Lecture Statistical techniques in business and economics - Chapter 10: Hypothesis testing

When you have completed this chapter, you will be able to: Define null and alternative hypothesis and hypothesis testing, define Type I and Type II errors, describe the five-step hypothesis testing procedure, distinguish between a one-tailed and a two-tailed test of hypothesis,...

10 ­ 1

Define  null and alternative hypothesis   

and hypothesis testing Define  Type  I  and Type  II  errors

Describe  the five­step hypothesis testing procedure

Distinguish between a  one­tailed  and   

        a  two­tailed test of  hypothesis

When you have completed this chapter, you will be able to:

T erminology

Hypothesis

…is a statement about a population distribution such that:

ExamplesExamples …the mean monthly income for all 

      it is possible to identify, with certainty,      whether it is true or false

T erminology

…is the complement of the alternative hypothesis. 

We accept the null hypothesis as the default  hypothesis. It is not rejected unless there is 

When a decision is based on analysis of sample data      and not the entire population data,      it is not possible 

to make a correct decision      all the time.

Our objective is to try to keep the probability 

       of making a wrong decision       

       as small as possible !

“guilty”

Correct  Decision

Correct  Decision

T erminology

Level of Significance

…is the probability of rejecting the null hypothesis 

when it is actually true,  i.e. Type I Error

…accepting the null hypothesis when it is 

actually false

Type II Error

Tests Tests

0 Critical z

       = 

rejection 

region

1­         

         =   acceptance 

0

       = 

rejection 

region

1­         

         =   acceptance 

n /

X

z

Large Sample,        Population Standard Deviation Known

Testing for the Population Mean: 

Large  Sample,        Population Standard Deviation  Known

The processors of eye drop medication indicate on the 

label that the bottle contains  16 ml of medication.

        The standard deviation of the process is 0.5 ml.      

      A sample of 36 bottles from the last hour’s 

production revealed a mean weight of 16.12 ml per bottle. 

Compute the test statistic  and make a decision

Reject H0 if z > 1.96  or  z < ­1.96

44 1

36 5

0

00 16 12

Testing for the Population Mean: 

Large Sample,        Population Standard Deviation Unknown

Testing for the Population Mean: 

Large  Sample,        Population Standard Deviation Unknown

Rock’s Discount Store chain issues its own credit card.               Lisa, the credit manager, wants to find out if the              mean monthly unpaid balance  is 

more than $400.       

Should Lisa conclude that the population  mean is                 greater than $400, or is it reasonable to assume that              the  difference of $7  ($407­

$400) is due to chance?

A random check of 172 unpaid balances revealed the                sample mean to be $407              and the sample standard deviation 

to be $38.TheThe level of significance is set at .05.  level of significance is set at .05. 

When the sample is  large , i.e. over 30, you can  use the  z ­distribution as your test statistic.

Remember, use the best that you have!

(Just replace the  s ample  s tandard  d eviation for the 

p opulation  s tandard  d eviation)

Compute the test statistic  and make a decision

n

X

z

   Reject the hypothesis  H0 .  Lisa can conclude              that the mean unpaid balance is greater  than 

172 38

$

400

$ 407

$

Test Statistic  to be used:

Testing for the Population Mean: 

Small Sample,        Population Standard Deviation Unknown

Testing for the Population Mean: 

Small Sample,        Population Standard Deviation Unknown

n s

X

t

/

Small Sample,        Population Standard Deviation Unknown

A new machine has been purchased and installed that, according 

to the supplier, will increase the production rate!

A sample of 10 randomly selected hours from last month revealed  the  mean hourly production on the new machine was 256  units, 

with a sample standard deviation of 6 per hour.

