Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)

Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)Định lý Pompeiu (Luận văn thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Nguyễn Tất Thắng

THÁI NGUYÊN - 2019

Mục lục

1.1 Định lý Pompeiu 3

1.2 Bất đẳng thức Ptolemy và Định lý Pompeiu 8

1.3 Định lý đảo của định lý Pompeiu 12

2 Định lý Pompeiu tổng quát 14 2.1 Số phức 14

2.2 Định lý Pompeiu tổng quát 18

2.3 Công thức diện tích 23

2.4 Tam giác đồng dạng thông qua số phức 25

3 Ứng dụng của định lý Pompeiu 27 3.1 Điểm Fermat - Toricelli 27

3.2 Một số bài toán về ba cạnh của tam giác 31

3.3 Bất đẳng thức hình học 33

MỞ ĐẦU

Hình học phẳng là một nội dung cơ bản của Toán học và Toán sơ cấpnói riêng Các bài toán về tam giác và về các bất đẳng thức hình học trongtam giác là các vấn đề phổ biến Để giải quyết các bài toán đó, một sốphương pháp được sử dụng như: phương pháp biến hình (phép quay, tịnhtiến, nghịch đảo, ), vẽ thêm hình và điểm mới, Bên cạnh đó việc sử dụng

số phức cũng là một phương pháp rất hiệu quả, nhất là trong các bài toánbất đẳng thức hình học

Luận văn trình bày một số bài toán về tam giác và bất đẳng thức hìnhhọc Cụ thể, nội dung chính của luận văn xoay quanh định lý cổ điểnPompeiu, nói rằng ba độ dài đoạn thẳng nối từ một điểm bất kì trong mặtphẳng đến ba cạnh của một tam giác đều lập thành ba cạnh của một tamgiác Các tính chất liên quan đến tam giác đó cũng được nghiên cứu; đồngthời phiên bản tổng quát của Định lý Pompeiu, định lí đảo của Định líPompeiu và một số ứng dụng của Định lí Pompeiu cũng được trình bàytrong luận văn này Nội dung chính của luận văn gồm 3 Chương:

Chương 1: Trình bày Định lý Pompeiu và định lý đảo của nó

Chương 2: Trình bày tổng quát hóa của Định lý Pompeiu

Chương 3: Trình bày ứng dụng của Định lý Pompeiu Một số vấn đề liênquan đến bài toán tam giác cũng được nhắc đến

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Nguyễn TấtThắng Qua đây, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, ngườihướng dẫn khoa học của mình TS Nguyễn Tất Thắng, người đã đưa ra đềtài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của em Đồngthời em cũng chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán – Tinhọc trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, các thầy cô đã trang

bị kiến thức cho em trong thời gian học tập tại trường, tạo mọi điều kiệncho em về tài liệu và thủ tục hành chính để em hoàn thành luận văn này

Chương 1

Định lý Pompeiu

Ba đoạn thẳng lập thành ba cạnh của một tam giác nếu tổng độ dàihai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba Trong Chương này chỉ ra một cáchdựng ba cạnh của một tam giác

Định lý 1.1 (Định lý Pompeiu, xem [5]) Cho tam giác đều ABC và M

là một điểm trên mặt phẳng chứa tam giác đó Khi đó M A, M B và M C

lập thành độ dài ba cạnh của một tam giác Tam giác đó suy biến khi vàchỉ khi điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác

Trong mục này ta sẽ chứng minh nửa đầu của định lý trên, phần cònlại sẽ chứng minh trong mục sau

Thực hiện phép quay tâm C, góc π

3 biến A thành B Gọi M

0 là ảnh của

M qua phép quay ấy Từ đó M A = M0B và M M0 = M C

Vậy ∆M0M B có ba cạnh với độ dài là M B, M C, M A

Định nghĩa 1.1 Với các kí hiệu như trong Định lý 1.1, ta gọi tam giácvới độ dài ba cạnh M A, M B, M C là tam giác Pompeiu

Nhận xét 1.1 Theo cách chứng minh của Định lý 1.1, khiM thuộc miềntrong của ∆ABC thì tam giác Pompeiu có thể xây dựng một cách tườngminh

Định lý 1.2 (Định lý Tabrica, xem [7] ) Cho tam giác đều ABC và M

là một điểm nằm miền trong của tam giác Khi đó các góc và diện tíchcủa tam giác Pompeiu được tính như sau

