chuong 2(1)

2.1.2 Định luật Newton thứ hai Định luật: Chuyển động của một chất điểm chịu tác dụng của các lực có tổng hợp là một chuyển động có gia tốc.. 2.2.1 Thiết lập các định lý về động lượng

Chương 2 ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM

Động lực học nghiên cứu chuyển động của các vật và mối liên hệ giữa chúng với tương tác giữa các vật Cơ sở của động lực học vĩ mô là các định luật Newton và nguyên lí Galile

2.1 Các định luật Newton

2.1.1 Định luật Newton thứ nhất

Định luật: Khi một chất điểm cô lập (không chịu một tác động nào từ bên ngoài) nếu đang đứng yên, nó sẽ tiếp tục đứng yên, nếu đang chuyển động thì chuyển động của nó

là thẳng đều

- Chất điểm chuyển động thẳng đều: vG=const

cả hai trạng thái trên vận tốc của chất điểm đều không thay đổi

Vậy: Một chất điểm cô lập bảo toàn trạng thái chuyển động của nó Tính chất bảo toàn trạng thái chuyển động gọi là quán tính

2.1.2 Định luật Newton thứ hai

Định luật: Chuyển động của một chất điểm chịu tác dụng của các lực có tổng hợp

là một chuyển động có gia tốc Gia tốc chuyển động của chất điểm tỉ lệ với tổng hợp lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của chất điểm ấy

0

FG ≠

FG

m

F K a

G

K là hệ số tỉ lệ Trong hệ đơn vị SI: K = 1, do đó: biểu thức của định luật Newton thứ hai có dạng:

m

F a

G

2.1.3 Phương trình cơ bản của cơ học chất điểm

Phương trình Newton:

F a

gọi là phương trình cơ bản của cơ học chất điểm vì từ (2-3) ta có thể suy ra được (2-1)

và (2-2’):

-Khi FG ≠ 0 thì

m

F a

G

G =

-Khi thì FG = 0 aG = 0 suy ra vG=const

2.1.4 Hệ quy chiếu quán tính

Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu trong đó chất điểm cô lập chuyển động thẳng đều

2.1.5 Lực tác dụng lên chuyển động cong

Xét chất điểm M chuyển động trên đường cong (C) (hình 2-1)

(C)

a

n

a

→

t

FG

M →at

FG

n

FG

Hình 2- 1

Ta có: aG=aGt+aKn

suy ra FG=maG=FGt +FGn =maGt +maGn

t

t m a

FG = G là lực tiếp tuyến (làm cho độ lớn của véc tơ vận tốc thay đổi)

n

n m a

FG = G là lực pháp tuyến (còn gọi là lực hướng tâm, làm cho véc tơ vận tốc đổi hướng)

Vậy: Để một chất điểm chuyển động cong, điều kiện cần là phải tác dụng lên nó một lực hướng tâm có độ lớn bằng:

R

v m ma F

2 n

2.1.6 Định luật Newton thứ ba

Định luật: Khi chất điểm A tác dụng lên chất điểm B một lực FGthì chất điểm B cũng tác dụng lên chất điểm A một lực FG', hai lực FGvà FG' tồn tại đồng thời, cùng phương ngược chiều và cùng độ lớn

Nói cách khác: + FG FG' = 0 (2-5)

Chú ý: + = 0 nhưng tác dụng của chúng không khử nhau vì điểm đặt của hai lực

khác nhau

FG FG'

Tổng quát: Xét một hệ chất điểm cô lập (không có ngoại lực tác dụng), trong hệ chỉ có

các nội lực tương tác giữa các chất điểm của hệ Khi đó nếu xét từng đôi chất điểm của

hệ thì tổng hai lực tương tác giữa chúng bằng không Nếu lấy tổng tất cả các lực đó thì

ta được kết quả:

Tổng các nội lực của một hệ chất điểm cô lập (hệ kín) bằng 0

2.2 Các định lý về động lượng

Từ phương trình Newton, ta có thể suy ra một số phát biểu tương đương, đó là các định lý về động lượng

2.2.1 Thiết lập các định lý về động lượng

Theo định luật Newton thứ hai, nếu một chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng của một lực (hay của nhiều lực có tổng hợp là FG FG) thì sẽ chuyển động với gia tốc aG

cho bởi:

