Có bao nhiêu số tự nhiên được viết trong hệ đếm thập phân gồm năm chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau?. Có bao nhiêu cách lập ra một số gồm ba chữ số khác nhau từ 5 s
Trang 1I.THÀNH LẬP SỐ TỪ CÁC SỐ CHO TRƯỚC
1) Các chữ số đôi một khác nhau
Bail
(ĐH An ninh, 1997) Từ bảy chit s6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
có thể thành lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có năm chữ số
khác nhau
Giải
* Chữ số hàng đơn vị là 0 —› có 1.6.5.4.3= A¿ số
Chữ số hàng đơn vị là 2 hoặc 4, hoặc 6 —› có 3 cách chọn chữ
số hàng đơn vị, 5 cách chọn chữ số hàng vạn (khác 0), vậy có
3.5.5.4.3 = 3.5 AŠ số,
Tất cả có A4 + 3.5 A‡ = 1260 số,
Bài 2
(ĐH Huế, 1997) Có bao nhiêu số tự nhiên (được
viết trong hệ đếm thập phân) gồm năm chữ số mà các chữ số
đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau? Tính tổng của tất cả các số
tự nhiên nói trên
Giải
Mỗi số ứng với một hoán vị của năm m phần tử 5, 6, 7, 8, 9
Vậy có P; = 1.2.3.4.5 = 120 số
Sự xuất hiện của mỗi chit số 5, 6, 7, 8, 9 ở mỗi hàng, (đơn vị,
chục, trăm, ) là như nhau, nên tổng các chữ số ở hàng đơn vị
của 120 số nêu trên là:
120 (5+6+74+8+9).— = 840
Suy ra tổng của 120 số là
840.(1.10°+ 1.10! + 1.10? + 1.10? + 1.10%) = 840.11111
= 9333240
OS ai 3
(DH Quéc gia Ha Noi, 1997) C6 100.000 chiếc vé
xổ số được đánh số từ 00.000 đến 99.999 Hỏi số các vé gồm năm
chữ số khác nhau là bao nhiêu?
lãi
Theo đầu bài thì chữ số hàng chục nghìn cũng có thể bằng
0 Suy ra có 10.9.8.7.6 = Ajo= 30240 vé gầm năm chữ số khác
nhau
Bài 4
- (H Thái Nguyên, 1997) Cho các số 1, 9, 5, 7, 8
Có bao nhiêu cách lập ra một số gồm ba chữ số khác nhau từ 5
số trên sao cho: :
a) Số tạo thành là một số chẵn
b) Số tạo thành không có chữ số 7
e) Số tạo thành nhỏ hơn 278
lái
a) Có 2 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có 2.4.3 = 2 A2 = 24
Trang 4l
b) Chỉ được chọn trong 4 số, vậy có 4.3.2 = A3 ạ = 24 số số không
có số 1
c) Chữ số hàng trăm là 1 hoặc 2: Nếu là 1 thì có 4.3= A? =
12 số, nếu là 2 thì chỉ có đúng 8 số (275, 371, 258, 257, 251, 218,
217, 215) nhỏ hơn 278 Vậy có 20 số nhỏ hơn 278
Bài 5
(ĐH Y Hà Nội, 1997) Cho mười chữ số 0, 1, 2, 9
Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số ï khác nhau, nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 chữ số đã cho
Giải
* Chữ số hàng đơn vị (chữ số đầu tiên bên phải) được chọn từ
1, 3, 5, 7, 9 Chữ số đầu tiên bên trái được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5 Bốn chữ số ở giữa có A§ # 8.7.6.5 = 1680 cách chọn
Nếu chữ số hàng đơn vị là 7 hoặc 9 (2 cách chọn) thì chữ số đầu tiên bên trái có 5 cách chọn, vậy có 2.5.1680 = 16800 cách
chọn
Nếu chữ số hàng đơn vị là 1 hoặc 3 hoặc 5 (3 cách chọn) thì chữ số đầu tiên bên trái chỉ còn 4 cách chọn, vậy có 3.4.1680 =
20160 cách chọn
Tóm lại có 16800 + 20160 = 36960 số thỏa mãn đầu bài
Bài 6
(ĐH Lâm nghiệp, 1997) Cho các chữ số 0, 2, 4; ð, 6,
8, 9)
1 Có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số mà trong mỗi số các chữ số khác nhau
2 Có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong
đó nhất thiết có mặt chữ số 5
Giải
* 1, Chữ số hàng trăm phải khác 0, nên có 6 cách chọn Hai
chữ số còn lại có 6.5 = A2 = 30 cach chon Vậy có 180 số
2 Chữ số hàng nghìn phải khác 0, nếu là 5 thì ba chữ số còn
lại có 6.B.4 = Aš = 120 cách chọn — 120 sd!
Nếu chữ số hàng nghìn là 2 hoặc 4, 6, 8, 9 (5 cách chọn) thì trong ba chữ số còn lại phải có một số là 5 (1 cách chọn duy nhất), và hai số kia có 5.4 = A? = 20 cách chọn Vậy có 5.1.20 =
100 số Tổng cộng có 120 + 100 = 220 số
Bài 7
(Cao đẳng Sư phạm TP HCM, 1997) Cho các chữ
số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu:
1 Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau
2 Số chia hết cho 5 gom 3 chit số khác nhau:
Giải
1 Số chẵn tận cùng là 0 có 5.4.3= Ag = 60 80
Số chẵn tận cùng là 2 hoặc 4 thì chữ số hàng nghìn phải khác 0, nên có 9.4 AGS = 2.4.4.3 = 96 số Vậy có 60 + 96 =156 số
chẵn.
