Chứng tỏ rằng có thể đặt đa giác vào trong một hình tròn có bán kính 1.. Gọi Ab là đờng vuông góc chung của chúng, đặt AB=2a.. Bài 4 : Cho tứ diện có tất cả các góc nhị diện đều là góc
Trang 1Mục Lục
1 Đề thi toán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2000.
2 Đề thi toán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2001.
3 Đề thi toán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2002.
4 Đề thi toán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2003.
Đề thi toán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2000
( Thời gian 180 phút) Bài 1:
a) Giải phơng trình
3
3
3
1 0
x
b) CMR phơng trình x 3 + x - 1 = 0 có mọi nghiệm thoả mãn x 2 - x ≤0
Bài 2: Giải hệ phơng trình :
2 2 2
z y
x z
+ =
Bài 3: Cho a 1 =1 , 1
1
1 2
n n
n
a a
a
−
−
= + với n=1, 2, 3, ,10.
a) Chứng minh rằng : a10− 2 0>
2
n n
n
a a
+ với n=10
Bài 4:
a) Cho đa giác lồi có tất cả các đờng chéo bằng nhau hỏi đa giác đó có thể có bao nhiêu cạnh.
b) Cho đa giác có chu vi bằng 4 Chứng tỏ rằng có thể đặt đa giác vào trong một hình tròn có bán kính 1.
Bài 5; Cho tứ diện ABCD có các cạnh thoả mãn : AB 2 + CD 2 = AC 2 + BD 2 = AD 2 + BC 2
CMR trong 4 mặt của tứ diện phải có ít nhất một mặt có cả 3 góc đều nhọn.
Đề thi toán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2001
( Thời gian 180 phút) Bài 1:
a) Cho x, y, z là ba số dơng thoả mãn 1 1 1 1
1 x+1 y+1 z = + + + Chứng minh rằng: x+ y+ z ≥3 2
b) Cho ba số thực a, b, c ≠0 Giải phơng trình : ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1
Bài 2: Cho các số x, y, z thoả mãn x∈[ ]0,1 ; ,y z∈[ ]0, 2 đồng thời x + y + z = 3
2 Hãy tìm Max (x 2 +y 2 +z 2 )
Bài 3: Cho hai đờng thẳng uu' và tt' chéo nhau và vuông góc với nhau Gọi Ab là đờng vuông góc
chung của chúng, đặt AB=2a Giả sử M, N lần lợt di động trên uu', tt' sao cho ãMON =α không đổi ( O là trung điểm của AB )
a) Chứng minh rằng 0
90
α >
b) Chứng minh rằng diện tích tam giác OMN không đổi
c) Gọi T là hình chiếu của M lên ON và T' = AT∩tt' Chứng minh tích '
BN.BT và '
AT AT không
đổi.
Bài 4 : Cho tứ diện có tất cả các góc nhị diện đều là góc nhọn Chứng minh rằng tích tất cả các cosin của chúng không vợt quá 1
729.
Đề thi toán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2002
Trang 2( Thời gian 180 phút) Bài 1: Cho p, q là hai số nguyên lẻ Chứng minh rằng phơng trình x 2 +2px+2q = 0 không có nghiệm hữu tỉ.
Bài 2: Cho A,B,C là ba góc của một tam giác Xác định dạng của tam giác ABC để :
s tg= tg tg đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 3: Giải phơng trình
(2002) 2x+1 = log 2002 (2002 - 2 2002 x) - 2(2 2001 + 1)x + 2001
Bài 4: Giải hệ
1890 1890 1890
Bài 5: Cho hình chóp OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Giả sử a, b, c là số
đo các góc tạo bởi các mặt bên OBC, OCA, OAB lần lợt với mặt đáy ABC CMR
2
2 2 2
tga tgb tgb tgc tgc tga+ + +tg a tg b tg c≤ Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Đề thi toán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2003
( Thời gian 180 phút) Bài 1: Chuyển phân số sau về dạng phân số có mẫu số là số nguyên: 3 1 3
1+ 2 2 4+ .
Bài 2: Cho hàm số f: N * N * , trong đó N * là tập hợp các số nguyên dơng thoả mãn
f(m.f(n))=n 2 f(m), với mọi m,n *
N
∈ CMR f(2003) hoặc là một số nguyên tố hoặc là bình phơng của một số nguyên tố.
Bài 3: Cho hàm f: *
N → N * thoả mãn hai điều kiện 1) f(1)=2
2) ∀ >n 1 thì f(1) + f(2) + + f(n) = n 2 f(n) Tính lim 2003 ( )n→∞ n f n2 = ?
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c Giả sử R, r theo thứ tự là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp tứ diện đã cho, V là thể tích của tứ diện ABCD Chứng minh rằng
2
4
R
≤
Bài 5: Xác định tất cả các số nguyên dơng n sao cho : 22893
34.n − +n 1 là số nguyên dơng.