Nghiên cứu phương pháp sơ đồ mạng lưới PERT CMP

Trước kia để điều hành dự án người ta thường dùng biểu đồ Gantt Gantt bar chart, là một đồ thị gồm các đường kẻ ngang, biểu thị điểm khởi công và kết thúc hoạt động.. Nhượcđiểm của biểu

Chương mở đầu

GIỚI THIỆU CHUNG VỀ NHIỆM VỤ

Đề tài “Điều hành dự án bằng phương pháp PERT-PCM và ứng

dụng giải bài toán lập lịch thi công công trình”, bao gồm

- Tìm hiểu phương pháp PERT-PCM (phương pháp sơ đồ mạng lưới)

- Ứng dụng giải bài toán lập lịch thi công công trình

+ Lưu trữ lịch thi công các dự án

+ Cho biết thới gian bắt đầu một dự án và thời gian kết thúc dự án + Thêm một số hạng mục khi dự án đang được thi công

+ Bỏ một số hạng mục khi dự án đang thi công

+ Đưa ra lịch thi công các hạng mục tối ưu nhất

ĐIỀU HÀNH DỰ ÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP

PERT-CMP

(Phương pháp sơ đồ mạng lưới)

Dự án (Project) là một tập hợp các hoạt động (Activity) liên quan với

nhau và phải được thực hiện theo một thứ tự nào đó cho đến khi hoàn thànhtoàn bộ các hoạt động Hoạt động được hiểu như là một việc đòi hỏi thời

gian, và nguyên liệu (Resource) để hoàn thành Trước kia để điều hành dự

án người ta thường dùng biểu đồ Gantt (Gantt bar chart), là một đồ thị gồm

các đường kẻ ngang, biểu thị điểm khởi công và kết thúc hoạt động Nhượcđiểm của biểu đồ là không xác định được quan hệ giữa các hoạt động, nên

không áp dụng được cho các dự án lớn (large-scale project), đòi hỏi đặt kế hoạch (planning), điều hành thực hiện (scheduling) va kiểm tra (controlling)

một cách hệ thống và hiệu quả, thậm chí phải tối ưu hoá hiệu quả (về thờigian và tiết kiệm nguyên liệu) Vì vậy, gần như đồng thời vào năm 1956-

1958, hai phương pháp kế hoạch, điều hành và kiểm tra dự án đã ra đời

Phương pháp đường găng hoặc phương pháp đường tới hạn (Critical path

method, viết rắt là CPM) được E.I.du Pont de Nemous và công ty xây dựng

của ông đưa ra Phương pháp thứ hai có tên là Kỹ thuật xem xét và đánh giá dự án (Project evaluation and review technique, viết tắt là PERT) là kết

quả nghiên cứa của một công ty tư vấn theo đặt hàng của hải quân Mỹ,dùng để điều hành các hoạt động nghiên cứu và phát triển chương trình tênlửa đối cực Hai phương pháp được hình thành độc lập nhưng rất giốngnhau, cùng nhằm vào mục đích điều hành thời gian là chính Sự khác nhau

chính là trong CPM thời gian ước lượng cho công việc, được coi là tất định (Deterministic), còn trong PERT có thể là ngẫu nhiên (Probabilistic) Ngoài

ra CPM có tính đến quan hệ thời gian Ngày nay, khi đã phát triển lên, hai

phương pháp được coi là một, dưới một tên chung là Phương pháp điều hành dự án PERT-CPM, hoặc Phương pháp sơ đồ mạng lưới hoặc hệ thống kiểu PERT (PERT-type system) Nó được dùng để thực hiện rất nhiều

kiểu dự án, từ xây dựng, lập trình máy tính, sản xuất phim đến vận độngtranh cử chính trị hoặc các cuộc giải phẫu phức tạp

Phương pháp điều hánh dự án PERT-CPM gồm ba pha (tức là ba khâu): kế

hoạch, điều hành và kiểm tra điều chỉnh Pha kế hoạch có nội dung là lập

một sơ đồ mạng lưới (arrow network diagram hoặc arrow diagram), tương

tự một đồ thị có hướng Pha này mở đầu bằng việc tách dự án thành nhiềuhoạt động riêng và định thời gian hoàn thành chúng Trong mạng, mỗi cung

có hướng biểu diễn hoạt động và cả sơ đồ mạng biểu thị mối quan hệ giữa

các hoạt động Mỗi nút biểu thị một biến cố hoặc sự kiện (event), đánh dấu

Trang:2

các hoạt động ứng với các cung ra khỏi nút

Pha điều hành (scheduling phase) có nhiệm vụ xây dựng biểu đồ thời

gian, chỉ rõ thời điểm bắt đầu và kết thúc của mỗi hoạt động và mối quan hệ giữa các hoạt động Nói riêng, điều quan trọng là phải tính chính xác các hoạt động tới hạn, tức là găng (critical), cần chú ý đặc biệt khi thực hiện, để toàn bộ dự án được hoàn thành đúng hạn

Pha kiểm tra bao gồm việc sử dụng sơ đồ mạng lưới, và biểu đồ thời gian

để theo dõi và báo cáo định kì tiến triển của dự án Nếu cần thì phải phântích lại và xác định sơ đồ mới cho phần dự án còn lại

I Lập sơ đồ mạng lưới

Như trên đã nói, pha đầu của phương pháp PERT-CPM là lập kế hoạch thểhiện ở một sơ đồ mạng lưới, biểu diễn như một đồ thị có hướng Hãy xétmột dự án xây dựng một toà nhà Việc tách dự án thành các hoạt động nhưđào đất, xây móng, xây tường thô, lợp mái, đặt đường dây điện … là do kiếntrúc sư hoặc kỹ sư xây dựng làm Dựa vào đó, người quản lý dự án lậpđược sơ đồ mạng lưới như H.1.1 Các số bên cạnh cung là thời gian thựchiện hoạt động đó

Qua sơ đồ mạng lưới H.1.1 ta thấy rõ mối quan hệ giữa các hoạt động vềthời gian Chẳng hạn hoạt động (6, 8) là trát ngoài-phải sau (4, 6) là lợpmái, nhưng độc lập với (5, 7) là chỉnh tường trong Cũng vậy (4, 7) độc lập

với (4, 5) và (5, 7) Ở đây có hai hoạt động gia (dummmy activity) với thời

gian để thực hiện bằng 0 được đưa vào để đảm bảo qui tắc sơ đồ

Cung giả (11, 12), ký hiệu bởi đường đứt đoạn, đưa vào để đảm bảo qui tắckhông có hai hoạt động cùng biến cố bắt đầu và kết thúc, tức là không có 2cung có cùng gốc và ngọn (tức là đồ thị đơn) Việc sơn tường trong và làmsàn có cùng biến cố dầu là nút 9, tức là biến cố lát ván tường xong, và biến

cố cuối là nút 12 (làm sàn và sơn tường xong, bắt đầu hoàn thiện trong) Do

đó ta phải thêm nút 11 là biến cố giả và cung giả (11, 12)

Cung giả (5, 8) để chỉ rằng hoạt động (4, 5) phải hoàn thành trước khi bắtđầu hoạt động (8, 10) (nếu bỏ cung giả này thì thời điểm làm hai việc là độclập)

Cung giả này là phục vụ cho qui tắc sơ đồ mạng lưới phải thể hiện đủ quan

hệ thứ tự cần có

Nếu quan hệ thời gian có dạng: việc x2 bắt đầu khi xong 1/3 việc

x1, việc x3 bắt đầu khi xong một nửa x1, thì ta phải thêm các nútđánh dấu các biến cố xong 1/3x1 và xong 1/2x1 đó như ở H1.2

Trang:3

2

Làm sàn 4 5 Sơn tường Hoàn thiện ngoài 2

0 Hoàn thiện trong

II. Phân tích các chỉ tiêu thời gian Xác định đường căng

Pha điều hành có nhiệm phân tích các chỉ tiêu thời gian và đưa ra các bảng

và số liệu cần thiết trên sơ đồ mạng lưới Nếu trong dự án phải điều hành cảnguyên liệu (hoặc nhân lực) thì phải xét cả các chỉ tiêu đó, ta sẽ nói đến ởmục sau

II.1 Tính các thời điểm.

