Bài 2:Cho tam giác ABC có các góc nhọn nội tiếp O .Các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H .Kẻ đường kính AI của đường tròn O.. DH Bài 3:Cho BC và AD là hai dây cung của O vuông góc nh
Trang 120 bộ đề hình học ôn thi tốt nghiệp –thi tuyển lớp 10.
Bài 1:Từ M ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA,MB trên cung nhỏ AB lấy C kẻ CD⊥AB,CE⊥MA,
CF⊥MB AC cắt DE tại I,BC cắt DF tại K Chứng minh:
a/ AECD, BFCD là tứ giác nội tiếp.
b/CD 2 =CE.CF
c/IKPAB.
Bài 2:Cho tam giác ABC có các góc nhọn nội tiếp (O) Các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H Kẻ đường kính AI của đường tròn (O).
a/Chứng minh: BHCI là hình bình hành
b/Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh; OM=1
2AH.
c/BE cắt (O) tại K Chúng minh: H và K đối xứng nhau qua AC.
d/Chứng minh: DB.DC=DA DH
Bài 3:Cho BC và AD là hai dây cung của (O) vuông góc nhau tại M.(A trên cung lớn BC) đường tròn (I) đường kính BC cắt AB,AC tại P,N
a/Chúng minh: AM,BN và CP đồng qui tại H.
b/Chứng tỏ tứ giác APHN nội tiếp đường tròn tâm J Xác định vị trí của J.
c/Chứng tỏ hai điểm H và D đối xứng nhau qua BC.
d/Đường thẳng AO cắt (O)tại E.Chứng minh: H,I,E thẳng hàng và I là trung điểm của HE.
e/ Chứng minh: HO và IJ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Bài4 : Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi I là trung điểm của CO và vẻ đường tròn tâm I đi qua O a/Chứng minh: (O) và (I) tiếp xúc nhau
b/Một đường thẳng di động (d) qua B (không qua A)cắt (I) tại M cắt (O) tại N Chứng tỏ tỉ số 1
2không đổi.
c/ Gọi P là giao điểm cùa aM và ON, Q là trung điểm của AN ,chứng minh: B,P, Q thẳng hàng.
d/Chứng minh: Q luôn ở trên một đường tròn cố định.
Bài 5:Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC) nội tiếp (O) ,M là trung điểm của AC Đường tròn tâm I đường kính MC cắt (O) tại điểm thứ hai là D và cắt BC tại N
a/Chứng minh: OM là tiếp tuyến của (I) và ba điểm B,M,D thẳng hàng
b/ Chứng minh: AB.NC=AC.MN.
c/DN cắt (O) tại điểm thứ hai là E Chứng minh B là trung điểm của »AE.
d/Chứng minh: AE PMN
Bài 6:Cho hình vuông ABCD trên BC lấy E ,Từ B kẻ Bx⊥DE tại H, Bx cắt DC tại K
A/ Chứng minh; BHCD là tứ giác nội tiếp (O) xác định vị trí của O.
b/Tính ·CHK .
c/ Chứng minh: KC.KD= KH.KB.
d/Khi điểm E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào?
Bài 7:Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E, vẽ EF
⊥AD.Gọi M là trung điểm của DE.Chứng minh :
Trang 2a/Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp được.
b/Tia CA là tia phân giác của ·BCF
c/Tứ giác BCMF là tứ giác nội tiếp
Bài 8: Cho đường tròn (O) ,đường kính AB cố định.Gọi M,N là hai điểm di động trên cung AB sao cho
¼ AM = MN ¼ Các đường thẳng AM,BN cắt nhau tại C, AN và BM cắt nhau tại D.
a/Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp được (I) Xác định vị trí của I.
b/ Chứng minh : · ACB CAB = · , CD ⊥ AB
c/Chứng minh IM,IN là tiếp tuyến của (O)
d/Trên BM kéo dài lấy E sao cho ME=MD
*Tứ giác ADCE là hình gì? Tại sao?
*Khi M,N di động theo điều kiện trên chứng tỏ E luôn ở trên một đường thẳng cố định và EC tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Bài 9:Cho tam giác đều ABC có cạnh là avà đường cao AH.Lấy D trên BC sao cho C là trung điểm của BD, Đường tròn đường kính CD cắt AD tại I.
a/Chứng minh: tứ giác AHCI nội tiếp được.
b/Tính ·ADBvà tính AD,CI theo a.
c/Chứng minh H và I đối xứng qua đường thẳng AC.
d/Tính diện tích tứ giác AHCI theo a.
