Bai 2 PTLGCB

Kiến thức: Hs cần nắm vững - Phương pháp xây dựng cơng thức nghiệm của các ptlg cơ bản dựa vào đường trịn lượng giác.. - Các điều kiện của a để phương trình sin x a= ,cos x a= có nghiệm,

Ngày soạn: Ngày giảng:

Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Tiết 5, 6, 7, 8, 9, 10

I Mục tiêu:

1 Kiến thức: Hs cần nắm vững

- Phương pháp xây dựng cơng thức nghiệm của các ptlg cơ bản dựa vào đường trịn lượng giác

- Nắm vững cơng thức nghiệm các ptlg cơ bản sin x a= ,cos x a= , tanx a= ,cotx a=

- Các điều kiện của a để phương trình sin x a= ,cos x a= có nghiệm, và cách viết công thức nghiệm của phương trình sin x a= và cos x a= trong trường hợp số đo được cho bằng radian và số

đo được cho bằng độ

- Cách sử dụng các ký hiệu arcsin a và arccosa khi viết công thức nghiệm của phương trình lượng giác

- Sử dụng MTBT hổ trợ việc tìm nghiệm của các ptlg cơ bản

2 Kỹ năng:

- Giải nhanh và chính xác các phương trình lượng giác sin x a= ,cos x a= , tanx a= ,cotx a=

- Sử dụng linh hoạt MTBT để cho kết quả nghiệm của một ptlg cơ bản

- Biết biểu diễn nghiệm của các ptlg cơ bản trên đương trịn lượng giác

3 Tư duy và thái độ:

- Biết quy lạ về quen, tích cực sáng tạo trong việc hình thành kiến thức

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, và tư duy các vấn đề tốn học một cách độc lập và logic Qua bài học thấy được mối liên hệ chặt chẽ giữa tốn học và đời sống

II Chuẩn bị:

1 Giáo viên: Bảng phụ, thước kẻ, phấn màu, chương trình giả lập máy tính casio

fx500MS và 570MS

2 Học sinh: Xen bài trước ở nhà theo sự hướng dẫn của giáo viên, và mang theo máy

Casio fx500MS, 570MS hoặc các máy tính cĩ chức năng tương tự

III Phương pháp giảng dạy:

Đàm thoại gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề, đan xen thảo luận nhĩm thơng qua các hoạt động tư duy

IV Tiến trình lên lớp:

?1: Dựa vào đồ thị của hàm số y=sinx để tìm x sao cho sin 1

2

x=

?2: Dựa vào đồ thị của hàm số y=cosx để tìm x sao cho 2 cosx− = 1 0

?3: Cách biểu diễn một cung AM trên đường trịn lượng giác.

2 Bài mới:

1 Phương trình sin x a=

Hoạt động 1: Chứng tỏ phương trình sin x a= vô nghiệm khi a >1

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

?1: a > ⇔1 ?

?2: Khi a< −1 thì sinx<?

?3: Có giá trị nào của x để sinx< −1 hay

không Vì sao?

?4: Vậy ta có kết luận gì khi a< −1

?5: Có giá trị nào của x để sinx>1 hay không

Vì sao?

Ta cĩ: a > ⇔ < −1 a 1 hoặc a>1 Khi đĩ: sinx< −1

Không có vì − ≤1 sinx≤1

Phương trình sin x a= vô nghiệm

Không có vì − ≤1 sinx≤1 Phương trình sin x a= vô nghiệm

?6: Vậy ta có kết luận gì khi a>1.

?7: Kết luận chung khi a >1

Phương trình vô nghiệm

Hoạt động 2: Nghiệm của phương trình sin x a= với a ≤1

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Sử dụng mơ hình đường trịn lượng giác

?1: Hãy xác định điểm K trên trục sin sao cho

OK a=

?2: Vẽ qua K đường thẳng vuông góc trục sin

và cắt đường tròn lượng giác tại M và M′

?3: Gọi α là số đo bằng radian của một cung

lượng giác ¼AM Xác định sinα?

?4: Nhận xét mối quan hệ giữa α và phương

trình sin x a=

?5: Hãy chỉ ra các ngiệm khác của phương

trình sin x a=

?6: Xác định số đo của cung ¼AM′

?7: Tính sin¼AM′ =?

?8: Nhận xét mối quan hệ giữa π α− và

phương trình sin x a=

?9: Hãy chỉ ra các ngiệm khác của phương

trình sin x a= trong trường hợp này

?10: Kết luận chung về nghiệm của phương

trình sin x a=

Giới thiệu ký hiệu arcsin a .