Chỉ tiêu ở đây là thời điểm sớm của biến cố (earliest time for an event) làthời điểm biến cố xảy ra khi mọi hoạt động trước nó được bắt đầu sớm nhất

có thể Thời điểm sớm của biến cố i thường ký hiệu là Ei Các Ei được tínhtheo hướng tăng (forward pass), tức là đi từ nút khởi công theo thứ tự tăngcủa nút i Như vậy với nút khởi công 1 thì E1 = 0 Đến nút 2 trong sơ đồ H1.1thì E2 rõ ràng bằng 2 vì biến cố hoàn thành hoạt động (1, 2) phải là E1 + t12,

ở đây t12 là thời gian thực hiện hoạt động (1, 2) Việc tính E3, E4, E5, E6, E9,

E10 và E11 cũng tương tự vì các nút tương ứng chỉ có một cung vào, khi đó:

Ei = Ej + tji

Ở đây j là nút ngay trước i Chẳng hạn E6 + t46 = 16 + 6 = 22 Nếu cónhiều cung vào nút, tức là nhiều hoạt động kết thúc tại biến cố, thì từ địnhnghĩa Ei rõ ràng đây là thời điểm mọi hoạt động đó vừa xong cả, tức là phải lấy maximum của các tổng Chẳng hạn

Thời điểm muộn (latest time) của biến cố j là thời điểm muộn nhất mọi cung

đi vào biến cố j đều hoàn thành mà không làm thay đổi thời điểm kết thúc dự

án sớm nhất có thể, ký hiệu là Lj Đối lại với Ej, các Lj được tính theo hướnglùi (backward pass), tức là đi từ nút kết thúc Theo định nghĩa, ở nút kếtthúc thì En = Ln, ở thí dụ H.1.1 là E13 = L13 = 44 nếu ở biến cố chỉ có mộtcung ra, tức là một hoạt động được bắt đầu thì, thời điểm muộn là :

Lj =Li - tji, Tức là thời điểm muộn của nút ngay sau nó trừ đi thời gian thực hiện hoạtđộng nối hai nút Các biến cố 12, 11, 10, 8, 7, 6, 3, 2 và 1 ở H.1.1 là trườnghợp này Nếu có nhiều cung ra khỏi biến cố, thì theo định nghĩa ta có :

ngoặc ở mỗi nút trong H.1.3

II.2 Tính thời gian dự trữ

Trong thời gian dự trữ (slack hoặc float) của một biến có là hiệu thời điểm muộn và thời

tij, nhưng với giả thiết là mọi hoạt động đều bắt đầu

sớm có thể, vậy :

FFij = Ej – Ei – tij Trên sơ đồ mạng lưới thì di là hiệu hai số trong ngoặc ở nút i, thường đượcghi bằng số trong ô vuông cạnh nút Thời gian dự trữ chung của hoạt động

Trang:6

của hoạt động FFij ít quan trọng hơn, thường không ghi, xem H.1.3

II.3 Đường găng (đường tới hạn)

Các hoạt động có thời gian dự trữ chung bằng 0 cần được chú ý đặcbiệt vì trì hoãn nó sẽ ảnh hưởng đến thời gian kết thúc dự án Từ đó có :

Định nghĩa II.3.1 Đường găng hoặc đường tới hạn (critical path) là một

đường đi từ nút khởi công đến nút kết thúc mà mọi hoạt động trên đườngđều có thời gian dự trữ chung bằng 0 (Chẳng hạn trên H.1.3 có một đườnggăng là 1 –> 2 –> 3 –> 4 –>5 –> 7 –> 9 –> 12 –> 13 ) hoạt động (i, j có TFij =

0 được gọi là hoạt động găng (critital activity) Biến cố i có di =0 được gọi làbiến cố găng (critical event)

Một số tính chất quan trọng của đường găng là như sau

1 Mỗi dự án đều có ít nhất một đường găng

2 Tất cả các hoạt động (i, j) có TFij = 0, tức là mọi hoạt động găngđều phải nằm trên đường găng

3 Mọi biến cố găng, tức là biến cố i có di = 0, đều phải nằm trênđường găng Biến có không găng không thể nằm trên đườnggăng

4 Đường nối nút khởi công đến nút kết thúc mà mọi biến cố trên đóđều găng có thể không phải đường găng vì có thể có hoạt độngkhông găng Chẳng hạn đường 1 –> 2 –> 3 –> 4 –> 7 –> 9 –> 12–> 13 không găng vì TF47 = 2

5 Đường găng là đường dài nhất trong các đường nối nút khởi côngđến nút kết thúc

Điều 5 này là rõ từ định nghĩa vì ở nút khởi công và kết thúc hai thời điểm sớm và muộn trùng nhau và thời gian hoàn thành dự án chính là hiệu thời gian ở hai nút (ở H.1.3 là 44 - 0) Đường găng là đường gồm các hoạt động không có dự trữ nên tổng chiều dài, tức là thời gian thực hiện, là toàn

bộ thời gian thực hiện dự án (ở H.1.3 là 44), nên phải dài nhất Trên H.1.3 đường găng được tô đậm

Một thí dụ dự án có nhiều đường găng là sơ đồ ở H.1.3 nhưng với t46

thay từ 6 thành 10 Khi đó thời gian dự trữ của các hoạt động (6, 8), (8, 10)

và (10, 13) và thời gian dự trữ của các biến cố 6, 8 và 10 đều thay từ 4

thành 0 Lúc này đường 1 –> 2 –> 3 –> 4 –> 6 –> 8 –> 10 –> 13 làđường găng thứ hai

Các chỉ tiêu thời gian của dự án ở H.1.3 được ghi vào bảng 1.1

Biến cố Thời điểm

sớm

Thời điểmmuộn

Thời gian

dự trữ

Hoạtđộng

Thời gian

dự trữchung

Bảng1.1 Chỉ tiêu thời gian xây nhà

Ngoài các chỉ tiêu chính nói trên, khi cần các thông tin chi tiết hơn đểđiều hành dự án, người ta cũng đưa ra một số khái niệm về thời gian khácnữa như sau

Thời điểm khởi công sớm (earliest start) của hoạt động (i, j) là thời sớmcủa nút gốc: ESij = Ei

Thời điểm hoàn thành sớm (earliest completion) của hoạt động (i, j) là

ECij = Ei + tij

Thời điểm khởi công muộn (latest start) của hoạt động (i, j) là LSij = Lj

-tij

Thời điểm hoàn thành muộn (latest completion) của hoạt động (i, j) là

LCjj = Lj tức là thời điểm muộn của nút ngọn Nhận xét rằng ECij  Ej , LSij

với G Rõ ràng O < KP < 1 và KP càng gần 1 thì thời hạn thực hiện các hoạtđộng không găng trong P càng chặt chẽ

