Số hữu tỷ

TÍNH CHẤT Phép tính Giao hoán a+ = +b b a Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi.. a b=b a Khi đổi chỗ các số thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.. Mu

CÁC PHÉP TÍNH

1) Phép cộng

2) Phép nhân

3) Phép trừ

4) Phép chia hết

Phép chia không hết

5) Phép nâng luỹ thừa với số mũ tự nhiên :

a gọi là a bình phương hay còn gọi bình phương của a.

a gọi là a lập phương hay còn gọi lập phương của a

II TÍNH CHẤT

Phép tính

Giao hoán

a+ = +b b a

Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi.

.

a b=b a

Khi đổi chỗ các số thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.

Kết hợp

(a+b) + = +c a (b+c)

Muốn cộng một tổng hai số với

số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và thứ ba

(a b c ) =a b c ( )

Muốn nhân một tích hai số với

số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và thứ ba

Phần tử đơn vị

0 0

a+ = + =a a

Tổng không thay đổi khi ta cộng nó với số 0

.1 1.

a = a=a

Tích không thay đổi khi ta nhân

nó với số 1

Phân phối

( )

a b+c =ab+ac

Muốn nhân một số với một tổng, ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại

a + b = c

( số hạng a ) cộng ( số hạng b ) bằng ( tổng số c )

a b = c

( thừa số a ) nhân ( thừa số b ) bằng ( tích số c )

a − b = c

( số bị trừ a ) trừ ( số trừ b ) bằng ( hiệu số c )

a : b = c

( số bị chia a ) chia ( số chia b ) bằng ( thương số c )

a = b c + r

( số bị chia a ) bằng ( số chia b ) nhân ( thương số c ) cộng ( số dư r : 0 ≤ r < b)

n

n thua so

=14 2 43 , n N∈ * Luỹ thừa bậc n của số a bằng tích n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a

SỐ HỮU TỶ

1 Định nghĩa

 Số hữu tỷ được viết dưới dạng phân số a

b với ,a b Z b∈ , ≠0

 Tập hợp các số hữu tỷ được ký hiệu là Q

2 So sánh hai số hữu tỷ

 Cho hai số hữu tỷ bất kỳ x, y bao giờ cũng xảy ra một trong ba khả năng sau :

 x> y;

 x= y;

 x< y.

 Cho số hữu tỷ bất kỳ x bao giờ cũng xảy ra một trong ba khả năng sau :

 x>0 : ta gọi x là số hữu tỷ dương ;

 x=0 : ta gọi x là số hữu tỷ không ;

 x<0 : ta gọi x là số hữu tỷ âm.

 Muốn so sánh hai số hữu tỷ x, y ta viết chúng dưới dạng phân số để so sánh :

Nếu hai phân số có cùng mẫu số dương thì phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số

đó lớn hơn

3 Phép tính :

+

Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu ta cộng tử với nhau và giữ nguyên mẫu.

−

Muốn trừ hai phân số có cùng mẫu ta trừ tử với nhau và giữ nguyên mẫu.

.

.

x y

Muốn nhân hai phân số ta nhân tử với tử và mẫu với mẫu.

.

.

x y

Muốn chia một phân số cho một phân số, ta nhân phân số bị chia với nghịch đảo của

phân số chia.

Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính

a) 2 1

3 2

A= + b) 2 1

3 5

B= − c) 2 1 3

3 5 10

C= − +

d) 9 3 2 7 7 3 3 9 5

D= − +  − − −  + + − 

Ghi nhớ : Khi bỏ dấu ngoặc mà đằng trước có dấu trừ thì ta đổi dấu tất cả các hạng tử trong

dấu ngoặc

Bài giải

a) 2 1 4 3 7

A= + = + =

b) 2 1 10 3 7

3 5 15 15

B= − = − =

c) 2 1 3 20 6 9 23

C = − + = − + =

d) 9 3 2 7 7 3 3 9 5 (9 7 3) 3 7 9 2 5 3

D= − +  − − −  + + − = − + + − + +  + − +

5 13 3 50 26 15 91

D= + + = + + =

Ví dụ 2 : Tìm x biết

a) 3 2

5 3

x= − b) 4 2

7 5

x− = c) 3 2 4

10 3 5

x+ = +

d) 3 9 5 9 3 2 5 7 5

x+ + −  = − +  − + − 

Bài giải

a) 3 2 9 10 1

x= − = − = −

b) 4 2

7 5

x− = ⇔ 4 2 20 14 34

c) 3 2 4

10 3 5

x+ = + ⇔ 2 4 3 20 16 9 27 9

x+ + −  = − +  − + − 

x= − +  − + −  − + − 

⇔ (9 5 3) 3 7 9 2 5 5

x= − − + − − −  + + +

19 5 10 38 25 3 1

x= − + = − + = −

Ví dụ 3 : Thực hiện phép tính ( nhân, chia )

a) 2 5

3 4

A − 

=  ÷  b) 4 5:

3 6

B= c) 4 2 1 3

3 3 5 10

C =  − − 

d) 7 : 3 5 7

15 5 2 6

C=  − + 

  e)

D= +   −   − + 

Bài giải

a) 2 5 5

A= − = −

 ÷

  b)

4 5 4 6 8

3 6 3 5 5

c) 4 2 1 3 4 20 6 9 4 15 2

3 3 5 10 3 30 3 30 3

d) 7 : 3 5 7 7 18 75 35: 7 30 7

e) 4 2 7 3 : 3 9 5 12 10 14 15 45 27 25 : 22 1 15 11

D= +   −   − + = + − − + = − =

Ví dụ 4 : Tìm x biết

a) 2 4

5x=15 b) 1 1 3

5 x 10

 +  =

  c)