Trang 22 Số chia hết cho 5 phải tận cùng là 0 hoặc 5 Nếu tận cùng
là 0 sẽ có 5.4 = AZ = 20 số Nếu tận cùng là 5 thì vì chữ số hàng
trăm khác 0 nên có 4.4 = 16 số Vậy có 20 + 16 = 36 số chia hết
cho 5
Bai 8
(DH Su pham Vinh, 1999) Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3,
4, ð, 6, ï Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số
gồm 4 chữ số, đôi một khác nhau và không chia hết cho 10
Giải
Chữ số hàng nghìn và hàng đơn vị đều phải khác không
hên có 7.6 cách chọn Hai chữ số hàng trăm và hàng chục sẽ có
6.ð cách chọn Vậy 7.6.6.5 = 1260 số thỏa mãn đầu bài
Bài 9
(ĐH Quế: gia TP.HCM, 2000)
1 Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một
trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ?
2 Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó
có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chăn (chữ số đầu tiên phải
khác 0)?
Giải
* 1, Chữ số đầu tiên là số lẻ nên có 5 cách chọn, chữ số cuối
cùng là chẵn nên có ð cách chọn, khi đó 4 chữ số đứng giữa có
Ag cach chon, vay c6 25 A4 = 42000 s6
2 Từ õ chữ số lẻ chọn ra 3 số có Cj cách, cũng như vậy đối
_ với chữ số chẵn Với 6 chữ số đã chọn có P; = 6! hoán vị, trong đó
số các số có chữ số 0 đứng đầu tiên chiếm 8 - Vậy có
Cả = 64800 số
7 C5
ai 10
(DH Su pham Vinh, 2000) Tìm tất cả các số tự
nhiên có đúng ð chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau
lớn hơn chữ số đứng liền trước
Giả
* Chữ số đầu tiên bên trái phải khác 0, vì nó là nhỏ nhất nên
chỉ xét 9 chữ số từ 1 đến 9 Rõ ràng các chữ số phải khác nhau
nên nếu lấy ð chữ số bất kỳ sẽ tạo được 1 số (theo thứ tự tăng
\ ae aw a, A ` ` 5 5 _ _9.8.7.6.5 _
dan) Vay số các số tự nhiên cần tìm là Cộ= 12.345 7 126
Bài 11
(Viện Đại học Mở Hà Nội, 2000) Cho bốn chữ số 1,
2,3,4
a) Có thể lập được bao nhiêu số hàng nghìn gồm 4 chữ số
khác nhau từ bốn chữ số đó
b) Tính tổng các số tìm được ở câu a)
Giải
a) C6 P, = 1.2.3.4 = 24 số,
b) Nhận thấy 24 số ở câu a) gồm 12 cặp số mà tổng mỗi cặp
là 5555 (chẳng hạn 1234 và 4321) Vậy tổng phải tìm là 12.5555 = 66660
Bài 12
(Học viện Quốc tế, 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 thiết lập tất cả các số có chín chữ số khác nhau Hỏi
trong các số đó có bao nhiêu số mà chữ số 9 đứng ở vị trí chính
giữa
Giải
* Số hoán vị của 9 phần tử là 9! Số 9 là _ đẳng như các
chữ số khác nên các số có 9 ở vị trí chính giữa hộ B: = 8! = 40320 - Bai 13
(DH Quéc gia TP.HCM, 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đâu tiên khác 0) trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1
Giả
* Khi chữ số 0 ở hàng đơn vị, ð vị trí còn lại được chọn từ 8
chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có 8.7.6.5.4 = AŠ = 6720 cách chọn Chữ
số 0 có thể đứng ở 5 vị trí (vì chữ số đầu tiên khác 0) nên có
5 AŠ = 33600 số thỏa mãn đầu bài |
Bai 14
(DH Su phạm Hà Nội 9, 2001) Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được thành lập từ 6 chữ
số 1, 3, 4, 5, T, 8
* Mỗi số ứng với một chỉnh hợp chập 5 của sáu phần tử đã cho Vậy có A¿ = 6,5.4.3.2 = T20 số
Mỗi một trong các chữ số đã cho có số lần xuất hiện ở hàng
đơn vị là như nhau và là 7g." 120 Suy ra tông các chữ số hàng
đơn vị của 720 số đang xét là 120.(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8) = 3360
Đó cũng là tổng các chữ số ở mỗi hàng chục, trăm, nghìn, nên tổng của 720 đang xét là 3360 (1 + 10 + 10? + 10°+10+10°)
= 3360.(11111) = 37332960
Bài 15
(ĐH Ngoại thương cơ sở II - TP.HCM, 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có sáu chữ số khác nhau Hỏi trong các số thiết lập được có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau
Giải
* Vì có sáu vị trí nên nếu số 1 đứng trước thì có 5 trường hợp
số 6 đứng ngay sau Cũng có 5 trường hợp số 1 đứng ngay sau số
6 Trong mỗi trường hợp, bốn vị trí còn lại có 4.3.2.1 = P, cách
chọn Vậy có (5 + ð).P, = 240 số mà 6 và 1 đứng cạnh nhau Có tat ca P, = 6! = 720 số có sáu chữ số Suy ra số các số thỏa mãn
đầu bài là 720 - 240 = 480
2) Các chữ số có thể trùng nhau
Trang 3(ĐH Quốc gia TP.HCM, 1998) Xét dãy số gồm 7
chữ số (mỗi chữ số được chọn từ các số 0, 1, 2, , 8, 9) thỏa mãn
các tính chất sau:
- Chữ số ở vị trí thứ 3 là một số chẵn
~ Chữ số ở vị trí cuối không chia hết cho 5
- Cac chit sé 6 vị trí thứ 4, thứ 5 và thứ 6 đôi một khác nhau
Hỏi có tất cả bao nhiêu dãy số như vậy (có giải thích)?