Hai định nghĩa trên đây của đường đi có thể mở rộng cho đường P có nútđầu và cuối trùng với nút trong đường găng, không cần là nút khởi công vàkết thúc của cả dự án

Thí dụ II.1 Ở dự án trên H.1.3, đường găng dược tô đậm Thời điểm hoànthành sớm EC68 = E6 + t68 = 22 + 7 = 29 = E8, EC10, 13 = 40 < E13 = 44 Thờiđiểm khởi công muộn LS46 = L6 – t46 = 26 – 6 = 20 > L4 = 16 Bây giờ giả sử

P là đường đi 1 –> 2 –> 3 –> 4 –> 5 –> 6 –> 8 –> 10 –> 13 thì TP = t ij

=40

Nên thời gian dự trữ của P là TG – TP = 44 – 40 = 40 Hệ số găng là

KP =  (không có quãng chung với đường găng) Gọi Q là đường 1 –

Chú ý rằng các dữ liệu thời gian quan trọng nhất là các chỉ tiêu có trongbảng 1.1 Ở bảng này cũng cho thấy đường găng (đường gồm các hoạtđộng găng, tức là có thời gian dự trữ chung bằng 0)

II.4 Biểu đồ thời gian

Một cách truyền thống, bên cạnh sơ dồ lưới bảng, để theo dõi điều hànhthời gian cho dự án là dùng biểu đồ thời gian (time chart) Ta hãy xét cách

vẽ và sử dụng biểu đồ thời gian qua một thí dụ

Thí dụ II.2 Xét dự án ở H.1.4, và bảng 1.2 tương ứng (chú ý là hoạt

độ dài bằng 0 nên biểu diễn bằng đoạn đứng

Mỗi hoạt động không găng biểu diễn ở độ cao khác nhau để nhìn rõ vì cáchoạt động này có độ cơ động và được điều hành bằng biểu đồ thời gian

Biểu đồ được vẽ từ các Ei và Li ở Bảng1.2 (hoạt động găng hay không găngthì theo TFij bằng 0 hay khác 0) Các số không có vòng chỉ thời gian thựchiện của hoạt động Chẳng hạn hoạt động (1, 2) thực hiện trong 2 đơn vịthời gian, được phép xê dịch trong khoảng thời gian 4 đơn vị (từ 0 đến 4).Xét sâu hơn thì sự xê dịch có tự do trong khoảng thời gian này không là phụthuộc vào FFij = TFij Nếu FFij = TFij thì hoạt động (i, j) có thể cơ động tuỳ ýtrong khoảng thời gian vẽ biểu đồ Nếu FFij < TFij thì hoạt động (i, j) chỉđược bắt đầu muộn hơn thời điểm khởi công sớm ESij một khoảng thời gian

Trang:10

(duy nhất) là

(2, 4) mới được xê dịch tuỳ ý trong khoảng thời gian 2 đến 6 Nếu (1, 2) thựchiện lùi lại khoảng 1 đến 3 chẳng hạn, thì ảnh hưởng đến hoạt động (2, 4).Mặc dù có FF24 = TF24 nhưng lúc này có chỉ còn được xê dịch thực hiệntrong khoảng từ 3 đến 6

III Điều khiển nhân lực

Các hoạt động không găng được phép xê dịch nhất định, nhất là khi FFij =

TFij Có thể sắp đặt chúng đáp ứng các yêu cầu khác nữa Ngoài thời gian

ra, chẳng hạn nhân lực, nguyên liệu, chi phí …Về mặt toán học xử lý yêucầu loại nào cũng vậy Ở đây ta nói theo ngôn ngữ nhân lực chẳng hạn Thí Dụ III.1 Giả sử nhân lực cho các hoạt động của dự án ở Thí Dụ II.2 đòihỏi như sau:

Hoạt động Số nhân Hoạt động số nhân công

đồ thời gian biểu diễn thêm nhân lực để sắp xếp theo trực quan H.1.6 (a)biểu diễn tổng công nhân cần ở mỗi thời điểm nếu tất cả các hoạt độngkhông găng xếp vào lúc sớm nhất có thể, còn H.1.6 (b) là tương ứng khi xếpvào lúc muộn nhất có thể Hai biểu đồ này nên vẽ thẳng dưới H.1.5 nữa.Sắp đặt sớm nhất ở hình (a) cho thấy ở mỗi thời điểm dự án cần nhiều nhất

là 10 công nhân còn ở sắp đặt muộn nhất (b) là 12 công nhân Ở haiphương án này, số công nhân cần ở các thời điểm không đều Theo trựcquan ta chỉnh lại từ (a) như sau: chuyển hoạt động (4, 6) đến thời điểmmuộn nhất có thể, chuyển (4, 7) đến ngay sau khi (5, 7) kết thúc Kết quảđược vẽ lại ở biểu đồ H.1.7 (chú ý là hoạt động (1, 2) và (2, 4) không cầncông nhân nên không cần vẽ.)

3 4 6 10 11 13 14 17 19

H I.6 (a)

(3, 5)

(4, 6)

(5, 7) (3, 4)

(1, 3) (6, 7)

3 4 6 10 11 13 14 17

19

Hình 1.7 IV.

Hoàn thành sớm dự án

Trên đây đã xét thời điểm hoàn thành dự án là cố định và xác định các đường găng, phải thực hiện chặt chẽ để dự án hoàn thành đúng thời gian qui định Nếu muốn giảm thời gian hoàn thành dự án thì làm thế nào ? Ta cũng sử dụng đường găng, nhưng phải dựa vào kỹ thuật và công nghệ, chứ không phải quản lý bằng toán học được nữa Cụ thể là phải dùng công nghệ mới, tăng vật tư, công nhân để có thời gian thực hiện các hoạt động ngắn hơn Nhưng tập chung vào hoạt động nào ? Rõ ràng là vào các hoạt động găng Cụ thể là nếu ta quan tâm đến hạn chế chi phí thì với (i, j)  G, tìm

số gia chi phí Cij khi đạt được rút ngắn thời gian thực hiện hoạt động là

tij (tìm bằng thực tế công nghệ, không phải thuần tuý toán học) Khi đó sẽ chọn cách tăng chí phí để giảm thời gian sao cho đạt

án hoàn thành trước thời điểm T

Thời gian thực hiện mỗi hoạt động, thường gọi tắt là thời gian hoạt động,trong mô hình ngẫu nhiên thường được giả thiết là xác định được ba yêu tố

sau Thời gian lạc quan (optimistic time) ký hiệu là a, là thời gian

cần để làm xong khi hoạt động được thực hiện thuận lợi nhất Thời gian này

rất khó đạt được Theo lý thuyết thống kê, thì đây thực chất là cận dưới (lower bound) của phân bố xác suất Thời gian bi quan (pressimistic time),

ký hiệu là b, là thời gian cần để xong hoạt động khi tiên hành gặp trục trặc

nhất, tức là cận trên (upper bound) của phân bố xác suất Thời gian hợp lý nhất (most likely time), ký hiệu là m, là thời gian hiện thực nhất, tức là có

xác suất lớn nhất (đỉnh cao nhất của hàm mật độ) Ba lượng trên chưa đủ

để xác định phân bố xác suất của thời gian hoạt động Do đó chưa đủ đểxác định kỳ vọng te tức là giá trị trung bình theo xác suất, và phương sai 2

