BTL Tối ưu hóa CDIO

Bài tập lớn môn tối ưu hóa CDIO của trường đại học công nghiệp hà nội. Khóa k12 theo chuẩn CDIO.Bài toán lập kế hoạch sản xuất cho xưởng gỗ SOLAKEMQui hoạch tuyến tính (Linear Programming) khai sinh lịch sử phát triển của mình từ năm 1939, khi nhà toán học Nga nổi tiếng, Viện sĩ L.V. Kantorovich đề xuất những thuật toán đầu tiên để giải nó trong một loạt công trình nghiên cứu về kế hoạch hoá sản xuất công bố năm 1938.QHTT là môt trong những lớp bài toán tối ưu được nghiên cứu tron vẹn cả ề lý thuyết lẫn thực hành, mô hình đơn giản trong công việc áp dụng, co nhiều ứng dụng trong kinh tế và kỹ thuật.Năm 1947 nhà toán học Mỹ George Dantzig đã đề xuất phương pháp đơn hình để giải QHTT.Có thể tạm định nghĩa quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực toán học nghiên cứu các bài toán tối ưu mà hàm mục tiêu (vấn đề được quan tâm) và các ràng buộc (điều kiện của bài toán) đều là hàm và các phương trình hoặc bất phương trình tuyến tính.Mô hình tuyến tính là mô hình rất phổ biến trong thực tế. Mặt khác, về mặt lý thuyết, có thể xấp xỉ với độ chính xác cao các bài toán tối ưu phi tuyến bởi dãy các bài toán qui hoạch tuyến tính. Bởi thế, ngay từ khi ra đời, qui hoạch tuyến tính đã chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học ứng dụng nói chung, trong ngành tối ưu hóa nói riêng.Bài toán quy hoạch tuyến tính sẽ được xác định rõ ràng hơn thôngqua các ví dụ ,các bước nghiên cứu và ứng dụng một bài toán quy hoạch tuyến tính điển hình là như sau :a Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập dữ liệu.b Lập mô hình toán học.c Xây dựng các thuật toán để giải bài toán đó mô hình hoặc bằng ngạn ngữ thuận lợi cho việc lập trình cho máy tính.d Tính toán thử và điều chỉnh mô hình nếu cần.e Áp dụng giải các bài toán thực tế.

Trường Đại Học Công Nghiệp Hà Nội Khoa Công Nghệ Thông Tin

- -BÁO CÁO BÀI TẬP NHÓM MÔN

TỐI ƯU HÓA

Đề tài:

BÀI TOÁN LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT GỖ

Giáo viên hướng dẫn : Cô Chu Thị Quyên

Nhóm thực hiện : Nhóm 9

Lớp : KTPM1 - K12

Thành viên trong nhóm:

Đỗ Ngọc SơnHoàng Văn SơnĐặng Thái TânPhùng Đắc Tài Nguyễn Sỹ Thăng

Vũ Mạnh Thắng Mai Văn Thanh

Lời mở đầu

Qui hoạch tuyến tính (Linear Programming) khai sinh lịch sử phát triển của mình từ năm

1939, khi nhà toán học Nga nổi tiếng, Viện sĩ L.V Kantorovich đề xuất những thuật toán đầu tiên

để giải nó trong một loạt công trình nghiên cứu về kế hoạch hoá sản xuất công bố năm 1938.

QHTT là môt trong những lớp bài toán tối ưu được nghiên cứu tron vẹn cả ề lý thuyết lẫn thực hành, mô hình đơn giản trong công việc áp dụng, co nhiều ứng dụng trong kinh tế và kỹ thuật.

Năm 1947 nhà toán học Mỹ George Dantzig đã đề xuất phương pháp đơn hình để giải QHTT.

Có thể tạm định nghĩa quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực toán học nghiên cứu các bài toán tối ưu mà hàm mục tiêu (vấn đề được quan tâm) và các ràng buộc (điều kiện của bài toán) đều là hàm và các phương trình hoặc bất phương trình tuyến tính.

