Mỗi ngày 5 bài toán 1

Mỗi ngày 5 bài toán – Hoài Trịnh

Câu 1(17-11): Cho hàm số y f x( ) biết rằng hàm số y f x( )có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y f x( 2 m) có 3 cực trị

A m ( ;2) B m [0;3] C m [0;3) D m ( ;0)

Lời Giải:

+ Hàm số y f x( 2 m) có đạo hàm y 2 (x f x2 m)

2

2

0

x

f x m

2

2

0

3

x m

x m

+ Vì đồ thị y f x( )tiếp xúc trục Ox tại điểm có hoành độ x 1 nên x 1 là nghiệm bội chẵn Do đó ta chỉ cần xét số nghiệm hai phương trình:

0

+ Để hàm số y f x( 2 m) có 3 cực trị khi hai phương trình

2 2

(1)

đúng hai nghiệm đơn khác 0

m

0

x , phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác không khi đó 2 '(x f x2 m) 0

có 3 nghiệm đơn nên có 3 cực trị

m m không có m thỏa yêu cầu bài toán

Chọn C

Mỗi ngày 5 bài toán – Hoài Trịnh

Câu 2: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên R thỏa mãn f x'( ) 2018 ( ) f x 2018.2017.x2017.e2018x

với mọi xR f; (0)2018 Giá trị của f(1) là

A. f(1)2018e2018 B f(1)2019e2018 C f(1)2018e2018 D f(1)2019e2018

Lời giải:

Ta có:

2017 2018 2018 2018 2017

'( ) 2018 ( ) 2018 x '( ) x 2018 x ( ) 2018

f x  f x  x e  f x e  e f x  x

2018 2018 2018 2018 2018 2018

f x e x f x e dx x dx f x e x C

Do f(0)2018 f(0).e0   C C 2018

2018 2018 2018

( ) x 2018 x

2018 2018 2018

(1) 2018 2019 x

Chọn D

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) và mặt phẳng

( ) :P x2y2z 5 0 Đường thẳng (d) đi qua A, song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ N đến đường thẳng d nhỏ nhất, Đường thẳng (d) có một VTCP là u(1; ; )b c khi đó b

c

bằng

A.b 11

2

b

2

b

2

b

c

Lời giải:

Mặt phẳng (Q) qua A(-3;0;1) và song song với (P) nên nhận n (1; 2; 2) làm VTPT

( ) :1(Q x 3) 2(y 0) 2(z 1) 0

       hay ( ) :Q x2y2z 1 0

Đường thẳng d đi qua A và song song (P) nên d( ).Q

Gọi H là hình chiếu của B lên (Q) thì d B d( , )BH hay d(B,d) đạt GTNN bằng BH khi d = AH

Gọi  là đường thẳng đi qua B(1;-1;3) và vuông góc với (Q) thì

1 : 1 2

3 2

x t

 





  



1

1 2

3 2

2 2 1 0

x t

x y z

 



   





10

9 10 0

9

Mỗi ngày 5 bài toán – Hoài Trịnh

11 1

1; ;

26 13

  hay

b

c

Chọn B

Câu 4: Với giá trị thực nào của tham số m thì đường thẳng y2xm cắt đồ thị hàm số

3

1

x

y

x





 tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN ngắn nhất?

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 3 (2 )( 1) 3

1

x

x





2

2x (m 1)x m 3 0(*) x 1

Đường thẳng y2xm cắt đồ thị hàm số 3

1

x y x





 tại hai điểm phân biệt (*) có hai

nghiệm phân biệt x x1, 2 khác -1

2

2 0 2.( 1) ( 1).( 1) 3 0



 

đúng)

Theo hệ thức Vi-et ta có:

1 2

1 2

1 2 3 2

m

x x m

x x



   





Gọi hai giao điểm là M x 1; 2x1m N x , 2; 2x2m

2 1 2 2 2 1 5 2 2 2 1 1 5 2 1 4 1 2

MN  x x  x  x  x  x x x   x x  x x 

Áp dụng hệ thức Vi-et ta được :

5

2 1 8 24

2

Chọn B

Mỗi ngày 5 bài toán – Hoài Trịnh

Câu 5: Giả sử z là các số phức z thỏa mãn iz  2 i 3 Giá trị lớn nhất của biểu thức

2 z    4 i z 5 8i bằng

Lời giải:

z a bi a b  iz   i a  b 

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I1; 2 , bán kính R3

Gọi A 5; 8 ,  B 4;1 Đặt P2 z    4 i z 5 8i  P 2MBMAMA2MB

Nhận xét: IA6 2,IB3 2,AB9 2I A B, , thẳng hàng Ta có: IA2IBIA 2IB

Ta có:

MA IM IA IM IA IM IA IM IB

MB IM IB IM IB MB IM IB IM IB





Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

P  MA MB  MA MB   MA  MB 

2

Chọn C