e/Chứng minh HI là tiếp tuyến chung của đường tròn đường kính CD và (A; 3a
4 )
Bài10 :Cho đường tròn tâm O, đường kính BC, M là một điểm trên đoạn BO( M không trùng với B và O)Trên đường thẳng vuông góc với BC tại M lấy A ở ngoài đường tròn (O) các đường thẳng AB, AC cắt (O) tại P và N.a/ Chứng minh: AM,BN,CP cùng đồng quitại H.
b/Chứng minh tứ giác CNHM nội tiếp được Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
c/Chứng minh: · BNP BNM = · , suy ra H là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MNP.
d/Chứng minh: AP.AB=AN.AC
e/Đường tròn đường kính OC cắt OC tại K, chứng tỏ ba điểm O,I,K thẳng hàng.
f/ Tứ giá NBOK là hình gì ? Tại sao?
g/Cho BC=2R ,BN=2R
3 diện tích tứ giác NBOK theo R.
Bài 11: Cho am giác ABC có ba góc nhọn , các đường cao AD,BE, CF cắt nhau tại H
a/Chứng minh: AD,BE, CF là các đường phân giác của tam giác DEF.
b/ Cho µ A = 70 , B 650 µ = 0 Tính các góc của tam giác DEF.
MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 -MƠN HÌNH HỌC
Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ xOy cho điểm và Xét điểm M, N thay đổi trên trục tung sao cho AM vuơng gĩc với BN
a)Chứng minh rằng AN vuơng gĩc với BM và OM.ON khơng đổi Từ đĩ suy ra đường trịn đường kính MN luơn đi qua hai điểm cố định Tìm tọa độ hai điểm cố định đĩ
b)Tìm quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN Xác định vị trí của M, N sao cho tam giác AMN cĩ diện tích nhỏ nhất
Lời giải:
Trang 3a) Xét tam giác AMN có NB và AO là hai đường cao, giao nhau tại B Do đó MB cũng là đường cao của tam giác Từ đó suy ra AN vuông góc với BM ĐPCM
Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của BN với AM, AM với BN
Dễ dàng nhận thấy:
(góc, góc) Suy ra:
(góc, góc) Suy ra:
(góc, góc) Suy ra:
Từ đó, ta có:
Hay nói cách khác OM.ON không đổi
Gọi I, J là giao điểm của đường tròn đường kính MN với trục Ox
Xét đường tròn đường kính MN có MN là đường kính, IJ là dây cung, MN vuông góc với IJ nên
MN đi qua trung điểm của IJ Hay nói cách khác OI=OJ
Ta có:
(góc, góc) Suy ra:
Hay nói cách khác:
Suy ra: I( , J(
I, J là các điểm cố định mà đường tròn
đường kính MN đi qua ĐPCM
b) Gọi K là giao điểm còn lại của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN với trục Ox
Ta có: (góc, góc)
Suy ra K(1;0) là điểm đối xứng của B qua O,là điểm cố định Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua A, K nên tâm G của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nằm trên đường trung trực
(d) ( ) của AK Ta chứng minh quỹ tích của G chính là đường thẳng (d) Thật vậy:
Gọi G’ là một điểm trên (d) , kẻ đường tròn (G’, G’A).Đường tròn này cắt trục tung tại hai điểm
M’ và N’.Gọi P’, Q’ lần lượt là giao điểm của M’B với N’A, M’A với N’B Ta cần phải chứng minh M’A vuông góc với BN’, hay là M’Q’ vuông góc với BN’.Thật vậy:
Trang 4Vì K là điểm đối xứng của B qua O nên NBK · = NKB ·
AQB KAQ ABQ MAK KBN
MNK AKN
Suy ra: N’Q’ vuông góc AM’ Suy ra ĐPCM
Vậy quỹ tích tâm G của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN là đường thẳng (d)
Dấu đẳng thức xảy ra khi
và chỉ khi .Khi đó )
Bài 2 (4 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R (R > 0) M, N là hai điểm thuô ̣c nửa đường tròn đó sao cho M thuô ̣c »AN và tổng khoảng cách từ A, B đến MN bằng R 3
a) Tính đô ̣ dài MN theo R
b) Go ̣i giao điểm của AN và BM là I, giao điểm của AM và BN là K Chứng minh rằng 4 điểm M, N, I, K cùng nằm trên mô ̣t đường tròn Tính bán kính đường tròn đó theo R