Giải
* Xét day s6 (a, a,, as, a,, as, a, ay) thỏa mãn các yêu cầu
của đầu bài
Vi a, chan nên có ð cách chon (0, 2,4, 6, 8)
Vì a; không chia hết cho 5 nên có 8 cách chọn (1, 2, 3, 4, 5, 6,
1, 8, 9) |
Vì a„ a;, a; đôi một khác nhau nên có A¥p cách chọn
Vì a;, a, tùy ý nên mỗi số có 10 cách chọn
Vậy có 5.8 AŸ› 10.10 = 5.8.(10.9.8).10.10 = 2880000 day số
thỏa mãn đầu bài
Bài 17
(ĐH Sư phạm Vĩnh, 1998) Viết các số có sáu chữ
số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 (một chữ số xuất hiện hai lần, các
chữ số còn lại xuất hiện một lần) Có bao nhiêu cách viết
Giải
* Gia su chữ số 1 được viết 2 lân > cé C3 = 72 cach chon
vị trí để viết Bốn vi trí còn lại được viết các chit s6 2, 3, 4, 5 >
có P, = 1.2.3.4 cách viết Vậy có Cả.P, cách viết có hai chữ số 1
Vì vai trò 5 chữ số 1, 9, 3, 4, 5, là như nhau nên có 5 Cả.P, =
1800 cách viết
Bai 18
(ĐH Xây dựng, 1998) Có bao nhiêu số tự nhiên
khác nhau, nhỏ hơn 10000 được tạo thành 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4
Giải
* Số có 1 chữ số: có 5 số (0, 1, 2, 3, 4)
Số có 2 chữ số: số có hàng chục khác 0 — có 4.ð = 20 số
Số có 3 chit s6: sé hang tram khac 0 > c6 4.5.5 = 100 sé
Số có 4 chit s6: sé hang nghin khac 0 — c6 4.5.5.5 = 500 số
Không thể có hơn 4 chữ số nhỏ hơn 10000 Vậy có
õ + 20 + 100 + 500 = 695 số
Bài 19
(ĐH Sư phạm Vinh, 2000) Có bao nhiêu số khác
nhau gồm bảy chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một
sé chan
Giai
Trang 43
* Chữ số đầu tiên bên trái khác 0 nên có 9 cách chọn, xét 5 chữ số tiếp theo mỗi số có 10 cách chọn, riêng chữ số hàng đơn
vị cũng có 10 cách chọn nhưng chỉ có 5 cách cho tổng các chữ số thoa mãn đầu bài (chẵn) Vậy có 9.107.5 = 4500000 số
Bài 20
(ĐH Sư phạm Hà Nội 2, 2000) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số 1, 2, 3, 4, ö, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần còn các chữ số khác có mặt 1 lần
Bài 2I
* 8ố hoán vị của 8 phần tử là P; = 8! tức là có 8! số Nhưng trong đó có các số trùng nhau vì khi bị đổi chỗ 2 chữ số 1 vẫn chỉ
là 1 số, đổi chố 2 chữ số 6 vẫn chỉ được cùng 1 số Vậy có
3-z 8!= 10080 số Bài 22
(ĐH Thái Nguyên, 2000) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ?
Gi Pe
* Chon các chữ số lần lượt từ trái (hàng chục nghìn) đến phải (hàng đơn vị): chữ số thứ nhất phải khác 0 nên có 9 cách chọn, chữ số thứ hai có 10 cách, chữ số thứ ba có 10 cách, chữ số thứ tư có 10 cách, chữ số thứ năm có 10 cách nhưng sẽ có 5 cách cho tổng cả ö chữ số của số viết ra là lẻ, 5 cách cho tổng là chẵn Vay dé thỏa mãn đầu bài có 9.10.10.10.5 = 45000 số,
Bài 23
(ĐH Thái Nguyên, 2000) Từ ba chữ số 1, 2 và 3 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên?
Giải
* Để tạo được số có 5 chữ số bắt buộc có mặt 3 chữ số 1, 2, 3, ngoài ra lấy thêm 2 chữ số nữa (trong các chữ số ], 2, 3)
THỊ: 2 chữ số lấy thêm giống nhau, giả sử lấy thêm hai số 1 Coi ð chữ số là khác nhau đôi một, có 5! hoán vị nên có 5! số, Nhưng trong đó có các số giống nhau do hoán vị của 3 số 1 Vậy
chỉ có “ai: = 20 số (có chứa 3 số 1) Suy ra có 60 số thuộc THỊ Bài 24
TH2: 9 chữ số lấy thêm khác nhau, giả sử lấy thêm 2 va 3 Lập luận tương tự THỊ: có 5! số nhưng có những số giống hệt
nhau do các hoán vị của 2 số 2 hoặc 2 số 3 Vay c6 Soy = 30 số (mỗi số có chứa 1 số 1)
Suy ra có 3.30 = 90 số thuộc TH2
Tóm lại có 60 + 90 = 150 số thỏa mãn đầu bài
Ghi nhớ: Số các số gồm k chữ số, mà chữ số a có mặt kạ lần,
6 ma ân, ó mặ ân là TT 1 TỊ+
a, co mặt k¿ lần, a„ có mặt k„ lan | Kk,! k,!
