Bài tập toán cao cấp

Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau... Tính và nêu ý nghĩa hệ số co dãn của cầu sản phẩm tại mức giá và sản lượng tối ưu?. Tính hệ số co dãn của cầu tại mức tối đa hóa l

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING

BỘ MÔN TOÁN THỐNG KÊ

Nguyễn Trung Đông

Hướng dẫn : Biến đổi sơ cấp hoặc dùng qui tắc 6 đường chéo

Bài số 8 Tìm x sao cho :

Đáp số : 1) m0, rank0; m0, rank2; 2) m0, rank 02; m0, rank3;

3) m7, rank2; m7, rank3; 4) m1, rank3; m1, rank4

7) 0, 0, 0, 0; 8) 3a 13b, 19a 20b, 17a, 17b

Bài số 4 Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau

Đáp số : 1) TH1: m 1 m    : hệ có nghiệm duy nhất; TH2 : m 12  : hệ vô số

nghiệm; TH3 : m  : hệ vô nghiệm 2) hệ vô số nghiệm với mọi m; 2

3) TH1: m 0 m  : hệ có nghiệm duy nhất; TH2 : m3  : hệ vô số 0

nghiệm; TH3 : m  : hệ vô nghiệm 4) hệ vô số nghiệm với mọi m 3

Bài số 5 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận nghịch đảo

a) Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ năm t

b) Biết x(t)800,1500,700, tìm sản lượng mỗi ngành năm t

Hướng dẫn: a) CI A(t) 1; b) X(t)IA(t)1x(t)

Bài số 16 Cho ma trận các hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị của năm t như sau:

25

0,3 0, 2 0,3

A 0,1 0,3 0, 20,3 0,3 0, 2

Hướng dẫn: a) CI A(t) 1; b) X(t 1) I A(t 1)  1x(t 1).

Bài số 17 Xét mô hình cân bằng thu nhập quốc dân: YG0I0C; C0, 4Y 30.

Hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân ở trạng thái cân bằng bằng quy tắc Cramer, biết I0 200, G0 500 (triệu USD)

Đáp số: Y 3650; C 3100

Bài số 18 Xét mô hình: YG0I0 C; C0,8Yd; Yd 1 t Y 

Hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân ở trạng thái cân bằng bằng quy tắc Cramer, biết I0 200, G0 500 (triệu USD) và thuế suất thu nhập t0,1

26

Chương 3

KHÔNG GIAN VECTƠ

Bài số 1 Chứng minh các tập sau là không gian vectơ

Đáp số : 1) là không gian con; 2) không là không gian con

Bài số 3 Cho không gian vectơ V trên trường số thưc ,  là một vectơ cố định thuộc

V Chứng minh rằng tập hợp W r r R là một không gian con của V

Hướng dẫn : Dùng định nghĩa về không gian con

Bài số 4 Trong không gian  , cho các vectơ 3 u1 1, 2, 3 , u  2 0, 1, 3  Xét xem vectơ u 2, 3, 3  có phải là tổ hợp tuyến tính của u , u hay không ? 1 2

Đáp số : 1) sinh ra  ; 2) không sinh ra 3  3

Bài số 15 Hệ vectơ nào trong các hệ vectơ sau đây là cơ sở của  3

1 S   1 1, 2,3 ,  2 0, 2,3  

2 S   1 1, 2,3 ,  2 0, 2,3 ,  3 0, 0,5  

3 S   1 1,1, 2 ,  2 1, 2,5 ,  3 0,1,3  

4 S    1  1, 0,1 ,   2  1,1, 0 ,  3 1, 1,1 ,   4 2, 0,5  

Đáp số : 1) không là cơ sở; 2) là cơ sở; 3) không là cơ sở; 4) không là cơ sở

Bài số 16 Trong không gian 3, xét hệ vectơ:

S   1, 1, 1 ,  1, 1, 2 ,  1, 2, 3

1 Chứng minh rằng S là một cơ sở của  3

2 Tìm tọa độ của x6, 9, 14 trong cơ sở S

3 Tìm ma trận chuyển cơ sở từ S sang cơ sở chính tắc

29

2 m  , tìm tọa độ 1 x1, 2,3 đối với cơ sở S

3 Với m0, tìm ma trận chuyển cơ sở từ S sang cơ sở chính tắc

Bài số 19 Trong không gian  xét tập hợp : 4

W = x , x , x , x : x x x 2x 0

1 Chứng tỏ rằng W là một không gian con của  4

2 Tìm một cơ sở và số chiều cho W

1 Chứng minh rằng S là một cơ sở của  4.

2 Tìm tọa độ của vectơ x1,1,1,1 trong S

( 1)x

Hướng dẫn : Chương minh dãy tăng bị chặn trên

Bài số 3 Tính các giới hạn sau

n

(n 1)(n 2)(n 3)lim

n 1 2nlim

x



x ln x





Đáp số: 1) Liên tục bên phải tại 0; 2) Liên tục tại 0

Bài số 6 Định a để hàm số sau liên tục tại 0

Hướng dẫn : Tính đạo hàm cấp 1,2,3, ,rồi dự đoán đạo hàm cấp n

Bài số 12 Cho hàm số f (x) 1 x (x 1)  m  n với m, n   Chứng minh rằng phương trình f (x)/  có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (0, 1) 0

Hướng dẫn : Sử dụng định lý Rolle

Bài số 13 Ứng dụng đạo hàm chứng minh rằng với mọi x ta có 0

2x

Hàm số f có đạo hàm tại điểm 1 không?

Đáp số : Hàm số không có đạo hàm tại 1

1 Định m để hàm số sau liên tục tại 0

2 Với m vừa tìm được ở câu 1 Tính / 

f 0

Đáp số : 1) m3; 2) f/ 0 2ln 3.2

Bài số 21 Tính vi phân của các hàm số sau

C 100 và giải thích ý nghĩa Giá trị này dự báo điều gì?

3 So sánh giá C 100 với giá thành để sản xuất sản phẩm thứ 101  

Bài số 28 Cho hàm sản xuất ngắn hạn Q30 L ; L0

1 Tìm hàm sản phẩm cận biên của lao động MPL

2 Tại L0 144, nếu L tăng thêm một đơn vị thì Q sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị?

3 Tại mức sử dụng lao động nào đó, nếu L tăng thêm 1%, hỏi sản lượng sẽ thay đổi bao nhiêu %?

trong đó P là giá và Q là sản lượng

1 Tính sản lượng và giá bán để tối đa hóa lợi nhuận

2 Tính và nêu ý nghĩa hệ số co dãn của cầu sản phẩm tại mức giá và sản lượng tối ưu?

3 Tìm giá bán để tối đa hóa sản lượng bán ra mà công ty không bị lỗ?

P200 Q, TC Q (trong đó P là giá, Q là sản lượng)

1 Tìm mức sản lượng và mức giá để lợi nhuận cực đại

2 Tính hệ số co dãn của cầu tại mức tối đa hóa lợi nhuận

Đáp số: 1) Q 50, P 150  ; 2) 3 .



2)

2 8

xdx(1 x)

3)

x

1dx

1 e

4)

2x x

edx

x 1dx

2) 0 2 4

1dxcos x



3) 1

2 0

1

1dx

0

sin x

dxsin x cos x

x cos xdx



11) 2

0

1dx

3 2 cos x



12) 1

2 0

1

dx(2x 1) x 1

9) e 2;

210) 2;

1dx

2 2 0



; 5) ; 6)

4



Bài số 8 Tính các tích phân suy rộng

1dx

2x 1dxe

4x

12) 2

0

cos xdxsin x



Đáp số : 1)

28

xdx

x 1sin x ln dx

1dx

1dx

6) 1

2 0

ln xdx

xdx

1 x

3 1

1dx

Đáp số : 248 / 3

Bài số 16 Cho hàm cung đối với một loại sản phẩm như sau:

S

Q  P 1 2  Giả sử sản phẩm được bán trên thị trường với giá P0 10 Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất

Đáp số : 100 / 3

43

Chương 6

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Bài số 1 Tính các giới hạn sau

(x,y) (0,0)

2xlim



Hướng dẫn : Tính đạo hàm riêng rồi thay vào đẳng thức ta có điều phải chứng minh

Bài số 11 Tính gần đúng biểu thức sau :

Đáp số : 1) (1, 0) là cực tiểu; 2) (2, 1) là cực đại; 3) 189 / 47,180 / 47 là cực tiểu;  

4) (0, 0) không là cực trị, 1 / 4,1 / 2 là cực tiểu; 5) (0,1) không là cực trị; 6) (1 / 2, 1) 

là cực tiểu; 7) (1, 2); ( 1, 2)  không là cực trị; (2,1) là cực tiểu; ( 2, 1)   là cực đại;

 

 

  là cực tiểu; 11)

11,2

Bài số 24 Công ty M chuyên sản xuất một mặt hàng A, có hàm sản xuất phụ thuộc hai

yếu tố vốn K và lao động L như sau: Q40K0,4 0,6L trong đó Q là sản lượng và

K0, L Cho biết giỏ vốn và lao động lần lượt là 0 PK 11, PL 20, với khả năng chi phí tối đa cho vốn và lao động là C = 6600 Hãy sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm K và L sao cho sản lượng Q đạt cực đại

Đáp án: K240, L198.

Bài số 25 Một công ty có hàm sản xuất: QK3/4 1/2L (K – vốn, L – lao động) Biết giá thuê một đơn vị vốn là 30 và giá thuê một đơn vị lao động 5 Công ty cần sản xuất 2048 sản phẩm, khi đó công ty nên sử dụng bao nhiêu đơn vị vốn và lao động để tối thiểu hóa chi phí

Hướng dẫn: Tính đạo hàm rồi thay vào phương trình ta có điều phải chứng minh

Bài số 3 Giải các phương trình vi phân cấp 1

Đáp số :1) y(x)Aex Be2x; 2) y(x)Ae3x Be3x; 3) y(x)Ae4xB;

4) y(x)Asin xBcos x; 5) 3x 

y(x)e A sin 2xBcos 2x ; 6) y(x)Aex Be5x; 7) y(x)Ae2xBe3x; 8) y(x)A sin 2xBcos 2x; 9) y(x)e3xA sin 3xBcos 3x; 10) x 

y(x)e A sin 2xBcos 2x ;

11) y(x)Ae(1 2 )x Be(1 2 )x; 12)  

5 2y(x) AxB e

Bài số 5 Giải các phương trình vi phân với điều kiện đầu sau:

5P 2PE

6P 4PE

P(t)2e sin 2tcos 2t

1) Giải hệ phương trình tuyến tính trên

2) Tìm một cơ sở và số chiều cho không gian nghiệm của hệ phương trình trên

Câu 2 (2 điểm) Cho hai ma trận:



Câu 6 (1 điểm) Cho hàm số: f (x, y)x33xyy32018 Tính vi phân toàn phần cấp

2 của hàm số trên tại điểm (1, 1)

Câu 7 (1 điểm) Khảo sát cực trị của hàm số:   3 2 2

1) Giải hệ phương trình tuyến tính trên

2) Tìm một cơ sở và số chiều cho không gian nghiệm của hệ phương trình trên

Câu 2 (2 điểm) Cho hai ma trận:

x 0

cos 2x cos xlim



Câu 6 (1 điểm) Cho hàm số: f (x, y)x44xyy42018 Tính vi phân toàn phần cấp

2 của hàm số trên tại điểm (1, 1)

Câu 7 (1 điểm) Khảo sát cực trị của hàm số:   x 2y

1) Giải hệ phương trình tuyến tính trên

2) Tìm một cơ sở và số chiều cho không gian nghiệm của hệ phương trình trên

Câu 6 (1 điểm) Cho hàm số: f (x, y)x46xyy42018 Tính vi phân toàn phần cấp

2 của hàm số trên tại điểm (1, 1)