?11: Hãy viết nghiệm của phương trình

sin x a= khi α =arcsin a

Hoạt động trao đổi nhĩm

Khi đĩ: sinα =a

Ta cĩ α là một nghiệm của phương trình sin x a=

2

x= +α k π

sđ¼AM′ = −π α

Khi đĩ: sin¼AM′ =sin(π α− )=a

π α− là một nghiệm của phương trình

sin x a=

2

x= − +π α k π

Hs nắm vững cơng thức nghiệm

sin a

α

− ≤ ≤







thì ta viết α =arcsin a

HS viết công thức nghiệm

Hoạt động 3: Xét các trường hợp đặc biệt.

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

?1: Giả sử cho trước α sao cho sinx= sinα Hãy

viết nghiệm của phương trình này

?2: Tổng quát hơn, hãy viết nghiệm của

phương trình sin ( ) sin ( )f x = g x

?3: Trong trường hợp đơn vị đo là độ, hãy viết

nghiệm của phương trình sinx=sinβo

?4: Khi a = 1 hãy xác định giá trị của cung x trên

đtlg

?5: Căn cứ vào chu kì của hàm sin xác định

nghiệm của phương trình trên

?6: Xác định nghiệm khi a = -1 và a = 0.

2

2

α

= +



( ) ( ) 2

f x g x k

360

360

β β

π β

 = +



o

Hs lên xác định trên đtlg

2

x

Nghiệm x=π2 +k2 ,π k∈¢ Nghiệm = −π + 2 ,π ∈¢

2

x k k và x k k= π, ∈¢

a sin

cos O

• Lưu ý: Trong một cơng thức về nghiệm của

phương trình lượng giác khơng được dùng đồng

thời chứa 2 đơn vị độ và radian

Tiết 2:

Hoạt động 4: Củng cố cơng thức nghiệm pt sin x a=

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Bài 1/ SGK

?1: Nhận xét giá trị 1 3 có trong bảng các gtlg

của các cung đặc biệt hay không

?2: Để chỉ cung có sin bằng 1 3 ta dùng ký

hiệu gì

?3: Viết nghiệm của phương trình trên.

?4: Nhận xét giá trị − 3 2 có trong bảng các

gtlg của các cung đặc biệt hay không

?5: 3 2 sin?=

?6: Dùng Công thức cung đối thì − 3 2 sin? =

?7: Biến đổi phương trình trên về dạng

sin ( ) sin ( )f x = g x

?8: Viết nghiệm của phương trình trên.

?9: Cơng thức nghiệm của pt sin u = 0.

?10: Biến đổi xác định x.

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a)  − =

sin

x

b) sin 2( − =1) 2

2

x

?1: Xác định giá trị a.

?2: Xác định cung α sao cho sin α = a

?3: Xác định nghiệm của pt.

Bài 3: Xác định câu trả lời đúng

Số nghiệm của pt

2

2 sinx= trong 









 2

3

; 2

π π

là:

?1: Xác định nghiệm của pt trên.

?2: Xác định các nghiệm nằm trong 









 2

3

; 2

π π

Thảo luận nhĩm

Không phải là một gtlg đặc biệt

Dùng hàm ngược của hàm sin là arcsin1

3. Vậy: arcsin1 3 2 2

arcsin1 3 2 2

k

π

Không phải là một gtlg đặc biệt

Ta cĩ: 3 2 sin 60= o

Vì sin( )− = −α sinα nên − 3 2 sin( 60 ) = − o

sin(2x+20 ) sin( 60 )o = − o

Vậy: 40 180 ( )

110 180

k

 = − +

∈





Ta cĩ: u k k= π, ∈¢ Khi đĩ: 2 − =π π ⇔ = +π 3 ,π ∈¢

Trao đổi nhĩm

a) Ta cĩ = >4 1

3

a nên phương trình vơ nghiệm b) Ta cĩ = 2 ⇒sinπ = 2

Vậy: = +1 π + π

2 12

x k hoặc = +1 5π + π , ∈¢

2 12

Bài 3:

2



= ⇔ = + ∈¢ Khi đĩ: 3 4 ( ;3 )

Vậy: pt cĩ 1 nghiệm thỏa điều kiện

3 Củng cố và dặn dị:

?1: Nghiệm của pt sin x = a trong các trường hợp.

?2: Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau.

2 cos(

2









 + π

=











3

sin 3 x sin c) sin 2 3( − ) = 3

2

x

- Xem phần tiếp theo trả lời các câu hỏi sau

?1: Pt cos u = a cĩ nghiệm khi nào Cơng thức nghiệm của nĩ.