Mô hình tuyến tính là mô hình rất phổ biến trong thực tế Mặt khác, về mặt lý thuyết, có thể xấp xỉ với độ chính xác cao các bài toán tối ưu phi tuyến bởi dãy các bài toán qui hoạch tuyến tính Bởi thế, ngay từ khi ra đời, qui hoạch tuyến tính đã chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học ứng dụng nói chung, trong ngành tối ưu hóa nói riêng.

Bài toán quy hoạch tuyến tính sẽ được xác định rõ ràng hơn thông

qua các ví dụ ,các bước nghiên cứu và ứng dụng một bài toán quy hoạch tuyến tính điển hình là như sau :

a- Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập dữ liệu.

b- Lập mô hình toán học.

c- Xây dựng các thuật toán để giải bài toán đó mô hình hoặc bằng ngạn ngữ thuận lợi cho việc lập trình cho máy tính.

d- Tính toán thử và điều chỉnh mô hình nếu cần.

e- Áp dụng giải các bài toán thực tế.

MỤC LỤC

I Đề Tài 4

II Mục đích, ý nghĩa 4

III Khảo sát, tư liệu, mục tiêu 4

1 Khảo sát 4

2 Tư liệu: 6

3 Thời gian hoàn tất sản phẩm: 6

4 Yêu cầu ràng buộc : 7

5 Mục tiêu 7

IV Xây dựng bài toán 7

V Thuật toán,ứng dụng giải 7

1.Các bài toán QHTT 7

3.Ứng dụng giải 16

VI- Giải bài toán 17

1 Phương pháp giải: 18

VII- Giải bài toán 20

Lập kế hoạch là một quá trình bắt đầu từ việc thiết lập các mục tiêu , quyết định cácchiến lược , các chính sách , kế hoạch chi tiết để đạt được mục tiêu đã định Lập kếhoạch cho phép thiết lập các quyết định khả thi và bao gồm cả chu kỳ mới của việc thiếtlập mục tiêu và quyết định chiến lược nhằm hoàn thiện hơn nữa.Lập kế hoạch là chứcnăng rất quan trọng đối với mỗi nhà quản lý bởi nó gắn liền với việc lựa chọn mục tiêu

và chương trình hành động trong tương lai, giúp nhà quản lý xác định được các chứcnăng khác còn lại nhằm đảm bảo đạt được các mục tiêu đề ra.Vậy kế hoạch kinh doanh

là gì?

Kế hoạch kinh doanh là bản tài liệu văn bản mô tả các hoạt động, quá trình kinhdoanh của công ty, doanh nghiệp ứng với một khoảng thời gian nhất định trong tương

lai Bản kế hoạch kinh doanh có thể bao gồm chiến lược bán hàng, chiến lược tiếp thị,chiến lược marketing, chiến lược tài chính…

Vì vậy, hôm nay chúng tôi xin làm một báo cáo về việc lập kế hoạch sản xuất kinhdoanh tại xưởng gỗ SOLAKEM

2 Ý nghĩa

Lập kế hoạch cho biết phương hướng hoạt động, làm giảm sự tác động của nhữngthay đổi, tránh được sự lãng phí và dư thừa, và thiết lập nên những tiêu chuẩn thuận tiệncho công tác kiểm tra Vai trò của lập kế hoạch kinh doanh được thể hiện:

- Kế hoạch kinh doanh là công cụ đắc lực trong việc phối hợp nỗ lực của các thànhviên trong doanh nghiệp

- Lập kế hoạch có tác dụng làm giảm tính bất ổn định của doanh nghiệp

- Lập kế hoạch giảm được sự chồng chéo và những hoạt động lãng phí

- Thiết lập nên những tiêu chuẩn tạo điều kiện cho công tác kiểm tra

III Khảo sát, tư liệu, mục tiêu

1 Khảo sát

1.1 Thị trường

Cùng với sự phát triển của đất nước thì đối với mỗi gia đình, vấn đề xây dựng mộtcăn nhà không chỉ đơn giản là nơi cư trú của các thành viên trong gia đình, mà còn lànơi để thư giãn, nghỉ ngơi, và thể hiện được cái hồn của chủ nhân căn nhà đó