2 4 x 3 5 6

 +  = − +

d) 4 6 2 4

3 5 7 x 15

 − +  =

  e)

5 3 x 5 3 5 2

 − +  = −   − 

g) 2 4 1

5x= +3 5 h) 4 5: 3

5 7+ x=10

Bài giải

a) 2 4

5x=15 ⇔ 4 2: 4 5 2

15 5 15 2 3

b) 1 1 3

5 x 10

 +  =

5x=10 ⇔ 3 6: 3 5 1

10 5 10 6 4

c) 1 1 4 3 1

2 4 x 3 5 6

 +  = − +

3 40 18 5

4x 30

− +

30 4 30 3 5

d) 4 6 2 4

3 5 7 x 15

 − +  =

140 126 30 4

105 x 15

44 4

105x=15 ⇔ 44 4 105 7

105x=15 44 =11 e) 3 9 5 4 2 7 3

5 3 x 5 3 5 2

 − +  = −   − 

x= −   −   − + 

⇔ 12 10 14 15 45 27 25 : 2 1 15 1

−

g) 2 4 1

5x= + ⇔3 5 2 20 3

5x 15

+

15 2

6

x=

h) 4 5: 3

5 7+ x=10 ⇔ 5: 10 4

7 x= 3 − ⇔5 5: 50 12

7 x 15

−

7x =15 ⇔ 5.15 75

7.38 266

x= =

Ví dụ 5 : Cho

1 1

1 1

1 1 2

x= +

+ + và

1 1

1 1

1 1 2

y= −

−

−

a) Tính x , y

b) Tính x y+ , x y− , x y , : x y ?

Bài giải

a) Ta có

1

+

và

1

−

−

b) Tính 8 2 18

x y+ = + = , 8 2 2

x y− = − = −

, 8.2 16

x y= = , : 8: 2 4

x y = =

LUYỆN TẬP

Bài tập 1 : Thực hiện phép tính

a) 3 4

5 7

A= + b) 3 1

2 6

B= − c) 4 2 3

3 5 10

C = + −

d) 12 4 2 9 7 3 2 9 5

D= + −  − + −  + + − 

Bài tập 2 : Tìm x biết

a) 3 1

7 3

x= − b) 2 3

5 7

x+ = c) 3 2 4

2 5 3

x+ = −

d) 2 9 5 9 3 2 3 7 5

x− + −  = − +  + + − 

Bài tập 3 : Thực hiện phép tính

a) 3 7

2 5

A − 

= −  ÷  b) 6: 3

B= − 

  c)

5 2 1 3

3 3 5 10

C =  + − 

d) 9 : 3 5 1

10 5 2 6

C=  + − 

  e)

D= −   −   − + 

Bài tập 4 : Tìm x biết

a) 4 8

5x=15 b) 2 1 3

5 x 10

 −  = −

  c)

2 4 x 3 5 6

 −  = + −

d) 4 3 2 8

3 5 9 x 15

 + −  =

  e)

5 3 x 5 3 5 2

 − +  = −   + 

g) 2 4 1

3x= −3 5 h) 4 5: 3

7 2− x= 4

Bài tập 5 : Cho

1 1

1 1

1 2 2

x= −

+

− và

1 1

1 3

1 2 2

y= +

+

−

a) Tính x , y

b) Tính x y+ , x y− , x y , : x y ?

LUỸ THỪA VỚI SÔ MŨ NGUYÊN DƯƠNG

a gọi là a bình phương hay còn gọi bình phương của a

a gọi là a lập phương hay còn gọi lập phương của a

• 0n =0, 1n =1 n là số nguyên dương

• ( )2

1 n 1

− = , ( )2

1 n 1

− = − n là số nguyên dương

0

0 : 1

a≠ a = Luỹ thừa bậc 0 của một số khác 0 thì bằng 1

a a =a + Tích của hai luỹ thừa cùng cơ số bằng luỹ thừa của chính cơ số đó với số mũ bằng tổng các số mũ.

;

m

m n

n

a

a

−

= ≥ Thương của hai luỹ thừa cùng cơ số bằng luỹ thừa của chính cơ số đó với số mũ bằng hiệu các số mũ.

( )n n .n n

a b c =a b c Muốn nâng một tích lên một luỹ thừa ta nâng từng thừa số lên luỹ thừa

đó rồi nhân các kết quả với nhau

n

  =

 ÷

 

Muốn nâng một thương lên một luỹ thừa ta nâng số bị chia và số chia lên luỹ thừa đó rồi chia các kết quả với nhau

( )m n m n.

a =a Nâng một luỹ thừa lên một luỹ thừa bằng luỹ thừa của chính cơ số đó

với số mũ bằng tích các số mũ

Ví dụ 1 : Tính a) 2 b) 2 ( )2

2

− c) ( )4

3

− d) ( )3

5

−

e)

2

2 3

− 

  f)

3

3 5

 

 ÷

  g)

3 2

2 3

  

−

 ÷

 

  h)

5 3

1 2

  

−

 ÷

 

Bài giải

a) 22 =2.2 4= , b) ( ) ( ) ( )2

− = − − = c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

d) ( ) ( ) ( ) ( )3

− = − − − = −

e) 2 2 ( )2

2

2

−

−

−  =  = =

    f)

3

5 5 125

  = =

 ÷

 

g) 2 3 6 ( )6

6

2

   −  −

 ÷   ÷

h) 3 5 15 ( )15

15

1

   −  −

 ÷  ÷

Ghi nhớ :

 Luỹ thừa bậc chẵn của một số âm là một số dương

 Luỹ thừa bậc lẻ của một số âm là một số âm.

{ .

n

n thua so a

Luỹ thừa bậc n của số a bằng tích n thừa số bằng nhau,

mỗi thừa số bằng a.