đặc trưng cho độ lệch khỏi te của thời gian hoạt động Mô hình cần hai gảithiết phù hợp thực tế sau đây

Giả thiết 1 b - a, tức là độ dài khoảng mà thời gian hoạt động có thể lấy,

bằng 6 lần độ lệch chuẩn (standard deviasion), tức là ta có phương sai

2  16 (ba)2

(1.1)

Điều này đúng cho nhiều biến ngẫu nhiên hay gặp

Giả thiết 2 Phân bố xác suất của mỗi thời gian hoạt động đêu là

phân bố beta (beta distribution)

Ta hãy nhắc lại vài kiến thức xác suất Mỗi đại lương ngẫu nhiên x có hai

hàm quan trọng nhất Hàm mật độ xác suất (probability density fuction) f(x),

a  x  b, và hàm phân bố tích luy (cumulative distribution function) F(X),

gọi là hàm phân bố Ở đây giả thiết là x chỉ lấy giá trị trong [a, b] Ta có cácquan hệ sau

x  1,

Trang:16

phân bố beta có dạng như H.1.8 với   1,   1 và a = 0, b = 1 Phân

bố chuẩn (normal distribution) là phân bố xác suất phổ biến nhất, định nghĩa

có phân bó là phân bô chuẩn với kỳ vọng 0, phương sai là 1

Hàm mật độ của phân bố chuẩn  x có dạng ở H.1.9

)): (1( ,

():

t dt t

==

1

m 1 x

Hình 1.8

Các biến ngẫu nhiên x1, …, xn được gọi là độc lập (independent) nếu P{x1  X1, …, xn  Xn} = P{x1 Xn},

Định nghĩa giới hạn trung tâm (centrer – limit thoerem) nói rằng với các điềukiện khá nhẹ, tổng các biến ngẫu nhiên độc lập luôn có phân bố chuẩn(không phụ thuộc vào phân bố của từng biến ngẫu nhiên)

Trở lại mô hình ngẫu nhiên điều hành dự án Để tính kỳ vọng te của thời gian hoạt động, người ta giả thiết là điểm giữa a  b chiếm tỷ trọng

Tuy nhiên để xác định kỳ vọng và phương sai của thời gian dự án, ta cầnthêm hai giả thiết sau

Giả thiết 3 Các thời gian hoạt động là các biến ngẫu nhiên độc lập Giả thiết 4 Đường găng xây dựng trên các thời gian hoạt động kỳ vọng,

luôn đòi hỏi thời gian (hoàn thành mọi hoạt động trên nó) lớn hơn cácđường khác

Tính thật chi ly trong các thí dụ cụ thể thì hai giả thiết 3 và 4 có thểkhông đúng Chẳng hạn, ở Thí dụ V.1, nếu sảy ra thời gian bi quan ở mọihoạt động thì đường găng đã tính là 69 (ngày) Còn đường 1 –> 2 –> 3 –> 4–> 5 –> 7 –> 9 –> 12 –> 13 có thời gian bi quan là 70 Tuy vậy người ta vẫnchấp nhận các giả thuyết xấp xỉ này Khi đó, vì kỳ vọng và phương sai củatổng các biến ngẫu nhiên là tổng của các kỳ vọng và phương sai nên ta có:

Kỳ vọng và phương sai của thời gian dự án là tổng các kỳ vọng và phươngsai của các thời gian hoạt động trên đường găng (xây dựng theo các kỳvọng) Đến đây ta nhận xét rằng một trong các cách áp dụng thực tế là dùngcác kỳ vọng của các biến, rồi áp dụng mọi tính toán và lý luận ở các mụctrước vào các kỳ vọng, thay cho các biến tất định

Ở Thí dụ V.1 kỳ vọng và phương sai của thời gian dự án là 44 và 9, vìđường găng là 1 –> 2 –> 3 –> 4 –> 5 –> 7 –> 9 –> 12 –> 13

Bây giờ ta xét vấn đề quan trọng là tính xác suất để dự án hoàn thànhtrước một thời hạn bắt buộc (deadline) Theo định lý giới hạn trung tâm, thờigian dự án là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn Do đó ta tính được xácsuất P(x  X), thường được tính sẵn để tra theo bảng Chẳng hạn Bảng A1

ở cuối sách cho biết P {x  xe + K}, ở đây  là độ lệch chuẩn

Do đó K là đơn vị lệch chuẩn

Thí dụ, hãy tính xác suất để thời gian xây nhà ở Thí dụ V.1 không quá 47ngày Ta thấy 47 = 44 + 3.1 = xe + K nên K = 1 Theo bảng thì P {x 47} = 0,1584 Do đó xác suất cần tìm là  1 – 0,1584  0,84

Phương pháp điều hành dự án có tính ngẫu nhiên trên đây thường đượcgọi là phương pháp ba ước lượng PERT (PERT three estimate method) Nếu cần tính các yếu tố thời gian ở các biến cố trung gian (không chỉ thờigian hoàn thành dự án, tức là biến cố cuối) thì ta lý luận như sau Trước hếttính kỳ vọng và phương sai của thời điểm sớm i của biến cố i Nếu chỉ cómột đường từ khởi công đến i thì, do các hoạt động là độc lập kỳ vọng của

i ký hiệu là E(i), bằng tổng các kỳ vọng te của thời gian các hoạt động dẫn

đến i Khi có nhiều đường dẫn đến i thì người ta coi xấp xỉ (để đơn giản)E(i) và Var(i) là tổng các te và 2 của các hoạt động theo đường đến i cótổng E(i) dài nhất Nếu có nhiều đường với cùng E(i) thì Var(i) quy ướclấy lượng của đường có tổng các 2 dái nhất

Bây giờ hãy tính xác suất để biến cố i xong trước thời gian bắt buộc Ti chotrước Theo định lý giới hạn trung tâm i tuân theo phân bố chuẩn, ta chỉviệc tra bảng các xác suất ứng với phân bố chuẩn để tính P{i  Ti} Cụthể, để tra bảng, quy về trường hợp đại lương z có phân bố chuẩn với kỳvọng 0 và phương sai 1 như sau:

VI Dự án có thoả hiệp thời gian – Cước phí

Trong các mục trước ta trình bày về các dựa án có yêu cầu chủ yếu làđiều hành thời gian Theo ngôn ngữ ban đầu thì đây là phương pháp PERT,các thời gian ở đây có thể xét như các biến tất định hoặc ngẫu nhiên Cònphương pháp đường găng PCM thì đặt ngang nhau về thời gian và cướcphí Mục tiêu chính của PCM là chọn cách thoả hiệp thời gian thực hiện mỗihoạt động (theo ngôn ngữ hình học) tức là biết đường cong thời gian – cướcphí (time – cost curve) của mỗi hoạt động Trong mô hình toán học (xấp xỉthô tình trạng thực tế) người ta giả thiết quan hệ thời gian và cước phi làtuyến tính Do đó chỉ cần biết hai điểm Người ta chọn hai điển nút như sau: Điểm chuẩn (normal point) có toạ độ là thời gian và cước phí của hoạt độngkhi nó được tiến hành trong điều kiện bình thường, tức là chuẩn, không cócước phí bổ xung tăng cường (như làm ngoài giờ, tăng thiết bị nhân lực …).Cực điểm (crash point) là điểm ứng với thời gian và cước phí khi đầu tư hếtmức để thời gian thực hiện hoạt động ngắn nhất có thể Mọi điểm trung giangiữa điểm chuẩn và cực điểm, tức là mọi cách thoả hiệp thời gian cước phí(time – cost trade - off) đều coi là chấp nhận được, xem H.1.10