F a

m G =G

dt

v

G

=

vì m không đổi nên:

F dt

) v d(mG =G v

m

KG = G gọi là véc tơ động lượng của chất điểm Vậy biểu thức trên được viết lại:

F dt

K

dG G

Định lý 1: Đạo hàm động lượng của một chất điểm đối với thời gian có giá trị bằng lực (hay tổng các lực) tác dụng lên chất điểm đó

1

t

t 1

K K

∫2

1

t

t

dt

FG : xung lượng của lực trong khoảng thời gian Δt

Định lý 2: Độ biến thiên động lượng của một chất điểm trong một khoảng thời gian nào đó có giá trị bằng xung lượng của lực (hay hợp lực) tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó

Nếu FG = const thì (2-8) thành:

Δt F K

Δt

K

Vậy: Độ biến thiên động lượng của một chất điểm trong một đơn vị thời gian có giá trị bằng lực tác dụng lên chất điểm đó

Các định lý về động lượng (2-6) và (2-8) là những phát biểu tương đương của phương trình Newton nhưng ở các chương sau ta sẽ thấy, khi ra khỏi phạm vi của cơ học Newton, các công thức (2-6) và (2-8) vẫn đúng Vì vậy có thể nói rằng: về một mặt nào đó các định lý về động lượng tổng quát hơn các định luật Newton

2.2.2 Ý nghĩa của động lượng và xung lượng

- Ý nghĩa của động lượng: Động lượng đặc trưng cho chuyển động về mặt động lực

học, là đại lượng đặc trưng cho khả năng truyền chuyển động

- Ý nghĩa của xung lượng: Xung lượng của một lực trong khoảng thời gian Δt đặc

trưng cho tác dụng của lực trong khoảng thời gian đó

2.3 Định luật bảo toàn động lượng

2.3.1 Thiết lập

Đối với một hệ chất điểm chuyển động ta có định lý về động lượng:

F ) v m

v m v (m dt

d

n n 2

2 1 1

G G G

là tổng hợp các lực tác dụng lên hệ

FG

Nếu hệ cô lập ( =0) thì: FG

0 ) v m

v m v (m dt

d

n n 2

2 1

nghĩa là: m1vG1+m2vG2+ +mnvGn=const (2-11)

Định luật: Tổng động lượng của một hệ cô lập là một đại lượng bảo toàn

2.3.2 Bảo toàn động lượng theo phương

Trường hợp chất điểm không cô lập (FG≠ 0) nhưng hình chiếu của lên một phương nào đó luôn bằng không thì:

FG

m1v1x + m2v2x +…+ mnvnx = const (2-12) Hình chiếu của tổng động lượng của hệ lên phương x là một đại lượng bảo toàn

2.3.3 Ứng dụng

Giải thích hiện tượng súng giật lùi

Giả sử có một khẩu súng khối lượng M đặt trên giá nằm ngang, trong nòng có một viên đạn khối lượng m Nếu bỏ qua ma sát thì tổng hợp ngoại lực tác dụng lên hệ (trọng lực và phản lực pháp tuyến của giá) bằng không: do đó tổng động lượng của hệ được bảo toàn

- Trước khi bắn:

1

KG =0

- Khi bắn đạn bay về phía trước với vận tốc vG, súng giật lùi về phía sau với vận tốc VG Động lượng của hệ sau khi bắn sẽ là:

KG2 = m vG+ M VG Theo định luật bảo toàn động lượng: KG1 = KG2, suy ra:

v M

m V 0

V M v

Dấu “-” chứng tỏ súng chuyển động ngược chiều với đạn

2.4 Chuyển động tương đối, nguyên lý tương đối, lực quán tính

2.4.1 Không gian và thời gian theo cơ học cổ điển

Xét 2 hệ toạ độ: Oxyz đứng yên và O'x'y'z' chuyển động so với hệ O (hình 2-2)

