgde(A, k, r, c,beta) đã được xây dựng ở trên.

void TSP(Edges, cost, A) {

cost = cost + Reduce(A, n - Edges);

BestEdge(A, n - eges, r, c, beta);

LowerBound = Cost + beta;

<Ngăn cấm tạo thành hành trình con>;

III ỨNG DỤNG

áp dụng giải các bài toán tìm chi phí ngắn nhất, ví

dụ như các bài toán người du lịch(TSP) và bài toán cái túi etc.

Thank for listen!!

Bài làm còn nhiều sai sót mong cô và các bạn góp ý Nhóm em xin chân thành cảm ơn.