?2: Các giá trị lượng giác đặc biệt và cách giải tương ứng

- Làm các bài tập 2 SGK tr 28 và 2.1 SBT tr 23

• Rút kinh nghiệm:

Tiết 3:

1. Kiểm tra miệng:

?1: Nếu vẽ đồ thị (G) của hàm số y = sin x và đường thẳng ( )d : y = m thì hồnh độ mỗi giao điểm của (d) và (G) là 1 nghiệm của phương trình sinx =m đúng hay sai.

?2: Lập bảng các giá trị lượng giác sinx và cos x của một số gĩc đặc biệt từ 0 → 180  ( 0 → π )

2 Bài mới:

2 Phương trình cos x a= .

Hoạt động 1: Chứng tỏ phương trình cos x a= vô nghiệm khi a >1.

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

?: Tương tự phương trình sin x a= , hãy cho kết

luận về phương trình cos x a= khi a >1

Ví dụ: Giải pt sau cos 3( − =1) 3

2

x

Phương trình vô nghiệm vì − ≤ 1 cosx≤ 1

Ta cĩ: = >3 1

2

a ⇒ Pt vơ nghiệm

Hoạt động 2: Nghiệm của phương trình cos x a=

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

?1: Bằng cách xác định tương tự như đối với

phương trình sin x a= , hãy viết công thức

nghiệm của phương trình cos x a=

?2: Chu kỳ của hàm cos là bao nhiêu.

?3: Xác định các cung cĩ cung giá trị cos x = a. x= ± +α k2π (k∈¢)

Hoạt động 3: Xét các trường hợp đặc biệt.

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

?1: Giả sử cho trước α sao cho cosx=cosα

Hãy viết nghiệm của phương trình này

?2: Tổng quát hơn, hãy viết nghiệm của

phương trình cos ( ) cos ( )f x = g x

?3: Trong trường hợp đơn vị đo là độ, hãy viết

nghiệm của phương trình cosx=cosβo

Giới thiệu ký hiệu arccosa

?4: Hãy viết nghiệm của phương trình cos x a=

cosx cos x k2 ,k

cos ( ) cos ( )f x = g x ⇔ f x( )= ±g x( )+k2π ,k∈¢

α π α

 ≤ ≤



0 os

c a thì ta viết α =arc osc a

Hs viết cơng thức nghiệm

a sin

cos O

M' M

trong trường hợp này.

?5: Khi a = 1 hãy xác định giá trị của cung x trên

đtlg

?6: Căn cứ vào chu kì của hàm cos xác định

nghiệm của phương trình trên

?7: Xác định nghiệm khi a = -1 và a = 0.

Hướng dẫn hs lĩnh hội các ví dụ

Hs lên xác định trên đtlg

x= 0

Nghiệm x k= 2 ,π k∈¢ Nghiệm x= +π k2 ,π k∈¢ và = +π π, ∈¢

2

Tiếp nhận kiến thức

Hoạt động 4: Củng cố

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Bài 3/ SGK:

?1: Nhận xét 2 3 có trong bảng các gtlg của

các cung đặc biệt hay không

?2: Để chỉ cung có cos bằng 2 3 ta dùng ký

hiệu gì

?3: Viết nghiệm của phương trình trên.

?4: Dạng phương trình này.

?5: Viết công thức nghiệm của phương trình

cos ( ) cos ( )f x = g x

?6: Xác định nghiệm của phương trình đã cho.

?7: Nhận xét −1 2 có trong bảng các gtlg của

các cung đặc biệt hay không

?8: Xác định nghiệm của pt c.

Thảo luận nhĩm

Khơng phải là một gtlg đặc biệt

2 arccos

3.

Vậy: arccos2 3 1 2

arccos2 3 1 2

k

π π

cos ( ) cos ( )f x = g x

f x = ±g x k+ o k∈¢

Vậy: x= ± +4o k120o ,k∈¢

Ta cĩ: = − ⇒1 os2π = −1

Suy ra 3 − = ±π 2π + 2π

Vậy: =11π + 4 ,π ∈¢

x k k và = −5π + 4 ,π ∈¢

Tiết 4:

3 Phương trình tan x a=

Hoạt động 5: Nghiệm của phương trình tan α = a

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

?1: Tập xác định của hàm số y=tanx

?2: Vì sao phương trình tan x a= có điều kiện

là x≠π2+kπ ,k∈ ¢.