O'

y'

z'

x' B

A

x

O

y

z

.M

Hình 2-2

r G r' G

Ta giả thiết chuyển động của hệ O' sao cho O'x' luôn luôn trượt dọc theo trục Ox; O'y' song song và cùng chiều với Oy; O'z' song song và cùng chiều với Oz Trong mỗi

hệ tọa độ ta dùng một đồng hồ để đo thời gian

Xét một điểm M bất kỳ, trong hệ tọa độ O, tọa độ không gian và thời gian của M là: x, y, z, t ; trong hệ tọa độ O', tọa độ không gian và thời gian của M là: x', y', z', t' Theo các quan điểm của NiuTơn:

a Thời gian chỉ bởi đồng hồ trong 2 hệ O và O' là như nhau:

t = t' (a)

có nghĩa là thời gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc vào hệ quy chiếu

b Vị trí của M không gian: theo hình 2-2 ta có:

' OO x'

x = + ; y = y' ; z = z' (b)

Như vậy: vị trí không gian có tính chất tương đối, phụ thuộc vào hệ quy chiếu Do đó

chuyển động có tính tương đối phụ thuộc vào hệ quy chiếu

c Khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ trong không gian là 1 đại lượng không phụ thuộc vào hệ quy chiếu

Xét 1 cái thước AB đặt dọc theo trục O'x' (hình 2-2) gắn liền với hệ O' Chiều dài của thước đo trong hệ O' là: l0 = x'B - x'A

Chiều dài của thước đo trong hệ O là: l = xB - xA

Nhưng theo (b):

' OO ' x

xA = A +

' OO ' x

xB = B +

Do đó: xB - xA = x'B - x'B A , nghĩa là l = l0

Nói cách khác: khoàng không gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc vào hệ quy chiếu

Xét 1 trường hợp riêng: chuyển động của hệ O' là thẳng đều với vận tốc V so với

hệ O Nếu tại thời điểm t = 0, O trùng với O' thì:

Vt OO'= Theo (a) và (b) ta suy ra:

x = x' + Vt' , y = y' , z = z' , t = t' (2-13)

và ngược lại:

x' = x - Vt , y' = y , z' = z , t' = t (2-14) (2-13) và (2-14) gọi là phép biến đổi Galileo, chúng cho ta cách chuyển các tọa độ không, thời gian từ hệ quy chiếu O' sang hệ quy chiếu O và ngược lại

Ta tìm công thức liên hệ vận tốc và gia tốc chuyển động của 1 chất điểm M đối với 2 hệ tọa độ Oxyz và O'x'y'z' khác nhau Giả thiết hệ O'x'y'z' chuyển động tịnh tiến đối với hệ Oxyz sao cho ta luôn luôn có:

O'x'↑↑ Ox ; O'y'↑↑ Oy ;O'z'↑↑ Oz Đặt OM = ; r O'M =r', theo hình 2-2 ta có:

M O' O' O

hay: Gr = Gr'+OO' (c)

Đạo hàm 2 vế của (c) đối với thời gian t:

dt

) OO' d(

dt

' r d dt

r

G G

(d)

Từ (d) ta thấy:

v dt

r

= là véc tơ vận tốc của M đối với hệ O;

' v dt

' r

dG = G là véc tơ vận tốc của M đối với hệ O';

V dt

) OO' d( = G là véc tơ vận tốc tịnh tiến của hệ O'đối với hệ O;

(d) thành:

V ' v

Vậy: Véc tơ vận tốc của 1 chất điểm đối với 1 hệ quy chiếu O bằng tổng hợp véc tơ vận tốc của chất điểm đó đối với hệ quy chiếu O' chuyển động tịnh tiến đối với hệ quy chiếu O và véc tơ vận tốc tịnh tiến của hệ quy chiếu O' đối với hệ quy chiếu O

Lấy đạo hàm (2-15) theo t ta được:

dt

V d dt

' v d dt

v

trong đó:

a dt

v

= là véc tơ gia tốc của M đối với hệ O;

' a dt

' v

= là véc tơ gia tốc của M đối với hệ O';

A dt

V

dG = G là véc tơ gia tốc tịnh tiến của hệ O' đối với hệ O;

Vậy: Véc tơ gia tốc của 1 chất điểm đối với 1 hệ quy chiếu O bằng tổng hợp véc tơ gia tốc của chất điểm đó đối với hệ quy chiếu O' chuyển động tịnh tiến đối với hệ quy chiếu O và véc tơ gia tốc tịnh tiến của hệ quy chiếu O' đối với hệ quy chiếu O

