Đặt vấn đề: Trong các kỳ thi học sinh giỏi hoặc trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thờng có những bài tập giải hệ phơng trình mà việc giải những hệ phơng trình đó ta phải sử dụng phơ
Trang 1Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh
***********************
Kinh nghiệm
“GiảI hệ phơng trình bằng phơng pháp đánh giá ”
Hà tĩnh, ngày 25 tháng 03 năm 2008
Trang 2I Đặt vấn đề:
Trong các kỳ thi học sinh giỏi hoặc trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp
10 thờng có những bài tập giải hệ phơng trình mà việc giải những hệ phơng trình đó ta phải sử dụng phơng pháp đánh giá, việc đánh giá các hệ phơng trình đó cũng không có một trình tự nào rỏ ràng và cụ thể mà chúng ta phải biết vận dụng linh hoạt trong từng trờng hợp cụ thể Sau đây tôi xin nêu một
số phơng pháp thờng gặp khi giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đánh giá và một số ví dụ minh họa
II GiảI quyết vấn đề:
Phơng pháp1: Phơng pháp đánh giá bằng tập xác định
Ví dụ: Giải hệ phơng trình:
= + +
= + +
1 1
1 1
x y
y x
(Đề thi vào trờng chuyên tĩnh)
Lời giải
Điều kiện
≥
≥
0
0
y
x
Suy ra
≥ + +
≥ + +
1 1
1 1
x y
y x
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = y = 0
Do vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 0
Phơng pháp2: Đánh giá bằng bất đẳng thức
Ví dụ1: Giải hệ phơng trình (I)
= + +
−
= +
−
0 4 3 14 7
0 2
3 2
2 2
2
y x x
y x y x
Trang 3
Viết lại (I) ⇔
= + +
−
=
+
)2 ( 0
) 1(
3 )1 (7
)1(
2 )1
(
3 2
2 2
y x
x y x
Từ (1) suy ra y2=
1
2
x
x
≤ 1 ⇒ y ≤ 1 ⇒ 1 + y3 ≥ 0
Lại có (x - 1)2 ≥ 0 , ∀x nên (2) ⇒
= +
=
−
0 1
0 )1 (
3
2
y
x
1
1
−=
=
y x
Kết quả (3) thỏa mản (1) ⇒
−=
=
1
1
y
x
là nghiệm duy nhất của hệ phơng trình (I)
Vídụ2: Giải hệ phơng trình
= + +
+ +
= +
+
)2 ( 3
)1(
2008 2007 2007 2007
2 2 2
z y x
xz yz xy z y x
Lời giải
Ta có (1) ⇔ 2x2+ 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2xz = 0
⇔ (x - y)2+ (y - z)2+ (x - z)2 = 0 (3) Vì (x - y)2 ≥ 0; (y - z)2 ≥0; (x - z)2 ≥0 với mọi x;y;z
⇒(x - y)2+ (y - z)2 + (x - z)2 ≥ 0 với mọi x; y; z
⇒ (3) ⇔ x –y = y – z = z – x = 0 ⇔ x = y = z
Thay vào (2) ta có:
3x2007 = 3y2007 = 3z2007 = 32008 ⇒ x2007= y2007= z2007= 32007
Vậy hệ phơng trình ban đầu có nghiệm là x = y = z = 3
Phơng pháp3: Đánh giá bằng tính chẵn lẻ
Ví dụ1: Tìm a để phơng trình sau có nghiệm duy nhất
Trang 4
(I)
= + +
+ +
= +
−
2 2
2
1 1
1 1 3
a y
y
y x
y a x
(Đề thi học sinh giỏi lớp 10 tĩnh Hà Tĩnh năm học 2000 - 2001) Lời giải