Ngành gỗ nội thất là một thị trường rất tiềm năng và có rất nhiều phân khúc cho từng

nhà hoạt động trong lĩnh vực nội thất ở Việt Nam chưa có sự nghiên cứu kỹ lưỡng vàđầu tư đúng mức cho thị trường đầy tiềm năng này Gỗ là một dạng vật liệu mangnhiều tính năng tốt và thể hiện được nhiều giá trị tinh thần hơn so với các loại vật liệukhác Sử dụng gỗ trong trang trí nội thất đã có từ rất lâu đời và hiện nay là một xuhướng chung của tất cả các nước trên thế giới.Vật liệu có nguồn gốc từ gỗ cũng đadạng hơn, độ bền và tính thẩm mỹ cũng được nâng cao hơn do kỹ thuật xử lý gỗ và kỹthuật sản xuất các tấm vật liệu có nguồn gốc từ gỗ cũng ngày càng hiện đại hơn Sửdụng gỗ và vật liệu có nguồn gốc từ gỗ để trang trí nội thất là một xu hướng khá phổbiến hiện nay Tuy nhiên sử dụng loại nào, mẫu mã ra sao là một vấn đề thay đổi tùytheo nhận thức của từng cá nhân và theo khuynh hướng trào lưu chung của một xã hội,trong một giai đoạn nhất định nào đó Nghiên cứu xu hướng sử dụng đồ gỗ trong trangtrí nội thất sẽ giúp cho các nhà thiết kế đồ gỗ đưa ra được sản phẩm nội thất đúng vớithị hiếu của người sử dụng trong một giai đoạn nhất định Đồng thời, nhà sản xuất đồ

gỗ cũng tìm ra được cách tiếp cận khách hàng phù hợp hơn nhằm đáp ứng được nhucầu sử dụng đồ gỗ ngày phong phú và đa dạng hơn của người tiêu dùng

Đồ nội thất là một phần không thể thiếu đối với mỗi không gian sống Thị trường đồnội thất Việt nói riêng và Thế giới nói chung đang có những chuyển biến tích cực Thống kê của Phòng Thương mại Công nghiệp Việt Nam (VCCI) cho biết, trung bìnhhàng năm, mức tiêu thụ hàng nội thất cao cấp trong nước đạt hơn 2,5 tỷ USD Trong

đó, 80% là sản phẩm nội thất nhập khẩu từ các nước châu Âu, 20% là sản phẩm củaViệt Nam Cùng với tốc độ tăng trưởng kinh tế trung bình hơn 6%/năm, mức tiêu thụtrong lĩnh vực thiết kế nội thất của người Việt Nam trong thời gian tới được đánh giá là

sẽ còn tăng cao Do vậy, các doanh nghiệp châu Âu đến Việt Nam lần này cũng xuấtphát từ đánh giá thị trường thiết kế nội thất tại Việt Nam rất tiềm năng

Ngành nội thất gỗ Việt Nam hiện vận hành theo 2 mô hình chính Một là các doanhnghiệp xuất khẩu sản phẩm có giá trị gia tăng Hai là những công ty gia công nội thấtđơn thuần Trong đó, phần lớn vẫn đang hoạt động với quy mô nhỏ, chủ yếu làm gia

công lợi nhuận thấp Tại Việt Nam, hiện chỉ có khoảng 5% doanh nghiệp dùng gỗ côngnghiệp trong sản xuất nội thất Nhưng xu hướng dùng gỗ nhân tạo lại đang được cácnước lân cận như Thái Lan hay Malaysia ứng dụng để đưa hàng vào Mỹ và châu Âu,tạo ra tỉ suất sinh lời cao.