c) Tìm giá tri ̣ lớn nhất của diê ̣n tích tam giác KAB theo R khi MN thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết của bài toán
Bài 3 (2 điểm)
Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình EF của hình thang Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M
Giải:
– Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại N ⇒ BCND là hình bình hành Suy ra: BC = DN
– Mặt khác: AD + BC = 2EF mà AM = EF (gt) Suy ra: AN = AD + DN = AD + BC = 2AM
Do đó: M là trung điểm của AN
– Vì CN // BC mà BD ⊥ AC ⇒ CN ⊥ AC Hay: ∆ACN vuông tại C có CM là trung tuyến
⇒ 2CM = AN Hay: CM = AM Vậy: ∆AMC cân tại M
Bài 4 (2 điểm)
Cho ∆ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E Xác định vị trí của D và E để diện tích ∆DME đạt giá trị nhỏ nhất
Giải:
– Kẻ MF ⊥ AB, MG ⊥ AC
⇒ AFMG là hình chữ nhật
– Ta có: MD ≥ MF và ME ≥ MG
M
F E
N D
A
I
G
A
B
D
Trang 5(tính chất đường xiên, hình chiếu)
Do đó: SDME 1MD.ME 1MF.MG Const
Dấu "=" xảy ra ⇔ D ≡ F và E ≡ G Vậy: Khi D và E lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC thì diện tích của ∆DME đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 5 (4 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R (R > 0) M, N là hai điểm thuô ̣c
nửa đường tròn đó sao cho M thuô ̣c »AN và tổng khoảng cách từ A, B đến MN bằng R 3
a) Tính đô ̣ dài MN theo R
b) Go ̣i giao điểm của AN và BM là I, giao điểm của AM và BN là K Chứng minh rằng 4 điểm M, N, I, K cùng nằm trên mô ̣t đường tròn Tính bán kính đường tròn đó theo R
c) Tìm giá tri ̣ lớn nhất của diê ̣n tích tam giác KAB theo R khi MN thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết của bài toán
Giải:
a) Go ̣i P, G, H lần lươ ̣t là hình chiếu của A, B, O lên MN
⇒ hình thang ABGP có OH là đường trung bình:
+
Suy ra: 2 3R2 R
⇒ ΔOMN là tam giác đều
b) Ta có: KMI KNI 90· =· = 0
⇒ KMON nô ̣i tiếp đường tròn đường kính KI
c) Go ̣i J là tâm đường tròn đường kính KI
Ta có: KAN 30· = 0 ⇒ AKN 60 · = 0
⇒ MJN 120 · = 0⇒ MJH 60 · = 0
⇒ ΔMJH là nửa tam giác đều
Do đó: MH MJ 3 MJ 2MH 2 3MH 2 3.R 3R
d) K nằm trên cung chứa góc 600 dựng trên đoa ̣n AB
Go ̣i chiều cao kẻ từ K đến AB là h ta có: AKB
1
2
= = lớn nhất ⇔ h lớn nhất
Mà h ≤ OK dấu “=” xảy ra ⇔ h ⊥ AB ta ̣i O ⇔ ΔABK đều ⇔ h AB 3 3R
2
Vâ ̣y: 2
KAB
b) Cho tam giác ABC cân ta ̣i A Từ trung điểm M của ca ̣nh BC kẻ MH ⊥ AC ta ̣i H Go ̣i I là trung điểm của MH, AI cắt BC ta ̣i N, BH cắt AM ta ̣i K và AI ta ̣i P Chứng minh rằng tứ giác MKPN nô ̣i tiếp
b) Kẻ đường cao BD của tam giác ABC ⇒ BD // MH ⇒ HC = HD
ΔBDC ΔAHM ⇒ AMBC = HMDC
J H I
K
G
P
N
O
M
Trang 6Mà DC = 2CH và HM = 2.MI ⇒ AMBC =CHMI hay: BC AM
CH = MI
La ̣i có: AMI BCH· =· (góc có ca ̣nh tương ứng vuông góc)
Suy ra: ΔBCH ΔAMI ⇒ CBH MAI· = ·
la ̣i có: BKM AKP· = · ⇒ APK KMB 90· =· = 0
Suy ra: KMN KPN 90· +· = 0 + 90 0 = 180 0
Vâ ̣y: tứ giác MKPN nô ̣i tiếp
Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB = AC và BC < AB nô ̣i tiếp đường tròn (O) Tiếp
tuyến ta ̣i B và C của đường tròn lần lượt cắt AC và AB ta ̣i D và E Chứng minh:
a) BD2 = AD.CD
b) BCDE là tứ giác nô ̣i tiếp
c) BC // DE
Giải: a) ΔABD ΔBCD (g.g) ⇒ BDCD = ADBD⇒BD2 = AD.CD
b) ΔACE và ΔABD có:
AB = AC
µA(chung)
ACE ABD(Do ABC ACB) = =
Suy ra: ΔACE = ΔABD (g.c.g) ⇒ BEC BDC· = ·
Do đó: E và D cùng thuô ̣c cung chứa góc dựng trên ca ̣nh BC
Vâ ̣y: tứ giác BCED nô ̣i tiếp
c) Do BCDE nô ̣i tiếp nên: BED ACB ABC· = · = · ⇒ BC // DE
D E
A
C B
O