Treo bảng phụ đồ thị hàm số tan α

Gọi x x1, , 2 là hoành độ giao điểm của đường

thẳng y a= với đồ thị hàm số y=tanx

?3: Nhận xét mối liên hệ giữa x x1, , 2 và

phương trình tan x a=

=¡ \ 2 + , ∈¢

Vì khi x=π2+kπ ,k∈ ¢ thì tan x không xác định

1, , 2

x x là các nghiệm của phương trình

tan x a=

8

6

4

2

-2

-4

-6

x'2 x'3

a

Giới thiệu kí hiệu arctan α

?4: Hãy biểu diễn x x2, , 3 theo x1.

?5: Nghiệm tổng quát của pt tan x a= .

Gsx1 thoả − < <tanπ2x1 =x a1 π2 , ta ký hiệu x1=arctana

Ta cĩ: x2 = +x1 π ; x3 = +x1 2π ;

π

=arctan + , ∈¢

Hoạt động 6: Các trường hợp đặc biệt

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

?1: Giả sử cho trước α sao cho tanx=tanα

Hãy cho biết nghiệm của phương trình này

?2: Tổng quát hơn, hãy viết nghiệm của

phương trình tan ( ) tan ( )f x = g x

?3: Trong trường hợp đơn vị đo là độ, hãy viết

nghiệm của phương trình tanx=tanβo

Hướng dẫn hs lĩnh hội các ví dụ

π

tan ( ) tan ( )f x g x f x( ) g x k( ) ,k

tanx tan x k180 ,k

Tiếp nhận và khắc sâu kiến thức

Hoạt động 7: Củng cố

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Bài 5a/SGK

?1: Nhận xét giá trị 3 3 có trong bảng các

gtlg của các cung đặc biệt không

?2: Đưa pt về dạng tan ( ) tan ( )f x = g x

?3: Xác định nghiệm của phương trình.

Bài 7b.

?1: Chuyển tan x qua vế phải của pt được pt nào

?2: tan cotα α =? và Suy ra

α =

?3: Dùng cung phụ xác định cotα .

?4: Xác định công thức nghiệm của pt

Trao đổi hoạt động nhĩm

Ta cĩ: tan30o= 3

3 Khi đĩ: tan(x−15 ) tan30o = o

Vậy: x=45o+k180 ,o k∈¢

Bài 7b

Ta cĩ: tan3 = 1

tan

x

x.

α

tan Mặt khác α = π −α

cot tan

2

Vậy: =π + π , ∈¢

3 Củng cố và dặn dị:

?1:Cơng thức nghiệm của pt cosu=cos , tanv u=tanv.

?2: Kí hiệu để chỉ cung cĩ cos bằng a và tan bằng a.

?3:Tìm nghiệm của các phương trình sau

(a) tanx= −1. (b) tanx=1. (c) tanx =0.

- Làm bài tập 6

- Xem trước phần phương trình cot x a= .

• Rút kinh nghiệm:

Tiết 5:

1. Kiểm tra miệng:

?1: Công thức nghiệm của phương trình sinx=sinα và cosx=cosα.

Bài tập áp dụng: Giải phương trình sin( 2) 3

2

?2: Công thức nghiệm của phương trình tanx=tanα

Bài tập áp dụng: Giải phương trình tan( +20 )o = 3

3

x

2 Bài mới:

2 Phương trình cot x a= .

Hoạt động 1: Nghiệm của phương trình cot α = a

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

?1: Tập xác định của hàm số y=cotx

?2: Vì sao phương trình cot x a= có điều kiện

là x k≠ π (k∈ ¢ )

Treo bảng đồ thị của hàm số y=cotx.

Gọi x x1, , 2 là hoành độ giao điểm của đường

thẳng y a= với đồ thị hàm số y=cotx

?3: Nhận xét mối liên hệ giữa x x1, , 2 và

phương trình cot x a=

Giới thiệu kí hiệu arccot α

?4: Hãy biểu diễn x x2, , 3 theo x1

?5: Nghiệm tổng quát của pt cot x a=

\ ,

D=¡ k kπ ∈¢

Vì khi x k= π (k∈ ¢ ) thì cot x không xác định

1, , 2

x x là các nghiệm của phương trình cot x a=

Ta cĩ x2 = +x1 π; x3 = +x1 2π;

π

=arccot + , ∈¢

Hoạt động 2: Các trường hợp đặc biệt

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

?1: Giả sử cho trước α sao cho cotx=cotα

Hãy cho biết nghiệm của phương trình này

?2: Tổng quát hơn, hãy viết nghiệm của

phương trình cot ( ) cot ( )f x = g x

?3: Trong trường hợp đơn vị đo là độ, hãy viết

nghiệm của phương trình cotx=cotβo

Hướng dẫn hs lĩnh hội các ví dụ

π

cot ( ) cot ( )f x g x f x( ) g x k( ) ,k

cotx cot x k180 ,k

Tiếp nhận và khắc sâu kiến thức

Hoạt động 3: Củng cố

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Bài 5b/SGK

?1: Nhận xét giá trị − 3 có trong bảng các gtlg

của các cung đặc biệt không

?2: 3 cot?=

?3: Dùng cung đối xác định − 3 cot? =

?4: Biến đổi pt trên về dạng cot ( ) cot ( )f x = g x .