(a) Ba góc của tam giác là \BM C − 60◦, \CM A − 60◦, \AM B − 60◦,

(b) Diện tích bằng 1

3S∆ABC −

√3

4 |M O|2, trong đó O là tâm của tam giác

Trong đó AA’ là trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC

= 1

4CM.BM sinCM B −\

√3

4 .CM.BM cosCM B\

= 1

2S∆CM B −

√3

Do đó, ta được

3S∆CM N = 1

2S∆ABC −

√3

8 M O

2

+

√3

4 M O

2

Định lý 1.3 (Định lý Van Schooten, xem [8]) Cho điểm P nằm trênđường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC Khi đó đoạn dài nhất trong bađoạn thẳng P A, P B, P C có độ dài bằng tổng độ dài hai cạnh còn lại.Chứng minh

Giả sử điểmP nằm trên cung nhỏBC của đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC Thực hiện phép quay tâm B góc 60◦ biến điểm C thành điểm A,

vì \AP B = 60◦ nên phép quay trên biến điểm P thành P0 thuộc tia P A

Ta có tam giác P P0B đều, vì vậy P0 nằm trên đoạn P A

Xét hai tam giác AP0B và CP B, ta có

AB = BC,P\0AB = BCP \Ngoài ra

do đó cũng cho một chứng minh khác của định lý này.

Định lý 1.4 (Định lý Ptolemy, xem [4]) Nếu A, B, C, D là 4 đỉnh củamột tứ giác lồi nội tiếp đường tròn thì

AC.BD = AB.CD + BC.AD

Nhận xét 1.2 Định lý này cũng có thể phát biểu thành định lý thuận

Chứng minh Định lý Ptolemy

Gọi ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn Trên cung nhỏ BC, ta cócác góc nội tiếp \BAC = BDC\ và trên cungAB ta có \ADB = ACB.\ Lấymột điểm K trên đoạn AC sao cho \ABK = CBD.\ Từ

(AK + CK) · BD = AB.CD + BC.DA

Mà AK + CK = AC nên AC.BD = AB.CD + BC.DA

Định lý 1.5 (Xem [4]) Nếu ABCD là một tứ giác bất kì thì

AB.CD + BC.DA ≥ AC.BD

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD nội tiếp trong một đườngtròn

Chứng minh

Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác Dựngđiểm E sao cho ∆BCD v ∆BEA Khi đó theo tính chất của tam giácđồng dạng, ta có

suy ra

AD.BC = EC.BD (1.4)Cộng (1.3) với (1.4) ta suy ra

AB.CD + AD.BC = BD.(EA + EC)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra

AB.CD + BC.DA ≥ AC.BD

Hệ quả 1.1 (Định lý Pompeiu) Cho ∆ABC đều và M nằm ngoài tamgiác đó Khi đó M A, M B, M C lập thành độ dài ba cạnh của một tamgiác

Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử M nằm trong góc tạo bởitia AB và AC Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác ABM C cho

ta nhận ngay được điều cần chứng minh

Định lý Van Schooten có thể mở rộng như sau

Định lý 1.6 (Xem [8]) Cho ∆ABC và điểm P nằm trên đường trònngoại tiếp ∆ABC Kí hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC

và da, db, dc là khoảng cách từ P đến BC, CA, AB Khi đó một trong bađại lượng a

Bổ đề 1.2 Trong tam giác ABC, ta có

h = bc2R

trong đó h là độ dài đường cao của ∆ABC kẻ từ A, b = AC, c = AB và

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Định lý 1.7 (Xem [8]) Cho đa giác X1X2 Xn(n > 2) nội tiếp đườngtròn (C) Cho P là một điểm bất kì trên (C) Kí hiệu

Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n

Với n = 3, định lý được khẳng định theo định lý trên

Giả sử định lý trên đúng với n = k − 1, k > 3

Ta cần chứng minh định lý đúng cho đa giác k cạnh X1X2 Xk Đa giácnày chia đường tròn thành k cung, giả sử P thuộc cung nhỏ X1X2 Xéttam giác X1X2X3 có P thuộc cùng X1X2 của đường tròn ngoại tiếp tamgiác Đa giác X1X3X4 Xk là đa giác (k − 1) cạnh nội tiếp và P thuộccungX1X3 của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó Theo giả thiết quy nạp,

Định lý Pompeiu nói rằng với tam giác đều và điểm M bất kỳ trên mặtphẳng thì M A, M B, M C lập thành độ dài ba cạnh của một tam giác.Trong mục này ta chỉ ra rằng giả thiết tam giác đều không thể bỏ qua.Mệnh đề 1.1 Cho ∆ABC không đều Khi đó tồn tại một điểm K trênmặt phẳng sao cho KA, KB, KC không tạo thành ba cạnh của một tamgiác

