Kết quả của công trình bao gồm: (1) Xây dựng mô hình mạng giao thông mở rộng, trong đó chi phí tại một nút không giống nhau với mọi đường đi qua nút đó, mà còn phụ thuộc vào tuyến đi đến và tuyến đi khỏi đỉnh đó, thậm chí có hướng còn bị cấm. (2) Xây dựng mô hình bài toán luồng cực đại đồng thời chi phí giới hạn trên mạng giao thông mở rộng và phát triển thuật toán xấp xỉ giải bài toán này trên cơ sở lý thuyết đối ngẫu trong quy hoạch tuyến tính và thuật toán tìm đường đi ngắn nhất trên đồ thị mở rộng,...
Trang 1BÀI TOÁN PHÂN LUỒNG GIAO THÔNG VÀ ỨNG DỤNG
Trần Quốc Chiến 1 Hồ Văn Hùng 2
Tóm tắt: Kết quả của công trình bao gồm: (1) Xây dựng mô hình mạng giao thông mở rộng, trong
đó chi phí tại một nút không giống nhau với mọi đường đi qua nút đó, mà còn phụ thuộc vào tuyến
đi đến và tuyến đi khỏi đỉnh đó, thậm chí có hướng còn bị cấm (2) Xây dựng mô hình bài toán luồng cực đại đồng thời chi phí giới hạn trên mạng giao thông mở rộng và phát triển thuật toán xấp xỉ giải bài toán này trên cơ sở lý thuyết đối ngẫu trong quy hoạch tuyến tính và thuật toán tìm đường đi ngắn nhất trên đồ thị mở rộng (3) Xây dựng mô hình bài toán phân luồng tối ưu trên mạng giao thông mở rộng và phát triển thuật toán hữu hiệu tìm luồng tối ưu Các thuật toán được cài đặt bằng ngôn ngữ Java với cơ sở dữ liệu mạng giao thông trung tâm thành phố Đà Nẵng trong hệ quản trị cơ sở dữ liệu MySQL cho kết quả chính xác
Từ khóa: Đồ thị, Mạng, Luồng đa phương tiện, Xấp xỉ, Tối ưu
1 Mở đầu
Đồ thị là công cụ toán học hữu ích ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như giao thông, truyền thông, công nghệ thông tin, kinh tế,… Cho đến nay trong đồ thị mới chỉ xét đến trọng số của các cạnh, các đỉnh một cách độc lập, trong đó độ dài đường đi chỉ đơn thuần là tổng trọng số các cạnh và các đỉnh trên đường đi đó Tuy nhiên, trong nhiều bài toán thực tế, trọng số tại một đỉnh không giống nhau với mọi đường đi qua đỉnh đó, mà còn phụ thuộc vào cạnh đi đến và cạnh đi khỏi đỉnh
đó Ví dụ thời gian đi qua ngã tư trên mạng giao thông phụ thuộc vào hướng di chuyển của phương tiện giao thông: rẽ phải, đi thẳng hay rẽ trái, thậm chí có hướng bị cấm Vì vậy cần xây dựng một
mô hình đồ thị mở rộng để có thể áp dụng mô hình hóa các bài toán thực tế chính xác và hiệu quả hơn
Báo cáo trình bày kết quả khảo sát hạ tầng kỹ thuật mạng lưới giao thông khu vực trung tâm Đà
Nẵng, nhu cầu đi lại giữa các nút giao thông trong phạm vi đề tài NCKH cấp thành phố “Bài toán mạng giao thông và ứng dụng quản lý quy hoạch phân luồng giao thông ở thành phố Đà Nẵng”
do Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN, Trường Đại học Bách khoa – ĐHĐN và Sở Giao thông Vận tải TP Đà Nẵng phối hợp thực hiện