Bai 25
Trang 4(ĐH Huế, 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4
chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần
lái
* Có 9000 số tự nhiên có 4 chữ số từ 1000 đến 9999 Trong
đó 9 số có 3 chữ số 0 là a000, 8 + 9 + 9 + 9 = 3ð số có 3 chữ số 1
là b111, 1a11, 11a1, 111a với b nhận 8 giá trị (khác 0, khác 1),
a nhận 9 giá trị khác 1 Tương tự có 35 số có 3 chữ số 2, 3ð số có
3 chữ số 3, , 35 số có 3 chữ số 9 Vậy có 9000 - (9 + 35.9) = 8676
Bai 26
(ĐH Quốc gia TP.HCM, 2001) Có bao nhiêu số tự
nhiên gồm 7 chữ số (chữ số đầu tiên khác 0), biết rằng chữ số 2
có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số
còn lại có mặt không quá một lần
Giải
* Xếp chữ số 2 vào hai trong 7 vị trí có C? cách Xếp chữ số 3
vào 3 trong 5 vị trí còn lại có Cổ cách Xếp hai chữ số trong tám
chữ số 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào 2 vị trí, có 8.7 = A2 cách Như vậy
có C C3 1.8 = i1 a 7.8 = 11760 sé Can phai loai di cac
số bất đầu bằng chữ số 0 trong 11760 số nêu trên Lập luận
Bài 27
tương tự cho 6 vị trí: Có C2 cach xếp chữ số 9 vào 2 vị trí, Cả
cách xếp chữ số 3 vào ba vị trí, 7 cách xếp vị trí còn lại
(chọn một trong các chữ số 1, 4, ð, 6, 7, 8, 9) Vậy phải loại bỏ
Cễ.C2.7 = 420 số, nên số các số thỏa mãn đầu bài là 11760 -
420 = 11340
Il BAI TOAN CHON
Bai 28
- (ĐH Sư phạm Quy Nhơn, 1997) Cho hai đường
thang song song d, va dy Trén d, lay 17 điểm phân biệt, trên d,
lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm
trong số 37 điểm đã chọn trên d, và dụ
* Giả sử 37 điểm đã cho không có 3 điểm nào thẳng hàng >
số tam giác tạo được là Cš; Nhưng qua 17 điểm trên dạ không
tạo được tam giác nào lại kể là C3, tam giác, 20 điểm trên d;
cũng coi là tạo được Cặo tam giác Vậy số tam giác thực sự có
được là:
1 Cấy - Củc - Cỉ; => 9 (37.36.35 — 20.19.18 - 17.16.15)
= 5950
Bai 29
(ĐH Thái Nguyên, 1997) Một lớp học có 40 học
sinh gồm 25 nam và 15 nữ Cần chọn một nhóm gồm 3 học sinh
Hỏi có bao nhiêu cách:
a) Chọn 3 học sinh bất kỳ
b) Chọn 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ
c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam
* a) Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 3 của 40, vậy có
| 3 _ 40.39.38 C4o =~ 193 = 9880 cách chọn
15.14 b) Có Cả; cách chọn 1 nam và Cy = 1a =105 cách chọn
2 nữ Theo qui tắc nhân có 25.105 = 2625 cach chon
15.14.13 1.2.3 câu a) có 9880 cách chọn 3 học sinh bất kỳ Suy ra số cách chọn
có ít nhất 1 hoc sinh nam 14 9880 - 455 = 9425
Bai 30
(Học viện khoa học quân sự, 1997) Có 10 câu hỏi gồm 4 câu lý thuyết va 6 câu bài tập để cấu tạo thành một đề thi gồm 3 câu có cả lý thuyết và bài tập Hỏi có bao nhiêu khả năng cấu tạo đề thi
Giải
* Chon để thi có 1 câu lý thuyết và 2 câu bài tập có C‡ + Cá =
1+ 1ỗ = 16 cách
Chon dé thi có 2 câu lý thuyết và 1 câu bài tập có
Cá + C¿ =6+6= 12 cách
c) Có Cï = = 455 cach chon 3 hoc sinh nữ Theo ˆ
Vậy có 16 + 12 = 28 khả năng cấu tạo đề thi
Bài 31
(ĐH Kiến trúc Hà Nội, 1998) Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kĩ sư Để lập một tổ công tác cần chọn 1 kĩ
sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân tổ viên Hỏi có bao nhiêu cách thành lập tổ công tác -
Giải
* Có 3 = Cả cách chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 10 =' Cio cach chọn 1 công nhân làm tổ phó Với mỗi cách chọn tổ trưởng, tổ
phó có Cš cách chọn 5 công nhân tổ viên Vậy có
3.10 C3 = 3.10 >,» = 3780 cách lập tổ công tác 1.2.3.4.5 Bai 32
(DH Quéc gia TP.HCM, 1998) Một da giác lỗi n cạnh thì có bao nhiêu đường chéo?
Gi Pe
* Vì là đa giác lổi nên không có 3 đỉnh nào thắng hàng Qua
n đỉnh đó kể được C? đường thẳng phân biệt chứa các cạnh và đường chéo Do có n cạnh nên số đường chéo là
_ nín - l) _ nén - 3)
C2 -»
Bai 33
(ĐH Huế, 1999) Một hập dung 4 viên bi đỏ, 5 viên
bi trang va 6 viên bi vàng Chọn ra 4 viên bị từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không có đủ ba màu Giải
Trang 5* Xét kha năng có đủ ba màu:
Có 2 đỏ, 1 trắng, 1 vàng: C{.Cỷ Cả =1 - 0.6 = 180 cách
C6 1 do, 2 trang, 1 vang: cl C3 Ck = 4, 12° 6 = 240 cach
Có 1 đỏ, 1 trang, 2 vang: Cj Ci.Cg= 4.5 > = 300 cach
Vì có Ci = 1365 cach chon 4 vién bat ky trong hộp nên số
cách chọn để lấy ra 4 viên không đủ ba màu là
1368 - (180 + 240 + 300) = 645
Bài 34
(ĐH Cảnh sát nhân dân, 1999) Cho tam giác ABC
Xét tập hợp 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng
song song với BC và 6 đường thẳng song song với CA Hỏi các
đưởng thẳng này tạo được bao nhiêu tam giác và bao nhiêu hình
thang (không kể hình bình hành)
Giải
* Mỗi tam giác được tạo bởi 3 đường thẳng thuộc 3 họ khác
nhau, vậy có 4.B.6= Cả C‡.C¿ = 120 tam giác
Mỗi bình thang được tạo bởi 2 đường của cùng một họ, 2
đường kia thuộc 2 họ còn lại, vậy có
C2.C¿ Cả +C}.C? Cá + CÌ.C¿ Cả = 720 hình thang
Bài 35
(DH Sư phạm Hà Nội 2, 1999) Một trường tiểu học
có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ (trong đó có 4
cặp anh em sinh đôi) Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số
50 hoc sinh trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong
nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào Hỏi có bao nhiêu cách
chọn?