Hình 1.10 D ij Đường cong thời gian – cước phí của hoạt động (i, j)

Các ký hiệu trên H.1.10 rõ ràng như sau Dij là dij là thời gian chuẩn và thờigian cực điểm CDij và Cdij là cước phí chuẩn (normal cost) và cước phí cựcđiểm (crash cost), đều của hoạt động (i, j) Gọi xij (thời gian thực hiện hoạtđộng (i, j)) là biến quyết định (decision variable) của bài toán mà ta cần tính.Gọi Sij là độ xiên, tức là hệ số góc đường thẳng biểu thị đường cong thờigian – cước phí , tức là:

Bài toán: Chọn các xij để thời gian dự án không quá thời hạn bắt buộc T chotrước và làm cực tiểu cước phí dự án C

Nhận xét rằng các yếu tố của bài toán đều là tuyến tính, ta cố gắng đưa vềquy hoạch tuyến tính như sau:

Đưa vào các biến bổ xung yk là thời điểm sớm Ek của biến cố k Khi đó quan hệ giữa các biến theo Mục 4.2 là max  

E k



E j t jk , (1, 4)

j

ở đây max lấy theo các biến cố j ngay trước k, tức là có hoạt động nối (j, k)

Ký hiệu yk = Ek, tjk = xjk và viết lại (4, 4) ta được yi + xjk – yk  0

(số ràng buộc là số các biến cố ngay trước k) Gọi 1 là nút xuất phát và n lànút kết thúc dự án thì

dij + X’ij

Trường hợp không có thời hạn bắt buộc T cho trước, tức là cần tìm thoảhiệp tốt nhất giữa tổng cước phí và tổng thời gian dự án, người ta coi T là

tham số và giải quy hoạch tuyến tính tham số để được nghiệm tối ưu nhưhàm của T

VII Kiểm tra hiệu chỉnh dự án

Sau khi dùng phương pháp điều hành dự án PERT – CPM xác định được

sơ đồ mạng lưới, các biểu đồ và bảng tính các chỉ tiêu và dự án đang đượctiến hành, người quản lý luôn phải theo dõi, kiểm tra Điều kiện lao độngthực tế có thể nhiều bất ngờ Khi cần thiết có thể phải dùng phương phápPERT – CPM lại, dựa trên các dữ liệu mới, để tính toán cho phần còn laicủa dự án Sau đó điều hành dự án theo các biểu đồ và bảng tính mới

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ VỀ LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

I Một số khái niệm cơ bản

Lý thuyết độ thị là một lĩnh vực nghiên cứu đã có từ lâu và có nhiều ứngdụng hiện đại Những tư tưởng cơ bản của lý thuyết đồ thị được đề xuất vàonhững năm đầu của thế kỷ 18 bởi nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sỹ Euler.Chính ông là người sử dụng đồ thị để giải bài toán nổi tiếng về cái cầu ởthành phố Konigsberg

Đồ thị được sử dụng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau.Chẳng hạn, đồ thị có thể sử dụng để xác định các mạch vòng trong vấn đềgiải tích mạch điện Chúng ta có thể phân biệt các hợp chất hóa học hữu cơkhác nhau với cùng công thức phân tử nhưng khác nhau về cấu trúc phân

tử nhờ đồ thị Chúng ta có thể xác định xem hai máy tính trong mạng có thểtrao đổi thông tin được với nhau không nhờ mô hình đồ thị của mạng máytính Đồ thị có trọng số trên các cạnh có thể sử dụng để giải bài toán như:Tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố trong một mạng giao thông.Chúng ta còn sử dụng đồ thị để giải các bài toán về lập lịch, thời khóa biểu,

và phân bố tần số cho các trạm phát thanh và truyền hình…

1.1 Định nghĩa đồ thị

Đồ thị là một cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnhnày Chúng ta phân biệt các loại đồ thị khác nhau bởi kiểu và số lượng cạnhnối hai đỉnh nào đó của đồ thị Để có thể hình dung được tại sao lại cần đếncác loại đồ thị khác nhau, chúng ta sẽ nêu ví dụ sử dụng chúng để mô tảmột mạng máy tính Giả sử ta có một mạng gồm các máy tính và các kênhđiện thoại (gọi tắt là kênh thoại) nối các máy tính này

Trang:22

Định nghĩa 1: Đơn đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V là tập hợp các

đỉnh và E là tập hợp các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhaucủa V gọi là các cạnh

Trong trường hợp giữa hai máy tính nào đó thường xuyên phải truyền tải

nhiều thông tin người ta phải nối hai máy tính này bởi nhiều kênh thoại

Định nghĩa 2: Đa đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm là tập các đỉnh, và

E là họ các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là cáccạnh Hai cạnh e1 và e2 được gọi là cạnh lặp nếu chúng cùng tương ứng vớimột cặp đỉnh

Rõ ràng mỗi đơn đồ thị đều là đa đồ thị, nhưng không phải đa đồ thị nàocũng là đơn đồ thị, vì đa đồ thị có thể có 2 (hoặc nhiều hơn) cạnh nối mộtcặp đỉnh nào đó

Trong mạng máy tính có thể có những kênh thoại nối một máy nào đó vớichính nó (chẳng hạn với mục đích thông báo) Mạng như vậy được chotrong hình 3 Khi đó đa đồ thị không thể mô tả được mạng như vậy, bởi vì

có những khuyên (cạnh nối một đỉnh với chính nó ) Trong trường hợp nàychúng ta cần sử dụng đến các khái niệm giả đồ thị vô hướng, được địnhnghĩa như sau:

Định nghĩa 3: Giả đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V là tập các đỉnh,

và E là họ các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử (không nhất thiết phảikhác nhau) của V gọi là các cạnh Cạnh e được gọi là khuyên nếu có dạng e

= (u,u)

Định nghĩa 4: Đơn đồ thị có hướng G =(V,E) bao gồm V là tập các đỉnh,

và E là tập các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là cáccung

Nếu trong mạng có thể có đa kênh thoại một chiều, ta phải sử dụng đếnkhái niệm đa đồ thị có hướng:

Định nghĩa 5: Đa đồ thị có hướng G= (V,E) bao gồm V là tập các đỉnh,

và E là họ các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là cáccung Hai cung e1 và e2 tương ứng với cùng một cặp đỉnh được gọi là cunglặp

Chúng ta chủ yếu sẽ làm việc với đơn đồ thị vô hướng và đơn đồ thị cóhướng

1.2 Các thuật ngữ cơ bản

Trước tiên ta xét thuật ngữ mô tả các đỉnh và các cạnh của đồ thị vôhướng

Định nghĩa 1: Hai đỉnh u và v của đồ thị vô hướng G được gọi là kề nhau

nếu (u,v) là cạnh của đồ thị G Nếu e = (u,v) là cạnh của đồ thị thì ta nói

cạnh này là liên thuộc với hai đỉnh u và v, hoặc cũng nói là cạnh e là nối đỉnh

u và đỉnh v, đồng thời các đỉnh u và v sẽ được gọi là các đỉnh đầu của cạnh(u,v)

Để có thể biết bao nhiêu cạnh liên thuộc với một đỉnh, ta đưa vào địnhnghĩa sau:

Định nghĩa 2: Ta gọi bậc của đỉnh v trong đồ thị vô hướng là số cạnh liên

thuộc với nó và sẽ kí hiệu là deg(v)

2mdeg( )v

v V

Định lý 1: Giả sử G = (V,E) là đồ thị vô hướng với m cạnh Khi đó

Chứng minh Rõ ràng mỗi cạnh e = (u,v) được tính một lần trong deg(u) và

một lần trong deg(v) Từ đó suy ra tổng tất cả các bậc của các đỉnh bằng hailần số cạnh

Thí dụ 2: Đồ thị với n đỉnh và mỗi đỉnh có bậc là 6 có bao nhiêu cạnh?

