HH thi TN năm 2011

2/ Hình chóp có hai mặt SIB và SIC cùng vuông góc với đáy ⇒ giao tuyếnSI =h.. 3/ Hình chóp có mặt SAM vuông góc với đáy ⇒ đường cao của mặt SAM là đường cao hình chóp.. 4/ Hình chóp đều

CÁC VẤN ĐỀ QUAN TRỌNG CẦN CHÚ Ý CỦA

HÌNH HOC LỚP 12 THI TỐT NGHIỆP NĂM 2011

Vấn đề 1: Thể tích kh ối chĩp và mặt cầu ngoại ti ếp

hình chĩp

I/Thể tích khối chóp:

h B

3

1

= ( với B là diện tích đáy, h là chiều cao)

Một số trường hợp thường gặp để xác định đường cao:

1/ Hình chóp có cạnh bên SA vuông góc với đáy ⇒SA= h

2/ Hình chóp có hai mặt SIB và SIC cùng vuông góc với

đáy ⇒ giao tuyếnSI =h

3/ Hình chóp có mặt SAM vuông góc với đáy ⇒ đường cao

của mặt SAM là đường cao hình chóp

4/ Hình chóp đều ⇒Chân đường cao là tâm của đáy

I/ Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:

Một số trường hợp đơn giản hay gặp :

1/ Hình chóp có một cạnh hoặc đường chéo mà tất cả các

đỉnh còn lại nhìn nó dưới một góc vuông ⇒mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp sẽ có đường kính là cạnh huyền chung đó

2/ Hình chóp có d là trục của đường tròn đáy ⇒Tâm mặt cầu

ngoại tiếp là giao điểm của d và mặt phẳng trung trực của một

cạnh bên (nếu có cạnh bên SAvà d đồng phẳng thì dựng

đường trung trực của cạnh bên SA đó trong mp (d,SA) )

Vídụ: 1/Cho hình chóp S.ABCD có đáy làhình vuông cạnh a

60 a/Tính thể tich khối chóp S.ABCD b/ Xác định tâm và tính

diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

ĐS: a/

3

6 3

a

V = b/ Tâm I là trung điểm SC và S=8 aπ 2

Trang 1 2/ Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B,

hai mặt bên SAB và SAC cùng vuông góc với đáy ,SB=a,

SC a= 2, góc giữa (SBC)và (ABC) bằng 0

30 a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC

b/ Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp vàtính thể tích khối cầu tương ứng

ĐS: a/

24 3 3

a

3

1

a

3/ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng b,góc giữa cạnh bên và đáy bằng 600

a/ Tính thể tich khối chóp S.ABCD b/ Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

ĐS: a/

12

3 3

b

3

3

b

Vấn đề 2: Thể tích khối lăng trụ

V= B.h ( với B là diện tích đáy, h là chiều cao)

Chú y ù: 1/ Hình chiếu vuông góc của một đỉnh trên đáy kia

chính là chân đường cao của lăng trụ

2/ Lăng trụ đứng ⇒cạnh bên là đường cao

Ví dụ: 1/ Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a,cạnh bên BB’= a, chân đường vuông góc hạ từ đỉnh B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của A’C ĐS:

8

3 3

a

2/Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ biết mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và tam giác A’BC có diện tích bằng 8 ĐS: V = 8 3

Trang 2

Vấn đề 3: MẶT PHẲNG

* Véctơ pháp tuyến →

ncủa mặt phẳng là véctơ khác véctơ –không và có giá vuông góc với mặt phẳng

* Nếu hai véctơ →

bkhông cùng phương , có giá song song hoặc thuộc mặt phẳng thì = 

→

→

→

b a

* Phương trình tổng quát: (α) :Ax+By+Cz+D=0

(A2 +B2 +C2 ≠ 0 )

* ( )









=

→

)

;

; (

)

;

;

( : 0 0 0

C B A n VTPT

z y x M

qua

α

⇒ (α) :A(x−x0) +B(y−y0) +C(z−z0) = 0

* Mặt phẳng theo đoạn chắn : (α)cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại

c

z b

y a

x

* Mặt phẳng đặc biệt : (Oxy):z=0; (Oxz): y=0 ; (Oyz): x=0

• Chú ý: Để viết được phương trình mặt phẳng điều quan

trọng trước tiên là xác định VTPT

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (α) trong mỗi trường hợp sau:

1/ Đi qua ba điểm : A(-1;2;3) , B(2;-4;3) , C(4;5;6)

→

→

→

AC AB

2/Đi qua điểm M(1;3;-2) và vuông góc với trục Oy

( VTPT →n =→j = ( 0 ; 1 ; 0 ) ĐS: y-3=0 )

3/ Đi qua điểm M(1; 3;- 2) và vuông góc với đường thẳng BC với

B(0; 2; -3) , C(1; -4; 1)

n ĐS:x-6y+4z+25=0 )

Trang 3 4/ Đi qua điểm M (1; 3; -2) và song song với mp (P):2x-y+3z+4=0

( →n=n→P ĐS: 2x-y+3z+7 = 0 )