Tiếp theo, báo cáo xây dựng mô hình hai bài toán phân luồng giao thông đa phương tiện tuyến tính trên mạng giao thông mở rộng:Bài toán luồng cực đại đồng thời chi phí giới hạn và bài toán phân luồng tối ưu Các thuật toán hữu hiệu phân luồng tối ưu được phát triển và cài đặt bằng ngôn ngữ Java với cơ sở dữ liệu mạng giao thông trung tâm thành phố Đà Nẵng trong hệ quản trị cơ sở dữ liệu MySQL cho kết quả chính xác
2 Mạng giao thông Trung tâm Đà Nẵng
1 PGS.TS Khoa Tin học, trường ĐHSP Đà Nẵng
2 ThS Giám đốc Trung tâm TH-NN, trường ĐHQN
Trang 2Mạng lưới giao thông Trung tâm Đà Nẵng (xem bản đồ khu vực khảo sát) có 120 nút và 209 đoạn
tuyến trên 49 tuyến phố và nhu cầu đi lại của 999 cặp nút nguồn và nút đích
Hình 1 Bản đồ khu vực khảo sát Mạng lưới giao thông trên được mô hình hóa bằng đồ thị mạng hỗn hợp mở rộng sau:
Trang 3Hình 2 Đồ thị mạng giao thông Trung tâm Đà Nẵng
3 Khả năng thông hành và chi phí thời gian qua đoạn tuyến
Hệ thống các thông số biểu diễn khả năng thông hành (xe con quy đổi) và chi phí thời gian (phút) trên các đoạn tuyến như sau:
Bảng 1 Hệ thống các thông số biểu diễn khả năng thông hành và chi phí thời gian trên các cung
đoạn tuyến lưu trong bảng SUBLINE
Trang 4Mã số Nút đầu Nút cuối Khả năng thông hành Thời gian Có hướng
4 Khả năng thông hành nút
Hệ thống các thông số biểu diễn khả năng thông hành và chi phí thời gian qua các nút giao thông lưu trong bảng NODE
5 Chi phí thời gian qua nút
Hệ thống các thông số biểu diễn chi phí thời gian qua các nút giao thông như sau:
Bảng 2 Hệ thống các thông số biểu diễn chi phí thời gian qua các nút giao thông lưu trong bảng NODESUBTIME
Node
chính
Node
trước
Node sau
time giây
b V
phút
Node trước
Node sau
time giây
b V
phút
Node trước
Node sau
time giây
b V
phút
1
Trang 55 6 7,5 6 2 6,2 6 5 5 , 2
9
8
6 Nhu cầu đi lại
Hệ thống các nhu cầu đi lại cho bởi 999 cặp đỉnh nguồn nguồn đích và số xe lưu hành trong bảng DEMAND
7 Mô hình Mạng giao thông mở rộng
Cho đồ thị hỗn hợp G=(V, E) với tập đỉnh V và tập cạnh E Các cạnh có thể có hướng hoặc vô hướng Có nhiều loại phương tiện giao thông lưu hành trên mạng Những cạnh vô hướng biểu diễn tuyến hai chiều, trong đó các phương tiện trên cùng tuyến nhưng ngược hướng lưu hành chia sẻ khả năng thông hành của tuyến Trên mạng cho các hàm sau
cạnh e Lưu ý rằng với những tuyến hai chiều thì chi phí hai hướng có thể khác nhau
Với mỗi đỉnh v∈V, ký hiệu Ev là tập các cạnh liên thuộc đỉnh v
Hàm chi phí đỉnhb V: V×Ev×Ev→R*, với b V (u,e, e’) là chi phí phải trả để chuyển một đơn vị phương tiện qua đỉnh u từ tuyến e sang tuyến e’
Bộ (V, E, c E, c V, E, V ) gọi là mạng giao thông mở rộng
Cho p là đường đi từ đỉnh u đến đỉnh v qua các cạnh e i , i = 1, …, h+1, và các đỉnh u i , i = 1, …, h, như sau p = [u, e 1 , u 1 , e 2 , u 2 , …, e h , u h , e h+1 , v]
Định nghĩa chi phí vận chuyển một đơn vị phương tiện qua đường đi p, ký hiệu b(p) , theo công