Giải
* Để chọn 3 học sinh bất kỳ trong 50 học sinh có
3 _ 50.49.48,
50 1a Caen
Có 48 cách chọn 1 học sinh để ghép cùng hai anh em sinh
đôi A và A' để tạo nên nhóm 3 học sinh trong đó có A, Á' Suy ra
số nhóm 3 người có 2 anh em sinh đôi nào đó là 48.4 = 192 Vậy
số nhóm 3 người không có cặp sinh đôi nào là C?a-192 = 19408
Bai 36
(DH Su phạm Vinh, 1999) Một tổ sinh viên có 20
em, trong đó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp
và 5 em chỉ biết tiếng Đức Cần lập một nhóm đi thực tế gồm 3
em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức
Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm đi thực tế từ tổ sinh viên ấy
Kết quả
, 8.7.6 1.6.5
* C6 C3.C7.C5 =103°1234'L
= 19600 cach
(Học viện kĩ thuật quân sự, 2000) Mét dén cảnh sát khu vực có 9 người Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm
vụ ở dia diém A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người thường trực
tại đôn Hỏi có bao nhiêu cách phân công
Giải
* Cử 3 người làm nhiệm ở địa điểm A có C3 cách Cử 2 người (trong 6 người còn lại) có c cách Số người còn lại là 4 sẽ
9.8.7
` % aa Z n2 _-———
thương trực ở đôn Vậy có Cs.& = 123° 1 Bài 38
o> on
= 1260 cach
(ĐH Huế, 2000) Một lớp học có 30 học sinh nam và
1ỗ học sinh nữ Có 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp ca
Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau:
1 Nếu phảt có ít nhất 2 nữ?
2 Nếu chọn tùy ý?
Giải
* 2, Nếu chọn tùy ý thì có Cộ= Ta yra =
1.2.3.4.5.6
8145060 cach
1 Chọn 6 học sinh, không có nữ: Cân cách
Chọn 6 học sinh trong đó có đúng 1 nữ: 15 Cổ, cách
Suy ra chợn 6 học sinh trong đó có ít nhất 2 nữ có
CỆ - (Cấp + 16 Ca) = 8145060 - 2731365 = 5413695 cách Bài 32
(ĐH Thái Nguyên, 2000) Một đội văn nghệ có 20
người gầm 10 nam và 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5
người sao cho:
a) Có đúng 2 nam trong ð người đó
b) ó ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó
Giải
* a) Chọn 2 nam và 3 nữ sẽ có C?a C?o = 5400 cách
b) chon 3 nam va 2 nit sé c6 Cfo Cía = 5400 cách
Chọn 4 nam và 1 nữ sẽ có C‡o Clạ= 2100 cách
Vậy muốn chọn 5 người có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ (tức
là có 2 hoặc 3 hoặc 4 nam) có:
_ ð400+ð400 + 2100 = 19900 cách
Bài 40
(ĐH Cần Thơ, 2000) Có 9 viên bi xanh, ð viên bì
đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau
1 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bì, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ
2 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ
Giải
Trang 6*1 Chon 2 bi dé c6 C# cach, chọn 4 bi trong số 9 + 4 = 13 bi
5.4 13.12.11.10
xanh hoặc vàng có: Cj3 cach, vayc6 Cs.Ci3 =F 9 1934
= 7150 cach
2 Chọn 3 trong 9 bi xanh, 3 trong 5 bị đồ có
9.8.7 5.4.3
Bai 41
(ĐH Quốc gia TP.HCM, 9000) Thây giáo có 12
cuốn sách đôi một khác nhau gồm 5 cuốn văn học, 4 cuốn âm
nhạc và 3 cuốn hội họa Ông lấy ra 6 cuốn để tặng 6 học sinh A,
B, C,D, E, F mỗi em một cuốn
1 Có bao nhiêu cách nếu thầy chỉ muốn tặng sách văn học
và âm nhạc
2 Có bao nhiêu cách để sau khi tặng, thầy vẫn còn ít nhất 1
cuốn văn học, ít nhất 1 cuốn âm nhạc và ít nhất 1 cuốn hội họa
Giải
* 1, 6 học sinh được nhận 6 trong 9 cuốn sách (văn học và
âm nhạc), vậy có 9.8.7.6.5.4 = 60480 cach
9, Thây giữ lại mỗi thể loại một cuốn, 6 học sinh được nhận 6
cuốn từ 9 cuốn, vậy có 9.8.7.6.5.4 = 60480 cách :
Bài 42
| (Hoc vién Ki thuat quân sự, 2001) Trong số 16 học
sinh có 3 học sinh giỏi, ð khá, 8 trung bình Có bao nhiêu cách
chia 16 học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người sao cho mỗi tổ
đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá
Giải
* Cần tìm số cách chọn 8 học sinh có 1 hoặc 2 giỏi, 2 hoặc 3
khá, còn lại là trung bình (từ 3 giỏi, 5 khá, 8 trung bình):
e 1 gidi, 2 kha, 5 trung binh: C}.C?.C3= 3.10.56 = 1680
cach