1.2 Khảo sát xưởng gỗ SOLAKEM

- Ngày khảo sát: 12/11/2019

- Phương pháp khảo sát: Phỏng vấn trực tiếp

- Người được khảo sát: Quản lý xưởng và một vài nhân viên

- Tham gia khảo sát: Các thành viên trong nhóm học tập

* Kết quả đạt được:

- Xưởng có quy mô khá lớn với khoảng 50 công nhân viên

- Doanh thu trung bình 1 năm khoảng 20 tỷ

- Sản phẩm: Xưởng sản xuất các đồ gỗ nội thất: gia đình, văn phòng…

- Hàng tháng xưởng nhận được rất nhiều đơn đặt hàng từ những nhà phânphối lớn

2 Tư liệu:

2.1 Nguyên liệu sản xuất:

Gỗ: gỗ mít, gỗ xoan, gỗ đinh, gỗ lim, gỗ sưa,…

Các loại keo: Keo PSA, keo sữa, keo nóng chảy eva…

2.2 Sản phẩm và giá thành bán ra thị trường của từng loại sản phẩm phòng khách:

Kệ: 10.500.000 đồng Sâp: 15.000.000 đồngBàn ghế: 18.000.000 đồng

2.3 Chi phí sản xuất:

Kệ : 7.500.000 đồngSâp: 9.000.000 đồngBàn ghế phòng khách: 13.500.000 đồng

3 Thời gian hoàn tất sản phẩm:

- Công ty muốn xây dựng mô hình sản xuất để tổng lợi nhuận thu được khi bán đồ

gỗ nội thất là nhiều nhất

IV Xây dựng bài toán

Xưởng gỗ SOLAKEM dự định sản xuất loại sản phẩm nội thất dành cho phòngkhách: kệ, sập, bàn ghế Giá thành của các sản phẩm lần lượt là: 10.500.000 đồng,15.000.000 đồng và 18.000.000 đồng Chi phí sản xuất lần lượt là: 7.500.000 đồng,9.000.000 đồng và 13.500.000 đồng Nếu sản xuất cả 3 loại sản phẩm thì quỹ thời gian sảnxuất không quá 540 giờ Hiện tại số vốn của xưởng là 90.000.000 đồng Theo các hợpđồng với nhà phân phối, yêu cầu sản phẩm kệ phải có lượng sản xuất ít nhất 30 cái Tìm

kế hoạch sản xuất cho tổng lợi nhuận lớn nhất

V Thuật toán,ứng dụng giải

1.Các bài toán QHTT

Qua nghiên cứu các bài toán qui hoạch tuyến tính(QHTT), chúng ta có thể khái quátcác bài toán qui hoạch tuyến tính gồm các dạng cơ bản: dạng tổng quát, dạng chính tắc vàdạng chuẩn Mỗi dạng có những đặc trưng riêng và có cách giải riêng Trong đó dạngchuẩn sẽ là cơ sở cho phương pháp đơn hình Nắm vững từng loại để có thể chuyển đổigiữa các loại

1.1.Dạng tổng quát

Đây là dạng gặp rất nhiều trong thực tế, cụ thể bài toán dạng này có các thành phần nhưsau:

Hàm mục tiêu:

Ràng buộc:

1.2.Dạng chính tắc

Bài toán dạng chính tắc là bài toán có những đặc trưng cơ bản sau:

- Các ràng buộc đều là phương trình

- Các biến số đều không âm

- Vế phải có thể nhận giá trị bất kỳ Bài toán dạng chính tắc còn được mô tả theo kýhiệu ma trận như sau:

Min (Max) cxT

Ràng buộc : AxT =b ,x≥0

Với

*Nhận xét: Bài toán dạng chuẩn là dạng bài toán dạng chính tắc có thêm các điều kiện, đólà:

- Các số hạng tự do không âm (các số hạng ở vế phải không âm)

- Ma trận các hệ số các ràng buộc A có chứa một ma trận đơn vị cấp m

Nói cách khác, hệ các ràng buộc là hệ phương trình chuẩn

Ví dụ: Bài toán sau có dạng chuẩn

Min (3x1- x2+ x3-3x4+x5)Ràng buộc :