Giải: Theo định lý 1, ta có 2m = 6n Từ đó suy ra số cạnh của đồ thị là

Trang:24

a f eg

phải gồm một số chẵn các số hạng Vì vậy, số đỉnh bậc lẻ phải là số chẵn.

Ta xét các thuật ngữ tương tự cho đồ thị có hướng

Định nghiã 3: Nếu e = (u, v) là cung của đồ thị có hướng G thì ta nối

hai đỉnh u và v là kề nhau, và nói cung (u,v) nối đỉnh u với đỉnh v hoặc cũngnói cung này là đi ra khỏi đỉnh u và đi vào đỉnh v Đỉnh u(v) sẽ được gọi làđỉnh đầu (cuối) của cung (u, v)

Tương tự như khái niệm bậc, đối với đồ thị có hướng ta có khái niệm bánbậc ra (vào) của một đỉnh

Định nghĩa 4: Ta gọi bán bậc ra (bán bậc vào) của các đỉnh v trong đồ

thị có hướng là số cung của đồ thị đi ra khỏi nó (đi vào nó) và ký hiệu là deg+

1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông.

Định nghĩa 1: Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số

nguyên dương, trên đồ thị vô hướng G =(V,E) là dãy x0, x1, … ,xn-1,xn trong

đó u =x0, v=xn , (xi, xi+1)  E, i= 0, 1, 2… , n-1 Đường đi nói trên còn có thểbiểu diễn dưới dạng dãy các cạnh: (x0, x1), (x1, x2), …, (xn-1, xn)

Đỉnh u gọi là đỉnh đầu còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi Đường đi

có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u= v) được gọi là chu trình Đường đihay chu trình được gọi là đơn nếu như không có cạnh nào bị lặp lại

Định nghĩa 2: Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v trong đó n là số

nguyên dương, trên đồ thị vô hướng G =(V, A) là dãy x0, x1, … ,xn-1,xn trong

đó u =x0, v=xn , (xi, xi+1) A, i= 0, 1, 2… , n-1 Đường đi nói trên còn có thểbiểu diễn dưới dạng dãy các cung: (x0, x1), (x1, x2), …, (xn-1, xn)

Đỉnh u gọi là đỉnh đầu còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi Đường đi

có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u= v) được gọi là chu trình Đường đihay chu trình được gọi là đơn nếu như không có cung nào bị lặp lại

Định nghĩa 3: Đồ thị vô hướng G= (V,E) được gọi là liên thông nếu luôn

tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó

Như vậy hai máy tính bấy kỳ trong mạng có thể trao đổi thông tin được vớinhau khi và chỉ khi đồ thị tương ứng vơi mạng này là đồ thị liên thông

Định nghĩa 4: Ta gọi đồ thị con của đồ thị G= (V,E) là đồ thị H = (W,F)

trong đó W  V và FE

Trong trường hợp đồ thị là liên thông, nó sẽ rã ra thành một số đồ thị conliên thông đôi một không có đỉnh chung Những đồ thị con liên thông nhưvậy ta sẽ gọi là các thành phần liên thông của đồ thị

Định nghĩa 5: Đỉnh v được gọi là đỉnh rẽ nhánh nếu việc loại bỏ v cùng

với các cạnh liên thuộc với nó khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thôngcủa đồ thị Cạnh e được gọi là cầu nếu việc loại bỏ nó khỏi đồ thị làm tăng

số thành phần liên thông của đồ thị

Định nghĩa 6: Đồ thị có hướng G= (V,A) được gọi là liên thông mạnh

nếu luôn tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó

Định nghĩa 7: Đồ thị có hướng G =(V,A) được gọi là liên thông yếu nếu

đồ thị vô hướng tương ứng với nó là đồ thị vô hướng liên thông

Rõ ràng nếu đồ thị là liên thông mạnh thì nó cũng là liên thông yếu,nhưng điều ngược lại là không luôn đúng

Định lý1: Đồ thị vô hướng liên thông là định hướng được khi và chỉ khi mỗi

cạnh của nó nằm trên ít nhất một chu trình

Chứng minh: Điều kiện cần, giả sử (u, v) là một cạnh của đồ thị Sự tồn tại

đường đi có hướng từ u đến v và ngược lại suy ra (u, v) phải nằm trên ítnhất một chu trình

Điều kiện đủ, thủ tục sau đây cho phép định hướng các cạnh của đồ thi để

thu được đồ thị có hướng liên thông mạnh Giả sử C là chu trình nào đó

trong đồ thị Định hướng các cạnh trên chu trình này theo một hướng đivòng theo nó Nếu tất cả các cạnh của đồ thị đã được định hướng thì kết

thúc thủ tục Ngược lại chọn e là cạnh chưa định hướng có chung đỉnh với ít

nhất một trong số các cạnh đã định hướng Theo giả thiết tìm đựơc chu

trình C’ chứa cạnh e định nghĩa các cạnh chưa định hướng của C ’ theo mộthướng dọc theo chu trình này (không định hướng lại các cạnh đã cóhướng) Thủ tục trên sẽ lặp lại cho đến khi tất cả các cạnh của đồ thị đượcđịnh hướng Khi đó ta thu được đồ thị có hướng liên thông mạnh

II Biểu diễn đồ thị trên máy tính

Để lưu trữ đồ thị và thực hiện các thuật toán khác nhau với đồ thị trên máytính cần phải tìm những cấu trúc dữ liệu thích hợp để mô tả đồ thị Việcchọn cấu trúc dữ liệu nào để biểu diễn đồ thị có tác động rất lớn đến hiệuquả của thuật toán Vì vậy, việc chọn lựa cấu trúc dữ liệu để biểu diễn đồ thịphụ thuộc vào từng tình huống cụ thể (bài toán và thuật toán cụ thể ) Ởphần này ta sẽ xét một số phương pháp cơ bản để biểu diễn đồ thị trên máy

Trang:26

tính, đồng thời cũng phân tích một cách ngắn gọn những ưu điểm cũng nhưnhững nhược điểm của chúng

2.1 Ma trận kề, Ma trận trọng số

Xét đơn đồ thị vô hướng G = (V,E), với tầp đỉnh V= {1, 2, …,n} tập cạnh E

= {e1, e2,…, em} Ta gọi ma trận kề của đồ thị G là (0, 1) ma trận A = {aij: i,j =