e 1 gidi, 3 kha, 4 trung binh: C4.C3.C$=3.10.70 = 2100
cach, =, ‘
¢ 2 gidi, 2 kha, 4 trung bình: C§.C?.Cả= 3.10.70 = 2100
cách
se 2 giỏi, 3 khá, 3 trung bình: C?.Cỷ.Cả= 3.10.56 = 1680
cách
Vậy có (1680 + 2100).2 = 7560 cách
Bài 43
(ĐH Ngoại thương, 2001) Trên mặt phẳng cho
hình 10 cạnh lôi Á;A¿ A¡s Xét các tam giác có 3 đỉnh của nó là
3 đỉnh của hình 10 cạnh lồi Hỏi trong số tam giác đó có bao
nhiêu tam giác mà cả 3 cạnh của nó đều không phải là cạnh của
hình 10 cạnh lôi
QO jpmmio OS» _
* Có tất ca Củ =793 120 tam giác Trong đó có 10.6 =
60 tam giác chứa đúng một cạnh của hình 10 cạnh (6 tam giác chứa canh A,A,, , 6 tam gidc canh A, A,) và 10 tam giác chứa đúng 2 cạnh của hình 10 cạnh Vậy có 120 - 60 - 10 = 50 tam giác thỏa mãn đầu bài
Bài 44
(Học viện Kĩ thuật quân sự, 1998) Có n học sinh
nam và n học sinh nữ ngôi quanh một bàn tròn Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp để không có hai học sinh cùng giới ngồi cạnh
nhau
Giải + Đánh số các ghế từ 1 tới 2n Nếu nam ngôi ghế lẻ, nữ ngồi
ghế chắn sẽ có È, = n' cách xếp cho nam, P, cách xếp cho nữ,
vậy có (n!)? cách xếp Đổi lại nam ngôi ghế chẫn, nữ ngồi ghế lẻ
cũng có (n)? cách xếp Tổng cộng có 2.(n!)? cach xép
Bài 45
(ĐH Cần Thơ, 1999) Xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ vào hai bàn, mỗi bàn có ð ghế Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi, nếu:
1 Các học sinh ngồi tùy ý
2 Các học sinh nam ngồi 1 bàn, các học sinh nữ ngồi 1 bàn Giải
# 1, Có P; = 10! cách xếp các học sinh ngôi tùy ý
9 Có P; = 5! cách xếp 5 học sinh nam vào bàn A, 5! cách xếp
5 học sinh nữ vào bàn B -› có (ð! cách xếp Nếu nam ngồi bàn
B, nữ ngồi ban A cing có (5!) cách xếp
Vậy có 2.(5!)” = 28800 cách xếp
Bài 46
(ĐH Hàng hải TP.HCM, 1999) Có bao nhiêu cách xếp năm học sinh A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho:
a) Ở ngồi ở chính giữa
b) A và E ngồi ở hai đầu ghế
Giải
* a) C ngồi chính giữa, 4 người còn lại đổi chỗ cho nhau nên
có P„ = 4! = 4.3.2.1 = 24 cách xếp
b) A va E có 2 cách ngôi ở 2 đầu ghế, 3 người còn lại đối chỗ
cho nhau, vậy có 2.Pa = 2.(1.2.3) = 12 cách
Nếu yêu cầu thỏa mãn cùng lúc cả 2 điều kiện a) và b) thì có
1.2.2 = 4 cách
Bài 47
(ĐH Luật Hà Nội, 1999) Một đoàn tàu có 3 toa chở
khach 1a toa I, toa II, toa HI Trên sân ga có 4 hành khách
chuẩn bị đi tàu Biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa tàu đó
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu để có 1
toa có 3 trong 4 vị khách nói trên
Giải
Trang 7* a) Ca 4 khach lên toa I, c6 1 cach
Có 3 khách lên toa I, khach thit 4 lén toa IE hode III, c6 C3
cach
Có,2 khách lên toa I, C2 cách, 2 khách còn lại có 4 cách chọn
lựa (cùng lên 1 toa II hoặc III, mỗi người lên một toa II hoặc
II), vậy có 4.C2 cách
Vì tó 4 khách lên 3 toa tàu nên ít nhất có 1 toa có 2
khách trở lên Giả sử đó là toa I Lap luận trên cho thấy có
(1+ C3 +4 Cc ).3 = 99 cach (do vai tré c4c toa như nhau)
Bai 48
(DH Can Thơ, 2001) Một nhóm gồm 10 học sinh:
7ï nam và 3 nữ Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên
thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng liền nhau
Giải
* Đánh số các vị trí từ 1 đến 10 Có 4 trường hợp các học
sinh nam đứng liền nhau (từ 1 đến 7, từ 2 đến 8, từ 3 đến 9, từ 4
đến 10) Trong mỗi trường hợp, 3 nữ sinh có 3! cách hoán VỊ,
7 nam sinh có 7Ì cách hoán vị Vậy có 4.3!.7! = 120960 cách sắp
xếp
I CAC BAI TOAN VE NHI THUC NEWTON
Bai 49
(Học viện Kĩ thuật quân sự, 1997) Đa thức
P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)’ + 3(1 + x)” + + 20(1 + x)” được viết lại
dưới dạng P() = ao † ay.x + a;.X” + + a;p.x””, Tìm ay;,
Giải
* Hệ số của xÌ là
ai = 1õ Cl + 16.015 +17.Cj +18.C]5 +19 Clỗ +20, G1
= 15 or +16 on +17.C? 2 +18 Cc? ig +19 Cigt 20.Cộn
1716 —_ 181716 19.18.17.16
1+1616†17 1V †18 12a +19 12a
20:19.18.17.16 _ 13345 7 100996