2x1+ x2- x3+x4 = 10 2x1-2x2+x3 + x6 = 20 x1- x2+2x3+ x5 = 18 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0Các biến ứng với các véc tơ cột đơn vị trong ma trận A được gọi là các biến cơ bản.Biến cơ bản ứng với véc tơ đơn vị thứ i gọi là biến cơ bản thứ i Các biến còn lại là cácbiến không cơ bản

Một tập các giá trị của các biến thoả mãn những ràng buộc của bài toán gọi làphương án của bài toán Một phương án mà các biến không cơ bản bằng 0 gọi là phương

án cơ bản Một phương án cơ bản có đủ m thành phần dương gọi là không suy biến Nếu

có ít hơn m thành phần dương gọi là suy biến

1.4.Biến đổi dạng của bài toán qui hoạch

Như đã nêu, bài toán qui hoạch tuyến tính tồn tại dưới nhiều dạng khác nhau Tuynhiên, trong một số phương pháp giải bài toán đòi hỏi bài toán có dạng nhất định Vì vậy,chúng ta phải thực hiện biến đổi bài toán từ dạng này sang dạng khác.

a Đưa dạng tổng quát về dạng chính tắc

Để đưa bài toán dạng tổng quát về dạng chính tắc, chúng ta có thể thực hiện nhữngbiến đổi sau:

1 Nếu ràng buộc dạng chúng ta cộng thêm vào vế trái một biến phụ không âm

xn+1≥0 để chuyển ràng buộc về dạng phương trình

2 Nếu gặp ràng buộc dạng chúng ta trừ ra ở vế trái một biến phụ không âm xn+1≥0

để chuyển ràng buộc thành phương trình

Chú ý: các biến phụ là những biến giúp chúng ta biến đổi các ràng buộc dạng bất

phương trình thành phương trình, chứ không đóng vai trò gì về mặt kinh tế, nên nó khôngảnh hưởng đến hàm mục tiêu Vì vậy, hệ số của biến phụ trong hàm mục tiêu bằng 0

3 Nếu gặp biến xj ≤0, chúng ta thay xj=-tj với tj ≥0 4

4 Nếu gặp biến xj tuỳ ý, chúng ta thay xj=x’j-x’’j với x’j≥0 và x’’j≥0

Ví dụ: Đưa bài toán sau về dạng chính tắc:

Min (3x1- x2+2x3+ x4+5x5)

Ràng buộc

2x1-2x2+ x3+2x4+x5 ≤ 174x1-2x2+ x3 = 20x1- x2+2x3 +x5 ≥ -18 x1+ x2+2x3+ x4 ≤ 100

Nhận xét: Ràng buộc 1, 3, 4 là những bất phương trình - x4≤0, x5 tuỳ ý

Chúng ta thêm biến phụ x6, x7, x8 vào ràng buộc 1,3 và 4;

Thay x4= -t4 và x5=x’5-x″5

Như vậy, chúng ta được bài toán dạng chính tắc như sau:

Min (3x1-x2+2x3-t4+5x’5-5x″5)Ràng buộc

2x1-2x2+x3-2x4+x’5- x″5+x6 = 17 4x1-2x2+ x3 = 20 x1-x2+2x3 +x5- x″5 -x7 = -18 x1+x2+2x3-x4 +x8 = 100x1, x2, x3, t4, x’5, x″5, x6, x7, x8 ≥0

b Đưa dạng chính tắc về dạng chuẩn

Trước tiên, nếu trong bài toán dạng chính tắc, có một số hạng ở vế phải nào âm, chúng

ta chỉ cần đổi dấu hai vế để được bi>0 Vậy, từ đây chúng ta có thể giả thiết bài toán dạngchính tắc đang xét có bi≥0 (i = 1,m), tức vế phải của bài toán không âm

Xem xét bài toán dạng chính tắc như sau:

Hàm mục tiêu:

Chúng ta thêm vào mỗi phương trình một biến giả (Artifical variable) không âm

xn+1≥0 với hệ số 1 Trong hàm mục tiêu f(x)→ min, các biến giả có hệ số M (lớn tuỳ ý),trong hàm mục tiêu f(x)→max, các biến giả có hệ số –M Chúng ta có bài toán mới gọi làbài toán mở rộng của bài toán xuất phát