thức sau :
b(p) = ∑b E (e i ) + ∑b V (u i ,e i ,e i+1) (1)
Cho mạng giao thông mở rộng G=(V, E, c , c , b , b )
Trang 6Ký hiệu S là tập hợp tất cả các cặp nút nguồn-đích (i,j) trong G có nhu cầu đi lại d(i,j) > 0
Ký hiệu P(i,j) là tập hợp tất cả các đường đi từ nút nguồn i đến nút đích j trong
G, (i,j)∈S Đặt
P = P(i, j)
(i, j)∈S
Với mỗi đường đi p∈P(i,j), ký hiệu biến x(i,j,p) là luồng xe của nhu cầu d(i,j) đi trên đường đi p
từ đỉnh nguồn i đến đỉnh đích j
Ký hiệu PE(i,j,e) là tập hợp các đường đi trong P(i,j) đi qua cạnh e, ∀e∈E
Ký hiệu PV(i,j,v) là tập hợp các đường đi trong P(i,j) đi qua đỉnh v, ∀v∈V
Mỗi tập
F = { x(i,j,p) | (i,j)∈S , p∈P(i,j) }
gọi là luồng trên mạng giao thông mở rộng, nếu thỏa mãn các điều kiện về khả
năng thông hành sau:
∑ ∑x(i, j, p)
E , ∀e∈ E (i, j)∈S p∈P E (i, j,e)
∑ ∑x(i, j, p)
V , ∀v∈ V (i, j)∈S p∈P V (i, j,v)
Luồng
F = { x(i,j,p) | (i,j)∈S , p∈P(i,j) }
gọi là phương án phân luồng nếu nó thỏa mãn các ràng buộc về nhu cầu đi lại
của các cặp đỉnh nguồn đích sau
∑x(i, j, p) = d(i,j), ∀(i, j)∈S
p∈P(i, j)
Với mỗi phương án phân luồng
F = { x(i,j,p) | (i,j)∈S , p∈P(i,j) }
ta định nghĩa hàm mục tiêu t( F) biểu diễn tổng chi phí của F như sau t(F) =
Trang 78 Bài toán luồng cực đại đồng thời chi phí giới hạn
Cho mạng giao thông mở rộng G=(V, E, c E , c V , b E , b V) với tập cặp nút nguồn-đích S và nhu cầu đi
lại d(i,j), ∀(i, j)∈S Cho giới hạn chi phí B Nhiệm vụ của bài toán là tìm một số λ lớn nhất sao cho có một luồng chuyển λ.d(i,j) đơn vị phương tiện từ nút i đến nút j qua luồng, ∀(i,j)∈S Đồng
thời, tổng chi phí của luồng không vượt quá B
Bài toán phát biểu thành mô hình qui hoạch tuyến tính như sau: Tìm phương án phân luồng
F = { x(i,j,p) | (i,j)∈S , p∈P(i,j) } thỏa
∑ ∑x(i, j, p)
E ), ∀e∈ E (i, j)∈S p∈P E (i, j,e)
∑ ∑x(i, j, p)
V , ∀v∈ V (i, j)∈S p∈P V (i, j,v)
∑x(i, j, p)≥λ.d(i,j), ∀(i, j)∈S
p∈P(i, j)
∑ ∑b(p) x(i, j, p) ≤ B
(i, j)∈S p∈P(i, j) x ≥0, λ ≥ 0
•Thuật toán tìm luồng cực đại đồng thời chi phí giới hạn * Đầu vào:
Mạng mở rộng G = (V, E, cE, cV, bE, bV) với tập cặp nút nguồn-đích S và nhu cầu đi lại d(i,j), ∀(i, j)∈S (nhu cầu đi lại lưu trong bảng DEMAND gồm các bản ghi (s j , t j , d j ), j=1,…,k với nhu cầu d j
từ đỉnh nguồn s j đến đỉnh đích t j , khả năng thông hành nút c V lưu trong bảng NODES, khả năng
thông hành cạnh c E và chi phí cạnh b E (tính bằng phút) lưu trong bảng SUBLINE, chi phí qua nút
b V (tính bằng giây) lưu trong bảng
NODESUBTIME)
Chi phí giới hạn B Hệ số xấp xỉ ω> 0
* Đầu ra:
1) Hệ số λ cực đại: λmax
2) Luồng thực tế {fe j (a), fv j (u,e,e‘)| a∈E, (e,u,e‘)∈Bảng b V , j=1, ,k}
3) Chi phí thực tế B≤ B
Trang 8* Thủ tục:
// Khởi tạo các giá trị ban đầu
Đặt ε = ; δ = ; // n là số nút, m là số đoạn tuyến le(e) = δ/c E (e),∀e∈ E;