Bài 50
(ĐH Kinh tế quốc dân, 1997) Tìm số hạng không
12
chứa x trong khai triển Niutơn của (x + 4)
Giải
" k ¬k 1 k 12-2k
(c+) Ft Cp Ke Ha Sat Cy Pt,
Theo dau bai thi 0 = 12 - 2k ©› k = 6, vậy số hạng không
12.11.10.9.8.7
+ Pe ys ` 6 0 ———————-
chứa x phải tìm là Cïa X” = 193406 7924
Bài 51
(ĐH Đà Lạt, 1999) Tính hệ số của x”.y!° trong
khai trién (x? + xy)"
Trang 47
* Theo khai trién Niu ton (x? + xy) = + Ch E(xy) + st CR ye Theo gia thiét thi 25 = 2k + 15, 10 = 15 - k — k = ð — hệ số
cua x,y" a 08, = = Bro) = 3003
Bai 51
(ĐH Sư phạm Hà Nội, 2000) Biết tổng các hệ số của khai triển nhị thức (x? + 1)" bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là
số tự nhiên) của số hang ax” trong khai trién dé
Giai
*@? + 1) = 9 CRx”*, Thay x = 1 duge 1024= )CK =
(1? +1) = 2"
Vậy n = 10 Số hạng ax” ứng với 12 = 2k o k = 6 nên
a= C8, = 210
Bài 52
(ĐH Sư phạm Hà Nội, 2000) Trong khai triển nhị
thức (xÄx +x 15)" hãy tìm số hạng không phụ thuộc x, biết rang C2 + C84 CB? = 79 (1)
Giải
*ĐK:n-2>0<>n>8
Có (xed x + x -28/15 y=
= 4 ck x4815-112/5, -
+ Cy CE TMH
48k 112
Số hạng không phy thudc xo = 15 7 5 =0«©k=ï
Số hạng không phụ thuộc x là Ci = 792
Bai 53
(Học viện Kĩ thuật quân sự, 2000) Khai triển da thite P(x) = (1 + 2x)” thanh dang ay + a,x! + a,x? + + ayy.x”
Tim max (a, a, , Ay)
Giải
12
* P(x) = (1 + 2x)? = ` trong đó ay = ck 0}
k=0
Gid sit <an Eg SRP DI OES
Suy ra ay <a; < ay < < ay VA Ag > Ag > Ay) > Ay; > Arp
la — mBt SOT 8!4l =a, OF 5 <3 8" Vậy max (Ay;â;, â;) =
a = 196120
Bài %4
Trang 8(ĐH Thủy lợi, 2000) Cho đa thức
P(x) = (1 +x)° + (14x) + + (1+ x)* có dạng khai triển là
P(x) = ao + a.X † a¿.x” + + a,.x', Tính hệ số aạ
Giải
* Ta có (1 + x) ó(1+x)"= C0+C€! n+Ên.xtC£.X“+ + Cn.X + +C]X”, x+€2 y2 9 „9 nn
Tu dé suy ra ay = C3 +Ci +09, +09, +09 +C?, = 3003
Bai 55
(DH Su pham Ha Néi, 2001) Trong khai trién cua
§ +3 ì thành đa thức aạ + aạ.x + a,X” + † aip.X””, (ay € R),
hãy tìm hệ số ay lớn nhất (0 < k < 10)
Giải
10 10 10-k k
, (§+3x) = S01) È) x, Giả sử 8y-¡ S 8y ©
cï sĩ
Cio “gi S Chín 310 ok<s Vậy maxa, = a, = 310
Bai 56
Bai 271 (DH Bach khoa Ha Noi, 1998) Viết khai triển
Niutơn của biểu thite (3x - 1)'* Ty dé chitng minh rang
3°°.Clg -3".Cig + 3".Cig - + Cig = 2"
Giải
* (8x — 1)! = [3x + (-D]'9 = Ca (3x) + Cig (3x)! +
C2, (3x)4.(-1)*+ .+ C18 (3x)°.(—1)!9 = 3`, Clc x!9 - 35, Cl ,x!5
+ 34.02, x4_ 3.08, xB + + C18
Cho x = 1 sé được đẳng thức phải chứng mỉnh
Bài 57
(ĐH Y dược TP.HCM, 2000) Với n là các số nguyên
dương chứng mình các hệ thức sau:
a) CŨ + C! + CỔ + +CP =9^
b) C2 +(ện t(ện + + Cấn" = Cộn+ Cấn tUện + tUấn
Giải
* a) Theo khai triển Niutơn (1 + x)"=
Ca + C¡.x+ Cá.x + tƠn X”
Thay x = 1 được 2" = c? +Ct +C2 + +C?, đpem
b) Cũng theo khai triển Niutơn
(1+x)™= CQ, + Ch xt C2, x2 + +028 x,
Thay x =-1 được
0= Côn - C}, + Cổ, - Cộn + +C?" (-1)2
> Ch, + Cổn + + Cấn = CỔ +
Bài 58
Cận + + Cậ", dpem
(ĐH Hồng Đức, 2000) Cho k, n là các số tự nhiên
va 5<k <n Ching minh
of ck + chickt 4.408 c&5= ck,
Giai
* Dễ thấy rằng (1 + x)”.(1 + x)" = (1 + x)", va
M=(1+x)"= C?+C}.x +Cễ.x? + Cả x'+ C{ x*+ Cễ ”
N=(1+x)"= Cộ + CÌ.x+ C2.x?+ +CR x*+ + CP x®, P=(1+x)*"= Ce tCh xt + CE xk ++ CBE xh,
Nhan thay CK, là hệ số của x* trong P Vì P =M.N mà số
hạng chứa x* trong M.N là:
Cj.CR x*+C}.x CỊT! xÈ + + CỆ,xẽ CR-Š xk 6 nén Cf, = Cÿ.CÈ+C‡.CR-l+ + Cš.CẰ~Š (dpem)
Bài 59
(DH Su pham Vinh, 2001) CMR
Coon +3% Coo1 + 34 Cầm; + + 3°, (2000 = 9200 (92001 _1) (1)
Giai
* 2.VP (1) = 4° - 27 = 3 + 1)! + (-3 + 1)?” do dé tix hai
khai triển Niutơn là:
(x + 1)"= Copq1 +Choo xt Cẩm Xt + C3001 x! (2)
(—x + 1)?" = C891 —Choo1 -X+ CZp01 X”+ — + C001 x7 (3)
Cộng lại rồi thay x = 3 sẽ được (1)
Bài 60
.(ĐH Hang hai, 2001) CMR
C9 +3, 3? + C4 3'+ + CFB 3 = 27°12" +1) (1)
* Theo khai triển Niutơn (1+x)”= CÔ + GÌ, xt CH, x”+ + Cấp x?