Câu 7 (1 điểm) Khảo sát cực trị của hàm số:   y x 2y

1) Giải hệ phương trình tuyến tính trên

2) Tìm một cơ sở và số chiều cho không gian nghiệm của hệ phương trình trên

Câu 2 (2 điểm) Cho hai ma trận:

x 0

1 cos 2xlim

Câu 6 (1 điểm) Cho hàm số: f (x, y)x35xy y 42018 Tính vi phân toàn phần cấp

2 của hàm số trên tại điểm (1, 1)

Câu 7 (1 điểm) Khảo sát cực trị của hàm số:   3 3

1) Giải hệ phương trình tuyến tính trên

2) Tìm một cơ sở và số chiều cho không gian nghiệm của hệ phương trình trên

Câu 2 (2 điểm) Cho hai ma trận:

Câu 6 (1 điểm) Cho hàm số: f (x, y)x47xyy22018 Tính vi phân toàn phần cấp

2 của hàm số trên tại điểm (1, 1)

Câu 7 (1 điểm) Khảo sát cực trị của hàm số:   0,3 0,4

Câu 6 (1 điểm) Cho hàm số: f (x, y)ln x2 y 2 Tính vi phân toàn phần cấp 1 của hàm

số trên tại điểm (1, 1)

Câu 7 (1 điểm) Tìm cực trị của hàm f x, y 2x 3y, với ràng buộc x29y2180

Tính vi phân toàn phần cấp 1 của

hàm số trên tại điểm (1, 1)

Câu 7 (1 điểm) Tìm cực trị của hàm f x, y 3xy, với ràng buộc 9x2y2162

Câu 8 (1 điểm) Giải phương trình vi phân: y/y tan x với y( )0  2

Đề số 08

Câu 1 (2 điểm)

số trên tại điểm (1, 1)

Câu 7 (1 điểm) Tìm cực trị của hàm f x, y x 3y, với ràng buộc x29y2288

Câu 8 (1 điểm) Giải phương trình vi phân: / y2

Tìm ma trận B sao cho ABBA.

Câu 3 (1 điểm) Tính giới hạn:

Tìm ma trận B sao cho ABBA.

Câu 3 (1 điểm) Tính giới hạn: 2

Câu 7 (1 điểm) Tìm cực trị của hàm f x, y 2x 9y 1  , với ràng buộc x23y2 31

Câu 8 (1 điểm) Giải phương trình vi phân: y// 4y/3yx2

63

Câu 3 (1 điểm) Tính giới hạn:

2 5

dx2x 4x 20

Câu 4 (1 điểm) Khai triển Maclaurin đến cấp 4 của hàm số: f (x)ln(1 x)

Câu 5 (1 điểm) Tính tích phân suy rộng:

1

1dxx(x 1)

64

Câu 7 (1 điểm) Tìm cực trị của hàm sau:   3 2

f x, y x 3xy 15x 12y 2018 với

Tìm ma trận B sao cho ABBA

Câu 3 (1 điểm) Tính giới hạn:  ln x

dx3x 12x 39

Câu 7 (1 điểm) Tìm cực trị của hàm f x, y 2x 3y , với ràng buộc x29y2180

Câu 8 (1 điểm) Giải phương trình vi phân: y/2xy3xex2 với y(0)1

Đề số 14

f 0 , (nếu có)

Câu 5 (1 điểm) Tính tích phân suy rộng:

2 1

dx3x 12x 39

Câu 7 (1 điểm) Tìm cực trị của hàm f x, y 3x , với ràng buộc y 9x2y2 162

Câu 8 (1 điểm) Giải phương trình vi phân: y/4xyxe2x2với y(0)5

66

2) Tính định thức của ma trận sau :

1 2 0 2

0 2 2 0A

Tìm ma trận B sao cho ABBA

Câu 3 (1 điểm) Tính giới hạn: x2

dx2x 4x 20

y (y là đạo hàm của y theo x) /x

Câu 7 (1 điểm) Tìm cực trị của hàm f x, y x 3y , với ràng buộc x29y2288

Câu 8 (1 điểm) Giải phương trình vi phân: y/2xy3xex2 với y(0) 2