Chứng minh

Vì ∆ABC không đều, không mất tính tổng quát, ta giả sử BC > AC ≥

AB Chọn D trên cạnh CB sao cho CD = AB Gọi E là trung điểm của

DB Lấy F ∈ EB, G ∈ BA sao cho BG = BF Lấy H ∈ GB, CH cắtđường tròn (B, BG) tại I Lấy K ∈ IH Ta chọn K đủ gần H sao cho

KH < HB Khi đó AK < AH + KH < AH + HB = AB = CD Tacũng có KB < F B ≤ ED, nên

Chương 2

Định lý Pompeiu tổng quát

Chương này trình bày mở rộng của Định lý Pompeiu Theo Mệnh đề 1.1thì ba đoạn thẳng nối từ một điểm trên mặt phẳng đến ba đỉnh của mộttam giác không đều thì không là ba cạnh của một tam giác Tuy nhiên,nếu ta nhân thêm ba cạnh của một tam giác nhất định với ba đoạn thẳng

đó thì sẽ thu được ba cạnh của một tam giác Ngoài ra, một kết quả tương

tự của Định lý Pompeiu cho trường hợp đa giác đều cũng được trình bàytrong Chương này Công cụ chính được sử dụng trong Chương này là sốphức

Khái niệm số phức

Số phức là biểu thức có dạng z = a + bi trong đó a, b là các số thực, i

là đơn vị ảo, i2 = −1 Ta nói a là phần thực (kí hiệu a = Rez), b là phần

ảo của z (kí hiệu b = Imz)

Tập hợp tất cả các số phức (trường số phức) được kí hiệu là C và nhận

R là trường con

Nhận xét

- Mỗi số thực a được xem như là số phức với phần ảo b = 0

- Số phức z = a + bi ta có a = 0 được gọi là số thuần ảo của z hay là sốảo

Mặt phẳng phức

Trong hệ tọa độ Descartes, có thể dùng trục hoành chỉ tọa độ phần thựccòn trục tung cho tọa độ phần ảo để biểu diễn một số phức z = x + iy.Khi đó mặt phẳng tọa độ được gọi là mặt phẳng phức

Các phép toán trên trường số phức

Cho hai số phức z1 = a + bi và z2 = c + di.

- Hiệu của hai số phức

Với mọi số phức z = a + bi, số phức đối −z := (−a) + (−b)i là số phứcduy nhất mà z + (−z) = (−z) + z = 0

Khi đó

z = z1 − z2 = (a − c) + (b − d)i

- Tích của hai số phức

z = z1.z2 = (ac − bd) + (ad − bc)i

Tồn tại duy nhất của một số phức 1 := 1 + 0i mà z.1 = 1.z = z, với mọi

1) z.z = a2 + b2 là một số thực.

2) z + z0 = z + z0

3) z.z0 = z.z0

Môđun và acgumen

Cho z = a + bi Giả sử M (a; b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi

trên mặt phẳng tọa độ Độ dài của véctơ −−→

OM chính là môđun của số phức

z Kí hiệu là |z|

Ta có |z| =

−−→

OM

=|a + bi| =√

a2 + b2 Góc ϕ giữa chiều dương của trục

Ox và véc tơ −−→

OM được gọi là acgumen của số phức z, kí hiệu arg(z)

Mệnh đề 2.2 Một số tính chất của Môđun và acgumen

Cách biểu diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức.

Phép toán trên các số phức viết dưới dạng lượng giác

Cho hai số phức dưới dạng lượng giác:

z = r(cos ϕ + i sin ϕ),

z0 = r0(cos ϕ0+ i sin ϕ0)

Khi đó

z.z0 = r.r0 (cos(ϕ + ϕ0) + isin (ϕ + ϕ0)) ,z

1) Trong mặt phẳng phức, tất cả các nghiệm của phương trình xn− a = 0

(a 6= 0, n ≥ 3) lập thành một đa giác đều n cạnh

2) Ngược lại, một đa giác đều n cạnh là biểu diễn hình học của tất cả cácnghiệm của phương trình xn− a = 0, với a 6= 0 nào đó

Chứng minh Bổ đề suy ra từ công thức căn bậc n của số phức ở trên

2.2 Định lý Pompeiu tổng quát

Định lý 2.1 (Xem [3]) Cho ∆ABC và điểm M trên mặt phẳng chứa tamgiác đó Khi đó M A.BC, M B.CA và M C.AB lập thành ba cạnh của mộttam giác Tam giác đó suy biến nếu và chỉ nếu M nằm trên đường trònngoại tiếp ∆ABC

