Giả sử T là giao điểm của các tiếp tuyến tại E,Z với đường tròn đường kính AD.. Chứng minh rằng TB = TC... Tìm tất cả các hàm rất lồi.. Bài 7 : Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC v
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH
Môn Toán Năm học : 2010 – 2011 Thời gian : 180 phút Ngày 24/12/2010 ( Vòng 1 )
Bài 1 : Cho a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh bất đẳng thức
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a c b a c b
Bài 2 : Gọi D là trung điểm cạnh BC của tam giác ABC và E,Z lần lượt là hình chiếu của D trên AB,AC Giả sử T là giao điểm của các tiếp tuyến tại E,Z với đường tròn đường kính AD Chứng minh rằng TB = TC
Bài 3 : Tìm tất cả hàm f :¡ →¡ thỏa mãn với mọi số thực x y, th
2
( ( )) ( f ( ))
f xf x y+ = f y x +x
Bài 4 : Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ số nguyên dương ( , , , )x y z t thỏa mãn hai
số bất kì trong chúng đều nguyên tố cùng nhau và x3+ + =y3 z2 t4
Bài 5 : Cho 2010 điểm A A1, , ,2 A2010 trong mặt phẳng và một đường tròn bán kính 1
tùy ý, chứng minh rằng tồn tại một điểm S trên đường tròn đó sao cho
1 SA2 SA2010 2010
Trang 2ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH
Môn Toán Năm học : 2010 – 2011 Thời gian : 180 phút Ngày 24/12/2010 ( Vòng 2 )
Bài 6 : Một hàm f được gọi là rất lồi nếu nó thỏa mãn :
( ) ( )
với mọi số thực x y , Tìm tất cả các hàm rất lồi.
Bài 7 : Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong tứ giác lồi ABCD Phân giác của góc ACD cắt cạnh BA tại K Nếu MA.MC + MA.CD = MB.MD, chứng minh rằng góc BKC bằng góc CDB
Bài 8 : Tìm tất cả hàm : (0,f +∞ →) (0,+∞) thỏa mãn với mọi số dương w, , ,x y z
thỏa mãn wx yz = thì
( ) ( ) ( ) ( )
Bài 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của n sao cho tồn tại n số nguyên dương thỏa mãn tổng các lũy thừa bậc 4 của chúng có giá trị là 1998
Bài 10 : Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( , ) x y thỏa mãn xy > y x