Giả thiết hệ O là hệ quy chiếu quán tính, như vậy phương trình chuyển động của chất điểm M trong hệ O cho bởi định luật Newton là:

F a

aG là gia tốc chuyển động của M trong hệ quy chiếu O,FG là tổng hợp lực tác dụng lên

M

'

aG là gia tốc chuyển động của M trong hệ quy chiếu O', theo (2-16) ta có:

A ' a

aG = G + G

AG là gia tốc tịnh tiến của hệ O' đối với hệ O

Nếu hệ O' chuyển động thẳng đều đối với hệ O thì AG =0 và a G = aG' Ta có thể viết:

F ' a

mG = G suy ra hệ O' cũng là hệ quy chiếu quán tính

Vậy: Mọi hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu quán tính cũng là

hệ quy chiếu quán tính

Hay là: Các định luật Newton được nghiệm đúng trong hệ quy chiếu quán tính

Có nghĩa là: Các phương trình động lực học trong các hệ quy chiếu quán tính có dạng như nhau

Nguyên lý tương đối Galilê và phép biến đổi Galilê:

Theo nguyên lý Galile, định luật Newton trong hệ O' có dạng:maG =' FG giống như phương trình biểu diễn định luật Newton trong hệ quy chiếu quán tính O

Vậy: Các phương trình cơ học bất biến đối với phép biến đổi Galile

Giả thiết hệ O' chuyển động tịnh tiến có gia tốcAG đối với hệ quy chiếu quán tính

O Ta có:

A ' a

a G G G

+

= Nhân 2 vế với khối lượng m của chất điểm M:

A m ' a m a

Vì hệ O là hệ quán tính nên trong đó định luật Newton nghiệm đúng:

A m ' a m F F a

mG = G ⇒G= G+ G hay: maG'=FG +(−mAG) (**)

ta thấy (**) không giống (*), có nghĩa là: khi khảo sát chuyển động của chất điểm trong hệ O' tịnh tiến có gia tốc đối với hệ quán tính O, ngoài các lực tác dụng lên chất điểm phải kể thêm lực: FGqt =−mAG (2-17)

A

m

FGqt = − G gọi là lực quán tính Hệ quy chiếu O' là hệ quy chiếu không quán tính Phương trình động lực học của chất điểm trong hệ O' được viết là:

qt

F F ' a

mG = G+G (2-18)

Lực quán tính là 1 lực ảo chỉ quan sát được trong hệ quy chiếu không quán tính Lực quán tính luôn luôn cùng phương và ngược chiều với gia tốc chuyển động của hệ quy chiếu không quán tính

2.5 Mô men động lượng

2.5.1 Mô men của một véc tơ đối với một điểm

Cho véc tơ vG=MA và điểm O trong không gian (hình 2-3)

O

MG

M

A r

G d

Hình 2-3

Theo định nghĩa: Mô men của vG đối với O là một véc tơ ký hiệu M/O(vG) xác định bởi:

[ ]OM.v [ ]r.v )

v (

v

(

M/O G có:

- Gốc trùng với O

- Phương vuông góc với mặt phẳng (O,vG)

- Chiều theo chiều quay thuận đối với chiều

quay từ OM đến MA

- Độ lớn bằng 2 lần diện tích tam giác OMA

d.MA v

M/0G =

Tính chất:

a M/O(vG) = 0 khi v G= 0 hay d = 0

b M/O(vG1+vG2)=M/0(vG1)+M/0(vG2)

M/O(λvG)= λM/O(vG)

c Khi 0vG1+vG2= thì M/0(vG1)+M/0(vG2) =0

2.5.2 Định lý về mô men động lượng

Xét chất điểm M có khối lượng m chuyển động trên quỹ đạo (C) dưới tác dụng của lực FK (hình 2-4)

O

M

vG

(C)

r

G

LG

Hình 2-4

Ta có:

F dt

) v d(m dt

K

d(mv)

dt

trong đó:

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

dt

d ) v m r dt

d dt

) v d(m

G G

Vậy: d (r K) r F

dt

G

G

: là mô men động lượng của chất điểm đối với O

0

r F M/ (F)