5/ Đi qua hai điểm A(3; 1; -1), B(2; -1; 4) và vuông góc với mặt

phẳng (P): 2x-y+3z+4=0

→

→

→

P

n AB

6/ Đi qua điểm M(2; -1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x-y+3z+4=0

( = 

→

→

→

P

n j

7/ Đi qua điểm M(-2; 3; 1) và vuông góc với cả hai mặt phẳng: (Q):2x+y+2z+5 = 0 , (R): 3x+2y+z = 0

→

→

→

R

Q n n

Vấn đề 4: ĐƯỜNG THẲNG

* Véctơ chỉ phương →

acủa đường thẳng là véctơ khác véctơ không và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng

ta zz

ta yy

ta

xx PTTS aa

aa VTCP

zy xM qua























 +=

+=

+=

⇒

=

→

3 0

2 0

1 0 3

2 1

0 0 0

: );

;(

);

;(

:

3

0 2

0 1

−

a

z z a

y y a

x x PTCT

* Đường thẳng đặc biệt :

0

0 :;

0

0 :;

0

0 :

y

x Oz z

x Oy x

y Ox

• Chú ý: Để viết được phương trình đường thẳng điều quan

trọng trước tiên là xác định VTCP

Trang 4

Ví dụ: Viết phương trình của đường thẳng d trong mỗi trường hợp:

+ +

−

= i j k

(VTCP →a = ( − 1 ; 3 ; 5 ) ĐS: x=2-t, y=3t; z=-1+5t)

2/ Đi qua A(-2; 1; 2) và song song với trục Oz

( VTCP →a =→k = ( 0 ; 0 ; 1 ) ĐS: x=-2, y=1, z=2+t)

3/ Đi qua hai điểm : A(2; 3; -1) và B(1; 2; 4)

4/ Đi qua A(4; 3; 1) và song song với đường thẳng







 +

=

−=

+

=

∆

t z

t y

t x

2 3 3

1 :

( VTCP →a=→a∆ ĐS : x=4+t, y=3-3t, z=1+2t )

5/ Đi qua A(1; 2; -1) và song song với đường thẳng giao tuyến của

hai mặt phẳng (P): x+y-z+3=0 và (Q): 2x-y+5z-4=0

(VTCP →a=→n P,→n Q ĐS: x=1+4t, y=2-7t, z=-1-3t)

6/ Đi qua A(-2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P):x+2y-2z+1=0

( VTCP →a=n→P ĐS x=-2+t , y=1+2t , z= -2t) 7/ Đi qua A(2; -1; 1) và vuông góc với hai đường thẳng lần lượt có véctơ chỉ phương →b = ( − 1 ; 1 ; − 2 ) ;→c = ( 1 ; − 2 ; 0 )

→

→

→

c b

8/ d là hình chiếu của







 +

=

+

−=

+

=

∆

t z

t y

t x

3 1

2 3

2

( ĐS: x=2+t , y=0 , z= 1+3t)

Trang 5

Vấn đề 5: VỊ TÍ TƯƠNG ĐỐI

I/Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:

Cho hai mặt phẳng α1:A1x+B1y+C1z+D1 = 0

0

α

Ta có:

α1 cắtα2 ⇔ A1 :B1 :C1 ≠ A2 :B2 :C2

2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 //

D

D C

C B

B A

A

≠

=

=

⇔ α α

2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

D

D C

C B

B A

A

=

=

=

⇔

≡ α α

Đặc biệt : α1 ⊥α2 ⇔ A1.A2 +B1.B2 +C1.C2 = 0

II/Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Xét a→d1 và a→2

1/ Trường hợp 1: a→d1 và a→2 cùng phương.

Lấy một điểm M tùy ý thuộc d1

a) M∉d2: d1//d2

b) M∈d2: d1≡d2

2/ Trường hợp 2: a→d1 và a→2 không cùng phương.

Xét thêm hệ phương trình tọa độ giao điểm

a)Hệ có nghiệm duy nhất : d1 cắt d2

b) Hệ vô nghiệm : d1 chéo d2

II/Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của đường thẳng d

và mặt phẳng α

* Hệ vô nghiệm : d // α

* Hệ có nghiệm duy nhất : d cắt α

* Hệ có vô số nghiệm : d nằm trong α

Trang 6

Ví dụ: 1/ Cho hai mặt phẳng : mx-y+3z+2=0 và 2x+ny+6z+7=0

Với giá trị nào của m và n thì hai mặt phẳng song song với nhau ?

2/ Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng :







 +

=

+

=

+

=

t z

t y

t x d

4 3 7

2 1

−

+

=

x

3/ Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng sau:

3

3 2

1 8

9 :x− = y− = z−

ĐS: 1/ m=1, n= -2 2/ Cắt nhau 3/ d nằm trong α

Vấn đề 6: HÌNH CHIẾU

Bài toán1:Tìm hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng d.