1, 2,… ,n}với các phần tử được xác định theo quy tắc sau đây: aij =0 nếu(i,j)  E và aij =1 nếu (i,j) E, i,j =1, 2,…,n

Thí dụ1: Ma trận kề củae đồ thị vô hướng cho trong hình 1 là:

Hình 1: Đồ thị vô hướng G và Đồ thị có hướng G 1 Các tính chất của ma trận kề:

1 Rõ ràng ma trận kề của đồ thị vô hướng là ma trận đối xứng,tức là a[i, j]= a[j, i], i, j = 1, 2,…,n Ngược lại, mỗi (0, 1) – ma trậnđối xứng cấp n sẽ tương ứng chính xác đến cách đánh số đỉnh (cònnói là: chính xác đến đẳng cấu), với một đơn đồ thị vô hướng n đỉnh

2 Tổng các phần tử trên dòng i (cột j) của ma trận kề chính bằngbậc của đỉnh i (đỉnh j)

3 Nếu ký hiệu aijp, i,j = 1, 2,…, n Là các phần tử của ma trận Ap

= A.A….A p là thừa số, khi đó aijp, i,j = 1, 2,…, n cho ta số đường đikhác nhau từ đỉnh i đến đỉnh j qua p –1 đỉnh trung gian

Ma trận kề của đồ thị có hướng được định nghĩa một cách hoàn toàn tương

tự

1 2 3 4 5 6 1

23

4 5

0 1 0 1 1

0

1 1 0 1 0 0

0 0 1 0 1

Thí dụ 2: Đồ thị có hướng G1 cho trong hình 1 có ma trận kề là ma trận sau

Lưu ý rằng ma trận kề của đồ thị có hướng không phải là ma trận đối xứng

Chú ý: Trên đây chúng ta chỉ xét đơn đồ thị Ma trận kề của đa đồ thị có thể

xây dựng hoàn toàn tương tự, chỉ khác, là thay vì ghi 1 vào vị trí a[i, j] nếu (i,

j) là cạnh của đồ thị, chúng ta sẽ ghi k là số cạnh nối hai đỉnh i và j

Trong rất nhều vấn đề ứng dụng của lý thuyết đồ thị, mỗi cạnh e= (u, v) của

đồ thị được gán với một con số c(e) (còn viết là c (u, v)) gọi là trọng số củacạnh e Đồ thị trong trường hợp như vậy được gọi là đồ thị trọng số Trong

đồ thị có trọng số, thay vì ma trận kề, để biểu diễn đồ thị ta dùng ma trậntrọng số

C = c[i,j], i,j=1,2,…,n

Với c(i, j)= c[i, j], nếu (i, j)  E và c[i, j] = nếu (i, j)  E

Trong đó số , tùy từng trường hợp cụ thể, có thể được đặt bằng mộttrong các giá trị sau: 0, +, -

Ưu điểm lớn nhất của phương pháp biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề (hoặcbằng ma trận trọng số) là để trả lời câu hỏi: hai đỉnh u, v có kề nhau trên đồthị hay không, chúng ta chỉ phải thực hiện một phép so sánh Nhược điểmlớn nhất của phương pháp này là không phụ thuộc vào số cạnh của đồ thị,

ta luôn phải sử dụng n2 đơn vị bộ nhớ để lưu trữ ma trận kề của nó

2.2 Danh sách cạnh (cung)

Trong trường hợp đồ thị thưa (đồ thị có số cạnh m thỏa mãn bất đẳngthức m < 6n) người ta thường dùng cách biểu diễn đồ thị dưới dạng danhsách cạnh

Trong cách biểu diễn đồ thị bởi danh sách cạnh (cung) chúng ta sẽ lưu trữdanh sách tất cả các cạnh (cung) của đồ thị vô hướng (có hướng) Mỗi cạnh(cung) e = (x, y) của đồ thị sẽ tương ứng với hai biến Dau[e], Cuoi[e] Nhưvậy, để lưu trữ đồ thị ta cần sử dụng 2m đơn vị bộ nhớ Nhược điểm củacách biểu diễn này là để xác định những đỉnh nào của đồ thị là kề với mộtđỉnh cho trước chúng ta phải làm cỡ m phép so sánh (khi duyệt qua danhsách tất cả các cạch của đồ thị)

Trang:28

Chú ý: trong trường hợp đồ thị có trọng số ta cần thêm m đơn vị bộ nhớ đểlưu trữ trọng số của các cạch

2.3 Danh sách kề

Trong rất nhiều vấn đề ứng dụng của lý thuyết đồ thị, cách biểu diễn đồ thịdưới dạng danh sách kề là cách biểu diễn thích hợp nhất được sử dụng Trong cách biểu diễn này, với mỗi đỉnh v của đồ thị chúng ta lưu trữ danhsách các đỉnh kề với nó, mà ta sẽ ký hiệu là Ke(v), tức là Ke(v)={uV: (v, u)

 E} khi đó vòng lặp thực hiện với mỗi một phần tử trong danh sách nàytheo thứ tự các phần tử được xắp xếp như sau: For u Ke(v) do…

Chẳng hạn, trên PASCAL có thể mô tả danh sách này như sau (Gọi

là cấu trúc Forward star ): Const m = 100; {m – số cạnh} n = 100; {n – số đỉnh} var

Ke: array {1 m} of integer ;

Tro: array {1 n+1} of integer ;

Trong đó Tro [i] ghi nhận vị trí bắt đầu của danh sách kề của đỉnh i, i = 1, 2,

…n, Tro[n+1] = 2m + 1

III. Bài toán tìm đường đi ngắn nhất

Trong các ứng dụng thực tế, bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnhcủa đồ thị liên thông có một ý nghĩa to lớn, có thể dẫn về bài toán như vậynhiều bài toán thực tế quan trọng Ví dụ, bài toán chọn một hành trình tiếtkiệm nhất (theo tiêu chuẩn khoảng cách hoặc thời gian hoặc chi phí) trênmột mạng giao thông đường bộ, đường thủy hoặc đường không; bài toánchọn một phương pháp tiết kiệm nhất để đưa một hệ động lực lực từ trạngthái xuất phát đến một trạng thái đích, bài toán lập lịch thi công các côngđoạn trong công trình thi công lớn, bài toán lựa chọn đường truyền tin vớichi phí nhỏ nhất trong mạng thông tin, …hiện nay có rất nhiều phương pháp

để giải các bài toán như vậy Thế nhưng thông thường các thuật toánđược xây dựng dựa trên lý thuyết đồ thị tỏ ra là các thuật toán có hiệu quảnhất Trong phần này ta sẽ xét một số thuật toán như vậy

3.1 Các khái niệm mở đầu

Trong phần này ta chỉ xét đồ thị có hướng G = (V,E), |V| = n, |E| = m với cáccung được gán trọng số, nghĩa là mỗi cung (u, v) thuộc E của nó đựơc đặttương ứng với một số thực a (u, v) gọi là trọng số của nó, chúng ta sẽ đặta(u, v)= , nếu (u, v) E Nếu dãy v0, v1,…vp là một đường đi trên G, đồ thị

độ dài của nó được định nghĩa là tổng sau

P a V( i1 ,V i )

Tức là, đồ dài của đường đi chính là tổng trọng số trên các cung của nó.(chú ý rằng nếu chúng ta gán trọng số cho tất cả các cung đều bằng 1, thì tađược định nghĩa độ dài của đường đi như là số cung của đường đi giốngnhư các phần trước ta đã xét )