G

G

: là mô men của lực FG đối với O

) F ( M/

dt

L d

0

G

G

Định lý: Đạo hàm theo thời gian của mô men động lượng đối với O của một chất điểm chuyển động bằng mô men đối với O của các lực tác dụng lên chất điểm đó

Hệ quả: Nếu đi qua điểm O cố định thì FG M/0(FG)=0 do đó:

const L

0 dt

L

G

có nghĩa là M luôn luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định

2.5.3 Trường hợp chuyển động tròn

Xét chất điểm M có khối lượng m chuyển động trên một quỹ đạo tròn (O,R) (hình 2-5)

O

M

v G

RG

LG

Hình 2-5

Khi đó mô men động lượng của chất điểm có độ lớn:

L G = OM.mv = Rmv = (mR2).ω

I gọi là mô men quán tính của chất điểm đối với O

Dưới dạng véc tơ: LG= I ωG (2-22)

Mặt khác: FG=FGn +FGt

và M/0(FGn)=0 nên (2-20) sẽ có dạng:

dt

) ω d(I dt

L d

t 0

G G

G

=

Ví dụ 1: Một vật được đặt trên một mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng nằm ngang

một góc α=300 Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng bằng k=0,2 Tìm gia tốc của vật trên mặt phẳng nghiêng Lấy g=10m/s2

Giải

Tác dụng lên vật có các lực:

- Trọng lực PG

- Phản lực pháp tuyến NG

- Lực ma sát FGms

Các lực có phương chiều như hình 2-6

PG

ms

fG

NG

+ α

Hình 2-6

Gọi a là gia tốc của vật, phương trình chuyển động của vật được viết:

ms

P + N + F = maG G G G (*) Chiếu (*) lên chiều dương đã chọn, ta được:

Psinα – fms = ma Với fms = kN = kPcosα

Suy ra a = g(sinα- kcosα)

Ví dụ 2: Một ôtô khối lượng 1 tấn chuyển động trên một đường bằng Hệ số ma sát

giữa bánh ôtô và mặt đường là k =0,1 Tính lực kéo của động cơ ôtô trong các trường hợp:

a Ôtô chuyển động đều

b Ôtô chuyển động nhanh dần đều với gia tốc bằng 2m/s2

Cũng câu hỏi trên nhưng cho trường hợp:

c Lên dốc có độ dốc 4%

d Xuống dốc đó

Lấy g=9,8m/s2 và trong suốt quá trình chuyển động hệ số ma sát giữa bánh ôtô và mặt đường luôn bằng k =0,1

Giải

Tác dụng lên ôtô có các lực:

- Lực kéo của động cơ ôtô FG

- Trọng lực PG

- Phản lực pháp tuyến NG

- Lực ma sát FGms

Các lực có phương chiều như hình 2-7

Gọi a là gia tốc của ôtô, phương trình chuyển động của ôtô được viết:

ms

F+P + N + F = maG G G G G (a) Chiếu (a) lên chiều dương đã chọn, ta được:

F – fms = ma (b) Với fms = kN = kP

a Muốn ôtô chuyển động đều (a=0) thì từ (a) suy ra F = fms = kP

Vậy F = 0,1.1000.9,8 = 980(N)

NG

PG

FG

ms

fG

+

Hình 2-7

b Muốn ôtô chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a =2m/s2 thì từ (a) suy ra

F = fms+ma = ma+ kP Vậy F = 1000.2+ 0,1.1000.9,8 = 2980(N)

c Trường hợp ôtô lên dốc có độ dốc 4% (ôtô chuyển động đều)

Tác dụng lên ôtô cũng có các lực như trên, có phương chiều như hình 2-8

(a) cũng là phương trình chuyển động của ôtô

PG

ms

fG

NG +

α

Hình 2-8

FG

Chiếu (a) lên chiều dương đã chọn, ta được:

F- Psinα – fms = 0 Với fms = kN = kPcosα

Suy ra F = mg(sinα + kcosα)

Chú ý rằng độ dốc 4% tức là sinα =0,04 Thay các giá trị vào ta được:

F = 1372N