Lecture Applied econometric time series (4e) - Chapter 1: Difference equations

This chapter’s objectives are to: Explain how stochastic difference equations can be used for forecasting and illustrate how such equations can arise from familiar economic models, explain what it means to solve a difference equation, demonstrate how to find the solution to a stochastic difference equation using the iterative method,...

Chapter 1: Difference  Equations

Applied Econometric Time  Series

Fourth Edition

Section 1

The traditional use of time series models  was for forecasting

• With the advent of modern dynamic economic models, the newer uses of time series models involve

hypothesis 

Given the UFR hypothesis, the forward/spot exchange rate relationship is:

 st+1 = ft + εt+1         (1.6) where  εt+1 has a mean value of zero from the perspective of time period t.

Consider the regression

st+1 = a0 + a1ft +  t+1

The hypothesis requires a0 = 0, a1 = 1, and that the regression residuals  t+1  have a mean value of zero from the perspective of time period t.

Figure 3.1 Real GDP, Consumption and Investment

GDP Potential Consumption Investment

Figure 3.5: Daily Exchange Rates (Jan 3, 2000 - April 4, 2013)

DIFFERENCE EQUATIONS AND  THEIR SOLUTIONS

Section 2

A solution to a difference equation expresses the value 

of yt as a function of the elements of the {xt} sequence  and t (and possibly some given values of the {yt} 

sequence called initial conditions)

The key property of a solution is that it satisfies the 

difference equation for all permissible values of t and  {xt}.

 = a / a  +   

AN ALTERNATIVE SOLUTION  METHODOLOGY

Section 4

• The Solution Methodology

• Generalizing the Method

n

i t i t

y

=

homogeneous solutions; 

STEP 2:  find a particular solution; 

STEP 3:  obtain the general solution as the sum of the particular  solution and a linear combination of all homogeneous solutions;

STEP 4:  eliminate the arbitrary constant(s) by imposing the initial  condition(s) on the general solution. 

The Solution Methodology

Section 5

• Stability Conditions

SOLVING HOMOGENEOUS DIFFERENCE EQUATIONS

Section 6

• Stability Conditions

THE METHOD OF UNDETERMINED  COEFFICIENTS

Section 8

i

t i t

i

a

a y

=

= +

−

where b0, b1, b2, and the ai are the undetermined 

coefficients. Substituting the challenge solution into (1.68) yields

[b0+b1t+b2t2] + a0εt + a1εt–1 + a2εt–2+  = a0 + a1[b0 +  b1(t – 1) + b2(t – 1)2 

      + a0εt–1 + a1εt–2 + a2εt–3 +  ] + a2[b0 + b1(t – 2) +  b2(t – 2)2 

        + a0εt–2 + a1εt–3 + a2εt­4 +  ] + εt

Section 9

• Lag Operators in Higher­Order Systems

APPENDIX 1.1: IMAGINARY ROOTS  AND DE MOIVRE’S THEOREM