ta có (1+ 8)"= CŨ +C} 3+G2,.32+ + Cấn 3" (2)
và (1— 3)" =C0 -C} 8+C?a.3?— †+ — + Cận 3?" (3) (2) + (3); 4™42=2.(C9 +02, 3+ C4, 3t +323) = (1)
Bai 60
(ĐH Đà Lạt, 2001) CMR với mọi số x:
x” — >Ck (2x — 1)*, với n là số tự nhiên
k=0
Giải
Trang 9* Dat X = 2x - 1 thi phai chting minh
k=0
(2) chính là công thức khai trién Niuton Vay suy ra dpem
Bai 61
(ĐH Kinh tế quốc dân, 2000) Chứng minh rằng
ml alg ort p2a9 ord C34 an (Man ar
91 Có +91 C2 +8 272 Cá + +n.Ứn =n.Ø"” (1)
Giải
* Có (1 + x)" =C§ +CÌ x+C? x?+ +CP x", Đạo hàm hai vế:
n(1+x)"?=0+C) +2x, C24 + nx), C2 (2)
1 3 n1
Thay x=3:n(3) = Cá + Cá †25 C845 0+ tp Ch
ng"t=2"'= Ch 427 C243 273 C3 + +n C2 (dpem)
nh `
Ghi nhé: Vế trái của (1) có dạng 3k.2"*, CỀ nên cân xét
k=l dao ham cua (1+ x)" So sánh (1) và (2) sẽ biết cần thay x bằng
Bai 62
(ĐH Tài chính kế toán Hà Nội, 2000) Chứng minh
rằng với mọi số tự nhiên n: Œ} +2 C2 +3 CỶ+ + n C?h=n2"
Giải
# Có (1+ x)"= CŨ +CÍ ,x+ C2 ,x?t +CP x°, Đạo hàm hai vế:
n(1+x)™=0+ Cl +9x.02 + ¢nx™ C2,
Thay x = 1 được đẳng thức phải chứng minh
Bài 63
(DH Su phạm TP.HCM, 2001) CMR:
Cy 31+ 2.053"? + 3.02.872+ + na =n.4"1 (1)
Giải
* Nhận thấy vế trái của (1) có chứa hàm số mũ của 3 nên áp
dụng khai triển Niutơn cho (x + 3)" được
f(x) = Œ + 3)"= Có 8" +Cn 31x + +ƠN,
Đạo hàm hai vế được:
n(x + 3)"?= (0 +C) 34402 32x 4 + Ott xt)
Cho x=1-> (1)
(ĐH Tài chính kế toán TP.HCM; 1995)
1
Tinh I = fa - x®".dx (n là số nguyên dương) Từ kết quả đó
0 chứng tỏ rằng: - coc C (-1)".C2 _ 2.4.6 (2n - 2).2n
ote tet Gay, > 185 Gat)
Giải
* Dat x= sinx > 1= {a - sin’t)".cost.dt = feos?" t dt
0
ad = a 2).2n
Su dụng phương pháp truy hồi sé c6 I= On + 1) (1)
Theo khai triển Niutơn thì:
(1-x9)"=1- CÍ x" +C2.xt~ Cả xP+ + C1)", Ca x”, Lấy tích phân hai vế, được:
1
[= x-L c1 x +ic? x5 — (DRC
1 2
=1_ on, Ôn - Rv\h (CD °Cn (2)
Từ (1), (2) có đpem
Bài 65
(ĐH Bách khoa Hà Nội, 1997) Gọi n là số nguyên dương bất kỳ
|
a) Tinh J= fx.(1-x’)".dx
0
b cụn: Œ On, Cá, ,CỦĐỢ
Giải
b) Theo khai trién Niuton
“(1+ x)= CO+C) xt C2 x2 +Ch x"
ta c6 (1-x?)"=CQ+C} x?) +02 (x? + $02 x’
— X(1-x9"=x.C0 - x”,CÌ + Ch + +(1)Sx"! C?
0 1 2 3
-0 G&,G 0, , CUNG V2
Từ (1), (2) có đpcm
Bài 66
Trang 10
Giải
* VT (1) =(C, xt Ot x43 Ủn X + + +1 Cn x Mo 0 = nl v2 2 v3 nN vn 1
Vi FQ)
1
= [fo dx, trong đó f(x) là đạo hàm của F(x) nên
0
1
VT()= [Ca +Ca x+ CỆ x” + + C? x9.dx=
0
ie + x)".dx = {a + x)".d(1 + x) - Sort
= VP (1) (dpem)
Bài 67
(ĐHDL Phương Đông, 1996) Chứng mình rằng với
moi k, n € Z* thỏa mãn 3 < k < n, ta đều có:
CÀ +3.0*~ 1+ 3.CỊ- 240k $= ck,
Giai
* Áp dụng liên tiếp công thie C™ = C™,+ C™y dé tach -
một số hạng thành hai số hạng sẽ được:
Chis = Choa +Cnap
= (CK +CK1) + (Chat + Cit)
= (CE+0ˆ1)a(0171+02)x(0471+CE-®) (GE 2+07-5)
Bai 68
(Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông, 1998)
Tìm các số nguyên, dương x, y thỏa mãn
CY, cyt! cy
Giải
*DK ysxthytisx
yi(xtl-y)! (y+1Jlq-y-U
By + 1).(x +1) = 6W ~y),&~ y + D ()
Tương tự: 2 CY? = 5.07ˆ° c 9-y).(x-y+1) = ðy(y#1) (2)
Ũ CF _ 6.1! c
Vì cùng bằng 6(x-y).(x - y†]) nên 5.(y + 1).(x +1) = 15y.(y+1)
+ x+1= 3y (3)
Thay (3) vào (2) được 8y” - 4y = ðy” + By © y = 3, suy ra
x=8 Vậy x= 8, y= 3
Giải
*DK: x23
x.(x — 1) | x.(x — 1).(x — 2)
«>x —9x+14=0 ~ Vậy x= 7, loại x = 2 < 3
Bài 70
| (Cao đẳng Sư phạm TP.HCM, 1999) Tìm số tự nhién k théa man dang thite Ck, +c? =o c&# (1)
Giai
*DK:k+2<140k512
Neo + 14 =2 4
kl\14—-k)! @&k+2)!12—k)! _&+1Ð)!3—k)!
«> k? — 12k + 32 =0, vậy k = 4, k= 8 đều thỏa mãn ĐK Bài 71
(ĐH Quốc gia Hà Nội, 2001) Giải PT
Gia
*(1)© { x là số nguyên dương |
x!x.(x — 1) + 72 = 6.[x.(x - 1) + 2.x!] (2) ° (2) ©> &”—- x— 12).(x! - 6) = 0 © x= 4;x= 3 Bài 72
(DH An ninh nhân dân, 2001) CMR với n là số tự
nhiên, n >2, ta đó: —— + — + + — =" (1)
Ag A3 An
Giải
2-1 3-2 4-3 n-(n-1)_ n-1l
1 n— l1 1-7 = n (đpcm)
Bài 73
(DH Bách khoa Hà Nội, 2001) Giải hệ PT
| 2.A¥ +5.C¥ = 90
5 AY - 2.CY = 80