lv(v) = δ/c V (v),∀v∈ V; ϕ = δ/ B;
D = (m+n+1)δ; fe j (a) = 0; ∀a∈E,
fv j (u,e,e‘) = 0; ∀u∈V,∀(e,u,e‘)∈Bảng b v , j=1, ,k t= 1;//biến đếm
giai đoạn Bex = 0;// Chi phí tạm tính while D < 1 do // mức giai
đoạn
{
for j = 1 to k do // mức vòng lặp ứng với j
{
d’ = d j // lượng phương tiện cần chuyển từ s j đến t j while d’> 0 do //
mức các bước trong giai đoạn
Gọi thủ tục tìm đường đi ngắn nhất tìm đường đi ngắn
Tính f’ = min{d’, c E (e), c V (v) | e∈p, v∈p};
B’ = b(p)*f’; // b(p) tính theo công thức (1) if B’ > B
{f’ = f’*B/B’; B’ = B}; // hiệu chỉnh luồng
fe j (a) = fe j (a) +f’;∀a∈p fv j (u,e,e‘) = fv j (u,e,e‘) +f’;
∀(e,u,e‘)∈p // hiệu chỉnh các tham số khác d’ = d’− f’;ϕ
=ϕ*(1+ε*B’/B) ,
D = D + ε*f’*length(p) ;
Bex = Bex + B’;
}
nhất p từ s j đến t j theo hàm length sau
length ( p ) =
=
Trang 9t = t + 1;
}
// hiệu chỉnh luồng thực tế
cex = log1+ε c’ ; fe j (a) = fe j (a)/cex;∀a∈E, j=1, ,k fv j (u,e,e‘) = fv j (u,e,e‘)/cex;
∀u∈V,∀(e,u,e‘)∈Bảng bv, j=1, ,k Bf = Bex/c ex;// chi phí thực tế
λmax = Tỉ lệ lớn nhất
9 Bài toán phân luồng tối ưu
Tổ hợp các mục trên ta có thể phát biểu bài toán phân luồng tối ưu như sau
•Thuật toán phân luồng tối ưu * Đầu vào:
Mạng mở rộng G = (V, E, cE, cV, bE, bV) Trong đó, nhu cầu đi lại lưu trong bảng DEMAND gồm
các bản ghi (s j , t j , d j ), j=1,…,k với nhu cầu d j từ đỉnh nguồn s j đến đỉnh đích t j, khả năng thông hành
nút c V lưu trong bảng NODES, khả năng thông hành cạnh c E và chi phí cạnh b E (tính bằng phút) lưu
trong bảng SUBLINE, chi phí qua nút b V (tính bằng giây) lưu trong bảng NODESUBTIME
* Đầu ra:
1) Luồng tối ưu {fe j (a), fv j (u,e,e‘)| a∈E, (e,u,e‘)∈Bảng b v , j=1, ,k} (luồng qua đoạn tuyến fe j (a) lưu trong bảng LINEASSIGN, luồng qua nút fv j (u,e,e‘) lưu trong
bảng NODEASSIGN )
2) Chi phí cực tiểu Bmin
* Các bước:
// Khởi tạo các giá trị ban đầu
Chọn hệ số xấp xỉ ω> 0;
Trang 10//Khởi tạo chi phí giới hạn B: B = 0; for j = 1
to k do
{ tìm đường đi ngắn nhất p từ sj đến tj theo hàm chi phí b(p) ;
B = B + d j *b(p) ;
}
λmax = 0; λ0= -1; while (λmax< 1) & (λmax>λ0) do
{ λ0 = λmax;
Gọi chương trình tìm luồng cực đại chi phí giới hạn với tham số B và ω;
if λmax< 1 { B = B /λmax }
}
//Hiệu chỉnh luồng tối ưu và chi phí cực tiểu if (λmax> 1)
{ fe j (a) = fe j (a) / λmax;∀a∈E, j=1, ,k
fv j (u,e,e‘) = fv j (u,e,e‘) / λmax; ∀u∈V,∀(e,u,e‘)∈Bảng b v , j=1, ,k
Bmin = Bf/λmax;// chi phí thực tế
}
if λmax< 1
{ thông báo: mạng đáp ứng 100*λmax % nhu cầu đi lại }
10 Kết luận
Công trình giới thiệu kết quả nghiên cứu khảo sát hạ tầng kỹ thuật mạng lưới giao thông khu vực trung tâm Đà Nẵng, nhu cầu đi lại giữa các nút giao thông, xây dựng mô hình mạng giao thông và phương án phân luồng giao thông tối ưu Các thuật toán được cài lập trình bằng ngôn ngữ Java với
cơ sở dữ liệu thực tế cài đặt trong hệ quản trị cơ sở dữ liệu MySQL Chương trình chạy thử cho kết quả chính xác và tin cậy
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Quốc Chiến (2007), Giáo trình lý thuyết đồ thị và ứng dụng, Đại học Đà Nẵng
[2] Trần Quốc Chiến (2012), Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất trên đồ thị tổng quát, Hội nghị
khoa học ĐHĐN
[3] Trần Quốc Chiến, Trần Thị Mỹ Dung (2011),“Ứng dụng thuật toán tìm đường đi ngắn nhất
tìm luồng cực đại đa hàng hóa”, Tạp chí Khoa học & Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, 3(44)
Trang 11[4] Trần Quốc Chiến (2012),“Ứng dụng thuật toán tìm đường đi ngắn nhất đa nguồn đích tìm
luồng cực đại đa hàng hóa đồng thời”, Tạp chí Khoa học & Công nghệ, Đại học Đà nẵng, 4(53)
[5] Trần Quốc Chiến (2012),“Ứng dụng thuật toán tìm đường đi ngắn nhất đa nguồn đích tìm
luồng cực đại đa hàng hóa đồng thời chi phí cực tiểu”, Tạp chí Khoa học & Công nghệ, Đại học Đà nẵng, 5(54)
[6] Trần Quốc Chiến,“Bài toán mạng giao thông đa phương tiện tuyến tính”, Đề tài NCKH cấp
Bộ, mã số B2010DN-03-52
[7] Trần Quốc Chiến (2012),“Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất trên đồ thị tổng quát”, Tạp chí Khoa học & Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, 12(61)/2012, 16-21
[8] Naveen Garg, Jochen Könemann (2007),“Faster and Simpler Algorithms for Multicommodity
Flow and Other Fractional Packing Problems”, SIAMJ Comput, Canada, 37(2), 2007, pp 630-652
[9] TCXDVN 104: 2007 “Đường đô thị- Yêu cầu thiết kế”
Title: THE TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM AND APPLICATIONS
TRAN QUOC CHIEN
The University of Da Nang – University of Education
HO VAN HUNG
Quang Nam University
Abstract: This paper presents the following results of research (1) It provides a model of an
extended traffic network on which costs are not the same for all traffic passing through a particular node, but rather depend on the route taken to and/ or from the node, especially given that some routes are blocked (2) The problem of Maximum Concurrent Multi-commodity Flow with Bounded Cost (MCMFBC) on extended networks is defined The paper presents an approximation algorithm for solving MCMFBC which is based on the duality theory of linear programming and the algorithm for finding shortest path on extended networks (3) The Traffic Assignment Problem (TAP) on extended networks is defined The paper finally offers an efficient approximation algorithm finding the optimal multi-commodity flows, which is based on the algorithm to solve MCMFBC Both algorithms presented in the paper are programmed in Java language with the use of the MySQL traffic network database for the center of Danang for accurate results
Keywords: Graph, Network, Multi-commodity Flow, Approximation, Optimization