Compute the test statistic  and make a decision

250 256

… 10 ­1 = 9 degrees of freedom

        H0 is not  rejected

Since P­value is smaller than 

 of 0.05, reject H0.       The 

population mean is greater 

Since P­value is smaller than 

 of 0.05, reject H0.       The 

42

2

n s

X z

P­Value =  p(z   |computed value|)

P ­Value = 

p(z   |computed value|) 2p(z   |computed value|) 2p(z   |computed value|)P­Value =  P ­Value = 

| | means absolute value of… | | means absolute value of…

n X

z

Interpreting the       Weight of Evidence against Ho

I nterpreting   the      

W eight of  E vidence  against Ho

If the P­value is less than … If the P­value is  less than …

 10 we have some evidence that      

If the P­value is less than… If the P­value is  less than…

.10 we have some evidence

.05 we have strong evidence

.01 we have very strong evidence

.001  we have extremely strong evidence 

that Ho is not true

Since P­value is .0078Since P­value is .0078

… we have              very strong 

evidence

to conclude that the  population mean       

… is the fraction or 

percentage that indicates the  part of the population or  sample having a        particular trait of interest

… is the fraction  or 

percentage  that indicates the 

part of the population or  sample having a       

sample  

in the  

successes  

of Number 

p

Testing a            Single Population Proportion: 

Testing a            Single Population Proportion: 

p

p

z

) 1

(

ˆ

00

0

In the past,  15%   of  the mail order 

solicitations  for a certain charity      

resulted in a financial contribution          

At the .05 significance level      

 can it be concluded that the       

new letter  is more effective ? A new solicitation letter that has been drafted  is sent to a  sample of 200  people and      

   45 responded  with a contribution.

Compute the test statistic  and make a decision

Step 5

 = 0.05

We will use the  z ­test

       Reject the hypothesis  More than 15% are              responding with a pledge, therefore, the new letter is 

H1: p > .15

H0: p = .15 

Reject H0 if  z > 1.645

p p

45 .15

97

2

Relationship   Between  H ypothesis  T esting  

P rocedure and  C onfidence  I nterval  

0

       = 

rejection 

region

1­         

         =  Confidence Interval 

region

Do not reject Ho when z falls      

       in the confidence interval estimate

Relationship Between        Hypothesis Testing Procedure and  Confidence Interval Estimation

Relationship   Between        

H ypothesis  T esting  P rocedure and  

C onfidence  I nterval  E stimation

Case 2: Case 2: Lower­tailed test

0

              = 

rejection 

region

1­    = 

confidence level region

Do not reject

Relationship Between        Hypothesis Testing Procedure and  Confidence Interval Estimation

Relationship   Between        

H ypothesis  T esting  P rocedure and  

C onfidence  I nterval  E stimation

Relationship Between        Hypothesis Testing Procedure and  Confidence Interval Estimation

Relationship   Between        

H ypothesis  T esting  P rocedure and  

C onfidence  I nterval  E stimation

Case 3: Case 3: Upper­tailed test

Our decision rule can be restated as:  

       Do not reject H0       if 

0 is  greater than or equal to        the (1­ )  lower confidence bound  for  , 

computed from the sample data.

0

              = 

Suppose H0 is false and H1 is true.      

     i.e. the true value of µ is 2400,              then x bar is approximately 

normally distributed with a mean of 

2400 and a standard deviation of  / n 

= 300/ n

Suppose H0 is false and H1 is true.      

     i.e. the true value of µ is 2400,       then x bar is approximately 

The probability of a Type II Error

Xu

X

A1 = 0.2611, giving us a left tail area 

of 0.24

70666

04

300

2400

2294

n X

z

The probability of a Type II error is 0.24  The probability of a Type II error is 0.24  i.e i.e =0.24 =0.24

※ If we decrease the value of  (alpha), the value z 

increases and the critical value xu      moves to the right,      and therefore the value of  (beta) increases

 Conversely, if we increase  the value       

       of  (alpha), xu moves to the left, thereby      

      decreasing the value of  (beta) 

 For a given value of  (alpha), the value of  (beta) 

can be decreased by increasing the sample size

10 ­ 51Power of a Test Power of a Test

extra content data sets

searchable glossary access to Statistics Canada’s  E­Stat data

…and much more!

This completes Chapter 10