- Hàm mục tiêu:

Ràng buộc

*Chú ý:

- Phân biệt biến phụ và biến giả với 3 điểm sau:

Biến phụ được sử dụng để đưa bài toán dạng tổng quát về dạng chính tắc còn biếngiả được sử dụng để đưa bài toán dạng chính tắc về dạng chuẩn

Trong hàm mục tiêu, hệ số của các biến giả bằng M khi f(x)→min hay bằng –M khif(x)→max còn biến phụ luôn có hệ số bằng 0

Biến phụ là con số thực giúp chúng ta biến đổi ràng buộc dạng bất phương trình vềdạng phương trình còn biến giả thì 2 vế đã bằng nhau mà vẫn cộng thêm là làm việc “giảtạo” để tạo ra véc tơ đơn vị mà thôi

- Nếu bài toán dạng chính tắc có bi ≥0 và đã có sẵn một số véc tơ cột đơn vị trong A,thì chỉ cần thêm biến giả vào những phương trình cần thiết đủ để tạo bài toán mở rộng

- Quan hệ giữa bài toán xuất phát và bài toán mở rộng: Chúng ta thấy rằng các biếngiả đều bằng 0 thì bài toán mới lại chính là bài toán cũ, vì vậy chúng ta là phải làm sao chocác biến giả bằng 0 Để đạt được kết quả như thế, chúng ta thực hiện như sau: Giả sử bàitoán có f(x) →min, thì điều đó chỉ đạt được nếu các biến giả bằng 0 Vì nếu biến giả dươngthì f(x) vẫn còn chứa M với hệ số dương mà M lại lớn tuỳ ý thì f(x) không đạt cực tiểu; cònnếu f(x) →max thì M lại được thay bằng –M cũng với ý đó.

*Nhận xét: Bất cứ bài toán dạng tổng quát nào cũng đưa được về dạng chính tắc và bài

toán mở rộng dạng chuẩn Như vậy, mấu chốt của vấn đề là giải bài toán dạng chuẩn

2.Thuật toán đơn hình

Đối với những bài toán có nhiều biến, chúng ta không thể sử dụng phương pháp đồthị được mà phải sử dụng phương pháp đơn hình Phương pháp này được G.Dantzig đưa ranăm 1947 Trong khoảng 40 năm, phương pháp này thực sự hiệu quả duy nhất để giải cácbài toán qui hoạch tuyến tính cỡ lớn trong thực tế Hiện nay, phương pháp điểm mới có thểcạnh tranh đối với phương pháp đơn hình

Phương pháp này được sử dụng rộng rãi và hiện nay có nhiều phần mềm máy tính đãứng dụng phương pháp này

2.1 Thuật toán đơn hình giải bài toán dạng chuẩn

Thuật toán được áp dụng cho từng bài toán cực tiểu hay cực đại Chúng ta lần lượt nghiêncứu thuật toán cho từng loại

2.1.1 Trường hợp Bài toán Min

Thuật toán gồm 5 bước như sau:

Bước 1: Lập bảng ban đầu:

căn cứ vào bài toán dạng chuẩn để lập bảng và dạng cơ bản như trên Bảng 1

Bảng 1.bảng đơn hình đầu tiên

Bước 2: Kiểm tra tính tối ưu

- Nếu Δj ≤0 ∀j thì phương án đang xét là tối ưu và giá trị hàm mục tiêu là f(x)=f0

- Nếu ∃Δj >0 mà aij ≤0 ∀i thì bài toán không có phương án tối ưu Nếu cả hai trườnghợp trên không xảy ra thì chuyển sang bước 3

Bước 3: Tìm biến đưa vào: Xét các Δj >0, Nếu Δv=max Δj thì xv được chọn đưa vào Khi

Bước 5: Biến đổi bảng như sau:

- Thay xr bằng xv và cr bằng cv Các biến cơ bản khác và hệ số tương ứng để nguyên

- Chia hàng chủ yếu (hàng r) cho phần tử trục xoay a , chúng ta được hàng r mới và