Trao đổi hoạt động nhĩm

Không có

Ta cĩ: 3 cot 6= π

Mà cot( )− = −α cotα ⇒ − 3 cot= ( )−π

6

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

a

?5: Xác định nghiệm của pt.

Bài 5c/SGK

?1: Chuyển tan x qua vế phải của pt được pt nào

?2: tan cotα α =? và Suy ra

α =

?3: Xác định công thức nghiệm của pt

Khi đĩ: cot(3 − =1) cot( )−π

6

x

Vậy: =5π + 1 + π , ∈¢

Bài 5c.

Ta cĩ: cot 2 = 1

tan

x

x.

α

tan

Vậy: =π + π , ∈¢ ; = π

Tiết 6:

Hoạt động 4: Giải các bài tập trong SGK

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Bài 2:

?1: Nhận dạng phương trình sin3x= sinx

?2: Công thức nghiệm của pt sin ( ) sin ( )f x = g x

?3: Viết nghiệm phương trình sin3x=sinx

Bài 6:

?1: Pt tan(π − =4 x) tan 2x có dạng pt nào

?2: Công thức nghiệm của pt tan ( ) tan ( )f x = g x

?3: Hãy viết nghiệm của pt tan(π − =4 x) tan 2x

Bài 4:

?1: Điều kiện của phương trình trên.

?2: Với điều kiện trên thì 2 cos2 0

1 sin 2

x

x =

− khi nào

?3: Giải phương trình cos2x= 0

?4: Biểu diễn cung π 4 k+ π và cung

4 k 2

π + π lên đtlg

?5: So sánh với điều kiện để nhận nghiệm của

pt

Bài 2:

sin ( ) sin ( )f x = g x

HS viết nghiệm

Vậy: x k= π hoặc =π + π , ∈¢

Bài 6:

tan ( ) tan ( )f x = g x

HS viết nghiệm

Vậy: x=π12+kπ3 , k ≠3m−1,m∈¢

Bài 4:

Ta cĩ: 1 sin 2− x≠ ⇔ ≠0 x π 4+kπ ,k∈¢ Khi đĩ: 2 cos2 0

1 sin 2

x

x =

− khi cos2x=0.

Vậy: cos2 = ⇔ =0 π + π , ∈¢

HS thực hiện

Vậy: Nghiệm của pt là: ,

4

x= − +π kπ k∈¢

Hoạt động 5: Củng cố kiến thức

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Bài 1: Giải pt sinx+ 2sin3x= − sin 5x

?1: Công thức biến đổi tổng thành tích.

?2: Biến đổi pt trên về dạng tích.

?3: Cách giải pt 4 cos sin3 2 x x= 0

?4: Xác định nghiệm của pt.

Bài 2: Giải pt sin sin 2 sin3x x x= 14sin 4x.

?1: Áp dụng công thức biến đổi tích thành

tổng, cơng thức nhân đôi để biến đổi pt trên đưa

về dạng cơ bản

Hoạt động nhĩm

Ta cĩ: sin sin 2sin cos

Khi đĩ: sinx+2sin3x = −sin 5x⇔4 cos sin32 x x=0

= ⇔ 

=



2

4 cos sin3 0

sin3 0

x

x

Hs thực hiện

Bài 2:

Ta cĩ: sin sin 2 sin3 1sin 4 sin 2 sin 6

4

?2: Giải phương trình sin 2x=sin 6x Vậy: = π

2

3 Củng cố và dặn dị:

?1:Cơng thức nghiệm của pt sinu=sin , cosv u=cosv, tanu=tan , cotv u=cotv.

?2: Kí hiệu để chỉ cung cĩ sin bằng a và cos bằng a, tan bằng a và cot bằng a.

?3:Tìm nghiệm của các phương trình sau

(a) cosx= −1. (b) cotx=1. (c) sinx=0.

- Làm các tập trong SBT

- Xem trước bài “ Một số phương trình lượng giác thường gặp ” trả lời một số câu hỏi sau:

?1: Pt bậc nhất của một hslg cĩ dạng như thế nào và cách giải đối với pt bậc nhất của một hslg

?2: Pt bậc hai của một hslg cĩ dạng như thế nào và cách giải đối với pt bậc hai của một hslg

• Rút kinh nghiệm: