TS10 20 DIEN BIEN

Rút gọn biểu thức B.. 3,0 điểm Cho tứ giác ABCD nội tiếp O; R và có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại I I khác O.. Chứng minh tứ giác ABDE là hình thang cân.. Từ A, B kẻ các đ

SỞ GD& ĐT TỈNH ĐIỆN BIÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ TS VÀO 10 THPT Năm học: 2019 – 2020 Môn: Toán (Chung) Thời gian: 90’ (không kể giao đề)

ĐỀ BÀI:

Câu 1 (2,5 điểm)

Cho biểu thức:

5 3

x A x





 và

9 3

B

x x





1 Tính A khi x = 25

2 Rút gọn biểu thức B

3 Tìm giá trị nhỏ nhất của

A

B

Câu 2 (2,5 điểm)

1 Giải phương trình:

a) x2  5x 4 0 b) x4  x2 6 0

2 Giải hệ phương trình:

x y

x y

 

�

�  

�

Câu 3 (1,0 điểm)

Cho phương trình: x2   ax b 1 0 (a, b là các tham số) Tìm a, b để phương trình

có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

3 9

x x

x x

 

�

�  

�

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) và có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại I (I khác O) Kẻ đường kính CE

1 Chứng minh tứ giác ABDE là hình thang cân

2 Chứng minh: AB2CD2BC2AD2 2 2 R

3 Từ A, B kẻ các đường thẳng vuông góc với CD lần lượt cắt BD, AC tại F

và K Tứ giác ABKF là hình gì?

Câu 5 (1,0 điểm)

1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y3    x3 x2 x 1.

2 Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng: A

= 1 a2 1 b2 1 c2 là một số chính phương.

ĐÁP ÁN

Câu 1 (2,5 điểm)

Cho biểu thức:

5 3

x A x





 và

9 3

B

x x





1 Tính A khi x = 25

2 Rút gọn biểu thức B

3 Tìm giá trị nhỏ nhất của

A

B

Hướng dẫn:

ĐKXĐ: x� �0,x 9

1 Với x = 25 (TMĐK) =>

25 5 30

15

5 3

25 3





2 Có:

B

3 Có:

:

ĐK: x > 0

=>

A x



Dấu "=" xảy ra <=>

5

5( )

x

Vậy MinA2 5�x5

Câu 2 (2,5 điểm)

1 Giải phương trình:

a)

x   x b) x4   x2 6 0

2 Giải hệ phương trình:

x y

x y

 

�

�  

�

Hướng dẫn:

1 a)

5 4 0

4

x

x x

x



�

   � ��

b)

2

2

6 0 ( 2)( 3) 0

( 3) 0( )

�   �  �

 

�

2

�    �    �    � 

Câu 3 (1,0 điểm)

Cho phương trình: x2   ax b 1 0 (a, b là các tham số) Tìm a, b để phương trình

có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

3 9

x x

x x

 

�

�  

�

Hướng dẫn:

Ta có:

      

Để phương trình có nghiệm thì: � �0 a24b4 0�

Theo Vi-Et ta có:

x x b

  

�

�  

�

Mà:

x x x x

( a)   b 1 3 b a  4

Thay b a 24 vào biểu thức Delta ta có:

          

ĐK: � �0 3a212 0� �2� �a 2

=>

;

x         x        

Do:

2

1

1

a

a

       



�

     ��   

Vậy

1

3

a

b

 �

�

�  

� thì pt có nghiệm thỏa mãn đề bài

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) và có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại I (I khác O) Kẻ đường kính CE

1 Chứng minh tứ giác ABDE là hình thang cân

2 Chứng minh: AB2CD2BC2AD2 2 2 R

3 Từ A, B kẻ các đường thẳng vuông góc với CD lần lượt cắt BD, AC tại F

và K Tứ giác ABKF là hình gì?

Hướng dẫn:

1 Có: � � �

0

90

EAC EBC EDC  

(Góc nt chắn nửa đường tròn)

EA AC

� �EA BDP ( AC) �EADB

là hình thang (1)

Mà:

0 0

90 90

BEC BCE

IDC ICD

�

�

�

(cmt)

Do:

2

IDC BDC ADC   BC

(Góc nt chắn BC� )

=> ICD ACD BCE�  � � => ��EB AD� �EB AD (2)

Từ (1) và (2) => AEBD là hình thang cân (đpcm)

2 Có:

AB CD BC AD  ED CD  BC EB

(Vì: AB = ED, AD =

EB (cmt))

2 2 2 2 ( 2 2 ) ( 2 2 )

(đpcm)

3 Giả sử : AFCD M BK CD N ;  

=> MCA� IF�A (Cùng phụ với CAM� )

AFB



�

cân tại A => AB = AF (3)

� IAF�

IAB

�

(Đường cao trong tam giác cân)

Mà: BK // AF (cùng DC)

IKB SLT

� ��IKB IAB ( IAF)� �

ABK



�

cân tại B => BA = BK (4)

Từ (3) và (4) => AB = BK = AF

=> AF//=BK => ABKF là HBH

Mặt khác: => ABKF là hình thoi

Câu 5 (1,0 điểm)

1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y3    x3 x2 x 1.

2 Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng: A

= 1 a2 1 b2 1 c2 là một số chính phương.

Hướng dẫn:

1 Với y = 0 =>x3   x2 x 1 0�(x1)(x2 1) 0

<=>

2

(x  1) 0 (Do x:    1 0 x)

<=> x = -1

Với y �0 => y.y2 = (x + 1)(x2 + 1)

2 2 2 2 2.(2 ) 2 2 2

=>

1

1

y x

y x

 

�

�  

�

(Vì:

x y� � � y y x x 

(x 1)  x 1 �x  2x  1 x  1 �x 0

=> y = 1 Vậy pt có nghiệm là: (x;y) = (-1; 0) ; (0; 1)

2 Vì: ab+bc+ca = 1 => 1 + a2 = ab+bc+ca + a2 = (a+b)(a+c) (1) Tương tự: 1 + b2 = ab+bc+ca + b2 = (a+b)(b+c) (2)

1 + c2 = ab+bc+ca + c2 = (c+b)(a+c) (3)

Từ (1), (2) và (3) => A = (a+b)2(b+c)2(c+a)2 => A là số CP (đpcm)