y
+
= + +
= +
−
2 2
2
1
1 1 3
a y
x
y a x
Điều kiện cần
Thấy rằng nếu có nghiệm (x0,y0) thì hệ cũng có nghiệm (x0,-y0) Bởi vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là y0 = 0
Thay y0 = 0 vào (II) ta có
= +
=
− 2
1
1 3
a x
a
x
⇔
=
−
=
3 4
1
a a
Điều kiện đủ
• a = -1, hệ (II) trở thành
= + +
= + +
1 1
1 1 3
2
2
y x
y
x
⇔x = y = 0
• a = 34 , hệ (II) trở thành
= + +
= +
−
9
16 1
1 1 3
4 3
2
2
y x
y x
⇔
=
=
0 9
7
y x
Hệ có nghiệm duy nhất
=
=
0 9
7
y x
Trang 5Ví dụ2: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất
− + +
= + +
= + +
a x
x y
a y x
3 5 5
3
2 2
2
Lời giải
*Điều kiện cần
Thấy rằng, nếu hệ có nghiệm (x0,y0) thì nó cũng có nghiệm (-x0,-y0),
(-x0,y0),(x0,-y0).Bởi vậy, nghiệm duy nhất của hệ chỉ có thể là x0= y0= 0 Thay vào hệ ta có a = 3
*Điều kiện đủ
Với a = 3, hệ trở thành
+
= + +
= + +
)2 ( 5
5
)1(
3 3
2 2
2
x x y
y x
Để ý: x2 + 3 +y ≥ 3 Dấu đẳng thức xẩy ra khi x = y = 0
Suy ra (1) ⇔x = y = 0 Thấy rằng x = y = 0 cũng là nghiệm của (2)
Suy ra x = y = 0 là nghiệm duy nhất của hệ
Tóm lại: Tập hợp các giá trị phải tìm của a là a = 3
Phơng pháp 4:Đặc biệt hóa một ẩn
Ví dụ1: Giải hệ phơng trình (I)
−=
−
− + +
=
−
− + +
+
1 2
3 2
2 2
2 2 2
xy xz yz y x
yz xz xy z y x
(Đề thi giáo viên giỏi huyện Cẩm Xuyên năm 2004)
Lời giải
Viết lại (I) ⇔ (II)
= +
−
−
−
=
− + +
−
+
0 1 ) ( ) (
0 3 )
( )
(
2
2 2
y x z y x
z y x z y x
Trang 6Đặt
−
=
+
=
y x
v
y x
u
⇔
−
=
+
=
2
2
v u y
v u x
Hệ (II) trở thành (III)
= +
−
=
− +
−
0 1
0 3
2
2 2
zv v
z zu u
Hệ (III) có nghiệm ⇔
≥
∆
≥
∆
0
0
v
u
⇔
≥
≤
4
4
2
2
z
z
*Với z = 2 ta có (III) ⇔u = v = 1 ⇒
=
=
0
1
y
x
⇒Hệ đã cho có nghiệm (1;0;2)
*Với z = -2 ta có (III) ⇔u = v = -1 ⇒
=
−=
0
1
y
x
⇒ Hệ đã cho có nghiệm (-1; 0; -2)
*Tóm lại: Hệ đã cho có hai nghiệm là (1; 0; 2) và (-1; 0; -2)
Nhận xét: - Số ẩn nhiều hơn số phơng trình suy ra đặc biệt hóa một ẩn
xem là tham số
- Sự vắng mặt hạng tử z2 trong phơng trình (2) cho ta thấy thiếu bình đẳng của nó đối với x và y
- Sự phân tích trên dẩn chúng ta đặc biệt hóa ẩn z, xem nó là tham số
Ví dụ2: Giải hệ phơng trình (I)
= +
−
= +
) 2 ( 8
4
)1 ( 2
3 ) 3 (
2 2
3
y y z
y x
Trang 7Xem z là tham số,khi đó phơng trình (2) trở thành 4(y - 1)2 = 4 - z2 (i) Phơng trình (i) có nghiệm khi và chỉ khi z2 ≤ 4 ⇔-2≤ z≤ 2 (5) Phơng trình (3) trở thành : x2 + 2(4 - z)x + 16 - 6z = 0 (ii)
Phơng trình (ii) có nghiệm ⇔ ∆x ≥ 0 ⇔ z(z - 2)≥ 0 ⇔ ( 6 )
2
0
≥
≤