Chứng minh

Giả sử mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy nào đó Với mỗi điểm P (x, y)

ta ứng với một số phức p = x + iy Ta nói ba điểm trên mặt phẳng làphụ thuộc tuyến tính nếu chúng nằm trên một đường thẳng Gọi a, b, c,

m là các số phức cho bởi điểm A, B, C, M Chọn hệ trục tọa độ sao cho

A trùng với gốc tọa độ Khi đó a = 0

BM.AC ≤ AM.BC + CM.AB, (2.2)

CM.AB ≤ AM.BC + BM.AC (2.3)Vậy AM.BC, BM.AC, CM.AB là độ dài ba cạnh của một tam giác.Chứng minh suy biến: Tam giác đó suy biến nếu và chỉ nếu một trong babất đẳng thức trên trở thành đẳng thức Giả sử (2.2) là đẳng thức, tức là

arg((m − b).c) = arg((m − c).b)

⇔ (m − b) · c(m − c).b ∈ R

⇔ (m − b) · c(m − c).b =

(m − b).c(m − c).b

b − |c|2.b − |b|2.c

c.b − b.c

|c|2.b − |b|2.cc.b − b.c

Vậy M thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

Định lý trên có thể chứng minh bằng phép biến hình trong mặt phẳng.Sau đây ta sẽ trình bày chứng minh bằng cách áp dụng phép nghịch đảo.Định nghĩa 2.1 Phép nghịch đảo tâm P, bán kínhr > 0là phép biến hìnhtrên mặt phẳng biến mỗi điểm X thành điểm Y sao cho −−→

P X.−→

P Y = r2

Chứng minh

Xét trường hợp M là điểm nằm ở miền trong của tam giác ABC

Xét phép nghịch đảo tâm A bán kính 1 Gọi B1, C1, M1 là ảnh của cácđiểm B, C, M qua phép nghịch đảo đó Nếu B1, C1, M1 thẳng hàng thì

\

AM1B1 +AM\1C1 = 180◦

Mà BM M1B1, CM M1C1 nội tiếp, do đó bốn điểm A, B, M, C cùngthuộc một đường tròn Điều này không thể xảy ra vì M nằm ở miềntrong của tam giác ABC nên A, B, M, C không thể cùng nằm trên mộtđường tròn Vậy B1, C1, M1 không thẳng hàng Ta có các cặp tam giácđồng dạng sau

∆ABM v ∆AM1B1, ∆ACM v ∆AM1C1, ∆ABC v ∆AC1B1

C1M1CM.AB =

B1C1AM.BC =

1AM.AB.AC.

Từ đó suy ra BM.AC, CM.AB, AM.BC là độ dài ba cạnh của một tamgiác đồng dạng với tam giác ∆B1C1M1

Trường hợp M nằm ở miền ngoài của tam giác ABC ta chứng minhtương tự

Định lý 2.2 (Xem [3]) Cho A1A2 An là n-giác đều và P là một điểmbất kì trên mặt phẳng chứa đa giác Khi đó các độ dài P Ak1, P Ak2, , P Akn.(1 ≤ k ≤ n − 2) là các cạnh của một n giác lồi

Chứng minh Từ Bổ đề 2.1, không mất tính tổng quát, giả sử các điểm

A1, ,Anlà biểu diễn hình học của các nghiệmsicủa phương trìnhxn−1 =

0 Gọi z là số phức biểu diễn bởi điểm P Ta có

skj với 1 ≤ k ≤ n − 1 có thể biểu diễn như các

đa thức của các đa thức đối xứng cơ sở của các tổng sau

Tương tự, ta có bất đẳng thức tương tự cho P Aki với mọi i = 2, n Vì vậy

P Ak1, , P Akn là các cạnh của một n-giác lồi

Định lý 2.3 (Xem [4]) Trong không gian cho bốn điểm A, B, C, D Khi

đó AB.CD, AC.BD, AD.BC là ba cạnh của một tam giác

Bổ đề 2.2 Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác, nếu ax, by, cz ( Với

x, y, z>0) là ba cạnh của một tam giác thì khi đó

a√

x2 + d2, bpy2 + d2, c√

z2 + d2 cũng là ba cạnh của một tam giác

Chứng minh Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức sau

Từ đây, suy ra điều phải chứng minh.