Bài toán tìm đường đi ngắn nhất trên đồ thị dưới dạng tổng quát có thểphát biểu như sau:

Tìm đường đi có độ dài nhỏ nhất từ một đỉnh xuất phát s  V đến đỉnh cuối(đích) t  V Đường đi như vậy ta sẽ gọi là đường đi ngắn nhất từ s đến tcòn độ dài của nó ta sẽ ký hiệu là d(s, t) và còn gọi là khoảng cách từ s đến

t (khoảng cách định nghĩa như vậy có thể là số âm ) Nếu như không tồn tạiđường đi từ s đến t thì ta sẽ đặt d(s, t) =  Rõ ràng, nếu như mỗi chu trìnhtrong đồ thị đều có độ dài dương, thì trong đường đi ngắn nhất không cóđỉnh nào bị lặp lại (đường đi không có đỉnh nào lặp lại sẽ được gọi là dường

đi cơ bản) Mặt khác, nếu đồ thị có chu trình với độ dài âm (chu trình nhưvậy, để ngắn gọn ta gọi là chu trình âm ) thì khoảng cách giữa một số cặpđỉnh nào đó của đồ thị có thể là không xác định, bởi vì bằng cách đi vòngtheo chu trình này một số đủ lớn lần, ta có thể chỉ ra đường đi giữa các đỉnhnày có độ dài nhỏ hơn bất cứ số thực cho trước nào Trong các trường hợpnhư vậy, có thể đặt vấn đề tìm đường đi cơ bản ngắn nhất, tuy nhiên bàitoán đặt ra sẽ trở nên phức tạp hơn rất nhiều, bởi vì nó chứa bài toán xét sựtồn tại đường đi Hamilton trong đồ thị như là một trường hợp riêng

Trước hết cần chú ý rằng nếu biết khoảng cách từ s đến t, trong trườnghợp trọng số không âm, có thể tìm được một cách dễ dàng, để tìm đường đichỉ cần để ý là đối với cặp đỉnh s, t  V tùy ý (s  t) luôn tìm được v đỉnhsao cho: d(s, t) = d(s, v) + a(v, t)

Thực vậy, đỉnh v như vậy chính là đỉnh đi trước đỉnh t trong đường đingắn nhất từ s đến t Tiếp theo ta lại có thể tìm được đỉnh u sao cho d(s, v)=d(s, u) + a(u, v), … từ giả thiết về tính không âm của các trọng số dễ dàngsuy ra rằng dãy t, v, u,… không chứa đỉnh lặp lại và chứa đỉnh kết thúc ởđỉnh s Rõ ràng dãy thu được xác định (nếu lật ngược thứ tự các đỉnh trongnó) đường đi ngắn nhất từ s đến t

3.2 Đường đi ngắn nhất xuất phát từ một đỉnh

Phần lớn các thuật toán tìm khoảng cách giữa hai đỉnh s và t được xâydựng nhờ kỹ thuật tính toán mà ta có thể mô tả đại thể như sau: từ ma trậntrọng số a{u, v}, u, v  V, ta tính cận trên d{v} của khoảng cách từ s đến tất

cả các đỉnh v  V , mỗi khi phát hiện

d{u}+a[u, v] < d[v] (1)

Cận trên d[v] sẽ được là tốt lên : d[v]=d[u] + a[u, v]

Quá trình đó sẽ kết thúc khi nào chúng ta không làm tốt thêm được bất cứcận trên nào Khi đó rõ ràng giá trị của mỗi d[v] sẽ cho ta khoảng cách từđỉnh được gọi là nhãn của đỉnh v, còn việc tính lại các lại các cận trên này

Trang:30

sẽ gọi là phép gán nhãn cho đồ thị và toàn bộ thủ tục thường gọi là thủ tụcgán nhãn Nhận thấy rằng để tính khoảng cách từ s đến t, ở dây, ta phải tínhkhoảng cách từ s đến tất cả các đỉnh còn lại của đồ thị Hiện nay vẫn chưabiết thuật toán nào cho phép tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh làm việcthật sự hiệu quả hơn những thuật toán tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnhđến tất cả các đỉnh còn lại

Sơ đồ tính toán mà ta vừa mô tả còn chưa là xác định bởi vì còn phảichỉ ra thứ tự chọn các đỉnh u và v để kiểm tra điều kiện (!) thứ tự chọn này

có ảnh hưởng rất lớn đến hiệu quả của thuật toán

Bây giờ ta sẽ mô tả thuật toán Ford-Bellman tìm đường ngắn nhất từ đỉnh sđến tất cả các đỉnh còn lại của đồ thị Thuật toán làm việc trong trường hợptrọng số của các cung là tùy ý, nhưng giả thiết rằng trong đồ thị không cóchu trình âm

Giả thiết : đồ thị không có chu trình âm:

Đầu ra : khoảng cách từ đỉnh s đến tất cả các đỉnh còn lại d[v], v 

Truoc[v],v  V , ghi nhận đỉnh trước v trong đường đi ngắn nhất từ s đến v

truoc[v]:=u;

end; end

Tính đúng đắn của thuật toán có thể chứng minh trên cơ sở nguyên lý tối

ưu của qua hoạch động rõ ràng là độ phước tạp tính toán của thuật toán làO(n3) lưu ý ràng chúng ta có thể chấm dứt vòng lặp theo K khi phát hiệntrong quá trình thực hiện hai vòng lặp trong không có biến d[t] nào bị đổi giátrị việc này có thể xảy ra với k < n-2 và điều đó làm tăng hiệu quả của thuật

toán trong việc giải các bìa toán thực tế Tuy nhiên, cái tiến đó không thực

sự cải thiện được đánh giá độ phức tạp của bản thân thuật toán Đối với đồthị thưa thớt hơn là sử dụng danh sách kề Ke(v), v  V, để biểu diễn đồthị, khi đó vòng lặp theo u cần viết lại dưới dạng

3.3 Đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh

Rõ ràng ta có thể giải bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa tất cả cáccặp đỉnh của đồ thị bằng cách sử dụng n lần thuật toán mô tả ở mục trước,trong đó ta sẽ chọn s lần lượt là các đỉnh của độ thị Rõ ràng, khi đó ta thuđược thuật toán với độ phức tạp là O(n3) (nếu sử dụng thuật toán Ford-Bellman) hoặc O(n3) đối với trường hợp trọng số không âm hoặc đồ thịkhông có chu trình Trong trường hợp tổng quát, sử dụng thuột toán Ford-Bellman n lần không phải là cách làm tốt nhất Ở đây ta sẽ mô tả một thuậttoán giải bài toán trên với độ phức tạp tính toán O(n3): Thuật toán Floyd.Thuật toán được mô tả dưới đây

Procedure Floyd

(* Tìm đường đi ngắn nhất giữa các cặp đỉnh

Đầu vào:Đồ thị cho bởi ma trận trọng số a{i,j},i,j=1,2….,n

.Đầu ra:Ma trận đường đi ngắn nhất giữa các cặp đỉnh d{i, j}=1,2….n,

trong đó d{i, j} cho độ dài đường đi ngắn nhất từ i đến j Ma trận ghi

nhận đường đi P{i,j},i,j=1,2…n

Trong đó p{i,j}ghi nhận đỉnh đi trước đỉnh j Trong