z z
Từ (4), (5), (6) suy ra
=
=
2
0
z z
*Thay z = 0 vào các phơng trình (i) và (ii) sẻ lần lợt có
x = - 4,
=
=
2
0
y
y
Cặp giá trị (x = - 4; y = 0; z = 0) không thỏa mản hệ phơng trình (I) (7) Cặp giá trị (x = -4; y = 2; z = 0) thỏa mản hệ phơng trình (I) (8)
*Thay z = 2 vào các phơng trình (i) và (ii) ta sẻ lần lợt có x = -4 ; y = 1 (9) Cặp giá trị (x = -4; y = 1; z = 2) thỏa mản hệ phơng trình (I) (10)
*Từ (7),(8),(10) kết luận hệ đã cho có hai nghiệm là (- 4; 2; 0) và (- 4; 1; 2)
Nhận xét:
Sự có mặt của bất đẳng thức (4) cho thấy tính đặc biệt của ẩn z đối với hệ đã cho
Khi z đợc đặc biệt hóa, thì (2),(3) theo thứ tự trở thành phơng trình một ẩn
đối với x,y
Nhờ đó ta thu đợc các đánh giá độc lập đối với biến z
Phơng pháp5: Đánh giá giữa các ẩn
Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dơng của hệ
+
=
+
=
+
=
)3 ( 2
)2 ( 2
)1 ( 2
2007 2007 2008
2007 2007 2008
2007 2007 2008
y x z
z x y
z y x
Lời giải
Ta sẻ chứng minh x = y = z Thật vậy:
Do vai trò của x , y , z nh nhau nên không mất tính tổng quát,giả sử
x ≥ y và x ≥ z (4) Vì x > 0, y > 0, z > 0 nên:
Trang 8Từ (1),(2),(4) ⇒ 2x2008 = y2007 +z2007 ≤ x2007 +z2007 = 2y2008
⇒ 2x2008 ≤ 2y2008 ⇒ x ≤ y (5)
Từ (1),(3),(4) ⇒ 2x2008 = y2007 +z2007 ≤ y2007 +z2007 = 2z2008
⇒2x2008 ≤ 2z2008 ⇒ x ≤ z (6)
Từ (4),(5),(6) suy ra x = y = z
Thay vào (1) ta có 2x2008 = x2007 +x2007 = 2x2007 suy ra x = 1 (do x > 0) Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x = y = z = 1
Phơng pháp 6: Đánh giá bằng tính chia hết
Ví dụ: Chứng tỏ rằng hệ phơng trình
+
=
+
=
+
=
)3 ( 671
)2 ( 670
)1 ( 667
2005 2008
2005 2008
2005 2008
x z
z y
y x
không có nghiệm nguyên
Lời giải
Cộng vế theo vế của (1),(2),(3) ta đợc:
x2008 + y2008 + z2008 = x2005+ y2005+ z2005 + 2008
⇔ (x2008 - x2005 )+ (y2008 - y2005) + (z2008 - z2005) = 2008
⇔x2005(x3- 1) + y2005(y3- 1) + z2005(z3- 1) = 2008
⇔ x2005(x- 1)x(x + 1) + y2005(y- 1)y(y + 1) + z2005(z- 1)z(z + 1) = 2008 (4)
Dể thấy vế trái của phơng trình (4) chia hết cho 6 (do tích của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 6)
Mặt khác 2008 chia cho 6 có số d là 4
Do đó phơng trình (4) không có nghiệm nguyên
Vì vậy hệ (I) không có nghiệm nguyên x,y,z
III.Kết luận - kiến nghị:
Trang 9phơng trình trong rất nhiều phơng pháp giải hệ phơng trình chúng ta đã gặp Mong nhận đợc sự góp ý chân thành từ các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp
Tôi xin chân thành cảm ơn!