Chứng minh Định lý 2.3 Ta sẽ chứng minh định lý cho trường hợp A, B,

C, D nằm trên Rn.Ta chọn hệ tọa độ sao cho các điểm A, B, C nằm trên

Định lý 2.4 (Xem [1]) Cho ∆ABC là tam giác nhọn với độ dài ba cạnh

là a, b, c với diện tích S0 Cho M là một điểm thuộc miền trong tam giác.Gọi S là diện tích tam giác có ba cạnh với độ dài là M A.BC, M B.CA,

M C.AB vàS1, S2,S3 là diện tích các tam giác∆BCM, ∆CAM, ∆ABM.Khi đó

SS0 = a2S2S3 + b2S3S1 + c2S1S2

Chứng minh

Sử dụng phép nghịch đảo tâmA bán kính 1:B 7→ B1, C 7→ C1,M 7→ M1.Theo chứng minh trên, ta có

Ta lại có ∆B1C1M1 đồng dạng với tam giác có độ dài ba cạnh là AM.BC,

BM.CA, CM.AB với tỉ số đồng dạng là 1

2.4 Tam giác đồng dạng thông qua số phức

Trong mục này em trình bày tính đồng dạng của hai tam giác thôngqua số phức

Định nghĩa 2.1 Hai tam giác được gọi là đồng dạng cùng hướng nếuchúng là hai tam giác đồng dạng và thứ tự các đỉnh cùng theo chiều kimđồng hồ hoặc ngược lại

Mệnh đề 2.3 Cho hai tam giác ABC và DEF Gọi z1, z2, z3 là các

số được biểu diễn bởi A, B, C; w1, w2, w3 là các số được biểu diễn bởi

D, E, F Khi đó ∆ABC và ∆DEF là đồng dạng cùng hướng khi và chỉkhi

Định lý 2.5 (Xem [3]) Cho hai tam giác đồng dạng cùng hướng ABC

và DEF Khi đó BC.AD, CA.BE và CF.AB là độ dài ba cạnh của mộttam giác

Chứng minh Giả sử hai tam giác ∆ABC và ∆DEF là đồng dạng cùnghướng Gọi z1, z2, z3 là các số được biểu diễn bởi A, B, C; w1, w2, w3 làcác số được biểu diễn bởi D, E, F Theo Mệnh đề 2.2, ta có

AD.BC ≤ BE.CA + CF.AB.

Tương tự, ta cũng chứng minh được hai bất đẳng thức còn lại

Vậy BC.AD, CA.BE và CF.AB là ba cạnh của một tam giác

Nhận xét 2.2 Trong trường hợp D, E, F trùng nhau thì định lí trên trởthành định lí tổng quát của Định lí Pompeiu

Định lý 2.6 (Xem [4]) Cho hai tam giác ABC và A0B0C0 nằm trên haimặt phẳng song song với nhau Giả sử hai tam giác đó đồng dạng với nhau

và cùng hướng Khi đó BC.AA0, CA.BB0 và AB.CC0 là độ dài ba cạnhcủa một tam giác

Chứng minh Vì ∆ABC và ∆A0B0C0 là hai tam giác đồng dạng nằm trênhai mặt phẳng song song Gọi ∆A1B1C1 là hình chiếu vuông góc của tamgiác A0B0C0 lên mặt phẳng chứa tam giác ABC Khi đó, ta được ∆ABC

và ∆A1B1C1 đồng dạng cùng hướng với nhau Theo Định lý 2.4 ta có

BC.AA1, CA.BB1 và AB.CC1 là độ dài ba cạnh của tam giác Áp dụng

Bổ đề 2.2 suy ra BC.pAA21 + d2 , CA.pBB12 + d2 và AB.pCC12 + d2

cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác (với d là khoảng cách của haimặt phẳng) Ta lại có AA0 = pAA21 + d2, BB0 = pBB12 + d2 và CC0 =

p

CC12 + d2 Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Nhận xét 2.2 Trong trường hợp D, E, F trùng định lí trởthành định lí tổng quát Định lí Pompeiu

Định lý 2.6 (Xem [4]) Cho hai tam giác ABC A0B0C0... class="text_page_counter">Trang 20

2.2 Định lý Pompeiu tổng quát

Định lý 2.1 (Xem [3]) Cho ∆ABC điểm M mặt phẳng chứa tamgiác Khi M A.BC, M B.CA... class="page_container" data-page="24">

Từ đây, suy điều phải chứng minh.

Chứng minh Định lý 2.3 Ta chứng minh định lý cho trường hợp A, B,

C, D nằm Rn.Ta chọn hệ tọa độ cho điểm