* Viết phương trình mặt phẳng α đi qua A và vuông góc d

* Giao điểm của d và α chính là hình chiếu H của A trên d

Bài toán 2:Tìm hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng α

* Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc α

* Giao điểm của d và α chính là hình chiếu H của A trên α

Trang7

Vấn đề 7: ĐỐI XỨNG

I/ Bài toán 1:Tìm điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d

* Tìm hình chiếu H của A trên d

* H là trung điểm của đọan thẳng AA’

II/ Bài toán 2:Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α

* Tìm hình chiếu H của A trên α

* H là trung điểm của đọan thẳng AA’

Ví dụ:

1/ Cho điểm A(2; 5; 3) và đường thẳng

2

2 1

2

1 :x− = y = z−

a) Tìm tọa hình chiếu vuông góc của A trên d

b) Suy ra tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua d 2/ Cho điểm A(-1; -3;- 2) và mặt phẳng α : x-y+z+3=0

a) Tìm tọa hình chiếu vuông góc của A trên α

d H

.

d

H

b) Suy ra tọa điểm A’ đối xứng với A qua α

ĐS: 1/ a) H(3; 1; 4) b) A’(4; -3; 5)

2/ a) H(-2; -2; -3) b) A’(-3; -1; -4)

Vấn đề 8: KHOẢNG CÁCH

Bài toán 1 : Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng α

2 2 2

0 0 0

) , (

C B A

D cz By Ax M

d

+ +

+ + +

= α

Bài toán 2 : Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d

* Tìm hình chiếu H của M trên đường thẳng d

* Khoảng cách từ M đến d chính là độ dài đoạn MH

Bài toán 3 : Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d1, d2.

* Lấy điểm M bất kỳ trên d1.

* Khoảng cách giữa d1 và d2 chính là khoảng từ M đến d2

Trang 8

Bài toán 4 : Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song α1 ,α2

* Lấy điểm M bất kỳ trên α 1

* Khoảng cách giữa α 1 và α 2 chính là khoảng từ M đến α 2

Bài toán 5 : Khoảng cách giữa đường thẳng d // mặt phẳng α

* Lấy điểm M bất kỳ trên d

* Khoảng cách giữa d và α chính là khoảng từ M đến α

Bài toán 6 : Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2

* Viết phương trình mặt phẳng α chứa d2và song song với d1

* Khoảng cách giữa d1vàd2 chính là khoảng cách giữa d1và α

−

−

= +

=

x d

và







 +

−=

−

=

−

−=

t z

t y

t x d

4 1

2 1

4 2 :

2

a) Xét vị trí giữa d1 và d2 b) Tính khoảng cách giữa d1 và d2 2/ Cho hai mặt phẳng α 1: x-y+2z+5=0 và α 2: 2x-2y+4z-3=0 a) Xét vị trí giữa α 1 và α 2

b) Tính khoảng cách giữa α 1 và α 2.

3/ Cho đường thẳng :x2+3 = y3+1= z2+1

α : 2x-2y+z+3 = 0

a) Xét vị trí giữa d và α b) Tính khoảng cách giữa d và α .

4/ Cho hai đường thẳng









=

−

−=

+

=

1 1

1 :

1

z

t y

t x









=

+

=

−

=

'3

'3 2

'3 2 :

2

t z

t y

t x

a) Xét vị trí giữa d1 và d2 b) Tính khoảng cách giữa d1 và d2.

Trang 9

ĐS: 1/ a) Song song b)

3

386

=

8

2 13

=

d

3/ a) Song song b) d =32 4/ a) Chéo nhau b) d = 2 2

Vấn đề 9: Góc

Cho hai mặt phẳng α và β có phương trình:

Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình:

GV Nguyễn Ngo ̣c Ấn Trường THPT Vĩnh Long

c

z z b

y y a

x

x

d : − 0 = − 0 = − 0 và

'

' '

' '

'

c

z z b

y y a

x x

1/ Góc giữa α và β:

2 2 2 2 2

2 ' ' '

' ' ' cos

C B A C B A

CC BB AA

+ + +

+

+ +

=

ϕ

' ' '

' ' ' cos

c b a c b a

cc bb aa

+ + +

+

+ +

=

ϕ

.

sin

c b a C B A

Cc Bb Aa

+ + +

+

+ +

= ϕ Đặc biệt : d ⊥d' ⇔aa' +bb' +cc' = 0

0 ' '

⇔

d song song hoặc thuộc α ⇔ aA+bB+cC=0

Ví dụ: Tính góc giữa :

1/ α : x+2y+2z +4=0 và β :x+y-z -1=0.

2/

4

3 3

1 2

1

: x− = y+ = z−

2

4 3

1 1

2 :' = + = −

−

x

3/ :x2+3 = y1+1= z1−3

ĐS 1/ ϕ ≈ 78 0 54 ' 2/ ϕ ≈ 58 0 20 ' 3/ ϕ = 30 0Trang 10 (Hết)